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华师大二附中2013届高三数学周测17



华师大二附中 2013 届高三数学周测 17
一. 填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分.

1.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x 2 ? 4} ,则 A ? B ?



/>2.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 . a ? a2 ? ? ? an 3. 若数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n ? 1(n ? N*) ,则 lim 1 ? n→? nan 4. 已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 , l1 ∥ l2 的充要条件是 a = 则

. .

1 5. ( x ? )9 的展开式中 x 5 的系数是 x

(用数字作答) .
开始 输入 p n←1,S←0 1 S←S+ n(n+1) n←n+1 是

6.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个, 黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球 颜色不同的概率等于 .
1 ? cos 2? 1 7.已知 ? 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan(? ? 2? ) 的值 sin ? cos ? 3



. .

8.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S =

?log2 x ( x ? 0) 9.已知函数 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a ( x ? 0) ?3

n<p
否 输出 S 结束

有且仅有两个零点,则实数 a 的取值范围是 10.已知函数 y ? sin(? x ?



?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,若将

该函数的图像向左平移 m (m ? 0) 个单位后,所得图像关于 原点对称,则 m 的最小值为 .

(第 8 题图)

11.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) 到其焦点 F 的距离为 5,该抛物线的顶点到 直线 MF 的距离为 d,则 d 的值为 .

12. 已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) , y ? f ?1 ( x) 是 y ? f ( x) 的反函数, 若

1 则关于 x 的不等式 f ?1 (1 ? ) ? 1 的解集是 x
13. 已知 F 是双曲线 C :



x2 y 2 O 直线 y ? ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, 是双曲线 C 的中心, a 2 b2

mx 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C
1/6

上,则 m 的值为



14.已知命题“若 f ( x) ? m2 x 2 , g ( x) ? mx 2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x), 是假命题,则实数 m 的取值范围是 .

1 ? x ?1 } ? ? ” 2

二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是( m n (A)若 l // m , m // n ,则 l // n . (C)若 l ? m , m // n ,则 l ? n . 16、下面有 5 个命题: ①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2? ;
4 4



(B)若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . (D)若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

②终边在 y 轴上的角的集合是 ??

? ?

??

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y=x 的图象只有一个公共点; ④把函数 y ? 3sin ? 2 x ?

k? ? , k ? z? ; 2 ?
?

? 的图像向右平移 得到 y ? 3sin 2 x 的图像; 3? 6 ⑤在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形。
其中真命题的序号是( (A)①②③ ) (C)③④⑤ (D)①④⑤ (B)②③④

? ?

??

17、某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 .. . 取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( (A)y=[ ) (D)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

x?5 ] 10

18、给出下列 3 个命题: ①在平面内,若动点 M 到 F1 (?1, 0) 、 F2 (1, 0) 两点的距离之和等于 2,则动点 M 的轨 迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆; ②在平面内,已知 F1 (?5, 0) , F2 (5, 0) ,若动点 M 满足条件: MF1 ? MF2 ? 8 ,则

x2 y 2 ? ? 1; 16 9 ③在平面内,若动点 M 到点 P(1,0) 和到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离相等,则动点 M 的
动点 M 的轨迹方程是 轨迹是抛物线。 其中正确命题的个数是( (A)0 个 ) (C)2 个 (D)3 个

(B)1 个

2/6

三.解答题(本大题满分 74 分) 19、在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于

arccos

10 . 5

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.

20、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC= 1 ? sin (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b) –8,求边 c 的值.

C . 2

21、设函数

f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2 1 (2)设 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 ,求 b 的取值范围.

3/6

22、设抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.
2

(1)若 p ? 2 ,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程; (2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?

?

?1 ? , 0 ? 时,求 ?OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,探究:直线 MA、MF、MB 的斜率的之间关系.

23、已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, an ?1 , an ? (0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ) 具有性质 P :对任意的

i, j (i, j ? N ,1 ? i ? j ? n) , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A 。记 Sn ? a1 ? a2 ?

?? ? an ?1 ? an 。

(1)分别判断数集 A ? ?0, 2, 4, 6? , B ? ?2, 4, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (2)求证: a1 ? 0, nan ? 2Sn ; (3)定义 S n 为集合 A 的模,记作 A ,若 n ? 3, a2 ? 2 ,集合 A 的含有三个元素的全 体子集分别为 A1 , A2 ,? Ak ,求 A1 ? A2 ?? Ak 的值。

4/6

华师大二附中 2013 届高三数学周测 17 一、 填空题(本大题满分 56 分) 1 4 9 1. [2,3) ; 2.2; 3. ; 4.3; 5.36; 6. ; 7. ?1 ; 8. ; 2 7 10 ? 16 1 9. (??,1] ; 10. ; 11. ; 12. (1, ) ; 13. 3 ? 2 3 ; 14. (?7,0) . 5 1? a 3 二. 选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、已知直线 l 、 、 及平面 ? ,下列命题中的假命题是( D ) m n (A)若 l // m , m // n ,则 l // n . (C)若 l ? m , m // n ,则 l ? n . 16、下面有 5 个命题:
4 4

(B)若 l ? ? , n // ? ,则 l ? n . (D)若 l // ? , n // ? ,则 l // n .

①函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是 2? ; ②终边在 y 轴上的角的集合是 ??

? ?

??

k? ? , k ? z? ; 2 ?
?

③在同一坐标系中,函数 y ? sin x 的图象和函数 y=x 的图象只有一个公共点; ④把函数 y ? 3sin ? 2 x ?

? 的图像向右平移 得到 y ? 3sin 2 x 的图像; 3? 6 ⑤在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 是等腰三角形。
其中真命题的序号是( C ) (A)①②③ (B)②③④ (C)③④⑤ (D)①④⑤ 17、某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 .. . 取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( B ) (A)y=[

? ?

??

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

18、给出下列 3 个命题: ①在平面内,若动点 M 到 F1 (?1, 0) 、 F2 (1, 0) 两点的距离之和等于 2,则动点 M 的轨 迹是以 F1 , F2 为焦点的椭圆; ②在平面内,已知 F1 (?5, 0) , F2 (5, 0) ,若动点 M 满足条件: MF1 ? MF2 ? 8 ,则

x2 y 2 ? ? 1; 16 9 ③在平面内,若动点 M 到点 P(1,0) 和到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离相等,则动点 M 的
动点 M 的轨迹方程是 轨迹是抛物线。 其中正确命题的个数是( A ) (A)0 个 (B)1 个 三. 解答题(本大题满分 74 分) 19、在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于

(C)2 个

(D)3 个

arccos

10 . 5

5/6

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径. 解: (1)取 AB 的中点 M ,记正方形 ABCD 对角线的交点为 O? ,连 PM , PO? , AC , 则 AC 过 O? .

? PA ? PB , ? PM ? AB , 又 cos?PAM ?
AM ? 2 2 .??????4 分

10 5



PA ? 2 5 , 得

AO? ? 4 , PO? ? 2
1 1 64 VP ? ABCD ? S底 ? PO? ? ? (4 2 ) 2 ? 2 ? 3 3 3
的 ? 正 四 棱 锥 P? A B C D 体 积 等 于 位) .??????8 分 ( 2 ) 连 AO , OO? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R ,

64 (立方单 3

OO? ? R ? PO? ? R ? 2





Rt?OO?A





R 2 ? ( R ? 2) 2 ? 42 ,得 R ? 5 。????12 分
20、在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+cosC= 1 ? sin (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b) –8,求边 c 的值. 解: (1)由已知得 2 sin

C . 2

C C C C cos ? 1 ? 2 sin 2 ? 1 ? sin ,即 2 2 2 2 C C C C C C sin (2 cos ? 2 sin ? 1) ? 0 ,由 sin ? 0 得 2 cos ? 2 sin ? 1 ? 0 2 2 2 2 2 2 C C 1 C 3 即 sin ? cos ? ,两边平方得: sin ? 2 2 2 2 4 C C 1 C C ? C ? ? (2)由 sin ? cos ? ? 0 知 sin ? cos ,则 ? ? ,即 ? C ? ? ,则 2 2 2 2 2 4 2 2 2 7 C 3 由 sin ? 得 cos C ? ? 4 2 4 2 2 2 由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cosC ? 8 ? 2 7 ,所以 c ? 7 ? 1 .

21、设函数

f n ( x) ? x n ? bx ? c (n ? N ? , b, c ? R) .

1 (1)当 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 时,求函数 f n ( x) 在区间 ( ,1) 内的零点; 2

6/6

1 (2)设 n ? 2, b ? 1, c ? ?1 ,证明: f n ( x) 在区间 ( ,1) 内存在唯一的零点; 2

(3)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有 f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) ? 4 ,求 b 的取值范围. (1) f 2 (x)=x ? x ? 1 ,令 f 2 (x)=0 ,得 x =
2

-1 ? 5 , 2 -1+ 5 。 2

所以 f 2 (x)在区间( ,1)内的零点是x= (2)证明:因为 f n ( 在零点。

1 2

1 1 1 )<0 , f n (1)>0 。所以 f n ( ) ? f n (1)<0 。所以 f n (x) 在 ( , 内存 1) 2 2 2 x ,则f n x < 2 ( x ) - f2 ( n x1)n= ( x x 2 ) ,所以 xn (x) 在 +(x - f )<0 2

1 任取x1、x 2? ( , 1且, ) 2

1

1n

1

1 1 ( , 内单调递增,所以 f n (x) 在 ( , 内存在唯一零点。 1) 1) 2 2
(3)当 n=2 时,f2(x)=x2+bx+c. 对任意 x1, 2∈[-1,1]都有|f2(x1)-f2(x2)|≤4 等价于 f2(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之 x 差 M≤4. 据此分类讨论如下: ①当 | | ? 1 ,即|b|>2 时,M=|f2(1)-f2(-1)|=2|b|>4,与题设矛盾。

b 2

b b b <0,即 0<b≤2 时,M=f2(1)-f2( ? )=( +1)2≤4 恒成立. 2 2 2 b b b ③当 0≤ ? ≤1,即-2≤b≤0 时,M=f2(-1)-f2( ? )=( -1)2≤4 恒成立. 2 2 2
②当-1≤ ? 综上可知,-2≤b≤2. 注:②,③也可合并证明如下: 用 max{a,b}表示 a,b 中的较大者.

b b ≤1,即-2≤b≤2 时,M=max{f2(1),f2(-1)}-f2( ? ) 2 2 f (?1) ? f 2 (1) | f 2 (?1) ? f 2 (1) | b = 2 ? ? f 2 (? ) 2 2 2 2 b =1+c+|b|-( ? +c) 4 |b| 2 =(1+ ) ≤4 恒成立. 2
当-1≤ ? 22、设抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,经过点 F 的直线与抛物线交于 A、B 两点.
2

(1)若 p ? 2 ,求线段 AF 中点 M 的轨迹方程; (2) 若直线 AB 的方向向量为 n ? (1, 2) ,当焦点为 F ?
7/6

?

?1 ? , 0 ? 时,求 ?OAB 的面积; ?2 ?

(3) 若 M 是抛物线 C 准线上的点,探究:直线 MA、MF、MB 的斜率的之间关系. 解:(1) 设 A( x0 , y0 ) , M ( x, y ) ,焦点 F (1,0) ,

x0 ? 1 ? ?x ? 2 ? x0 ? 2 x ? 1 ? 则由题意 ? ,即 ? ? y0 ? 2 y ? y ? y0 ? ? 2
所求的轨迹方程为 4 y ? 4(2 x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1
2
2

(2) y ? 2 x , F ( , 0) ,直线 y ? 2( x ? ) ? 2 x ? 1,
2

1

2

1 2

由?

? y ? 2x
2

? y ? 2x ?1

得, y ? y ? 1 ? 0 ,
2

AB ? 1 ?

1 5 y1 ? y 2 ? ? 2 2 k

d?

1 , 5

S ?OAB ?

1 5 d AB ? 2 4

(3)显然直线 MA、MB、MF 的斜率都存在,分别设为 k1、k 2、k3 . 点 A、B、M 的坐标为 A(x1 ,y1 )、B(x2 ,y2 )、M(设直线 AB: y ? k ? x ? 所以 y1 y2 ? ? p ,
2

p ,m). 2

? ?

p? 2p 2 y ? p2 ? 0 , ? ,代入抛物线得 y ? 2? k

又 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,
2 2

p y2 2 p p4 p p p y12 p 1 2 2 ? ? 因而 x1 ? ? ? y1 ? p ? ,x2 ? 2 ? 2 p ? 2 ? 2 py 2 ? 2 ? 2 y 2 ? y12 ? p 2 ? 2 2p 2 2p 1 1

? p2 ? 2 y12 ? ? ? m? 2 y ? m y2 ? m 2 p ? y1 ? m ? ? y1 ? ? ? 2m 分 ? ? ? 因而 k1 ? k2 ? 1 2 2 2 2 p p p p ? y1 ? p ? p ? y1 ? p ? x1 ? x2 ? 2 2

8/6

而 k3 ?

0?m 2m ,故 k1 ? k2 ? 2k3 .? ?? p ? p? p ??? ? 2 ? 2?

23、已知数集 A ? ?a1 , a2 ,?, an ?1 , an ? (0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ) 具有性质 P :对任意的

i, j (i, j ? N ,1 ? i ? j ? n) , ai ? a j 与 a j ? ai 两数中至少有一个属于 A 。记 Sn ? a1 ? a2 ?

?? ? an ?1 ? an 。

(1)分别判断数集 A ? ?0, 2, 4, 6? , B ? ?2, 4, 6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (2)求证: a1 ? 0, nan ? 2Sn ; (3)定义 S n 为集合 A 的模,记作 A ,若 n ? 3, a2 ? 2 ,集合 A 的含有三个元素的全 体子集分别为 A1 , A2 ,? Ak ,求 A1 ? A2 ?? Ak 的值。

解: (1)集合 A ? ?0, 2, 4,6? 具有性质 P;集合 B ? ?2, 4, 6? 不具有性质 P。 (2)∵ A ? ?a1 , a2 ,? an ? 具有性质 P,∴ an ? an 与 an ? an 中至少有一个属于 A, ∵ 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an ? an ? an ,故 an ? an ? A . 从而 an ? an ? 0 ? A ,∴ a1 ? 0 。
.

∵ 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak ? an ? an ,故 ak ? an ? A(k ? 2,3,? n) 。 由 A 具有性质 P 可知 an ? ak ? A(k ? 1, 2,?, n) 。 又∵ an ? an ? an ? an ?1 ? ? ? an ? a2 ? an ? a1 , ∴ an ? an ? a1 , an ? an ?1 ? a2 ,?, an ? a2 ? an ?1 , an ? a1 ? an , ∴ nan ? 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? ,即 nan ? 2Sn 。 (3)当 n ? 2 时。 nan ? 2Sn , (n ? 1)an ?1 ? 2Sn ?1 , 那么 2Sn ? 2Sn ?1 ? nan ? (n ? 1)an ?1 ? (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1 ? 从而 ? an ? an ? ? ? an ? an ?1 ? ? ? ? an ? a2 ? ? ? an ? a1 ? ? a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ,

∴ an ? (n ? 1)a2 , a1 ? 0 ,∴数列 ? an ? 是一个以 0 为首项, a2 为公差的等差数列。 当 n ? 3, a2 ? 2 时, A1 ? A2 ? ? Ak ? Cn ?1 ? 0 ? 2 ? 4 ? ? ? 2(n ? 1) ? ?
2

an a a ? n?1 ? ? ? 2 , n ?1 n ? 2 1

n(n ? 1)2 (n ? 2) 。 2

9/6



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