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3奇函数专题复习



3.函数的奇偶性复习
1 奇函数、偶函数的定义 对于函数 f (x): ⑴如果对于函数定义域内任意一个 x,都有 f(–x)=– f(x),那么函数 f(x)叫做奇函数; ⑵如果对于函数定义域内任意一个 x,都有 f(–x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函数. 2.奇函数、偶函数的图形特点 奇函数的图像关于原点成中心对称图形,偶函数的图像关于 y 轴成轴对称图形. 3.奇函数、偶函数的性质 偶函数在区间(a,b)上递增(减),则在区间(– b,– a)上递减(增); 奇函数在区间(a, b)与(–b, –a)上的增减性相同. 奇函数、偶函数的相关性质 ⑴偶函数与奇函数的定义域关于原点对称; ⑵若奇函数 f (x)在 x = 0 有定义, 则 f (0) = 0. ⑶偶函数必不是单调函数; ⑷奇函数 f (x)与偶函数 g(x)的定义域的交集为非空集合,则函数 f (x)· g(x)一定是奇函数. 两个奇(偶)函数之和、差为奇(偶)函数;两个奇(偶)函数之积、商是偶函数;一个奇函数与 一个偶函数之积或商是奇函数. 4.奇函数、偶函数的判定 1). 定义法: 2). 图像法: 3). 性质法: 关于原点成中心对称图形的函数是奇函数, 关于 y 轴成轴对称图形的函数是偶函数. 5 周期函数 对于函数 f (x)定义域内的每一个 x,都存在一个非零常数 T,使得 f (x + T) = f (x) 恒成立, 则称函数 f (x)具有周期性,T 叫做 f (x)的 一个周期 . 例 1 判断下列各函数的奇偶性.

(1) f ( x) ? ( x ? 1)

1? x ; 1? x

(2) f ( x) ? lg

1 ? 2x ; 1 ? 2x

(3) f ( x) ?

ex ? 1 ; ex ? 1

2 ? ? x ? x( x ? 0) (4) f ( x) ? ? 2 ; ? ? x ? x( x ? 0)

lg(1 ? x 2 ) (5) f ( x) ? . | x ? 2 | ?2

(6) 若函数 F ( x) ?

2x ? 1 ? f ( x) ( x ? 0) 是偶函数,且 f(x)不恒为 0,判断 f(x)的奇偶性. 2x ? 1

1

例 2 (1)已知函数 f (x)是奇函数,且点 x>0 时, f ( x) ? x 2 ? lg( x ? 1) ,那么当 x<0 时, 则 f (x)的解析式是 .

(2) 已 知 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 [0,+ ∞ ) 上 为 减 函 数 , 若 求实数 a 的取值范围. f ( a 2 ? a ? 2 ) ? f (2a ? 1),

(3)已知 f (x)与 g (x)都是定义域在 R 上的奇函数,若 F(x)=af(x)+bg(x)+2,且 F(-3)=6, 求 F(3)的值.

(4)已知函数 y=f (x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域为 [?π , π ] ,且它们在 [0, π ]

f ( x) 上的图象如下,求不等式 ? 0 的解集. g ( x)

y

1

y ? f ( x)
π 3 π 4

O
?1

π x y ? g ( x)

2



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