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自己整理高中数学全程复习方略第二章



第二章 章末总结/阶段复习课

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【备选答案】 A.到两定点F1,F2的距离之差的

E A F G D C B

绝对值为常数 2a(2a<| F1F2|) 的点的轨迹 C.相交
2 2

B.相切 D.离心率 e=1

E.x

? y ?( 1 a>b>0) , 2 2

a b 2 y x2 ? 2 ?( 1 a>b>0) 2 a b
F.当焦点在 x轴上时 x的 范围为 x≥ a,x≤ -a

G. y2=〒2px( p>0), x2=〒 2py( p> 0)

基础知识梳理
1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某 曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实 数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解. (2)以这个方程的解为坐标的点都是 曲线 上的点 .那么这个方程叫做曲线的方程,这 条曲线叫做 方程的曲线 .

基础知识梳理
如果只满足第(2)个条件,会出 现什么情况? 【思考· 提示】 若只满足“以这 个方程的解为坐标的点都是曲线上 的点”,则这个方程可能只是部分曲 线的方程,而非整个曲线的方程, 如分段函数的解析式.

基础知识梳理
2.直线与圆锥曲线的位置关系
设直线 l: Ax+By+C=0, 圆锥曲线:
?Ax+By+C=0, 2 ? f(x,y)=0,由 得 ax ?f(x,y)=0,

+bx+c=0.

基础知识梳理
(1)若a≠0,Δ=b2-4ac,则 ①Δ>0,直线l与圆锥曲线有 两交点. ②Δ=0,直线l与圆锥曲线有 一 公共点. ③Δ<0,直线l与圆锥曲线 无 公共点. (2)若a=0,当圆锥曲线为双曲线时,l与双 曲线的渐近线 平行;当圆锥曲线为抛物线时,l 与抛物线的对称轴 平行 .

基础知识梳理
3.弦长公式 直线 l:y=kx+b,与圆锥曲线 C:F(x,y)=0 交于 A(x1, y1), B(x2, y2)两点, 则|AB|= 1+k2 |x1 - x2| = 1+k2 · (x1+x2)2-4x1x2 或 |AB| = 1 1+ 2|y1-y2|= k 1 1+ 2 (y1+y2)2-4y1y2 . k

三基能力强化
1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x 只有一个公共点,这样的直线有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案:B

三基能力强化
2.已知两定点A(-2,0),B(1,0), 如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨 迹所围成的图形的面积等于( ) A.π B.4π C.8π D.9π 答案:B

三基能力强化
x2 y2 3. 直线 y=kx-k+1 与椭圆 + 9 4 =1 的位置关系为( )

A.相交 C.相离 答案:A

B.相切 D.不确定

三基能力强化
4.(2009 年高考上海卷)过点 A(1,0) π 2 作倾斜角为 的直线,与抛物线 y =2x 4 交于 M、N 两点,则|MN|=________.
答案:2 6

三基能力强化
x 5. 设 P 为双曲线 -y2=1 上一动点, 4 O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则 点 M 的轨迹方程是 ______________.
2

答案:x2-4y2=1

圆锥曲线定义的应用
【技法点拨】 圆锥曲线定义的应用技巧 (1)在求点的轨迹问题时,若所求轨迹符合圆锥曲线的定义, 则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程.

(2)焦点三角形问题,在椭圆和双曲线中,常涉及曲线上的
点与两焦点连接而成的“焦点三角形”,处理时常结合圆锥曲 线的定义及解三角形的知识解决. (3)在抛物线中,常利用定义,以达到“到焦点的距离”和 “到准线的距离”的相互转化.

【典例1】(1)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2-6x+5=0都外切, 则动圆圆心的轨迹为( (A)抛物线 (C)双曲线的一支 ) (B)双曲线 (D)椭圆

(2)(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是 该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的 距离为( (A )
3 4

) (B )1 (C )
5 4

(D )

7 4

【解析】(1)选C.x2+y2=1是以原点为圆心,半径为1的圆,x2+ y2-6x+5=0化为标准方程为(x-3)2+y2=4,是圆心为A(3,0), 半径为2的圆.设所求动圆圆心为P,动圆半径为r,如图,则
|PO| ? r ?1 ? |PA|| ? PO| ? 1<|AO| ? 3,符合双曲线的定义,结 ?? |PA| ? r ? 2?

合图形可知,动圆圆心的轨迹为双曲线的一支.

(2)选C.过A,B分别作准线l的垂线AD,BC,垂足分别为D,C,
M是线段AB的中点,MN垂直准线l于N,由于MN是梯形ABCD的中

位线,
y C N
·M

B

O
D
A

F

x

|AD|| ? BC| 所以 MN = . 2

由抛物线的定义知|AD|+|BC|=|AF|+|BF|=3,所以|MN|=
1 3 x = ? , 又由于准线l的方程为 所以线段AB中点到y轴的距离 , 4 2 为 3 ? 1= 5, 2 4 4

故选C.

【思考】解答题1的注意问题及解答题2的关键点. 提示:(1)解答题1应注意由双曲线的定义判断是双曲线的一 支还是双曲线. (2)解答题2的关键点是作出图形后再利用抛物线的定义构造 几何图形求解.

圆锥曲线的方程 【技法点拨】 1.求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定 式,再定量”的步骤.

(1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.

(2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应

用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为
mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关 系,通过解方程得到量的大小.

2.求椭圆、双曲线的标准方程
最常用方法为定义法、待定系数法,求解时注意有两个定形条

件(如已知a,b,c,e中的任意两个)和一个定位条件(对称轴、
x 2 y2 焦点或准线等).对于双曲线要注意双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0, b>0) a b 与渐近线 x ? y ? 0 的关系,这两条渐近线方程可以合并表示为 a b 2 2 x 2 y2 x y 一般地,与双曲线 2 ? 2 ? 1 有共同渐近线的双曲 ? 2 ? 0, 2 a b a b 2 2 x y 线方程是 ? 2 ? ? ? ? ? 0 ?. 2 a b

3.求抛物线标准方程 需一个定位条件(如顶点坐标、焦点坐标或准线方程),以及 一个定形条件(即已知p).

4.几个注意点 (1)在求解对应圆锥曲线方程时,还要特别注意隐含条件, 如双曲线有c2=a2+b2,椭圆有a2=b2+c2. (2)“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念,“求轨

迹”除了首先要求我们求出方程,还要说明方程轨迹的形状,
这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如

指掌.

2 2 x y 【典例2】(1)已知点P(3,-4)是双曲线 2 ? 2 =1(a>0,b>0) a b

渐近线上的一点,E,F是左、右两个焦点,若 EP FP=0, 则双 曲线方程为(
x 2 y2 (A) ? ? 1 3 4 2 2 x y (C) ? ? 1 9 16

)
x 2 y2 (B) ? ? 1 4 3 2 2 x y (D) ? ? 1 16 9

(2)(2011·新课标全国高考)在平面直角坐标系xOy中,椭圆 C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为
2 . 过F1的直 2

线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为____.

【解析】(1)选C.不妨设E(-c,0),F(c,0),则 EP FP ? (3+c,-4)·(3-c,-4)=25-c2=0,所以c2=25.可排除A、B. 又由D中双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3 x, 点P不在其上,排除D,
4

故选C. (2)设椭圆方程为
x 2 y2 ? 2= 1? a ? b ? 0 ?. 2 a b 因为离心率为 2 , 2

2 b2 所以 ? 1? 2, 2 a
2 b 解得 = 1 , 即a2=2b2. a2 2

又△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|

=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|
=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)

=2a+2a=4a,

所以4a=16,a=4,所以 b=2 2,
2 2 x y 所以椭圆方程为 ? = 1. 16 8

答案:x ? y =1
16 8

2

2

【想一想】解答题1的方法有哪些?解答题2的关键点是什么? 提示:(1)解答题1可利用排除法,也可利用待定系数法直接

求解.
(2)解答题2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义

转化为与长轴长2a的关系.

圆锥曲线的性质及应用 【技法点拨】 圆锥曲线性质的求解方法 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,主要指图形的范围、对称 性,以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐 近线以及几何元素a,b,c,e之间的关系等.

1.离心率 求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形,寻找与a,b,c有

关的关系式.
对于求椭圆和双曲线的离心率,有两种方法: (1)代入法就是代入公式 e ? c 求离心率;(2)列方程法就
a

是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式,然后把这个关系式 整体转化为关于e的方程,解方程即可求出e值.

2.范围
解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系,如曲线方程中 x,y的范围.常用方法也有两个.(1)解不等式法,即根据题设 条件列出关于待求量的不等式,解不等式即得其取值范围; (2)求函数值域法,即把待求量表示成某一变量的函数,函 数的值域即为待求量的取值范围.

3.最值
圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图 形面积等.研究的常见途径有两个:(1)利用平面几何中的最 值结论;(2)把几何量用目标函数表示出来,再用函数或不 等式知识求最值.建立“目标函数”,借助代数方法求最值, 要特别注意自变量的取值范围.

【典例3】(2011·福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别为
F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶ 3∶2,则曲线C的离心率等于(
1 3 (A ) 或 2 2

)
3

(B ) 2 或 2 (D ) 2 或 3
3 2

(C ) 1 或 2
2

【解析】选A.设|F1F2|=2c(c>0),
由已知|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,
4 得 PF1 = 8 c, 且|PF1|>|PF2|, PF2 = c, 3 3

若圆锥曲线C为椭圆,则2a=|PF1|+|PF2|=4c, 离心率 e= c = 1 ;
a 2

若圆锥曲线C为双曲线, 则 2a= PF1 ? PF2 = 4 c,离心率 e= c = 3 .
3 a 2

【归纳】解答本题的注意点. 提示:解答本题对已知条件利用时,要分类讨论,同时注意对 椭圆及双曲线定义的理解.

直线与圆锥曲线 【技法点拨】 1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路 直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解

的讨论,即联立方程组
?Ax ? By ? C ? 0, 通过消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+ ? ? 0, ?f(x, y)

bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a≠0两种情况,对 双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a≠0,Δ =0外, 直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重 合时,都只有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情 况).

2.中点弦问题的常规处理方法 (1)通过方程组转化为一元二次方程,结合根与系数的关系及 中点坐标公式进行求解; (2)点差法,设出两端点的坐标,利用中点坐标公式求解; (3)中点转移法,先设出一个端点的坐标,再借助中点设出另

一个端点的坐标,而后消去二次项.

3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法
利用弦长公式求解:直线l:y=kx+b与圆锥曲线交于A(x1,y1)、

B(x2,y2),则弦长为
2 2 |AB| ? (x1 ? x 2)( ? y1 ? y 2) 2 ? 1 ? k| x1 ? x| 2 2 ? 1 ? k 2 (x1 ? x 2) ? 4x1x 2

1 ? 1? 2 |y1 ? y| 2. k

(1)当斜率k不存在时,可求出交点坐标,直接利用两点间距离 公式求解.

(2)利用圆锥曲线的定义求解:求经过圆锥曲线的焦点的弦的
长度,应用圆锥曲线的定义,转化为两个焦半径之和求解.

【典例4】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且 点F(2,0)为其右焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点, 且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存

在,说明理由.

x 2 y2 【解析】(1)依题意,可设椭圆C的方程为 2 ? 2 ?( 1 a>b>0) , a b

且可知左焦点为F′(-2,0).
c?2 从而有 ? ? |AF|| ? AF | ? ? 3 ? 5 ? 8, ?2a ? c ? 2, 解得 ? ? ?a ? 4,

又a2=b2+c2,所以b2=12,
2 2 x y 故椭圆C的方程为 ? ? 1. 16 12

(2)不存在.假设存在符合题意的直线l,其方程为 y ? x ? t.
3 ? y ? x ? t, ? 2+3tx+t2-12=0, 2 由 ? 得 3x ? 2 2 x y ? ? ? 1, ? ? 16 12

3 2

因为直线l与椭圆C有公共点, 所以Δ=(3t)2-4〓3(t2-12)≥0,
解得 ?4 3 ? t ? 4 3.

|t| ? 4, 另一方面,由直线OA与l的距离d=4可得 9 ?1 4

从而

t ? ?2 13,

由于 ?2 13 ? [? 4 3,4 3], 所以符合题意的直线l不存在.

【归纳】本题考查了哪几种能力?解题中容易忽视的地方是什 么?

提示:本题主要考查了运算求解能力、推理论证能力,解题中
容易忽略Δ≥0,而导致出错.

分类讨论思想

【技法点拨】
分类讨论思想的认识及应用 分类讨论思想,实际上是“化整为零,各个击破,再积零为整” 的策略.分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技 巧,做到确定对象的全体,明确分类的标准,不重不漏地讨论 .

【典例5】椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e ? 3 ,

已知点 P(0, 3 ) 到这个椭圆上点的最远距离为 7,求这个椭圆方
2

2

程,并求椭圆上到点P的距离为 7 的点的坐标.
x 2 y2 【解析】设椭圆方程为 2 ? 2 ?( 1 a>b>0) , a b c 3 3 e? ? ,? c2 ? a 2 , a 2 4 x 2 y2 2 2 2 由a =b +c 得a=2b,故椭圆方程可化为 2 ? 2 ?( 1 b>0) , 设M(x,y) 4b b

是椭圆上任意一点,则x2=4b2-4y2.

3 2 9 9 2 ? |PM| ? x2 ? (y ? ) ? 4b 2 ? 4y 2 ? y 2 ? 3y ? ? ?3y 2 ? 3y ? ? 4b 2 2 4 4 1 2 ? ?( 3 y? ) ? 3 ? 4b 2 . 2 1 ∵-b≤y≤b(讨论 与[-b,b]间的关系), 2 2 若 b ? 1 , 则当 y ? ? 1 时, |PM| ? 3 ? 4b ? 7,? b ? 1. max 2 2

若 0<b< 1 , 则当y=-b时,
2

3 2 |PM| ? ( b ? ) ? 7, max 2 3 3 1 ? |b ? | ? 7, b ? 7 ? 与b< 矛盾. 2 2 2 2 x 综上所述b=1,故所求椭圆方程为: ? y 2 ? 1. 4 1 时, y ? ? ,? x ? ? 3. |PM| ? 7 max 2
1 ( ? 3, ? ). 2

1 ∴椭圆上到P点的距离为 7 的点有两个,分别为 ( 3, ? ), 2

【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的?
提示:分类讨论解题的一般步骤为:

①确定分类标准及对象;
②进行合理地分类; ③逐类进行讨论; ④归结各类结果.

1.方程2x2-5x+2=0的两个根可分别作为( (A)一椭圆和一双曲线的离心率 (B)两抛物线的离心率 (C)一椭圆和一抛物线的离心率 (D)两椭圆的离心率

)

1 又由椭圆离 【解析】选A.方程2x2-5x+2=0的两个根分别为 2, , 2

心率大于0小于1,双曲线离心率大于1,抛物线离心率等于1可 得,选A.

2 2 2 2 x y x y 2.椭圆 ? ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦点,则a的值 4 a2 a 2

是( (A )2

) (B )1 (C ) 2 (D )3

2 2 2 2 x y x y 【解析】选B.因椭圆 ? 2 ? 1 与双曲线 ? ? 1 有相同的焦 4 a a 2

点,所以有0<a<2且4-a2=a+2得a2+a-2=0,得a=1.

3.求过定点A(-5,0)且与圆x2+y2-10x-11=0相外切的动圆的

圆心轨迹是(

)
2 2 x y (B) ? ?( 1 x ? ?3) 9 16 2 2 x y (D) ? ?( 1 x ? ?3) 16 9

2 2 x y (A) ? ?( 1 x ? 3) 16 9 2 2 x y (C) ? ?( 1 x ? 3) 9 16

【解析】选B.x2+y2-10x-11=0化为标准形式是(x-5)2+y2= 36,则圆心为B(5,0),半径为6,设动圆的圆心为M(x,y), 则当两圆外切时,有|MB|=6+|MA|,则|MB|-|MA|=6,

符合双曲线定义,M为双曲线左支,其中2a=6,2c=10,则b=4,
2 2 x y 所以双曲线方程为 ? ?( 1 x ? ?3). 9 16

4.(2012·新课标全国高考)等轴双曲线C的中心在原点,焦

点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=
4 3,则C的实轴长为(

)

(A ) 2

(B)2 2

(C )4

(D )8

2 2 x y 【解析】选C.设双曲线的方程为 2 ? 2 ?( 1 a ? 0),抛物线的准 a a

线为x=-4,且 AB ? 4 3, 故可得 A( ? 4,2 3),B( ? 4, ?2 3), 将点A坐 标代入双曲线方程得a2=4,故a=2,故实轴长为4.

5.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(?2 3,, 0) 且长轴长是短 轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是_______. 【解析】依题意,得 c=2 3, 2a=2·2b,即a=2b,又a2=b2+

c2,解之得a=4,b=2.∴椭圆标准方程为
x 2 y2 答案: ? =1 16 4

x 2 y2 ? = 1. 16 4

2 2 x y 6.设双曲线: 2 ? ?( 1 a>0) 的焦点为F1,F2,离心率为2,则 a 3

双曲线的渐近线方程是________.
2 a ?3 【解析】由已知双曲线的离心率为2得, ? 2, 解得a2=1, a 2 2 2 y 代入双曲线方程 x2 ? y ? 1中得, x 2 ? ? 1, 所以渐近线方程为 3 a 3

3x ? y ? 0和 3x ? y ? 0.

答案: 3x ? y ? 0和 3x ? y ? 0

2 x 7.直线l:y=kx+1与曲线C: ? y 2 ? 1 交于M,N两点,当|MN| 2 4 2 时,求直线l的方程. ? 3 ? y ? kx ? 1 2)x2+4kx=0,解得x = 【解析】由 ? 消去 y 得( 1+2k 2 1 ?x 2 ? ? y ?1 ?2 ?4k (x1,x2分别为M、N的横坐标),由|MN|= 0, x 2 ? 1 ? 2k 2

?4k 4 2 解得k=〒1,代入y=kx+1 2 2 1 ? k| x1 ? x| ? 1 ? k | | ? , 2 2 1 ? 2k 3

得x+y-1=0或x-y+1=0, 综上所述,所求直线方程是x+y-1=0或x-y+1=0.

2 2 2 2 x y x y 8.已知椭圆 ? 2 ? 1 有公共的焦点. ? 2 ? 1 和双曲线 2 2 2m 3n 3m 5n

(1)求双曲线的渐近线方程;
(2)直线l过焦点且垂直于x轴,若直线l与双曲线的渐近线围

成的三角形的面积为 3 , 求双曲线的方程.
4

【解析】(1)依题意,有3m2-5n2=2m2+3n2, 即m2=8n2,即双曲线方程为
x2 y2 ? ?1 , 16n 2 3n 2

2 2 x y 故双曲线的渐近线方程是 ? 2 ? 0, 2 16n 3n

即 y ? ? 3 x.
4

(2)不妨设渐近线 y ? ? 3 x 与直线l:x=c交于点A、B,则
4
|AB| ? 3c 1 3 3 解得c=1. ,S△OAB ? c c? , 2 2 2 4 a 4 19 19

即a2+b2=1,又 b ? 3 ,a 2 ? 16 ,b2 ? 3 ,
2 2 19x 19y ∴双曲线的方程为 ? ? 1. 16 3

课堂互动讲练
考点一 求动点的轨迹方程

求轨迹方程的常用方法: (1)直接法:直接利用条件建立 x,y之间的关系f(x,y)=0. (2)待定系数法:已知所求曲线的 类型,先根据条件设出所求曲线的方 程,再由条件确定其待定系数.

课堂互动讲练
(3)定义法:先根据条件得出动点的轨 迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接 写出动点的轨迹方程. (4)相关点法:动点P(x,y)依赖于另一 动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0, y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代 数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线 得要求的轨迹方程.

课堂互动讲练
(5)参数法:当动点P(x,y)的坐标 之间的关系不易直接找到,也没有相 关点可用时,可考虑将x,y均用一中 间变量(参数)表示,得参数方程,再 消去参数得普通方程.

课堂互动讲练
例1 已知 A(-1,0),B(1,4),在平面上
动点 Q 满足QA· QB=4, 点 P 是点 Q 关 于直线 y=2(x-4)的对称点,求动点 P 的轨迹方程.

→ →

课堂互动讲练
【思路点拨】 由已知易得动点 Q的轨迹方程,然后找出P点与Q点的 坐标关系,代入即可.
【解】 法一:设 Q(x, y),

则QA= (- 1-x,-y), QB= (1-x,4- y), 故由QA · QB = 4 ? (- 1- x)(1- x) + (- y)(4- y)=4,





→ →

课堂互动讲练
即x2+(y-2)2=32. 所以点Q的轨迹是以C(0,2)为圆 心,以3为半径的圆. ∵点P是点Q关于直线y=2(x-4) 的对称点. ∴动点P的轨迹是一个以C0(x0, y0)为圆心,半径为3的圆,其中 C0(x0,y0)是点C(0,2)关于直线y=2(x -4)的对称点,即直线y=2(x-4)过 CC0的中点,且与CC0垂直,

课堂互动讲练
? y0- 2 ? ×2=-1 ?x0- 0 于是有? x0+ 0 ?y0+ 2 =2( -4) ? ? 2 2



?2y0+ x0- 4=0 ?x0= 8 即? ?? . ?y0- 2x0+ 18= 0 ?y0=- 2

故动点 P 的轨迹方程为 (x- 8)2+ (y+ 2)2=9.

课堂互动讲练
法二:设 Q(x, y), 则QA= (- 1-x,-y), QB= (1-x,4- y), 故由QA · QB = 4 ? (- 1- x)(1 - x)+ (- y)(4- y)= 4,





→ →

即x2+(y-2)2=32(*) 设点P的坐标为P(u,v), ∵P、Q关于直线l:y=2(x-4)对称,

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∴PQ 与直线 l 垂直,于是有 v- y 1 =- ① 2 u- x 因为 PQ 的中点在 l 上,所以有 y+ v x+ u =2( -4) ② 2 2
? ?x= 1(- 3u+ 4v+ 32) ? 5 由①②可解得? 1 ? y= (4u+ 3v-16) ? ? 5



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代入方程(*)得 (-3u+4v+32)2+(4u+3v-26)2=(3〓5)2, 化简得u2+v2-16u+4v+59=0 ?(u-8)2+(v+2)2=9. 故动点P的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=32. 【规律小结】 求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).

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(3)列式——列出动点P所满足的关 系式. (4)代换——依条件式的特点,选用 距离公式、斜率公式等将其转化为x,y 的方程式,并化简. (5)证明——证明所求方程即为符合 条件的动点轨迹方程.



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