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【江海名师零距离】2015届高三数学二轮总复习专题19:解决概率统计与算法问题



专题十九
【典题导引】

解决概率统计与算法问题

例 1.在市统测后,从高二年级抽出 100 名学生的数学成绩作为样本进行分析,得到样本频率分 布直方图,如图所示. (1)估计这次数学考试的平均成绩; (2)从样本中任选一学生,该生数学成绩在 [110,140) (单位:分)之间的概率; (3) 用分层抽样的方法在分数段为 [1

40,160] (单位: 分)的学生中抽取一个容量为 5 的样本, 从中选取 2 人作学习数学经验介绍,求选到 [140,150) (单位:分)和 [150,160] (单位: 分)这两个分数段各一人的概率.

0.013 0.009

120

例1图

解: (1)由表知:本次考试成绩共分为 8 组,各组的频率分别为: 0.02,0.04,0.13,0.2,0.26,0.2,0.09,0.06 , ? 估计这次数学考试的平均成绩为:
85 ? 0.02 ? 95 ? 0.04 ? 105 ? 0.13 ? 115 ? 0.20 ? 125 ? 0.26 ? 135 ? 0.20 ? 145 ? 0.09 ? 155 ? 0.06 ? 124 ;

(2)由(1)得,数学成绩在 [110,140) 的频率为 0.20 ? 0.26 ? 0.20 ? 0.66 ,
? 从样本中任选一学生,该生数学成绩在 [110,140) 之间的概率为 0.66;

(3)分层抽样比为

5 1 ? , 9?6 3

1 1 ,在分数段 [150,160] 抽取 6 ? ? 2 (人) , ? 在分数段 [140,150) 抽取 9 ? ? 3 (人) 3 3

这 5 名学生中,在 [140,150) 的 3 名学生记为: a1 , a2 , a3 ,在 [150,160] 的 2 名学生记为: b1 , b2 . 则在这 5 名学生中选取 2 名学生的所有可能的基本事件:
a1 a 2 , a1 a 3 , a1 b1 , a1 b2 , a 2 a 3 , a 2 b1 , a 2 b2 , a 3 b1 , a 3 b2 , b1 b2 共 10 个;

-1-

两个分数段各一人的所有可能的基本事件: a1 b1 , a1 b2 , a 2 b1 , a 2 b2 , a 3 b1 , a 3 b2 共 6 个; 选取 2 人作学习数学经验介绍,选到这两个分数段的事件记为 A ,则 P( A) ? 答: (1)估计这次数学考试的平均成绩为 124 分; (2)从样本中任选一学生,该生数学成绩在 [110,140) 之间的概率为 0.66;
3 (3)选到这两个分数段各一人的概率为 . 5 例 2. 如图所示的算法中,令 a ? tan ? , b ? sin ? , c ? cos ? ,若在集合 ? 3? ? ? {? ? ? ? ? ,? ? 0, , } 中,给 ? 取一个值,输出的结果 4 4 4 2 是 sin ? . (1)求 ? 值所在的范围;
6 3 ? . 10 5

(2)求函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? cos? 有 2 个零点的概率.
例2图

解:(1)由程序框图知,输出的 x 是 a , b, c 中的最大值.
?sin ? ? tan ? , 则? ?sin ? ? cos ? ,

? 3? ? ? ? ? ? ? 0或 ? ? ? , ? ? 3? ? ? ? 4 2 4 ? ?? ? ,? ? 0, , ,? ? 4 4 4 2 ? ? ? ? ? 3? . ? ?4 4 ? 3? 因此 ? 的取值范围是 ( , ) . 2 4 1 (2)由已知,得 ? ? 4 ? 8 cos ? ? 0 ,得 cos? ? ? , 2 ? 3? ? 2? ,? ? ? ? . ?? ? 2 4 2 3 2? ? ? ? 2 ? 函数 f ( x) ? 2 x2 ? 2 x ? cos? 有 2 个零点的概率 P ? 3 2 ? 6 ? . 3? ? ? 3 ? 4 2 4 例 3. 班级联欢时,主持人拟出了如下一些节目:跳双人舞、独唱、朗诵等,指定 3 个男生 和 2 个女生来参与,把 5 个人分别编号为 1, 2,3, 4,5 ,其中 1, 2,3 号是男生, 4, 5 号是女生, 将每个人的编号分别写在 5 张相同的卡片上,并放入一个箱子中充分混合,每次从中随 机地取出一张卡片,取出谁的编号谁就参与表演节目. (1)为了选出 2 人来表演双人舞,连续抽取 2 张卡片,求取出的 2 人不全是男生的概率;
(2)为了选出 2 人分别表演独唱和朗诵,抽取并观察第一张卡片后,又放回箱子中,充 分混合后再从中抽取第二张卡片,求:独唱和朗诵由同一个人表演的概率. 解: (1)利用树形图我们可以列出连续抽取 2 张卡片的所有可能结果(如下图所示).

由上图可以看出,试验的所有可能结果数为 20 ,因为每次都随机抽取,所以这 20 种结果出现 的可能性是相同的,试验属于古典概型.用 A1 表示事件“连续抽取 2 人是一男一女” , A2 表示

-2-

事件“连续抽取 2 人都是女生” ,则 A1 与 A2 互斥,并且 A1 ? A2 表示事件“连续抽取 2 张卡片, 取出的 2 人不全是男生” ,由列出的所有可能结果可以看出, A1 的结果有 12 种, A2 的结果有 2 种,由互斥事件的概率加法公式,可得 P( A1 ? A2 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?
12 2 7 ? ? ? 0.7 ,即连续 20 20 10

抽取 2 张卡片,取出的 2 人不全是男生的概率为 0.7 . (2)有放回地连续抽取 2 张卡片,需注意同一张卡片可再次被取出,并且它被取出的可 能性和其他卡片相等,我们用一个有序实数对表示抽取的结果,例如“第一次取出 2 号,第二 次取出 4 号”就用 (2, 4) 来表示,所有的可能结果可以用下表列出. 第二次抽取 第一次抽取

1
(1,1)
(2,1) (3,1)

2
(1, 2)

3
(1,3)

4
(1, 4)

5
(1,5)

1
2

(2, 2) (3, 2)

(2,3)

(2, 4) (3, 4)

(2,5)

3
4

(3,3)

(3,5)

(4,1)
(5,1)

(4, 2)
(5, 2)

(4,3)
(5,3)

(4, 4)
(5, 4)

(4,5)
(5,5)

5

试验的所有可能结果数为 25 ,并且这 25 种结果出现的可能性是相同的,试验属于古典 概型.用 A 表示事件“独唱和 朗诵由同一个人表演” ,由上表可以看出, A 的结果共有 5 种,因此独唱和朗诵由同一个人表 演的概率 P( A) ?
5 1 ? ? 0.2 . 25 5

例 4.(2012 北京)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可 回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放 情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位: 吨) : 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 “厨余垃圾”箱 400
30 20

“可回收物”箱 100
240
20

“其他垃圾”箱 100
30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a, b, c , 其中 a ? 0 , a ? b ? c ? 600 .当数据 a, b, c 的方差 s2 最大时,写出 a, b, c 的值(结论不 要求证明) ,并求此时 s2 的值. 解: ( 1 ) 厨余垃圾投 放正确 的概率约为: ? 厨余垃圾 ? 箱里厨余垃 圾量 ?? 厨余 垃圾总量
? 400 2 ? ?? 400 ? 100 ? 100 3

(?)设生活垃圾投放错误为事件 A ?则事件 A 表示生活垃圾投放正确?事件 A 的概率约为? 厨余 垃圾? 箱里厨余垃圾量?? 可回收物? 箱里可回收物量与? 其他垃圾? 箱里其他垃圾量的总和除以 生活垃圾总量?即 P( A) 约为
400 ? 240 ? 60 ? 0.7 ?所以 P( A) 约为 1 ? 0.7 ? 0.3 ?? 1000

-3-

1 (?)因为 x ? (a ? b ? c) ? 200 ?? 3
1 1 所以 s 2 ? [(a ? 200)2 ? (b ? 200) 2 ? (c ? 200) 2 ] ? (a 2 ? b 2 ? c 2 ? 120000) ?? 3 3

当?????? b ? c ? 0 时? s2 取得最大值??
1 最大值为 s 2 ? [(600 ? 200)2 ? (0 ? 200)2 ? (0 ? 200)2 ] ? 80000 ? 3

【归类总结】
1.古典概型与几何概型: (1)①有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本 事件总数;②对于较复杂的题目要注意正确分类,分类时应不重不漏; (2)①当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用几 何概型求解;②利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件 发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域. 2.运用互斥事件的概率公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥,然后分别求出各事 件发生的概率,再求和.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼 此互斥的事件的和;二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解. 3.抽样方法: (1)在系统抽样的过程中,要注意分段间隔,需要抽取几个个体,样本就需 N 要分成几个组,则分段间隔即为 (N 为样本容量),首先确定在第一组中抽取的个体的号 n 码数,再从后面的每组中按规则抽取每个个体. (2)在分层抽样中,要求各层在样本中 和总体中所占比例相同. 4.频率分布直方图的纵轴表示
频率 组距

,图中读出的纵坐标的数据并非是频率,需要乘以组

距以后才为频率.频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布,从这个直方图上 可以求出样本数据在各个组的频率分布.根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平 均值时,一般是采取组中值乘以各组的频率的方法.方差和标准差都是用来描述一组数 据波动情况的特征数,常用来比较两组数据的波动大小.方差较大的波动较大,方差较 小的波动较小.

-4-



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