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函数解析式的求法 函数是一种动态表示两个变量之间关系的一种数学模型。表示函 数的方法有很多,如列表法,图象法,解析法。解析法是用解析式 表示两个变量之间对应关系的一种方法,并且解析式是从“数”的 方面简明全面概括了变量间的数量关系,是表示函数的一种非常重 要的方法,也是研究函数性质的基础。所以我们要学会求函数的解 析式。下面结合实例来共同探讨函数解析式的求法。 一、待定系数法 已知函数类型或函数图象,求函数解析式时常用待定系数法。 例 1:已知 f(x)为一次函数且 f[f(x) ]=x+1 则 f(x)= _____ 解:∵f(x)是一次函数 ∴设 f(x)=ax+b(a≠0) ∴f[f(x) f[ax+b]=a(ax+b)+b=x+1 ]= 即 a2x+ab+b=x+1 ∴a2=1 且 ab+b=1∴a=1,b= 或 a=-1,ab+b=-b+b=0≠1(舍去)f(x)=x+ 例 2:已知 f(x)为二次函数且 f(x+1)+f(x-1)=x2-2x+4 则 f (x)=_________ 解:∵f(x)为二次函数∴设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) ∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c =2ax2+2bx+2a+2c=2ax2+2bx+2(a+c)=x2-2x+4 ∴2a=1 且 2b=-2 且 a+c=2 解得 a=,b=-1,c=∴f(x)=x2-x+ 例 3:已知二次函数的图像顶点坐标为(2,2),且过点(3,3)则 f (x)=_____ 解:∵f(x)为二次函数∴ 设 f(x)=a(x-2)2+2 又二次函数过(3,3) ∴3=a(3-2)2+2=a+2∴a=1 ∴f(x)=(x-2)2+2=x2-4x+6 点评:待定系数法求函数解析式的关键是根据函数类型先设出函 数的解析表达式,再根据题设条件求出待定的系数。 二、配凑法 例 4:已知 f(x-1)=x2+4 则 f(x)= _____ 解:∵f(x-1)=x2+4=(x-1)2+2x+3 =(x-1)2+2(x-1)+5 ∴f(x)=x2+2x+5 例 5:已知 f(x-)=x2++5,则 f(x)=_____ 解:∵ f(x-)=x2++5=(x-)2+7 ∴f(x)=x2+7(x≠0) 例 6:已知 f(+2)=x+5+8,则 f(x)=_____ 解:∵f(+2)=x+5+8 =(+2)2++4=(+2)2+(+2)+2 ∴f(x)=x2+x+2 (x≥2) 三、换元法 在上述例 4 的求解中,可设 x-1=t, 则 x=t+1 ∴f(t)=(t+1)2+4=t2+2t+5 即 f(x)=x2+2x+5 针对例 6 的求解,我们可设+2=t,则 x=(t-2)2(t≥2),=t-2 f(t)=(t-2)2+5(t-2)+8 =t2+t+2 ∴f(x)=x2+x+2(x≥2) 点评:用上述配凑法和换元法求函数解析式时,要注意:① 新变 量的取值范围。②有的题两种方法都可以,如例 4,例 6;但并不 是适合于所有题型,如例 5。③相比而言,换元法易于操作,且用 法较广, 特别是借助于中间变量的思想非常重要; 但配凑法较直观, 且快速,只是题型较少。 四、解方程组法 例 7:已知 3f(x)+f()=3x+1,则 f(x)=_____ 解:用代 x, 则 3f()+f(x)=+1① 又 3f(x)+f()=3x+1② 联立①②解方程组,②×3-① 解得 8 f(x)=9x-+2 ∴f(x)=-+(x≠0)


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