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(精校版)大纲全国II数学(理)2010年高考试题(含答案)-2010年普通高等学校招生统一考试


绝密★启用前 绝密★

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修 选修 理科数学 必修+选修 II) 必修
第I卷
注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。

参考公式: 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A、B 相互独 立,那么

S = 4π R 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

4 V = π R3 3
其中 R 表示球的半径

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) = Cn p k (1 ? p )n ? k (k = 0,1, 2, …n)

一.选择题

?3?i ? (1)复数 ? ? = ? 1+ i ?
2

(A) ?3 ? 4i (2)函数 y =

1 + ln( x ? 1) ( x > 1) 的反函数是 2

(B) ?3 + 4i

(C) 3 ? 4i

(D) 3 + 4i

(A) y = e2 x +1 ? 1( x > 0) (C) y = e 2 x +1 ? 1( x ∈ R)

(B) y = e2 x +1 + 1( x > 0) (D) y = e 2 x +1 + 1( x ∈ R)

? x≥ ? 1, ? (3)若变量 x, y 满足约束条件 ? y≥x, 则 z = 2 x + y 的最大值为 ?3x + 2 y≤5, ?
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)如果等差数列 {an } 中, a3 + a4 + a5 = 12 ,那么 a1 + a2 + ... + a7 =
1 / 10

(A)14 (5)不等式

(B)21

(C)28

(D)35

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1

(A) x x< ? 2, 或x>3

{

} }

(B) x x< ? 2,或1<x<3

{

} }

(C) x ?2<x< ,或x>3 1

{

(D) x ?2<x< ,或1<x<3 1

{

(6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中.若每个信封放 2 张, 其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种 (7)为了得到函数 y = sin(2 x ? (A)向左平移 (C)向左平移

π

π π
4

) 的图像,只需把函数 y = sin(2 x + ) 的图像 3 6
(B)向右平移 (D)向右平移

π

[来源:Zxxk.Com]

个长度单位 个长度单位

π

π

4

个长度单位 个长度单位

2 uur uur 点 若 (8)V ABC 中, D 在 AB 上,CD 平方 ∠ACB . CB = a ,CA = b , a = 1 , b = 2 ,
则 CD = (A) a +

2

uuu r

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a+ b 3 3

(C)

3 4 a+ b 5 5

(D)

4 3 a+ b 5 5
[来源:Z#xx#k.Com]

(9)已知正四棱锥 S ? ABCD 中, SA = 2 3 ,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 (A)1 (10)若曲线 y = x (A)64
? 1 2

(B)

3
? 1 2

(C)2

(D)3

在点 ? a, a

? ?

? ? 处的切线与两 个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a = ?
(C)16 (D)8

(B)32

(11)与正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A1 D1 所在直线的距离相等的点 (A)有且只有 1 个 (C)有且只有 3 个 (12) 已知椭圆 C : (B)有且只有 2 个 (D)有无数个

x2 y2 3 + 2 = 1(a>b>0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k ( k>0) 的 2 a b 2

直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF = 3FB ,则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2

uuu r

uuu r

第Ⅱ卷

2 / 10

注意事项: 1.用 0.5 毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。 2.本卷共 10 小题,共 90 分。 填空题: 小题, 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题 (13)已知 a 是第二象限的角, tan(π + 2a ) = ?

4 ,则 tan a = 3




(14)若 ( x ? ) 的展开式中 x 的系数是 ?84 ,则 a =
9
3

a x

(15)已知抛物线 C : y 2 = 2 px( p>0) 的准线为 l ,过 M (1, 0) 且斜率为 3 的直线与 l 相交 于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM = MB , 则 p =

uuuu r

uuur



(16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆, AB 为圆 M 与圆 N 的公共 弦, AB = 4 .若 OM = ON = 3 ,则两圆圆心的距离 MN = .

解答题: 小题, 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中,D 为边 BC 上的一点,BD = 33 ,sin B =
(18) (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = ( n + n) 3 .
2 n

5 3 ,cos ∠ADC = , AD . 求 13 5

(Ⅰ)求 lim

an ; n →∞ S n a a1 a2 + 2 + … + n >3n . 2 1 2 n2

(Ⅱ)证明:

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AC = BC , AA1 = AB , D 为 BB1 的中点, E 为

AB1 上的一点, AE = 3EB1 .
(Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角

A1 ? AC1 ? B1 的大小.
(20) (本小题满分 12 分) 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个组件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流能通过 T1,T2,

3 / 10

T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各组件相互独立.已知 T1,T2, T3 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ξ 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的组件个数,求 ξ 的期望.

(21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C: BD 的中点为 M (1,3) . (Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF BF = 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆 与 x 轴相切. (22) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = 1 ? e .
?x

x2 y2 ? = 1( a>0,b>0 ) 相交于 B、D 两点,且 a2 b2

(Ⅰ)证明:当 x>-1 时, f ( x ) ≥ (Ⅱ)设当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≤

x ; x +1

x ,求 a 的取值范围. ax + 1

4 / 10

参考答案

(18)解: (Ⅰ) lim

an S ? S n ?1 S S = lim n = lim(1 ? n ?1 ) 1 ? lim n ?1 , n →∞ S n →∞ n →∞ n →∞ S Sn Sn n n

lim

n →∞

S n ?1 n ?1 1 1 = lim ? = , n →∞ n + 1 3 Sn 3 an 2 = . n →∞ S 3 n

所以 lim

(Ⅱ)当 n = 1 时,

a1 = S1 = 6 > 3 ; 12 a a1 a 当 n > 1 时, 2 + 2 + L + n 2 1 2 n2 S ?S a1 S ? S = 2 + 2 2 1 + L + n 2 n ?1 1 2 n
5 / 10

(19)解法一: (Ⅰ)连接 A1 B ,记 A1 B 与 AB1 的交点为 F. 因 为 面 AA1 B1 B 为 正 方 形 , 故 A1 B ⊥ AB1 , 且 AF = FB1 . 又 AE = 3EB1 , 所 以

FE = EB1 ,又 D 为 BB1 的中点,故 DE / / BF , DE ⊥ AB1 .
G 由 G 作 CG ⊥ AB , 为垂足, AC = BC 知, 为 AB 中点.
[来源:Z.xx.k.Com]

又由底面 ABC ⊥ 面 AA1 B1 B ,得 CG ⊥ 面 AA1 B1 B .连接 DG, DG / / AB1 , DE ⊥ DG , 则 故 由三垂线定理, DE ⊥ CD . 得 所以 DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线. (Ⅱ)因为 DG / / AB1 ,故 ∠CDG 为异面直线 AB1 与 CD 的夹角, ∠CDG = 45 .
o

设 AB = 2 ,则 AB1 = 2 2, DG =

2, CG = 2, AC = 3 .

作 B1 H ⊥ A1C1 ,H 为垂足.因为底面 A1 B1C1 ⊥ 面 AA1C1C ,故 B1 H ⊥ 面 AA1C1C ,又 作 HK ⊥ AC1 ,K 为垂足,连接 B1 K ,由三 垂线定理,得 B1 K ⊥ AC1 ,因此 ∠B1 KH 为二 面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角.

1 A1 B1 × A1C12 ? ( A1 B1 ) 2 2 2 2 B1 H = = , A1C1 3

HC1 = B1C12 ? B1 H 2 =

3 , 3

AC1 = 22 + ( 3) 2 = 7 , HK =

AA1 × HC1 2 3 = , AC1 3 7
6 / 10

uuur uuur
(Ⅱ)因为 B1 A, DC 等于异面直线 AB1 与 CD 的夹角, 故 B1 A ? DC = B1 A ? DC cos 45 ,即 2 2 × c + 2 ×
o
2

uuur uuur

uuur uuur

2 = 4, 2

解得 c =

uuur uuur uuur 2 ,故 AC = (?1, 0, 2) .又 AA1 = BB1 = (0, 2, 0) , uuur uuur

所以 AC1 = AC + AA1 = ( ?1, 2, 2) . 设 平 面 AA1C1 的 法 向 量 为 m = ( x, y , z ) , 则

uuuu r

uuuu r uuur m ? AC1 = 0, m ? AA1 = 0 ,
即 ? x + 2 y + 2 z = 0 且 2 y = 0 .令 x =

2 ,则

z = 1, y = 0 ,故 m = ( 2, 0,1) .
设 平 面 AB1C1 的 法 向 量 为 n = ( p, q, r ) , 则

uuuu r uuur n ? AC1 = 0, n ? B1 A = 0 ,
即 ? p + 2q + 2r = 0, 2 p ? 2q = 0 . 令p=

2 ,则 q = 2, r = ?1 ,故 n = ( 2, 2, ?1) .

所以 cos m, n =

m?n 1 = . m n 15

由于 m, n 等于二面角 A1 ? AC1 ? B1 的平面角,
7 / 10

所以二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小为 arccos

15 . 15

(Ⅲ)由于电流能通过各元件的概率都是 0.9,且电流能否通过各元件相互独立, 故 ξ ~ B (4, 0.9) , Eξ = 4 × 0.9 = 3.6 . (21)解: (Ⅰ)由题设知, l 的方程为: y = x + 2 . 代入 C 的方程,并化简,得 (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 4a 2 x ? 4a 2 ? a 2b 2 = 0 . 设 B ( x1 , y1 ) 、 D ( x2 , y2 ) ,则 x1 + x2 =

4a 2 4a 2 + a 2 b 2 , x1 ? x2 = ? 2 ,① b2 ? a 2 b ? a2

[来源:Z*xx*k.Com]

x1 + x2 1 4a 2 由 M (1,3) 为 BD 的中点知 = 1 ,故 × 2 = 1 ,即 b 2 = 3a 2 ,② 2 2 2 b ?a
故c =

a 2 + b2 = 2a ,所以 C 的离心率 e =

c = 2. a

8 / 10

(Ⅱ)由①、②知,C 的方程为: 3 x ? y = 3a ,
2 2 2

A(a, 0), F (2a, 0), x1 + x2 = 2, x1 x2 = ?
故不妨设 x1 ≤ ? a, x2 ≥ a .

4 + 3a 2 <0, 2

BF = ( x1 ? 2a) 2 + y12 = ( x1 ? 2a) 2 + 3x12 ? 3a 2 = a ? 2 x1 ,
2 2 FD = ( x2 ? 2a) 2 + y2 = ( x2 ? 2a) 2 + 3x2 ? 3a 2 = 2 x2 ? a



BF ? FD = (a ? 2 x1 )(2 x2 ? a)
= 5a 2 + 4 a + 8 .

= ?4 x1 x2 + 2a ( x1 + x2 ) ? a 2

又 BF ? FD = 17 , 故 5a + 4a + 8 = 17 , 解 得 a = 1, 或
2

9 a = ? (舍去). 5
故 BD =

2 x1 ? x2 = 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 6 .

连接 MA,则由 A(1, 0), M (1, 3) 知 MA = 3 ,从而 MA = MB = MD ,且 MA ⊥ x 轴,因 此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点A处于 x 轴相切. 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.

于是 g ( x ) 在 x = 0 处达到最小值,因而当 x ∈ R 时, g ( x ) ≥ g (0) ,即 e ≥ 1 + x .
x

所以当 x > ?1 时, f ( x ) ≥

x . x +1

(Ⅱ)由题设 x ≥ 0 ,此时 f ( x ) ≥ 0 . 当 a < 0 时,若 x > ?

1 x x ,则 < 0 , f ( x) ≤ 不成立; a ax + 1 ax + 1

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