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3.1.2用二分法求方程的近似解4



在八个大小形状完全一样的银元中有一个是假银元,
已知假银元比真银元稍轻点儿。现在只有一个天平, 如何找出假银元?

思考,探究, 发现 一元二次方程可以用公式求根, 如何求方程lnx+2x-6=0的根呢? y ↓



8

转 ______________ y=f(x)有零点 化 方

程f(x)=0有根等价于函数 求方程的根就是找对应函数的零点 ______________
6 4 2

f(x)=lnx+2x-6

找函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点.

-10

-10

-5

-5

0
-2 -4

5

5

10

10

函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是一条 连续不断 的曲线,且___________ f(a)?f(b)<0时 ___________ ,则函数在区间(a,b)上有零点。
-6 -8


x

找函数f(x)=lnx+2x-6的零点近似值(精确度为0.1)
区间[a,b] a 2.00000 2.50000 2.50000 2.50000 2.50000 2.53125 2.53125 b 3.00000 3.00000 2.75000 2.62500 2.56250 2.56250 2.54688 区间中点c 2.50000 2.75000 2.62500 2.56250 2.53125 2.54688 2.53907 f(c) -0.0831 0.51160 0.21508 0.06598 -0.00879 0.02862 0.00993
2 2.5

2.75

3

因为︱2.5-2.5625︱=0.0625 <0.1时,2.5(或2.5625)就是方程 lnx+2x-6=0的近似解 2.5 根 2.5625

二分法定义:
对于在区间 [a,b]上连续不断且_____ f(a)· f(b)<0的函数 _________
y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,

使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方
法叫做二分法 .

归纳:用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤: 1.确定区间[a,b],验证f(a )· f(b)﹤0,给定精确度m; 2.求区间(a,b)的中点c; 3.计算f(c);

(1)若f(c)=0, 则c就是函数的零点。 (2)若f(a)· f(c)﹤0,
则令b=c(此时零点

(3)若f(c)· f(b)﹤0,

x 0 ∈(a,c));

则令a=c(此时零点 x 0 ∈(c,b);

4.判断是否达到精确度;若︱ a-b︱﹤m则得到零点 近似值a(或b);否则重复2~4。

应用:利用计算器求方程2 x+3x=7的近似解(精确度0.1)。
作出函数的对应值表与图象 解:原方程即为2 x+3x-7=0,令f(x)= 2 x+3x-7。
x f(x)=2x+3x-7 0 -6 1 -2 2 3 3 10 4 21 5 40 6 75 7 8 ↑y
3

142 273

y
f(x)= 2 x+3x-7

可知f(1)· f(2)<0,说明在区间(1,2)内有零点。 通过计算得下表
区间[a,b] a 1 1 1.25 1.375 1.375 b 2 1.5 1.5 1.5 1.4375 中点c 1.5 1.25 1.375 1.4375 1.40625 f (c ) 0.328427125 -0.87158577 -0.281320891 0.021011094 -0.13078 -1 0
-1 1 2


2

1

2

x

因为︱1.375-1.4375 ︱ =0.0625<0.1
-2

所以原方程的近似解可取1.4375

练习:
1.下列函数图象均与x轴有交点其中不能用二分法求图中 函数零点的图号是( AC )

2。某方程有一无理根在 区间D=(0,3)内,若用二分 5 次后, 法求此根的近似值,将区间D至少等分 ___ 所得近似值可精确到0.1。

课堂小结
1.什么是二分法;

2.用二分法求方程近似解的步骤。

作业: 借助计算器,用二分法求方程x=3-lgx在 区间(2,3)内的近似解(精确度0.1) 。



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