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18任意角的三角函数(1)



课题

任意角的三角函数(1) 知识与技能:1.掌握任意角的三角函数定义 2.理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号.??

课时 课型

1 新

教 学 目 标

过程方法与能力:体会特殊与一般关系及数形结合思想

情感态度与价值观: 揭示事物之间的普遍联系规律,培养辩证唯物主义思想.

重 点 分 析 难 点 分 析 学法 教具 板

任意角的三角函数定义

正确理解三角函数可看作以“实数”为自变量的函数

王新敞
奎屯

新疆

三角板 投影仪 任意角的三角函数 定义


表示方法及符号


定义域


注意的问题 符号规律 诱导公式 例题

教 学 过 程 与 内 容 一、复习引入 1、锐角三角函数的定义 2、角的概念的推广及弧度制、象限角等概念 二、讲解新课 1.设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) 则 P 与原点的距离 r ? 2.比值 比值

师生活动

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
记作:

2

2

y 叫做 ? 的正弦 r

sin ? ?

y r

x 叫做 ? 的余弦 r y 比值 叫做 ? 的正切 x
比值

记作: 记作:

cos ? ?

x r y x

tan ? ?

x 叫做 ? 的余切 y
r 叫做 ? 的正割 x

记作:

cot? ?
sec ? ?

x y
r x

比值

记作:

比值

r 叫做 ? 的余割 y

记作:

csc? ?

r y

以上六种函数,统称为三角函数. 3.突出探究的几个问题: ①角是“任意角” ,当?=2k?+?(k?Z)时,?与?的同名三角函数值应该是相等的,即凡是 终边相同的角的三角函数值相等
王新敞
奎屯 新疆

②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用

王新敞
奎屯

新疆

③三角函数是以实数(角)为自变量,以“比值”为函数值的函数. ④ r ? 0 而 x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由角所在象限确定. ⑤定义域:

sin ? ?

y r x cos ? ? r tan ? ? y x

R R

sec ? ?

r x

? ? ? ?? | ? ? ? k? , k ? Z ? 2 ? ?

cot? ?
4.注意:

x y

csc? ?

r y

?? | ? ? k? , k ? Z ?

(1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题,其顶点都在原点,始边都与 x 轴的非

教 学 过 程 与 内 容 ?负半轴重合. (2) OP 是角 ? 的终边,至于是转了几圈,按什么方向旋转的不清楚, 也只有这样,才能说明角 ? 是任意的. (3) sin ? 是个整体符号,不能认为是“sin”与“ ? ”的积.其余五个符号也是这样. (4)定义中只说怎样的比值叫做 ? 的什么函数, 并没有说 ? 的终边在什么位置(终边在坐 标轴上的除外),即函数的定义与 ? 的终边位置无关.? (5)比值只与角的大小有关. 1. 三角函数在各象限内的符号规律: 第一象限: .x ? 0, y ? 0 ∴sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 第二象限: .x ? 0, y ? 0 ∴sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 第三象限: .x ? 0, y ? 0 ∴sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 第四象限: .x ? 0, y ? 0 ∴sin? ? 0,cos? ? 0,tan? ? 0,cot? ? 0,sec? ? 0,csc? ? 0 记忆法则: 第一象限全为正,二正三切四余弦. 2. 终边相同的角的同一三角函数值相等 例如 390°和-330°都 30°终边位置相同, 由三角函数定义可知它们的三角函数值相同, 即 sin390°=sin30° cos390°=cos30° sin(-330°)=sin30° cos(-330°)=cos30° 诱导公式一(其中 k ? Z ): 用弧度制可写成

师生活动

第一个字 母不大写

sin(? ? k ? 360?) ? sin ? cos(? ? k ? 360?) ? cos? tan( ? ? k ? 360?) ? tan?
的三角函数值问题 三、讲解范例

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos? tan( ? ? 2k? ) ? tan?

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0~2π 间角

例 1 已知角 ? 的终边经过点 P(2, ?3) ,求角 ? 的六个三角函数值

sin ? ? ?

3 13 2 13 3 , cos ? ? , tan ? ? ? , 13 13 2 13 13 2 , csc ? ? ? cot ? ? ? , sec ? ? 2 3 3

教 学 过 程 与 内 容 例 2、求下列各角的六个三角函数值 (1) 0 (2) ? (3)

师生活动

3? 2

例 3 确定下列三角函数值的符号? (1)cos250° (3)tan(-672°) (2) sin( ? (4) tan(

?
4

)

11? ) 3

例 3 若?

?sin ? ? 0 成立,则 ? 为第几象限角? ?tan? ? 0

例 4 求下列三角函数的值

9? 11? ) .? (3) tan( ? 4 6 sin x ? cos x 例 5(1)x 取什么值时, 有意义? tan x
(1)sin1480°10′ (2) cos
(2)已知?是第三象限角且 cos

?

2

? 0 ,问

? 2

是第几象限角?

四、小结 1.任意角三角函数的定义,发生过程 2.特殊角的三角函数值 3.三角函数在各象限内的符号

反 馈 练 习 教 学 后 记

已知角 ? 的终边上一点 P 的坐标是 ( x, ?2),( x ? 0) ,且 cos? 求 sin ? 和 tan ? 的值 (答案: sin ?

?

x , 3

2 2 ? ? , tan ? ? 5) 3 5



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