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人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件:2-5 指数与指数函数



高三总复习

人教A 版 · 数学 (理)

第五节 指数与指数函数

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1.了解指数函数模型的实际背景.

2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂
的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解

指数函数的单调 性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型.

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1.根式的概念 一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的

n次方根

(n>1

n n 且 n∈N*),记为 a,式子 a叫做 根式 ,其中 n 叫做 根指数 , a 叫做 被开方数 . (1)当 n 是奇数时,正数的 n 次方根是一个 正数 , 负数的 n 次 方根是一个

负数

,零的 n 次方根是 零 .

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当 n 是偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们的关系为互为 n 相反数,用符号表示为± a. 负数无(填“有”“无”)偶次方根. (2)两个重要公式:

?a,n为奇数, n n ? ?a,a≥0, ① a =? ? ?|a|=?-a,a<0, n为偶数. ? ? ?

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n n ②( a)n= a (其中 a有意义). 2.有理指数幂 (1)分数指数幂的表示: ①正数的正分数指数幂是

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②正数的负分数指数幂是

③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质: ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

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3.指数函数 (1)一般地,函数 y=ax(a>0且a≠1) 自变量 ,函数的定义域为 R . (2)指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1 叫做指数函数,其中x是

图象

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定义域
值域

(-∞,+∞)
(0,+∞) ①过定点(0,1) ②当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1 ②当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1

性质

③在(-∞,+∞) 上是增函数

③在(-∞,+∞)上 是减函数

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(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的

关系
如右图所示,a、b、c、d的大小关系为 0<c<d<1<a<b .

(4)指数函数y=ax与y=()x(a>0且a≠1)的图象关系为 关于y轴对称 .

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1.化简 16x8y4(x<0,y<0)得( A.2x2y C.4x2y
4
8 4 8 4 1 4

4

) B.2xy D.-2x2y
8 4 1

解析:∵ 16x y =(16x y )4=[2 (-x) · (-y) ]4
1 1 1 4× 8× 4× =2 4· (-x) 4· (-y) 4

=2(-x)2(-y)=-2x2y.

答案:D

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2.将指数函数 f(x)的图象向右平移一个单位,得到如右图所 示的 g(x)的图象,则 f(x)=( A.2x 1x C.( ) 2 )

B.3x 1x D.( ) 3

解析:设f(x)=ax,则g(x)=ax-1,由g(x)图象过(2,2)点可知,a2-1 =2,∴a=2.∴f(x)=2x. 答案:A

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3.设指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1),则下列等式不正确的 是( ) A.f(x+y)=f(x)· f(y) B.f[(xy)n]=fn(x)· (y) fn f(x) C.f(x-y)= f(y) D.f(nx)=fn(x)

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答案:B

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4.函数f(x)=3-x-1的定义域、值域是( A.定义域是R,值域是R B.定义域是R,值域是(0,+∞) C.定义域是R,值域是(-1,+∞)

)

D.以上都不对
1x 解析:∵y=3 =( ) ,其定义域为 R,值域为(0,+∞), 3
-x

∴f(x)=3 x-1 的定义域为 R,值域为(-1,+∞).



答案:C

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5 . 函 数 y = ax

+ 2009

+ 2010(a>0 且 a≠1) 的 图 象 恒 过 定 点

__________.
解析:∵y=ax(a>0,且a≠1)恒过定点(0,1), ∴y=ax+2009+2010恒过定点(-2009,2011). 答案:(-2009,2011)

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热点之一

指数与指数运算

1.化简原则

(1)化负指数为正指数;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数; (4)注意运算的先后顺序. 2.结果要求 (1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示; (2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示; (3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负

指数幂.

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[例1]

求值或化简:

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[课堂记录]

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[思维拓展]

指数式化简和求值分为两类:有条件的和无条件的,

无条件的指数式可直接化简,有条件的应把条件和结论相结合再进行
化简求值.

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即时训练

化简下列各式:(其中各字母均为正数)

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热点之二

指数函数的图象及应用

利用指数函数图象经过平移、对折、翻转等途径,作出指数型函
数图象,借助指数函数的性质解决问题,常见的问题有:利用变换后 的图象比较函数值的大小,确定最值或单调区间,有时给出函数图象 求参数的取值(或取值范围).题型多为选择题、填空题,在综合题的分 析过程中,也常借助于函数图象.

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1 |x+1| [例 2] 已知函数 y=( ) 3 (1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出当 x 取什么值时函数有最值.
[思路探究]

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[课堂记录]

(1)由已知可得

?(1)x+1 (x≥-1) 1 |x+1| ? 3 y=( ) =? , 3 +1 ? 3x (x<-1) ?
其图象由两部分组成: 向左平移 1x 一部分是:y=( ) (x≥0) ――→ 3 1个单位 1 x+1 y=( ) (x≥-1); 3

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向左平移 + 另一部分是:y=3 (x<0) ――→ y=3x 1(x<-1). 1个单位
x

图象如下图:

(2)由图象知函数在(-∞,-1]上是增函数,在(-1, +∞)上是减函数. (3)由图象知当 x=-1 时,函数有最大值 1,无最小值.

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即时训练

若曲线|y|=2x +1与直线y=b没有公共点,则b的取

值范围是________.

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解析:分别作出曲线和直线的图象,通过图象的交点个数来判断

参数的取值范围.
曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如右图所示,由图象可得|y|=2x +1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1]. 答案:[-1,1]

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热点之三

指数函数的性质及应用

对指数函数的直接考查并不多,多的是考查指数函数型的复合函
数,考查这类复合函数的定义域、值域、单调性,或者涉及指数式的 二次函数的定义域、值域、单调性,此类问题一般较复杂,解决问题 过程中注意知识的迁移,关键还是指数函数性质的应用及有关指数幂 的运算.

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[例3]

已知2x2+x≤()x-2

,求函数y=2x-2-x的值域.

[思路探究] 先对2x2+x≤()x-2

化简,根据指数函数的性质求出

函数的定义域,再根据函数的单调性求解. [课堂记录] ∵2x2+x 2-2(x-2),∴x2+x≤4-2x,

即x2+3x-4≤0,得-4≤x≤1. 又∵y=2x-2-x在[-4,1]上为增函数, ∴2-4-24≤y≤2-2-1.
255 3 故所求函数y的值域是[- , ]. 16 2

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即时训练

已知函数f(x)=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在区间[-1,1]

上的最大值为14,求实数a的值.
解:f(x)=a2x+2ax-1=(ax+1)2-2, ∵x∈[-1,1], 1 (1)当 0<a<1 时,a≤a ≤ , a
x

1 ∴当 a = 时,f(x)取得最大值. a
x

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1 ∴( +1)2-2=14, a 1 1 1 ∴ =3 或 =-5(舍去),∴a= . a a 3 1 (2)当 a>1 时, ≤ax≤a, a ∴当 ax=a 时,f(x)取得最大值. ∴(a+1)2-2=14,∴a=3 或 a=-5(舍去). 1 综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3

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热点之四

指数函数的综合应用

指数函数的综合应用主要是指与指数函数有关的复合函数或与指
数式有关的函数,常见的问题有: 1.解指数方程式、指数不等式. 2.利用指数函数图象、性质解决有关的综合问题. 3.利用指数函数求解有关参数取值的问题.

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[例 4] 已知 f(x)=

a - (ax-a x)(a>0 且 a≠1). 2 a -1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立.求 b 的取值范围.
[思路探究] 断; (2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解决; (3)恒成立问题关键是探求 f(x)的最小值. (1)首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判

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[课堂记录]

(1)函数定义域为 R,关于原点对称.

a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,


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从而y=ax-a-x为增函数,

所以f(x)为增函数.
当0<a<1时,a2-1<0, y=ax为减函数,y=a-x为增函数,从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a>0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.

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(3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), a - ∴f(x)min=f(-1)= 2 (a 1-a) a -1 a 1-a = 2 · =-1, a a -1
∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1].
2

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[思维拓展]

本节内容在高考中的重点是指数函数的图象、性质

及简单的应用,但幂的运算是解决与指数有关问题的基础,也要引起
重视,另外分类讨论思想也是考查的另一重点.

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即时训练

a·x+a-2 2 设函数 f(x)= 为奇函数.求: x 2 +1

(1)实数 a 的值; (2)用定义法判断 f(x)在其定义域上的单调性.

解:(1)依题意,函数 f(x)的定义域为 R, ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), a· x+a-2 2 a·x+a-2 2 ∴ =- , - 2 x+1 2x+1 ∴2(a-1)(2x+1)=0,∴a=1.


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2x-1 (2)由(1)知,f(x)= x , 2 +1 设 x1<x2 且 x1,x2∈R, 2x2-1 2x1-1 则 f(x2)-f(x1)= - 2x2+1 2x1+1 2 2 =(1- )-(1- ) 2x2+1 2x1+1 2(2x2-2x1) = >0, (2x2+1)(2x1+1) ∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在 R 上是增函数.

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指数函数在新课标中占有十分重要的地位,因此高考对指数函数
的考查有升温趋势.重点是指数函数的图象与性质,以及指数函数的 实际应用问题,但幂的运算是解决与指数有关问题的基础,也要引起 重视.

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1 [例 5] (2008· 上海高考)已知函数 f(x)=2 - |x|. 2
x

(1)若 f(x)=2,求 x 的值; (2)若 2tf(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值 范围.

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[解] (1)当 x<0 时,f(x)=0; 1 当 x≥0 时,f(x)=2x- x. 2 1 由条件可知 2 - x=2, 2
x

即 22x-2·x-1=0,解得 2x=1± 2. 2 ∵2x>0,∴x=log2(1+ 2).

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1 1 t (2)当 t∈[1,2]时,2 (2 - 2t)+m(2 - t)≥0, 2 2
t 2t

即 m(22t-1)≥-(24t-1). ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1). ∵t∈[1,2],∴-(1+22t)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞).

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1.(2010·广东)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为
R,则( )

A.f(x)与g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

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解析:∵f(-x)=3-x+3x=f(x),

∴f(x)为偶函数,
而g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 答案:B

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2.(2010· 上海)若 ( )
?2 ? A.?3,1? ? ? ?1 1? C.?3,2? ? ?

?1?x 1 ? ? =x x0 是方程 2 3 ? ?

的解,则 x0 属于区间

?1 2? B.?2,3? ? ? ? 1? D.?0,3? ? ?

?1?x 1 解析:由 y=?2? 和 y=x 3 ? ?

?1 1? 的图象可知,x0∈?3,2?,故选 C. ? ?

答案:C

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4x+1 3.(2010· 重庆)函数 f(x)= x 的图象( 2 A.关于原点对称 B.关于直线 y=x 对称 C.关于 x 轴对称 D.关于 y 轴对称

)

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解析:∵f(-x)=2-x+=2x+=f(x),
∴f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称. 答案:D

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