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2.3.1等差数列的前n项和(第一课时)


复习
1.等差数列的定义: ?an? 是等差数列 ? an ? an?1 ? d(n ? 2)
2.通项公式:
an ? a1 ? (n ? 1)d .

3.重要性质: ⑴an ? am ? (n ? m)d .

⑵m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

4、数列前n项和
我们把Sn =a1+a2 + a3 + … + an叫做 数列{ an }的前n项和,记作Sn.

高斯“神速求和”的故事: 高斯出生于一个工 匠家庭,幼时家境贫困, 但聪敏异常。上小学四 年级时,一次老师布置 了一道数学习题:“把 从1到100的自然数加起 来,和是多少?”年仅 10岁的小高斯略一思索 就得到答案5050,这使 老师非常吃惊。那么高 斯是采用了什么方法来 巧妙地计算出来的呢?

高斯(1777---1855), 德 国数学家、物理学家和天文学 家。他和牛顿、阿基米德,被 誉为有史以来的三大数学家。 有“数学王子”之称。

求 S=1+2+3+· · · · · · +100=? 高斯算法:
首项与末项的和:
第2项与倒数第2项的和:

你知道高斯是怎 么计算的吗?

1+100=101,
2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: · · · · · ·

3+98 =101,

第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 100 ? 5050. 于是所求的和是: 101? 2

高斯算法用到了等差数列的什么性质?
m ? n ? p ? q ? am ? an ? a p ? aq .

情景2
如图,是一堆钢管,自上而下每层钢管数为 4、 5、6、7、8、9、10,求钢管总数。

即求:S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法:

还有其它算 法吗?

S=(4+10) +(5+9)+(6+8)+7 = 14×3+7=49.

S=4+5+6+7+8+9+10. S=10+9+8+7+6+5+4. 相加得:

倒序相加法

2S ? (4 ?10) ? (5 ? 9) ? (6 ? 8) ? (7 ? 7) ? (8 ? 6) ? (9 ? 5) ? (10 ? 4)

? (4 ? 10) ? 7.

(4 ? 10) ? 7 ?S ? ? 49. 2

新课
设等差数列?an ?的前n项和为Sn , 即Sn ? a1 ? a2 ?
怎样求一般等差数列的前n项和呢?

? an .

Sn ? a1 ? a2 ? ? an . Sn ? an ? an?1 ? ? a1.
2Sn ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? ? (an ? a1 )
? an ? a1

? n(a1 ? an ).

a1 ? an ? a2 ? an?1 ?

n( a1 ? an ) ? Sn ? . 2

探究新知

可知三 等差数列 等差数列的前 n 项和的公式: 求一 的前n项和
等于首末 两项的和 与项数乘 积的一半。

n(a1 ? an ) Sn ? 2

思考:(1)公式的文字语言; (2)公式的特点; 思考:若已知a1及公差 d ,结果会怎样呢?

由于an ? a1 ? ? n ?1? d , 故

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

公式记忆

—— 类比梯形面积公式记忆

( n a1 ? an ) Sn ? 2

( n n ?1) Sn ? na1 ? d 2

a1

n

an

( n a1 ? an ) Sn ? 2 ( n n ? 1) 例1、计算: Sn ? na1 ? 2 d n(n ? 1) (1)1 ? 2 ? 3 ? ? n; ? 2 2 ? n (2)1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ? 1);

举例

(3)2 ? 4 ? 6 ? ? 2n; ? n(n ? 1) (4)1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? ? (2n ? 1) ? 2n.
(4)解:原式 ? [1 ? 3 ? 5 ? ? (2n ?1)] ? (2 ? 4 ? 6 ? ? 2n).

又解:原式 ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? (5 ? 6) ?

? [(2n ?1) ? 2n].

前n项和公式的几种形式 an ? a1 ? ? n ?1? d n(a1 ? an )
Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2
变形

公式的结构特征
是关于n的二次函数且缺常数项。 若 a1 , d 是确定的,那么 Sn

d 2 ? d? Sn ? n ? ? a1 ? ? n 2 2? ?

d d 设A ? , B ? a1 ? , 则Sn ? An 2 ? Bn ? A, B是常数 ? 2 2
当A ? 0 ?即d ? 0 ? 时, S n是关于n的二次函 数式,即S n ? An 2 ? Bn的图象是抛物线 y ? Ax 2 ? Bx上的一群孤立的点.

探究新知
在等差数列 {an} 中,如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否 求出其余两个量 ?

想 一 想

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

an ? a1 ? (n ? 1)d

结论:知 三 求 二
练习:p45 1、

典例剖析
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》,某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标:从2001年起用10年的时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算,2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么,从2001年起的未来10年内,该 市在“校校通”工程中的总投入是多少?
分析:①找关键句;②求什么,如何求;
10 ? ?10 ? 1? S10 ? 10 ? 500 ? ? 50 ? 7250 ?万元? 2

典例剖析
例 2. 已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ,前 20 项的和是 1220 ,由此可以确定求其前 n 项和的公式 吗?

n(n ? 1) d 又S10 ? 310, S20 ? 1220 解: Sn ? na1 ? 2
?a1 ? 4 ?10a1 ? 45d ? 310 ?? ?? ?d ? 6 ?20a1 ? 190d ? 1220

?Sn ? 4n ? n(n ?1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2

例 3、已知等差数列{an}中, 1 (1)a1= ,S4=20,求 S6; 2 5 3 (2)a1= ,an=- ,Sn=-5,求 n 和 d; 6 2 (3)a1=4,S8=172,求 a8 和 d.

练习:
1.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35, 则a4=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 2.已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列 的前9项和S9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45 3.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其 前n项和Sn=100,则n=____________.

小结
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;

n(a1 ? an ) 2、求和公式 (? ) S n ? 2 n( n ? 1) (?? )Sn ? na1 ? d 2
3、应用公式求和.“知三求二”,方程的思想. ①已知首项、末项用公式Ⅰ;?已知首项、公差用公式Ⅱ.

作业

P46 A组 1、2, 3。



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