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高中数学人教A版必修5解读与教学建议



高中数学人教 A 版必修 5 解读与教学建议
奉港高级中学 杨亢尔(315500)

本模块包括“解三角形” 、 “数列” 、 “不等式”等三章内容,全书约需 36 课时,具体课时分配如下: 第一章 解三角形 第二章 数列 第三章 不等式 约 8 课时 约 12 课时 约 16 课时

“解三角形”的主要内容是介绍三角形的正、余弦

定理,及其简单应用,旨在通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题以及能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题。 “数列”的主要内容是数列的概念与表示,等差数列与等比数列的通项公式与前 n 项和。数列作为一种特殊的函数,是反 映自然规律的基本数学模型。教科书通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,力求 使学生在探索中掌握与等差数列、等比数列有关的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些 实际问题。 “不等式”一章通过大量现实世界和日常生活中的具体实例引入不等关系,帮助学生理解不等式(组)对于刻画不等关系 的意义和价值,进而引导学生结合一些实际问题探索求解一元二次不等式的基本方法,用二元一次不等式组表示平面区域,以 及解决一些简单的二元线性规划问题的方法,最后引导学生讨论了基本不等式及其简单应用。

第一章

解三角形

在本章中,要求学生在已有知识的基础上,通过对任意三角形边角关系的探究,发现并掌握三角形中的边长与角度之间的 数量关系,并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 1、内容与课程学习目标 本章的中心内容是解三角形,正弦定理和余弦定理是解三角形的工具,最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习,学 生应当达到以下学习目标: (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

2、教学要求(浙江省《数学学科教学指导意见》2007 年 6 月版,下同) 2.1基本要求
(1)会证明正弦定理、余弦定理。 (2)能理解正、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用。 (3)能用正、余弦定理解斜三角形。 (4)理解用正、余弦定讨论三角形解的情形。 (5)掌握用正、余弦定理解任意三角形的方法。 (6)通过解三角形在实际中的一些应用,培养学生分析问题、解决问题的能力。

(7)理解三角形的面积公式 S ?

1 ab sin C 并能应用。 2

(8)根据实际条件,利用本章知识完成一个有关测量的实习作业。

2.2发展要求
(1)了解正、余弦定理与三角形外接圆半径的关系。 (2)利用正、余弦定理讨论三角形中的边角关系。 (3)条件允许的情况下,可多做几个实习作业,以培养学生应用知识解决实际问题的能力。

2.3说明
(1)可以利用计算机进行近似计算,但不要求太复杂繁琐的运算。 (2)不必增加在立几情况下求解三角形的问题,可在立体几何学习时适当拓展。 (3)应用问题应限制在正、余弦定理的简单应用上。 (4)实习作业不要求太复杂的问题。

3.纲标比较
3.1 章节、课时比较

大纲教材
数学第一册(下)第五章 平面向量 二、解斜三角形(约 7+5 课时) 5.9 正弦定理、余弦定理 (约 4 课时) 5.10 解斜三角形应用举例(约 2 课时) 实习作业 解三角形在测量中的应用(约 2 课时) (阅读材料 人们早期怎样测量地球的半径?) 研究性学习课题: 向量在物理中的应用(约 3 课时) 单元小结与复习(约 1 课时)

课标教材
数学 5 第 1 章 解三角形(8 课时)

1.1.1 正弦定理 (约 1 课时) 1.1.2 余弦定理 (约 2 课时) (探究与发现 解三角形的进一步发现) 1.2 应用举例 (约 3 课时) (阅读与思考 海伦与秦九韶)) 1.3 实习作业 (约 1 课时) 小结(约 1 课时)

3.2 内容安排上的变化 大纲教材将解三角形安排在“平面向量”之中,成为平面向量的一个单元,而课标教材在模块 5 中独立成章,突出其独立 性。 3.3 几个特点 ① 教学要求上的特点 大纲教材对解斜三角形的要求是:掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形,能利用计算器解决斜三角形的计 算问题。通过解三角形教学,提高运用所学知识解决实际问题的能力。通过以测量为内容的实习作业,培养学生应用数学知识 解决实际问题的能力和实际操作的能力。而按照省《教学指导意见》 ,课标教材在计算方面降低了要求,削弱了用计算器解决 斜三角形的有关计算问题,而在探索推理方面作了相应提高,重视正、余弦定理发现过程的探究。 ② 有关教学价值上的特点 大纲教材中,解斜三角形作为平面向量知识的应用,重在其工具性和应用性,也比较关注三角形恒等变换和边角关系转换, 把教学的重点放在运算上,而《意见》将解三角形作为几何度量问题来处理,突出几何作用,培养学生的量化思想,并引导教 师关注运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量有关的实际问题,其侧重点放在推理与探究上。

4. 教学内容分析
☆章引言 本章一开始的引言就从一个测量问题引入: “在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限遐 想,不禁会问,遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢?”接着指出: “在数学发展历史上,受到天文测量、航海测量和地 理测量等方面实践活动的推动,解三角形的理论得到不断发展,并被用于解决许多测量问题.”这就点出了本章数学知识的某些 重要的实际背景及其实际需要,使学生初步认识学习解三角形知识的必要性。然后以一系列的实际问题引入本章要学习的数学 知识,这些问题的解决需要进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识,于是顺理成章地指出,在本章中我们要学习正弦 定理和余弦定理,并学习应用这两个定理解三角形以及解决实际测量中的一些问题。 ☆1.1 正弦定理和余弦定理 正弦定理和余弦定理揭示了关于一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理。 对于正弦定理,教科书首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,引导学生思考是否能得到 这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数。在直角三角形中,边之 间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦,就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的 正弦定理,考察结论是否适用于锐角三角形,而钝角三角形中定理的证明要求学生自己通过探究来加以证明。 用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,正弦定理可以用于两类解三角形的问题: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。 (2)已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角。 对于(2) ,在某些条件下会出现无解或两解的情形,教科书在探究与发现: “关于解三角形的进一步讨论”中对此作了说 明。 正弦定理略去等于 2R,目的是控制难度,防止设计出太多难题,加重学生的负担。 对于余弦定理,首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化,也就是研究如何从已知的两边和它们的夹 角计算出三角形的另一边和两个角的问题。由于涉及边长问题,教科书考虑用向量的数量积,比较容易地证明了余弦定理。 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同的量,它们分别是三角形的三 边和一个角,知道其中的三个量,就可以求得第四个量。从已知三角形的三边确定三角形的角,这就是余弦定理的推论,也可 以说是余弦定理的第二种形式。 应用余弦定理及其推论,并结合正弦定理,可以解决的解三角形问题有: (1)已知两边和它们的夹角解三角形; (2)已知三角形的三边解三角形。 ☆1.2 应用举例 正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用,教科书介绍了它们在测量距离、高度、角度等问题中的一些应用。 对于未知的距离、高度等,存在着许多可以供选择的测量方案,可以应用全等三角形的方法,也可以应用相似三角形的方 法,或借助解直角三角形的方法,以及在本节介绍的应用两个定理的方法,等等。但是,由于在测量问题的实际背景下,某些 方法也许不能实施,如因为没有足够的空间,不能用全等三角形的方法来测量,所以,一种方法会有局限性。这里介绍的许多 问题是用以前的方法所不能解决的。 关于三角形的有关几何计算,教科书还涉及了三角形的高和面积的问题,给出了计算三角形的高和面积的公式,这些公式 实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到。

值得一提的是,已知三角形的三边求三角形面积的问题在历史上是一个重要的问题,在西方有海伦公式,在我国数学史上 有秦九韶的“三斜求积公式” ,教科书在阅读与思考中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明。 另外,关于三角形边角关系恒等式的证明问题,课程标准要求不在这类问题上作过于繁琐的训练,教科书选择的例题(P21 例 9)仅限于直接用正弦定理和余弦定理可以证明的问题。 ☆1. 3 实习作业 本章内容有很强的实践性,教科书安排了一个利用本章知识的有关测量的实习作业。 实习作业重在过程,通过实习,培养学生构建数学模型,分析和解决简单实际问题的能力。实习前,教师要指导好学生作 好前期准备,选择好素材。实习时注意现场指导。对学生的实习报告要予以讲评和规范。有条件的情况下,可让学生自主选择 素材在课后再完成几个实习报告。

第二章

数列

数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。根据课程标准的要求,在本章中,学生将通过对日常生活中 大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型 的(等比)数列的求和公式广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。 1.内容与课程学习目标 本章的主要内容是数列的基本概念、等差数列和等比数列以及它们的一些基本数量关系。通过本章学习,要使学生达到如 下学习目标: (1) .通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) ,了解数列是一种特殊函 数. (2) .通过实例,理解等差数列、等比数列的概念;探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和的公式;能在具 体的问题情境中,发现数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.体会等差数列、等比数列与一次函数、 指数函数的关系.

2.教学要求 2.1 基本要求
(1)理解数列的定义,了解数列是一类特殊函数。 (2)了解数列的几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)。 (3)认识数列是反映自然规律的基本模型。 (4)能根据给出的递推公式写出数列的前几项。 (4)理解等差(等比)数列的概念。 (5)掌握等差(等比)数列的通项公式。 (6)了解等差数列(等比)与一次函数(指数函数)的关系。 (7)能在具体的问题情境中,识别数列的等差(等比)关系,进而用等差(等比)数列有关知识解决相应的问题。 (8)掌握等差(等比)数列前n项和的公式,并能用公式解决简单的问题。 (9)理解等差(等比)数列前n项和公式的推导方法。 (10)能利用等差(等比)数列前n项和公式极其性质求一些特殊数列的和。

(11)理解 S n 与 an 的关系。 (12)等比数列的求和公式达到灵活应用。

2.2 发展要求
(1)能根据数列的前几项写出一个通项公式。 (2)掌握等差(等比)数列典型性质及应用。 (3)能灵活运用等差数列的求和公式。 (4)能用类比观点推导等比数列性质。 (7)理解等差数列与等比数列简单组合的数列的前n项和。

2.3 说明 . (1)复杂的递推关系不作要求。
(2)已知数列的前几项写出一个通项公式,不必太难。

3.纲标比较
3.1 章节、课时比较

大纲教材
数学第一册(上)第三章 数列(约 15 课时) 3.1 数列(约 2 课时) 3.2 等差数列(约 2 课时) 3.3 等差数列的前 n 项和(约 2 课时) (阅读材料 有关规定储蓄的计算) 3.4 等比数列 (约 2 课时) 3.5 等比数列的前 n 项和(约 2 课时)

课标教材
数学 5 第 2 章 数列(约 12 课时)

2.1 数列的概念与简单表示法 (约 2 课时) (阅读与思考 斐波那契数列) (信息技术应用 估计 2 的值) 2.2 等差数列 (约 2 课时) 2.3 等差数列的前 n 项和(约 2 课时) 2.4 等比数列 (约 2 课时)

研究性课题:分期付款中的有关计算(约 3 课时) 2.5 等比数列的前 n 项和(约 2 课时) 小结与复习(约 2 课时) (阅读与思考 九连环) (探究与发现 购房中的数学) 小结与复习(约 2 课时) 3.2 内容主要变化 ① 教学要求上的变化 已知数列的前几项写出一个通项公式,不必太难,复杂的递推关系不作要求。了解数列是一类函数,了解等差数列与一次 函数、等比数列与指数函数的关系。明确提出递增数列、递减数列概念。 ② 教学价值上的变化 以往数列内容比较注重 an , S n , d , q , a1 等参数之间换算与恒等变形,而课标教材注重了知识的形成过程,突出了函数思 想、数学模型思想,强化了用函数观点来呈现数列。通过资产折旧、购房贷款、出租车计费、校校通等问题注重了数列知识在 解决实际问题中的应用,体现数列的应用性,通过诸如三角形数、谢宾斯基三角形、正方形筛子、斐波那契数列、九连环等数 学名题,来体现数学的文化价值。

4. 教学内容分析

☆章头图 章头图向我们呈现了错落有致的树衩、漂亮的花瓣、排列有序的植物种子,可以使学生感受大自然的神奇和奥秘的同时, 体会数学是丰富多彩的,数学不仅仅是形式的演绎推导,数学来源于现实生活,数列作为反映现实生活的一种数学模型,也是 无处不在的,我们要善于对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考并做出判断。另外,在日常生活中,人们经常遇到的像存款利 息、购房贷款等实际问题,都需要用有关数列的知识来解决,数列知识也是将来学习高等数学的基础。 ☆2.1 数列的概念与简单表示法 人们对数列的研究有的源于现实生产、生活的需要,有的出自对数的喜爱。教科书从三角形数、正方形数入手,指出数列 实际就是按照一定顺序排列着的一列数。随后,又从函数的角度,将数列看成是定义在正整数集或其有限子集上的函数。通过 数列的列表、图象、通项公式的简单表示法,进一步体会数列是一种函数,是刻画离散过程的一种重要数学模型。 教科书的这种编排方式,一方面可以让学生体会数列是一种特殊函数,加深对函数概念和性质的理解,对数列的本质有清 晰的认识和把握;另一方面,通过数列概念引入以及数列应用的过程,体会数列问题的实际应用,提高对本章内容的学习兴趣, 为下面将要开始的有关等差数列与等比数列的学习做好铺垫。 给出数列的前若干项求数列的通项公式,一般比较困难,要求不宜太高,如果有通项公式也不唯一,解决这个问题的关键 是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系,然后抽象成一般形式。教学时还可通过一些实际问题如:三角形数、正方形数、 存款利息、谢宾斯基三角形、斐波那契数列、放射性物质的衰变、九连环的智力游戏、购房中的数学等,使学生充分感受到数 列是反映现实生活的数学模型,体会数学实用价值。 值得指出的是,在大纲教材中,递推数列的地位和作用似乎有所提升,近几年的高考也有所体现。该内容在教学中极易膨 胀,例如研究用递推公式给出的数列性质,从数列的递推公式推导通项公式等类似问题会加重学生不必要的负担。为此,《指 导意见》只要求使学生初步体会一下用递推方法给出数列的思想,能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了,繁难复杂的 递推关系式不作要求。

☆2.2 等差数列
等差数列在日常生活中有着广泛的应用,并且大量存在于学生周围.教科书首先从学生熟悉的四个实例入手,引出了等差 数列的概念,并且结合实例(衬衫的尺码)对等差数列作了说明。随后由等差数列的概念导出等差中项的概念,然后推导出了 等差数列的通项公式。这种通过对日常生活中大量实际问题的分析、建立等差数列模型的过程,加强了对等差数列基本概念、 性质的理解,有助于培养学生运用等差数列模型解决问题的能力。 用函数观点去看等差数列,可以帮助学生理解等差数列的本质:是在特殊定义域上的一次函数,通项公式就是这个特殊函 数的解析式,但我们不能说等差数列(或它的通项公式)是一次函数。 另外, 有关等差数列的概念、 通项公式的推导都是由归纳得到, 这对培养学生观察分析、 探索归纳能力提供了很好的素材。 ☆ 2.3 等差数列的前 n 项和 对等差数列前 n 项和公式的推导及应用,体现了特殊到一般、一般到特殊的思想。 教科书是从求 1+2+3+?+100 的高斯算法出发,并以 1+2+3+?+n 求和为过渡,目的是为了让学生发现等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首项、末项的和这个规律。教科书给出的探究题就是为了让学生在前面基础上,把数列 1+2+3+?+n 内在的这种规律性推广到一般的等差数列,获得一般的等差数列求和思路----倒序相加法, , 教学时应重视这一思想方法的渗透。 例题的安排突出了等差数列求和公式的实际应用,以及等差数列前 n 项和公式与二次函数之间的关系。

☆ 2.4 等比数列
与等差数列类似,等比数列概念的引入也是通过日常生活中的实例抽象出了等比数列的模型。本节所列的 4 个背景实例和 所传达的思想为:

1. 细胞分裂模型:生命科学中的数列模型;类似的有人口增长的模型 2.《庄子》中“一尺之棰”的论述:中国古代学者的极限思想 3. 计算机病毒的传播:计算机科学中的数列模型;计算机病毒的危害; “指数爆炸”的例子 4. 储蓄中复利的计算:日常经济生活中的数列模型 这4个实例,既让学生感受到等比数列也是现实生活中大量存在的数列模型,也让学生经历了从实际问题抽象出数学模型 的过程。紧跟在实例之后的“观察”栏目,是为了给学生一定的思考和探索的空间,让他们自己通过观察、归纳、猜想等认识 到等比数列的特性。等比数列的通项公式类比差数列通项公式的得出过程,用不完全归纳法得出。教学时,要充分利用平行类 比思想,将等差数列的概念、性质、研究问题,逐一类比引导学生发现问题,同时注意与指数函数的联系。 ☆2.5 等比数列的前 n 项和 教科书从古印度国王奖赏国际象棋发明者传说引入求等比数列的前 n 项和这个问题,采用了“错位相减”的方法推导公式, 其中体现了等比数列与指数函数、方程、程序框图中的循环结构等内容的前后联系。本节课后有关“九连环”的阅读与思考, 进一步体现了从具体问题中抽象出数列模型,借助数列的相关知识解决问题的思想。教学中要重视错位相减法的教学价值,重 视等比数列求和公式中公比是否为 1 的讨论,在公比取值范围上要谨防学生片面地理解为只能是正的错误认识。另外,要正确 理解一般数列通项公式 an 和前 n 项和 S n 关系。

第三章

不等式

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系,是数学研究的重要内容。建立不等观念,处理不等关系与处理等量问 题是同样重要的。根据课程标准,在本章中,学生将通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,理 解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值;掌握求解一元二次不等式的基本方法,并能解决一些实际问题;能用二元一 次不等式组表示平面区域,并尝试解决一些简单的二元线性规划问题;认识基本不等式及其简单应用;体会不等式、方程及函 数之间的联系。 1.内容与课程学习目标 本章主要学习描述不等关系的数学方法,一元二次不等式的解法及其应用,线性规划问题,基本不等式及其应用等,通过 学习,要使学生达到以下目标: (1) .通过具体情境,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系、了解不等式(组)的实际背景。 (2) .经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程;通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系; 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图。 (3) .从实际情境中抽象出二元一次不等式组;了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组; 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。 (4) .探索基本不等式 的证明过程;会用基本不等式解决简单最大(小)值问题。

2.教学要求 2.1 基本要求

(1)了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景; (2)理解不等式(组)对于刻划不等关系的意义和价值; (3)会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系,能用不等式(组)研究含有不等关系的实际问题; (4)理解并掌握不等式的基本性质。 (5)了解从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程; (6)理解一元二次不等式的概念; (7)通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系; (8)理解并掌握解一元二次不等式的过程; (9)会求一元二次不等式解集; (10)掌握求解一元二次不等式的程序框图及隐含的算法思想,会设计求解的过程; (11)了解从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)模型的过程; (12)理解二元一次不等式(组) 、二元一次不等式(组)的解集的概念; (13)了解二元一次不等式的几何意义,理解(区域)边界的概念及实线、虚线边界的含义; (14)会用二元一次不等式(组)表示平面区域,能画出给定的不等式(组)表示的平面区域; (15)了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念; (16)掌握简单的二元线性规划问题的解法; (17)了解基本不等式的代数背景、几何背景以及它的证明过程; (18)理解算术平均数,几何平均数的概念; (19)会用基本不等式解决简单的最大(小)值的问题; (20)通过基本不等式的实际应用,感受数学的应用价值。

2.2 发展要求
(1)体会不等式的基本性质在不等式证明中所起的作用; (2)会从实际情景中抽象出一些简单的二元线性规划问题并加以解决。

2.3 说明
(1)不等式的有关内容将在选修 4-5 中作进一步讨论。 (2)淡化解不等式的技巧性要求,突出不等式的实际背景及其应用; (3)突出用基本不等式解决问题的基本方法,不必推广到三个变量以上的情形。

3.纲标比较

3.1 章节、课时比较

大纲教材
数学第二册 (上) 第六章 不等式 (16 课时) 6.1 不等式的性质(约 3 课时) 6.2 算术平均数与几何平均数(约 2 课时) 6.3 不等式的证明(约 5 课时) 6.4 不等式解法举例(约 2 课时) 6.5 含有绝对值的不等式(约 2 课时)
(阅读材料 n 个正数的算术平均数与几何平均数)

课标教材
数学 5 第 3 章 不等式(约 16 课时)

3.1 不等关系与不等式(含不等式性质)(约 2 课时) 3.2 一元二次不等式及其解法(约 3 课时) 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 (约 2 课时) 3.3.2 简单的线性规划问题(约 3 课时) (阅读与思考 错在哪儿?) (信息技术应用 用 Excel 解线性规划问题举例) 3.4 基本不等式(约 3 课时) 小结与复习(约 3 课时)

小结与复习(约 2 课时) 数学第二册(上)第七章 直线和圆的方程 7.4 简单的线性规划(约 3 课时)

7.5 研究性课题与实习作业:线性规划的实际应用(约 4 课时) 3.2 内容主要变化 原大纲教材中,一元二次不等式安排在“集合与简易逻辑”之后,是学生刚步入高一就要学习的内容,而课标教材则安排 在模块 5 中,意图在高二(上)学习,简单的线性规划问题从解析几何《直线和圆的方程》中移到模块 5 的不等式中,与二元 一次不等式组成一个单元。不等式内容进一步整编,删除一元高次、分式不等式,把不等式证明后移到选修中,基本不等式则 控制难度,只用于解决求最值问题。 3.3 几个特点 ① 内容安排上的特点 把简单的线性规划和不等式放在一起,将线性规划问题作为不等式来处理,突出了不等式的几何意义以及在解决优化问题 中的作用,有利于理解不等式的本质,体现优化思想。 ② 教学要求上的特点 在不等式求解方面, 《课标》对学生的基本要求进一步弱化,在大纲教材删除了指、对数不等式和无理不等式的基础上, 又删除了分式不等式、一元高次不等式求解,将绝对值不等式移至选修 4-5(不等式选讲);不等式证明采取分步到位、螺旋上升 的做法,在本章教学中,其基本要求是降低的。但在选修 1-2(文科必选) 、选修 2-2(理科必选)的推理与证明中,均提出用 综合法与分析法证明不等式。在选修 4-5 中,介绍了不等式证明的常用方法—比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法,进 一步介绍了柯西不等式、排序不等式、均值不等式及其应用,还介绍了数学归纳法与贝努利不等式。二元一次不等式(组)与

简单的线性规划问题学习要求基本不变。 ③ 教学价值上变化 不等式是原教材中的一个重点和难点,是培养学生思维能力和推理能力的一个很好素材,所以它强调理论叙述、推理严密、 变化技巧,而《课标》则更加关注不等式的背景和实际应用,把不等式作为刻画现实世界中不等关系的数学工具,作为描述优 化问题的一种数学模型,而不再把重点放在纯理论的数学探究上。

4. 教学内容分析
☆ 章头图 本章的章头图是一幅山峦重叠起伏的壮观画面,将学生带入“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然中,使学生在 具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的,由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望。 ☆3.1 不等关系与不等式 这一节的要求和原教材有很大的不同,原教材作为研究不等式的理论基础,所以对它们归结为几个定理和推论,并给出了 证明。而现在把所有的定理和推论整理为不等式的八大性质,并作一些简要的说明,强调这些关于不等式的事实和性质是解决 不等式问题的依据。建议在教学中不要对这些性质的证明作过多的纠缠,而应该在说明这些性质的合理性上举例说明,引导学 生进一步挖掘一些感兴趣的和富有时代感的素材,通过分析其中的基本数量关系,以加深学生对“不等关系是客观事物的基本 数量关系”的认识。也可以类比等式的基本性质,对一些不等式的推断作一些分析验证,通过类比,使学生认识不等式与等式 性质之间的相同点与不同点。 ☆3.2 一元二次不等式及其解法 在大纲教材的函数部分,借助于二次函数安排了二次不等式的内容。这样安排已为广大教师所接受,其好处也是多方面的。 课标教材则把二次不等式的内容移至“必修 5” ,在“必修 1”的函数内容中,强调函数“是描述现实世界变量之间的依赖关系 的数学模型” ,把重点放在函数概念的本质的理解、函数性质讨论以及函数的实际应用上,其用意固然是为了防止教师在集合 的学习与函数概念的教学中,在求解定义域、值域等“细枝末节”的问题上对学生进行大量人为的、繁琐的训练,但这种“釜 底抽薪”的做法似乎更多的是因为受到各个模块课时的限制而造成的无奈,许多首批参与实验的教师也对此提出质疑,认为这 样处理值得商榷。 一元二次不等式解集的求法对于高一学生而言并不会感到困难,但理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集 之间的关系,则要经历观察、思考、探究的过程。课标教材着眼于让学生体验知识形成过程的精心设计值得我们在教学中细心 体味,无论是一元二次不等式模型的建立、解法的归纳,还是以填空的形式让学生尝试设计求解一般一元二次不等式过程的程 序框图,都为学生的思维活动留足了空间。这种从特殊到一般的处理方式符合学生的认知规律,有助于学生了解知识的形成过 程和来龙去脉,加深对知识的理解,以及对隐藏在知识发生过程中的数学思想方法的领悟。另外,教学中要控制不等式的难度,

一般不要超出教科书的要求,一元二次不等式的求解只要达到基本要求即可,要淡化解不等式技巧性要求,要注意加强与函数、 方程的联系,积极渗透算法思想,突出不等式的实际背景及其应用,有关内容将在选修系列 4—5 中作进一步讨论。 ☆3. 3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 不等式作为用来刻划不等关系的有效工具,有着丰富的现实背景,不等式也是刻划区域的重要工具,刻划区域是解决线性 规划问题的一个基本步骤,在现实生产、生活中,经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题常常可归结为二元线性规 划问题。线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,它能解决科学研究、工程设计、经济管理 等许多方面的实际问题。教学中要注意从实际问题引入,着眼于不等式与实际问题的联系,使学生明确数学问题源于生活且用 于生活。由于线性规划属于多元条件极值问题,对高一学生有一定难度,因此教学中应当强调借助几何直观解决一些简单的线 性规划问题,引导学生体会线性规划的基本思想,在其它方面的一些应用不宜作过多展开。另外,直线方程是平面解析几何内 容,根据《指导意见》先上模块 5、后上模块 2 的顺序,学生对直线的斜率、截距、平行直线系等概念尚不清晰,无疑这也将 增加学习线性规划的难度,有人提出“让线性规划回去” ,也是有一定道理的。 在本节内容的后面,教材安排了阅读材料“错在哪儿”和信息技术应用“用 Excel 解线性规划问题举例” 。前者提出的问题 既有思考性又有挑战性,对于同一道习题得到不同答案的类似问题情境学生常常经历,也常常给学生带来困惑,引导学生辨析 纠错,有利于培养学生思维的深刻性和反思意识。后者借助计算机为研究二元一次不等式组的解集表示的平面区域和简单的线 性规划问题提供试验探索平台,从动手实践、观察猜想中发现规律,且有较强的操作性,可指导学生课外完成。 ☆3.4 基本不等式:

ab ?

a?b 2

本节主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明,通过基本不等式的实际应用,感受数学的 应用价值,重点是应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同的角度探究其证明过程。根据课标立足基础、螺旋上升的教学 要求,教学时要突出用基本不等式解决问题的基本方法和基本的应用,如运用基本不等式可解决周长、面积、造价的最大(小) 值问题等。对不等式证明的教学不必加深,基本不等式仅限于二元均值不等式,不必推广到三个以上变量的情形,有关内容会 在后续学习的选修 1-2 和选修 2-2 的推理与证明、选修 4-5 中的不等式选讲中得到加强。

教学中的几点建议
1.关注数学情境的建立,重视反映数学的应用价值 要关注数学情境的建立,充分挖掘现实世界和实际生活中有关数学实例,解三角形、数列和不等式三章内容有着丰富的实 际背景,除了教科书中的实例还有很多很好的相关的素材,教学过程中应该充分给予挖掘,力求问题的引入能够反映一定的生 活背景,激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。 在第一章“解三角形”中,引言就是从一个测量问题引入,在解三角形的过程中不断与一些实际测量问题相联系,如怎样 航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山

顶的海拔高度?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向?等等。 第二章“数列”应自始至终贯彻“数列作为一种特殊函数,是反映自然规律的基本数学模型”的思想,创造性地发掘日常 生活中的实际问题,深入探讨教科书中大量实例,如存款利息、出租车收费、校园网问题、希尔宾斯基三角形、斐波那契数列、 放射性物质的衰变、诺贝尔奖金发放金额问题、商场计算机销售问题、九连环的智力游戏、购房中的数学等等。使学生充分感 受到数列是反映现实生活的数学模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的。 第三章“不等式”可从日常生活中经常用到的“长与短、 ” “大与小” 、 “多与少” 、 “远与近”等实际情境中引入不等关系, 如通过学生感兴趣的上网问题引入一元二次不等式的有关概念,从中认识到学习不等关系及不等式的必要性。从银行贷款中的 资金分配问题中引入二元一次不等式组的数学模型,从现实生产、生活中,经常遇到的资源利用、人力调配、生产安排等问题 中引入二元线性规划问题。再如,结合北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,联系我国古代数学家赵爽的弦图,紧紧抓 住弦图中相关面积间存在的数量关系引入不等式 a ? b ? 2ab 。
2 2

2.重视各部分内容之间的联系 数学各部分的内容构成一个有机的整体,教师应充分注意这一点,并在教学中力求体现这种联系。例如,在第一章中,对 于正弦定理和余弦定理,应注意它们与已经学习的关于三角形的定性研究的结论的联系。余弦定理的证明使用了向量的方法, 不仅使定理的证明简洁而明快,而且也能够体现向量及其运算的作用。第二章则可有意识的关注数列与函数的关系,强调数列 作为一种特殊函数的意义,有条件的话也可注意联系算法和微积分思想,揭示“离散”和“连续”之间的关系。第三章则强调 不等式与函数、方程的关系,在一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题中,始终注意数与形的联系,通过对不等式、函 数与方程关系的理解来解决所面临的不等式的问题。另外,在各章习题、探究性问题和阅读材料安排中也应注意各部分内容的 联系。 3.重视基本数学思想方法的教学 要重视基本的数学思想方法的教学,如函数的思想,优化的思想,以及类比、归纳等合情推理的方法。如第一章“解三角 形”对于正弦定理和余弦定理的研究,都是从对于初中数学中对于三角形的定性研究进一步深化为定量研究的角度去展开的, 其中蕴含着函数思想。正弦定理的证明从直角三角形的情形出发,体现从特殊到一般的归纳过程,从一定程度上也反映了类比 的思想。第二章不仅贯彻数列是特殊函数的观点,而且不断在等差数列和等比数列之间进行类比,从求 1+2+3+?+100 的高斯 算法出发,将这种规律性推广到一般等差数列,从而获得一般等差数列的求和思路,这又是归纳的生动案例。在第三章中,对 于二元一次不等式与“平面区域”的关系,体现了从特殊到一般的归纳思想,线性规划的内容则突出体现了优化的思想。 同时,教学中要有意识地体现“数形结合”的思想,如三角形解的个数问题,数列与相应函数的联系,不等式表示的几何 意义,特别是线性规划,从问题的提出到解决,都直接依赖于“平面区域” 。 4.适当使用现代信息技术

现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响, 高中数学课程应提倡实现 信息技术与课程内容的有机整合(如把算法融入到数学课程的各个相关部分) ,整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。 教学中应充分的考虑现代信息技术的教育价值,并在相部分内容中适当体现,教科书在第二章和第三章,分别设计了“信息技 术应用”专题,介绍 2 的近似计算和利用 EXCEL 解决线性规划问题等,鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 具体来说,在解三角形的过程中可以利用计算器简化一些繁杂的计算,在数列一章的学习中,可以利用相关的计算机软件来探 索规律,在不等式一章中可以利用图形计算器或有关计算机软件来寻求不等式的解,可以用 Excel 来解简单的线性规划问题。 5.要充分展现数学文化 数学是人类文化的重要组成部分,是人类社会进步的产物,也是推动社会发展的动力。数学不仅具有重要的科学价值,同 时还具有丰富的人文价值,本模块教材为我们提供了许多可供展现数学文化的素材,天文地理、数学名著、考古发现、趣闻轶 事. . . . . . ,无一不散发出浓厚的文化气息,教师要挖掘教材中的人文因素,既注重数学的科学价值,也不忽视对数学人文精神 的提升,有意识地建设数学课堂文化,充实学生人文内涵,利用教师人格魅力,提升学生人文品位。 如在“等差数列”复习课中,我就引用了如下数学史料: ①今有金鉴,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重两斤。问次一尺各重几何? ②今有五人分五钱,令上二人与下三人相等,问各得几何? ③今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何? ④今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十日织讫。问织几何? 以上四题出自我国古代数学名著《九章算术》 (1 世纪) 、 《张丘建算经》 (5 世纪) ,学生在理解题意后可通过等差数列的通 项公式、前 n 项和公式便捷获解。我们在教学中,要很好地发挥数学科学本身所固有的人文价值功能,挖掘数学中的文化气息, 欣赏数学的美,培养学生的创新个性,在数学新课程理念指导下,大力弘扬人文精神,积极介绍数学文化,做到科学与人文精 神的有机整合。帮助学生“初步了解数学科学与人类社会之间的相互作用,体会数学科学价值、应用价值、人文价值,开阔视 野,寻求数学进步的历史轨迹,激发对于数学创新原动力的认识,受到优秀文化的熏陶,领会数学的美学价值,从而提高自身 的文化素养和创新意识” 。



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