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数学竞赛导数学习



基本初等函数的求导公式和上述求导法则,在初等函数的基本运算中起着重要的作用, 我们必须熟练的掌握它,现把这些常用导数公式和求导法则归纳如下:
基本初等函数求导公式 (1) (3) (9)

(C )? ? 0 (sin x)? ? cos x

(2) (4) (10)

( x ? )? ? ?x ? ?1
(cosx)? ? ? sin x

(a x )? ? a x ln a
(log a x)? ? 1 x ln a

(ex )? ? ex
(ln x ) ? ? 1 x,

(11)

(12)

函数的和、差、积、商的求导法则

设 u ? u ( x) , v ? v( x) 都可导,则

(1)

(u ? v)? ? u ? ? v? (uv)? ? u ?v ? uv?

(2 )

(Cu )? ? Cu ? ( C 是常数)

(3)

(4 ) 复合函数求导法则 设

? ? u ? u ?v ? uv ? ? ? ? v2 ?v?

y ? f (u ) ,而 u ? ? ( x) 且 f (u ) 及 ? ( x) 都可导,则复合函数 y ? f [? ( x)] 的导数为
上述表中所列公式与法则是求导运算的依据,请读者熟记.

y? ? f ?(u )? ? ?( x)

1.导数与函数单调性的关系 设函数 f ( x ) 在某个区间内可导,则在此区间内: (1) f ?( x) ? 0 ? f ( x) ↗, f ( x) ↗ ? f ?( x) ? 0 ; (2) f ?( x) ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? f ( x) ↗ (单调递减也类似的结论) 2.单调区间的求解过程:已知 y ? f ( x) (1)分析 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? ? f ?( x) ; (3)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4)解不等式 f ?( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间 3.函数极值的求解步骤: (1)分析 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? ? f ?( x) 并解方程 f ?( x) ? 0 ; (3)判断出函数的单调性; (4)在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值; 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。 4.函数在区间内的最值的求解步骤:利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值

比较即可。

例题解析:例 2、已知函数 f ( x) ?

(1)讨论方程 f ( x) ? k ( k 为常数)的实根的个数。

1 3 x ? x 2 ? 3x ? 1 , g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? a 3

(2)若对 x ??0 , 2? ,恒有 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围。

(3)若对 x ??0 , 2? ,恒有 f ( x) ? g ? x ? 成立,求 a 的取值范围。 解:(1)求导得: f ?( x) ? x2 ? 2 x ? 3 令 f ?( x) ? 0 解得 x ? ?3 或 x ? 1 ,此时 f ( x ) 递增, 令 f ?( x) ? 0 解得 ?3 ? x ? 1 , 此时 f ( x ) 递减,

(4)若对 x1 ??0 , 2? , x2 ??0 , 2? ,恒有 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立,求 a 的取值范围。

2 ? 当 x ? ?3 时 f ( x) 取极大值为 f ( ? 3 ) ? 10 , 当 x ? 1 时 f ( x ) 取极小值为 f ( 1 ) ? ? 3 ? 方程 f ( x) ? k( k 为常数)的实根的个数就是函数 y ? f ( x) 与 y ? k 的图象的交点个数 ? 当 k ? ? 2 或 k ? 10 时方程有 1 个实根;当 k ? ? 2 或 k ? 10 时方程有 2 个实根; 3 2 当 ? ? k ? 10 时方程有 3 个实根。 3 3

(2) x ??0 , 2? 时,要使得 f ( x) ? a 恒成立,则只需 f ( x)min ? a

3 3 (3) x ??0 , 2? 时,要使得 f ( x) ? g ? x ? 恒成立,即 f ( x) ? g ? x ? ? 0 ,
设 h ? x ? ? f ( x) ? g ? x ? ,则只需 x ??0 , 2? 时 h( x)min ? 0

由(1)可知 x ??0 , 2? 时 f ( x) min ? f

2 2 ?1??? ?a??

? h ? x ? ? f ( x) ? g ? x ? ? 1 x
2

3

3 令 h? ? x ? ? x ? 4x ? 5 ? 0 得 x ? ?5 或 x ? 1

? 2 x 2 ? 5x ? a ? 1

? x ?? 0 , 2 ?

? 比较 h ?0? ? 1? a ,

8 5 h ? 2 ? ? ? 8 ? 10 ? 1 ? a ? ? a 3 3 ? ?5?a ?0 即 a ? ?5 3 3

1 5 h ?1? ? ? 2 ? 5 ? 1 ? a ? ? ? a 3 3 5 得 h( x) min ? ? ? a 3

(4)要有对 x1 ??0 , 2? , x2 ??0 , 2? ,恒有 f ( x1 ) ? g ? x2 ? 成立, 则只需在 x ??0 , 2? 中 f ( x)min ? g ? x ?max 由(1)可知 x ??0 , 2? 时 f ( x) min ? f
2

?1???

2 3

而 g ( x) ? ? x ? 2 x ? a 的对称轴为 x ? 1 且开口向下, 当 x ??0 , 2? 时 g ? x ?max ? g ?1? ? 1 ? a

? ? 2 ? 1? a 即 a ? ? 5
3

3



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