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高2013级高三上期一周一练(1)



高级中学 2013 级高三上期一周一练(1)

数学试题(理工类)2012.09.07
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50)各题答案必需答在答题卡上。
1.设复数 z 满足 iz ? 2 ? i ,则 z ? (A) ?1 ? 2i
x

(B)1 ? 2i

(C)1 ? 2i

(D) ?1 ? 2i

2.曲线 y ? e 在点 A(0,1)处的切线斜率为

1 (C)1 e 3.函数 f (x) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为
(A) e (B) (A)(3,+∞) (B)(2,3)

(D)2

(C)(1,2)

(D)(0,1)

4.已知 a ? ? ?3,2 ?, b ? ? ? ? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实数 ? 的值为 1,0 (A) ? 5.

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

? (e
0

1

x

? 2 x)dx ?
(B) e ? 1 (C) e (D) e ? 1 ) 条件

(A)1

6.“函数 y ? f (x) 在一点的导数值为 0 ”是“函数 y ? f (x) 在这点取极值”的( (A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要
7 6

(D)既不充分也不必要
4

7.当 x ? 2 时,用秦九韶算法计算多项式 f ? x ? ? 8x ? 5x ? 3x ? 2x ?1 的值,不会出现的是 (A)174 (B) 696
2 2

(C) 348

(D)1397

8.已知离心率为 e 的双曲线 (A)

3 4

x y ? ? 1 ,其右焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点重合,则 e 的值为 2 a 7 4 4 23 23 (B) (C) (D) 3 23 4

9.在空间内,设 l , m, n 是三条不同的直线,? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列命题中为假命题的是 (A)? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,则 l ? ? (B) l // ? , l // ? , ? ? ? ? m ,则 l // m (C) ? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // m ,则 l // n (D) ? ? ? , ? ? ? ,则? ? ? 或? // ?

数 周考试 第1 页 共8页 学 题 ( )

?x ? 0 ? 2 10.已知不等式组 ? y ? 0 表示平面区域 D,往抛物线 y ? ? x ? x ? 2 与 x 轴围成的封闭区域内随 ?2 x ? y ? 1 ? 0 ?
机地抛掷一粒小颗粒,则该颗粒落到区域 D 中的概率为

1 1 1 1 (B) (C) (D) 9 18 3 6 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)把答案填写在答题卡相应位置上.
(A) 11.若 ( x ?

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为 x
1 11 , cos(? ? ? ) =- ,则 ? = 7 14


开始

12.已知?、? 为锐角,且 cos? =

13.某学校开设 A 类选修课 3 门,B 类选修课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要 求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有

输入 a, b

14. 定义运算⊙: S ? a ⊙ b 的原理如框图,则式子 5 ? 3 ? 2 ? 4 ? 15.(考生注意:请在下面两题中任选一题作答,如果都做,则按所做第 1 题评分) (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线 C1 : ?

a>b?




S= a (b-1) S= b (a-1)

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数) ? y ? sin ?

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t 上的点到曲线 C 2 : ? 上的点的最短距离 (t为参数) ? 1 ? y ? 1? t ? ? 2 (2)(不等式选做题)设对任意实数 x ? 0, y ? 0. 若不等式

输出 S

x ? xy ? a( x ? 2 y) 恒成立,则实数 a 的最小值为

结束

第 14 题

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? 1 在 x ? 1 处有极值 ? 1 。 (Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? ax ? ln x 的单调区间。

17.(本小题满分 13 分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最 后 2 个球都投进者获奖;否则不获奖。已知教师甲投进每个球的概率都是

2 。 3

(Ⅰ) 记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ) 求教师甲在一场比赛中获奖的概率。

数 周考试 第2 页 共8页 学 题 ( )

18.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin (
2

?

x ? ) ? 3 cos2x ?2cos x 。 4 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? (0,

?
2

) ,求 f ( x) 的单调区间及值域。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S-ABC 中, SC ? 平面 ABC ,点 P、M 分别是 SC 和 SB 的中点, 设 PM ? AC ? 1, ?ACB ? 90 ,直线 AM 与直线 SC 所成的角为 60°。
0

(Ⅰ)求证: PM ? 平面 SAC ; (Ⅱ)求二面角 M ? AB ? C 的平面角的余弦值。

20. 本小题满分 12 分) ( 已知数列{ an }满足 a1 ? 2 ,且点 (an , an ?1 ) 在函数 f ( x) ? x ? 2x 的图象上,
2

其中 n =1,2,3,?. (Ⅰ)证明:数列{lg(1+ an )}是等比数列; (Ⅱ Tn =(1+ a1 )(1+ a2 )?(1+ an ),求 Tn 及数列{ an }的通项。 )设

数 周考试 第3 页 共8页 学 题 ( )

21. (本小题满分 12 分)考生注意:请在第(1) (2)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第(1) 题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (1)选修 4-1:几何证明讲选做题 如图,在△ ABC 中, D 是 AC 的中点, E 是 BD 的中点, AE 的延长线交 BC 于 F . (Ⅰ )求

BF 的值;(5 分) FC

(Ⅱ )若△BEF 的面积为 S1 , 四边形 CDEF 的面积为 S 2 ,求 S1 : S 2 的值.(7 分)

(2)选修 4-4 :坐标系与参数方程选做题 如右图,中心在原点 O 的椭圆的右焦点为 F (3,0) ,右准线 l 的方程为: x ? 12 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点 P 、P 2、P 3 ,使 ?P FP ? ?P2 FP ? ?P3 FP ,证明: 1 1 2 3 1

1 1 1 为定值,并求此定值. ? ? | FP | | FP2 | | FP3 | 1

y

l

P2 O F

P1

x
P3

数 周考试 第4 页 共8页 学 题 ( )

高三数学周考(1)参考答案
一、选择题: 题号 答案 二、填空题: 11. 20 12. 1 A 2 C 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 C 9 D 10 B

? 3

13. 30

14. 14

15. (1)1

(2)

6?2 4

16.解:(Ⅰ)求导,得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ,由题意 ? 解得 a ? ?2, b ? 1. 经检验,满足题意。

? f (1) ? ?1, ? f ?(1) ? 0.
1 。 x

(Ⅱ)函数 g ( x) ? ax ? ln x 的定义域是{x | x ? 0}, g ?( x) ? ?2 ? 解? 2 ?

1 1 1 ? 0 且{x | x ? 0} ,得 0 ? x ? ,所以函数 g (x) 在区间 (0, ) 上单调递增; x 2 2 1 1 1 解 ? 2 ? ? 0 得 x ? ,所以函数 g (x) 在区间 ( ,?? ) 上单调递减 x 2 2 2 17.解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.依条件可知 X~B(6, ). 3

? 2? ?1? P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?
k 6

k

6?k

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

X 的分布列为: X P 所以 EX ?

0

1

2

3

4

5

6

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

1 (0 ?1 ?1 ? ?2 ? ? 160 4 240 5? 192 6? 64) 12 60 3 ? ? ? ? ? 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4. 3 3
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

64 729 2916 ?4. = 729

2 3 32 . 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 81

2 2 4 1 5 6 则 P( A) ? C4 ? ( ) ? ( ) ? C4 ? ? ( ) ? ( ) ?

1 3

2 3

1 3

2 3

32 . 81

1 ? cos( ? x) 2 18.解:(Ⅰ) f ( x) ? 4cos x ? 3 cos 2 x ? 2cos x 2
数 周考试 第5 页 共8页 学 题 ( )

?

= 2cos x(1 ? sin x) + 3 cos2x ? 2cos x = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ?

?
3

).

2? ?? . 2 ? 4? ? ?? ? (Ⅱ) x ? ? 0, ? , ? 2 x ? ? , 3 3 ? 2? 3 T?


4? ? ? ? ?x? 3 3 2 12 2 3 3 12 2 ? ?? ?? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 x ? ? 0, ? ,单调递减区间为 x ? ? , ? ; ? 12 ? ?12 2 ? ? 2x ? ? ?0? x?
,

?

?

?

?

?

? 2x ?

?

?

由 ? 3 ? 2sin(2 x ?

?

3

) ? 2 ,域值为 ? 3, 2 ? . ?

?

? 19.解:(1)证明: ∵ SC ? 平面 ABC ,∴ SC ? BC , ∵ ?ACB ? 90 ,

∴ AC ? BC 。又 SC ? AC ? C ,

∴ BC ? 平面 SAC , ∴ PM ? 平面 SAC 。

∵ P 、 M 是 SC 和 SB 的中点, ∴ PM ∥ BC , (2)以 C 为原点,CA、CB、CS 所在的直线分别为 x 轴、

y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz,如图所示,
则 C (0,0,0) , A(1,0,0) , B(0,2,0) , 设 S (0,0, t ) ( t ? 0 ), 则 P(0,0, ) , M (0,1, ) ,

t 2

t 2

t MA ? (1,?1,? ) , CS ? (0,0, t ) , 2
∵直线 AM 与直线 SC 所成的角为 60°, ∴| cos? MA , CS ? |= |

MA ? CS | MA | ? | CS |

|=

t2 2 1?1? t2 ?t 4

?

2 6 1 ,解得 t ? 。 2 3

6 2 6 6 6 ) ,? AB ? (?1,2,0) , AM ? (?1,1, ) , P(0,0, ) , M (0,1, ), 3 3 3 3 设平面 MAB 的法向量为 n ? ( x, y, z) , 则 AB ? n ? 0 且 AM ? n ? 0 , ?? x ? 2 y ? 0 6 ? ), 从而 ? ,令 y ? 1 ,得 n ? (2,1, 6 2 z?0 ?? x ? y ? 3 ? 2 6 ∵平面 ABC 的一个法向量为 CS ? (0,0, ), 3 6 2 6 ? 39 n ?CS 2 3 ? ∴ cos?n,CS ? ? , ? 13 6 2 6 n ? CS 4 ?1? ? 4 3 ? S (0,0,
数 周考试 第6 页 共8页 学 题 ( )

∴二面角 M ? AB ? C 的平面角的余弦值为

39 。 13

20.解: 21.解:

x2 y2 (2) 解:(Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 . a b 因焦点为 F (3,0) ,故半焦距 c ? 3 .又右
准线 l 的方程为 x ?

y

l

a2 ,从而由已知 c

P2 O F

P1 A P3

Q1

a2 ? 12, a 2 ? 36 , c
因此 a ? 6, b ?

x

a 2 ? c 2 ? 27 ? 3 3 . x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆方程为 36 27 (Ⅱ)记椭圆的右顶点为 A,并设 ?AFP ? ? i (i ? 1,2,3) ,不失一般性,假设 i 2? 2? 4? 0 ? ?1 ? ,? 3 ? ?1 ? ,且? 2 ? ? 1 ? . 3 3 3 c 1 又设 Pi 在 l 上的射影为 Qi ,因椭圆的离心率 e ? ? , a 2 2 a 1 ? c ? | FPi | cos? i )e ? (9? | FPi | cos? i ) (i ? 1,2,3) . 从而有 | FP |?| Pi Qi | ?e ? ( i c 2 1 2 1 解得 因此 ? (1 ? cos ? i ) (i ? 1,2,3) . | FPi | 9 2 1 1 1 2 1 2? 4? ? ? ? [3 ? (cos?1 ? cos(?1 ? ) ? cos(?1 ? ))], | FP | | FP2 | | FP | 9 2 3 3 1 3

cos?1 ? cos(?1 ? 2? 4? 1 3 1 3 ) ? cos(?1 ? ) ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? cos?1 ? 0 , 3 3 2 2 2 2



1 1 1 2 ? ? ? 为定值. | FP | | FP2 | | FP | 3 1 3

数 周考试 第7 页 共8页 学 题 ( )



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