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选修2-1空间向量在立体几何中的应用(1)



与名师对话· 系列丛书

课标B版 · 数学 · 选修2-1

第 三 章

空间向量与立体几何

第1页

第三章

空间向量与立体几何

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/>自 主 预 习

3.2
要 点 导 学

空间向量在立体几何中的应用

课 时 作 业

第2页

第三章

3.2 3.2.1

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自 主 预 习

3.2.1
要 点 导 学

直线的方向向量与直线的向量方程(一)

课 时 作 业

第3页

第三章

3.2 3.2.1

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自 主 预 习

自 主 预 习
要 点 导 学

课 时 作 业

第4页

第三章

3.2 3.2.1

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学习目标
自 主 预 习

目标解读 1.会求空间直线的方向向量和

1.理解直线的方向向

量,了解直线的向量方程. 向量参数方程.(重点) 2.会用向量法证明直线与 2. 会用向量方法证明直线与直线平
课 时 作 业

要 点 导 学

直线平行、直线与平面平 行、平面与平面平行.

行,直线与平面平行,平面与平面 平行.(难点)

第5页

第三章

3.2 3.2.1

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知识梳理
自 主 预 习

1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)直线的方向向量
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要 点 导 学

给定一个定点 A 和一个向量 a,再任给一个实数 t,以 A 为 → 起点作向量AP=ta,这时点 P 的位置被 t 的值完全 确定 ,当 t 在实数集 R 中取遍所有值时,点 P 的轨迹是通过点 A 且平行于 向量 a 的一条 直线 l ,向量 a 称为该直线的 方向向量.

第6页

第三章

3.2 3.2.1

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自 主 预 习

(2)空间直线的向量参数方程 点 A 为直线 l 上的一个定点,a 为直线 l 的一个方向向量, → 点 P 为直线 l 上任一点, t 为一个任意实数, 以 A 为起点作向量AP
课 时 作 业

要 点 导 学

=ta.① 对空间任一个确定的点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存 → → 在唯一的实数 t,满足等式OP=OA+ta.②

第7页

第三章

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自 主 预 习

→ → → → → 如果在 l 上取AB=a,则②式可化为OP=OA+tAB=OA+ → → → → → t(OB-OA),即OP=(1-t)OA+tOB.③ 以上三种形式都叫做空间直线的向量参数方程.
课 时 作 业

要 点 导 学

(3)线段 AB 的中点 M 的向量表达式 → 设 O 是空间任一点,M 是线段 AB 的中点,则OM= 1 → → 2(OA+OB).

第8页

第三章

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自 主 预 习

(1)一条直线有无数个方向向量. → → → (2)空间三点 P,A,B 满足OP=mOA+nOB,且 m+n=1,
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要 点 导 学

则 P,A,B 三点共线.

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第三章

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2.用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平
自 主 预 习

面与平面平行 (1)直线与直线平行 设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 和 v2,则 l1∥l2 或 l1 与 l2
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要 点 导 学

重合? v1∥v2

.

(2)直线与平面平行 已知两个不共线向量 v1,v2 与平面 α 共面,一条直线 l 的一 个方向向量为 v,则 l∥α 或 l 在 α 内?存在两个实数 x,y,使

v=xv1+yv2 .
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第三章

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(3)平面与平面平行
自 主 预 习

已知两个不共线的向量 v1,v2 与平面 α 共面,则 α∥β 或 α 与 β 重合? v1∥β 且 v2∥β.
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要 点 导 学

第11页

第三章

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问题探究:若直线 l 的方向向量 u 与平面 α 内一直线的方向
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向量 v 平行,则直线 l∥平面 α,这一结论是否正确? 提示:不正确,要判定直线 l 不在平面 α 内才有直线 l∥平 面 α.
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要 点 导 学

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自 主 预 习

要 点 导 学
要 点 导 学

课 时 作 业

第13页

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要点一 求点的坐标
自 主 预 习

→ → → → → 1.直线的参数方程AP=ta 是OP=OA+ta 和OP=(1-t)OA+ → → → tOB的基础.空间中 P、A、B 三点共线的充要条件是OP=λOA+
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要 点 导 学

→ μOB(λ+μ=1). 2.由直线的参数方程可以得到直线上任一满足要求的点的 坐标.

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自 主 预 习

→ 已知点 A(2,4,0),B(1,3,3),如图所示,以AB的方向为正方 向,在直线 AB 上建立一条数轴,P,Q 为轴上的两点,且满足: (1)AP∶PB=1∶2;(2)AQ∶QB=-2.求点 P 和点 Q 的坐标.
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第三章

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【思路启迪】 (1)直线的向量参数方程是什么?
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(2)点 P、Q 的坐标应如何转化?
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要 点 导 学

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→ → → → → → 【解】 由已知,得PB=2AP,即OB-OP=2(OP-OA), → 2→ 1→ OP=3OA+3OB. 设点 P 的坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得
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要 点 导 学

2 1 (x,y,z)=3(2,4,0)+3(1,3,3), 4 1 5 8 3 11 即 x=3+3=3,y=3+3= 3 , z=0+1=1.

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第三章

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因此,P
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?5 11 ? 点的坐标是?3, 3 ,1?. ? ?

→ → 因为 AQ∶QB=-2,所以AQ=-2QB, → → → → OQ-OA=-2(OB-OQ),
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要 点 导 学

→ → → 故OQ=-OA+2OB. 设点 Q 的坐标为(x′,y′,z′),则上述换用坐标表示,得 (x′,y′,z′)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6), 即 x′=0,y′=2,z′=6, 因此 Q 点的坐标是(0,2,6).
第18页

第三章

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确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解 得.
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→ → 已知点 A(3,4,5),B(3,4,0),BC=2OA(O 为坐标原点),求点 C 的坐标.
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解:设点 C 的坐标为(x,y,z),
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→ → ∵BC=(x-3,y-4,z),OA=(3,4,5). ∴(x-3,y-4,z)=(6,8,10).
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要 点 导 学

?x-3=6 ? ∴?y-4=8, ?z=10 ?

?x=9 ? 得?y=12. ?z=10 ?

∴点 C 的坐标为(9,12,10).

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第三章

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要点二 用向量方法证明线线平行
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向量法证明两条直线平行是通过证明两直线的方向向量平 行而证得两直线平行,需注意的是,由两条直线的方向向量平行 得出的结论是两直线平行或重合,只有说明一条直线上有一点不
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要 点 导 学

在另一条直线上,才能说明这两条直线平行.

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第三章

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在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 AA1 上靠近点 A 的三等分点,在线段 DD1 上是否存在一点 G, 使 CG∥EF?若存在,求出点 G 的位置,若不存在,说明理由.
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要 点 导 学

【思路启迪】 (1)在解决与正方体或长方体相关的问题时如 何建立空间直角坐标系才最合适? (2)判定两条直线平行的依据是什么?

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【解】

如图所示,建立空间直角坐标系 D-xyz,设正方
? ? ? 1 1? E?1,2,0?,F?1,0,3?, ? ? ? ?
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体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则
要 点 导 学

→ → C(0,1,0),假设在 DD1 上存在一点 G,使 CG∥EF,则CG∥EF, 1 1? → → ? 由于点 G 在 z 轴上,设 G(0,0,z),所以EF=?0,-2,3?,CG=
? ?

→ → (0,-1,z),因为CG∥EF,

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第三章

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自 主 预 习

? 1 1? → → 所以设CG=λEF,即(0,-1,z)=λ?0,-2,3?, ? ?

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?0=λ×0, ? ?-1=-1λ, 2 所以? ? 1 ?z= λ, ? 3

λ=2, ? ? 解得? 2 z= . ? ? 3

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2 由于 z = ∈ [0,1] ,所以点 G 在线段 DD1 上,其坐标为 3
? 2? ?0,0, ?,故在线段 3? ?

DD1 上存在一点 G,使 CG∥EF,点 G 是

DD1 上靠近点 D1 的三等分点.
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第三章

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自 主 预 习

利用空间向量证明线线平行的方法步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系,求出相应点的坐标. (2)求出直线的方向向量.
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要 点 导 学

(3)证明两向量共线. (4)证明其中一个向量所在直线上的一点不在另一个向量所 在的直线上,即表示方向向量的有向线段不共线,即可得证.

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第三章

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自 主 预 习

如图所示, 在长方体 OAEB-O1A1E1B1 中, OA=3, OB=4, OO1=2,点 P 在棱 AA1 上且 AP=2PA1,点 S 在棱 BB1 上且 SB1 =2BS,点 Q、R 分别是 O1B1、AE 的中点,求证:PQ∥RS.
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要 点 导 学

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第三章

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证明:如图所示,以 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O
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-xyz,

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则 A(3,0,0) , B(0,4,0) , O1(0,0,2) , A1(3,0,2) , B1(0,4,2) , E(3,4,0).∵AP=2PA1, → → 2→ ∴AP=2PA1=3AA1,

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第三章

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? ? 4? 4? → 2 即AP=3(0,0,2)=?0,0,3?.∴P 点坐标为?3,0,3?. ? ? ? ?

同理可得

? 2? Q(0,2,2),R(3,2,0),S?0,4,3?. ? ?
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要 点 导 学

2? → → → → ? ∴PQ=?-3,2,3?=RS.∴PQ∥RS.
? ?

又∵R?PQ,∴PQ∥RS.

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第三章

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要点三 用向量方法证明线面平行、面面平行
自 主 预 习

1.向量法证明直线 l 与平面 α 平行, 需证明直线 l 的一个方向 向量和与平面 α 共面的两个不共线向量共面,同时还要说明直线 l 上有一点不在 α 内,这样才能说明 l∥α.
课 时 作 业

要 点 导 学

2.根据两个平面平行的判定定理,把证明两个平面平行转 化为证明线面平行或线线平行,再利用空间向量证明.

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第三章

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如图所示,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点.求证:B1C∥平面 ODC1.
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【思路启迪】 (1)证明线面平行的关键是什么?
自 主 预 习

(2)证明线面平行的常见思路有几种?

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自 主 预 习

→ → → 【证明】 设C1B1=a,C1D1=b,C1C=c, → 因为四边形 B1BCC1 为平行四边形,所以B1C=c-a, → 1 又 O 是 B1D1 的中点,所以C1O=2(a+b),
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要 点 导 学

1 1 → → → OD1=C1D1-C1O=b-2(a+b)=2(b-a). → 因为 D1D 綊 C1C,所以D1D=c.

第33页

第三章

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自 主 预 习

→ → → 1 所以OD=OD1+D1D= (b-a)+c. 2 → → → 设存在实数 x,y,使B1C=xOD+yOC1(x、y∈R)成立,则 c
?1 ? ? 1 ? -a=x?2?b-a?+c?+y?-2?a+b?? ? ? ? ?
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要 点 导 学

1 1 =- (x+y)a+ (x-y)b+xc. 2 2 因为 a,b,c 不共面,

第34页

第三章

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自 主 预 习

?1 ?2?x+y?=1, ? 所以?1 ?2?x-y?=0, ? ?x=1. → → → 所以B1C=OD+OC1.

? ?x=1, 所以? ? ?y=1.
课 时 作 业

要 点 导 学

→ → → 所以B1C、OD、OC1是共面向量. 因为 B1C 不在 OD、OC1 所确定的平面 ODC1 内, 所以 B1C∥平面 ODC1.

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第三章

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自 主 预 习

用向量法证明线面平行,可证向量 a 与平面 α 内的一个向 量 b 平行,也可证明向量 a 由平面 α 内两个不共线向量 m,n 作 为基底表示.
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要 点 导 学

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第三章

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要 点 导 学

如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为等 腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F 是棱 AB 的 中点. 试用向量的方法证明:平面 AA1D1D∥平面 FCC1.

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第三章

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自 主 预 习

证明:因为 AB=4,BC=CD=2,F 是棱 AB 的中点,所以 BF=BC=CF,△BCF 为正三角形.
课 时 作 业

要 点 导 学

因为 ABCD 为等腰梯形,AB=4,BC=CD=2,所以∠BAD =∠ABC=60° . 取 AF 的中点 M,连接 DM, 则 DM⊥AB,所以 DM⊥CD.

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第三章

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以 D 为原点,DM 为 x 轴,DC 为 y 轴,DD1 为 z 轴建立空
自 主 预 习

间直角坐标系 D-xyz,则 D(0,0,0),D1(0,0,2),A( 3,-1,0), F( 3,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2), → → → → 所以DD1=(0,0,2), DA=( 3, -1,0), CF=( 3, -1,0), CC1 =(0,0,2), → → → → 所以DD1∥CC1,DA∥CF,所以 DD1∥CC1,DA∥CF, 又 DD1∩DA=D,CC1∩CF=C,所以平面 AA1D1D∥平面 FCC1.
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第三章

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易错盘点
自 主 预 习

易错点

对线线、线面平行和向量与向量、向量与平面平行
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的含义混淆致误
要 点 导 学

已知

?1 ? u1=?2,-3,2?,u2=(1,-2,-4)是平面 ? ?

α 内两不

共线向量,a 是直线 l 的一个方向向量,a=(2,-8,0),则 l 与 α 的位置关系是________. 【错解】 l∥α.

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第三章

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【错因分析】 忽略了直线与平面平行和向量与平面平行的
自 主 预 习

区别.
【正确解答】 因为
?1 ? a=2×?2,-3,2?+(1,-2,-4)= ? ?

要 点 导 学

2u1+u2,所以 l∥α 或 l?α.答案:l∥α 或 l?α.

课 时 作 业

第41页

第三章

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自 主 预 习

(1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空 间向量共线、 共面定理. (2)利用直线的方向向量判定直线与直线 平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或
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要 点 导 学

平面有无公共点.

第42页

第三章

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自 主 预 习

若直线 a 的一个方向向量为 a=(1,-3,4),直线 b 的一 个方向向量是
? 1 4? b=?-3,1,-3?,则直线 ? ?

a 与 b 的位置关系是

要 点 导 学

________.

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第43页

第三章

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自 主 预 习

解析:因为

? 1 4? a=(1,-3,4),b=?-3,1,-3?, ? ?

所以 a=-3b,即 a 与 b 共线, 所以 a∥b 或 a 与 b 重合.
课 时 作 业

要 点 导 学

答案:平行或重合

第44页

第三章

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学习小结
自 主 预 习

1.利用向量可以表示直线或点在直线上的位置. 2.线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化两个向量
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的平行问题.证明依据是空间向量共线、共面定理.

第45页

第三章

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随堂训练
自 主 预 习

1.若 A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线 l 上,则直线 l 的一个方向 向量为( )
课 时 作 业

要 点 导 学

A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1)

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自 主 预 习

→ 解析:∵AB=(2,4,6)=2(1,2,3),∴A 正确.

答案:A
要 点 导 学 课 时 作 业

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自 主 预 习

→ → 2.直线 l 的方向向量为 a,平面 α 内两共点向量OA,OB, 下列关系中能表示 l∥α 的是( → A.a=OA → → C.a=pOA+λOB )
课 时 作 业

→ B.a=kOB D.以上均不能

要 点 导 学

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解析:都不符合直线与平面平行的条件.故选 D.
自 主 预 习

答案:D
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3.点 A(-3,1,5),B(4,3,1)的中点坐标是(
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)

?7 ? A.?2,1,-2? ? ?

?1 ? B.?2,2,3? ? ? ?1 4 ? D.?3,3,-2? ? ?
课 时 作 业

C.(-12,3,5)
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解析:由中点坐标公式可知选 B. 答案:B

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4.已知点 A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点,且
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1 AC=3AB,则 C 点坐标为(
?7 1 5? A.?2,-2,2? ? ?

)
课 时 作 业

?3 ? B.?8,-3,2? ? ? ?5 7 3? D.?2,-2,2? ? ?

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?10 7? C.? 3 ,-1,3? ? ?

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自 主 预 习

→ 解析:设 C(x,y,z),则AC=(x-4,y-1,z-3), → → 1→ 又AB=(-2,-6,-2),AC=3AB, 1 ∴(x-4,y-1,z-3)= (-2,-6,-2), 3 10 7 解得 x= 3 ,y=-1,z=3,
?10 7? ∴C? 3 ,-1,3?,故选 ? ?
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C.

答案:C

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第三章

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5.l1 的方向向量 v1=(1,2,3),l2 的方向向量 v2=(λ,4,6),
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若 l1∥l2,则 λ=________.
解析:若 l1∥l2,则 v1=tv2

要 点 导 学

即(1,2,3)=t(λ,4,6),∴λ=2.

课 时 作 业

答案:2

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请做:课时作业(二十一)
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3.2 3.2.1



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