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正弦定理余弦定理应用举例



1.2 正弦定理余弦定 理应用举例

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量: ①距离问题、②高度问题、③角度问题、 ④计算面积问题、⑤航海问题、⑥物理问题等.

2.实际问题中的常用角

(1)仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标

视线的夹角,目标视线在水平

视线 上方 叫仰角,
目标视线在水平视线 下方 叫俯角(如图①).

(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,

如B点的方位角为α(如图②). (3)坡度:坡面与水平面所成的角的度数.

题型分类 深度剖析
题型一 与距离有关的问题
要测量对岸A、B两点之间的距离,选取 【例1】 相距 3 km的C、D两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B之间的距离.

思维启迪 分析题意,作出草图,综合运用正、
余弦定理求解.

解 如图所示在△ACD中,
∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3km. 在△BCD中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.
? BC ? 3 sin 75? ? sin 60? 6? 2. 2

在△ABC中,由余弦定理,得
AB 2 ? ( 3)2 ? ( 6 ? 2 )2 ? 2 ? 3 ? 6 ? 2 ? cos 75? 2 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5, ? AB ? 5(km). ? A、B之间的距离为 5 km .

探究提高 求距离问题要注意:
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所
求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若

有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求
解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可
用,就选择更便于计算的定理.

(3)阅读课本第11页和第12页的例1,例2的 距离测量方法.

变式1(2009· 海南,宁夏理, 17)
为了测量两山顶M、N间的

距离,飞机沿水平方向在A、B
两点进行测量,A、B、M、N在同一个铅垂平面 内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和 A、B间的距离,请设计一个方案,包括:①指 出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标 出);②用文字和公式写出计算M、N间的距离 的步骤.

解 方案一:①需要测量的数据有:A点到M、N
点的俯角α1、β1;B点到M、N点的俯角α2、β2;

A、B的距离d(如图所示).

d sin ? 2 ②第一步:计算AM.由正弦定理 AM ? sin(? ? ? ) ; 1 2 d sin ? 2 ; 第二步:计算AN.由正弦定理 AN ? sin( ? 2 ? ?1 )

第三步:计算MN.由余弦定理
MN ? AM 2 ? AN 2 ? 2 AM ? AN cos(?1 ? ?1 )

方案二:①需要测量的数据有:A点到M、N点的

俯角α1、β1;B点到M、N点的俯角α2、β2;
A、B的距离d(如图所示).
d sin ?1 ②第一步:计算BM.由正弦定理 BM ? ; sin(?1 ? ? 2 )

第二步:计算BN.由正弦定理 第三步:计算MN.由余弦定理

d sin ?1 BN ? ; sin( ? 2 ? ?1 )

MN ? BM 2 ? BN 2 ? 2BM ? BN cos( ? 2 ? ? 2 ).

题型二 与高度有关的问题 [例2].在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的

俯角分别是30°,60°,则塔高为
A . 400 m 3 B . 400 3 m 3 C. 200 3 m 3



A)

D. 200 m 3

解析 作出示意图如图, 由已知:在Rt△OAC中,OA=200, ∠OAC=30°,则OC=OA· tan∠OAC
3. =200tan 30°= 200 3
tan 30? ? 200 , 3

在Rt△ABD中,AD= 200 3 ,∠BAD=30°,
3

则BD=AD· tan∠BAD=

? BC ? CD ? BD ? 200 ? 200 ? 400 . 3 3

200 3 ? 3

探究提高 解斜三角形应用题的一般步骤是:
(1)准确理解题意,分清已知与所求;
(2)依题意画出示意图;

(3)分析与问题有关的三角形;
(4)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形 , 逐步求解问题的答案; (5)注意方程思想的运用; (6)要综合运用立体几何知识与平面几何知识.

变式2 如图所示,测量河对岸的

塔高AB时,可以选与塔底B在同一水
平面内的两个测点C与D,现测得

∠BCD=α,∠BDC=β,CD=x,并
在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB. 解 在△BCD中,∠CBD=π?α?β
由正弦定理得 BC CD ? , sin ?BDC sin ?CBD x ? sin ? CD sin ? BDC 所以BC ? ? sin ?CBD sin(? ? ? ) x tan ? sin ? 在 Rt ?ABC中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )

题型三 与角度有关的问题 [例3].在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A

3 ?1

n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的

方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3
n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以

10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,
问缉私船沿什么方向能最快追上走私船? 分析 如图所示,注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等,若在D 处相遇,则可先在△ABC中求出BC, 再在△BCD中求∠BCD.

解:设缉私船用t h在D处追上走私船, 则有CD=10 3 t,BD=10t. 在△ABC中,∵AB= 3 -1,AC=2, ∠BAC=120°, ∴由余弦定理, 得BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC

=( 3 -1)2+22-2×( 3 -1)×2×cos 120°=6, 即∠CBD=90°+30°=120°,
在△BCD中,由正弦定理,得
sin ?BCD ? BD ? sin ?CBD ? 10t sin120? ? 1 , CD 2 10 3t
6 2

2sin120? 2 ∴BC= 6 , ?由正弦定理, sin ?ABC ? ? ? ?ABC ? 45?

∴∠BCD=30°.即缉私船北偏东60°方向能最快追上走

题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 [例4] 如图所示,已知半圆的直径AB=2,

点C在AB的延长线上,BC=1,点P为半圆上的
一个动点,以DC为边作等边△PCD,且点D与 圆心O分别在PC的两侧,求四边形OPDC面积的 最大值.

解 设∠POB=θ,四边形面积为y, 则在△POC中,由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP· OCcos θ=5?4cos θ.
? y ? S?OPC ? S?PCD ? 1 ? 1 ? 2sin ? ? 3 (5 ? 4cos ? ) 2 4 ? 2sin(? ? ? ) ? 5 3 . 3 4 ?当? ? ? ? ? ,即? ? 5? 时, ymax ? 2 ? 5 3 . 3 2 6 4 所以四边形OPDC 面积的最大值为2 ? 5 3 . 4

思想方法 感悟提高
1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念

建立三角函数模型.
2.把生活中的问题化为二维空间解决,即在一个 平面上利用三角函数求值. 3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.



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