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浙江省2017届高三数学文一轮复习专题突破训练:三角函数



浙江省 2017 届高三数学文一轮复习专题突破训练

三角函数
一、选择、填空题 1、(2016 年浙江省高考)已知 2cos2 x ? sin 2 x ? A sin(? x ? ? ) ? b( A ? 0) ,则 A ? ______. 2、(2015 年浙江省高考)函数 f ? x ? ? sin2 x ? sin x cos x ?1 的最

小正周期是 是 . ,最小值

3、(杭州市 2016 届高三第一次高考科目教学质量检测)若 sin x ?

5 ,则 cos 2 x ? ( 5



A. ?

3 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D.

3 5

4、(湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? 为 ? 2, 0 ? ,且 ? ? A.向左平移 C.向左平移

?? ? x ? ? ? 图象的一个对称中心 ?3 ?

? ? .要得到函数 f ? x ? 的图象,可将函数 f ? x ? ? 2 cos x 的图象 2 3
B.向右平移 D.向右平移

? 个单位长度 6

1 个单位长度 2

1 个单位长度 2

? 个单位长度 6
?
2 )

5、 (嘉兴市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

的部分图象如图所示,则 f (? ) ?
A. 3 B. 0 C. ?2 D. 1

6、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )计算: sin15 ? ___________;
0

1 ? tan150 ? __________. 1 ? tan150
7 、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

? ? f ( x) ? f ( ) 对任意 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是 ( ▲ ) 2 6
A . ? k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

B. ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

C . ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

D . ? k? ?

? ?

?

? , k? ? ( k ? Z ) 2 ?
1 , ? ? ?0, ? ? ,则 tan ? ? 5

8、 (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测 (二模) ) 已知 sin ? ? cos ? ? ( A. ? )

4 3

B. ?

3 4

C.

4 3

D.

3 4

9、 (嵊州市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)

?? ? ??? ? 已知函数 y ? f ? x ? 的图象是由函数 y = sin ? 2 x ? ? 的图象向左平移 个单位得到的,则 f ? ? ? 6? 6 ?3? ?
A. ?

3 2

B. ?

1 2

C. 0

D.

1 2

10 、(温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)为了得到函数 y ? cos(2 x ?

π ) 的图像,只需将函数 3

y ? sin 2x 图象上所有的点
5π 个单位 12 5π C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

5π 个单位 12 5π D.向右平移 个单位 6
B.向右平移

11、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考)在 △ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 且满足 (b ? a)sin A ? (b ? c)(sin B ? sin C ) ,则 C 等于( ▲ ) A.

? 3

B.

? 6

C.

? 4

D.

2? 3 1 tn2 ? ? ( , 则a 5
)

12、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测) 已知 ? 为钝角, 且 sin ? ? cos ? ?

A. ?

24 7

B.

24 7

C. ?

7 24

D.

13、 (宁波市 “十校” 2016届高三联考) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 图象( )

?

7 24

) 图象, 只需将函数 y ? sin( ? 2 x) 3 2

?

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 6
A.向左平移

? 个单位 3 ? D.向右平移 个单位 6
B.向右平移
2

14、(金宁波市“十校”2016 届高三联考)函数 y ? 3 sin x ? cos x ? cos x ? 递增区间是 .

1 ? , x ? [0, ] 的单调 2 2

15 、(湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)已知 tan? ? 2 ,则 tan ? ? ?

? ?

??

?? 4?





sin ? ? sin ? ? cos ?





16 、(嘉兴市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x 的最小正周期为 ▲ , f ( x) 的最小值是 ▲ .

17、(嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二))已知 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c , 若B ?

?
6

, a ? 3 , c ? 1 ,则 b ? _________, ?ABC 的面积 S ? __________.

18、(绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模))要得到函数 y ? sin ? 2 x ? 将函数 y ? sin 2 x 的图象向 平移 个单位.

? ?

??

? 的图象, 可 3?

19、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测) 已知 ? 为钝角, 且 sin ? ? cos ? ? A. ?

1 tn2 ? ? ( , 则a 5

)

24 7

B.

24 7

C. ?

7 24

D.

7 24

二、解答题 1、(2016 年浙江省高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cos B=

2 ,求 cos C 的值. 3

2、 (2015 年浙江省高考)在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c .已知 tan( (1)求

?
4

? A) ? 2 .

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

?

4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

3、 (湖州市 2016 届高三下学期 5 月调测)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的所对边分别为 a, b, c .
2 2 已知 a ? b +5ab cos C =0 , sin C ?
2

7 sin A sin B . 2

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 面积的值. 4、 (嘉兴市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 且 a2 ? b2 ? c2 ? (Ⅰ)求 cos

3 ab . 2

C 的值; 2 (Ⅱ)若 c ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.
5、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )设函数 f ( x) ? cos(2 x ? (1)若 f (

?
3

) ? 2 3 sin xcos x ? m .

?

12

) ? 1 ,求实数 m 的值;

(2)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间.

6、 (宁波市 2016 届高三上学期期末考试) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 且a ? 2,

2 cos 2

B?C 4 ? sin A ? . 2 5

(Ⅰ)若 b ?

5 3 ,求角 B ; 3

(Ⅱ)求 ?ABC 周长 l 的最大值. 7、(绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模))在 ?ABC 中, 已知 AC ? 4, BC ? 5 . (1)若 ?A ? 60? ,求 cos B 的值; (2)若 cos ? A ? B ? ?

7 ,点 D 在边 BC 上, 满足 DB ? DA ,求 CD 的长度. 8

8、 (嵊州市 2016 届高三上学期期末教学质量检测)在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b b , c .已知 c ? a cos B ? . 2 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? c ? 6 , a ? 2 3 ,求 BC 边上的高.

9、(温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)在△ ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a, b, c ,已知

cos B ?

1 2 5 , tan C ? . 3 5
(Ⅱ)若 c ? 1 ,求△ ABC 的面积.

(Ⅰ)求 tan A ;

10 、 ( 浙 江 省 五 校

2016

届 高 三 第 二 次 联 考 ) 已 知 函 数

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ? B ( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

) 的定义域为 R ,值域为 [?4,8] ,图象经过

点 (0,5) ,直线 x ?

?
6

是其图象的一条对称轴,且 f ( x ) 在 (

? ? , ) 上单调递减. 3 2

( I ) 求函数 f ( x ) 的表达式. (II) 已知 ? ? (

? ?

, ) ,且 f (? ) ? 4 ,求 sin ? 的值. 6 2

11、 (诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)?ABC 中,角 A 、 B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , 且 2a cos B ? 3b ? 2b cos A . (1)求

b 的值; c 17 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积. 32

(2)设 AB 的中垂线交 BC 于 D ,若 cos ?ADC ?

12、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)锐角 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对三条边长分别为

a, b, c , sin( A ? ) ? cos A ? 2 cos 2 6
(1)求角 C ; (2)若 ?ABC 面积为 3 ,

?

B? A cos A ? sin( B ? A) sin A . 2

sin A ? sin B ? 2 ,求边长 c 的值. sin C

13 、(宁波市“十校” 2016 届高三联考)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,向量

m ? (5a ? 4c,4b) 与 n ? (cosB,? cosC) 互相垂直.
(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)若 c ? 5, b ? 10 ,求 ?ABC 的面积 S .

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】 2 ;1. 【解析】 试题分析: 2cos2 x ? sin 2x ? 1 ? cos2x ? sin 2x ? 2 sin(2x ? ) ? 1 ,所以 A ? 2, b ? 1.

?

4

2、【答案】 ? , 【解析】

3? 2 2
1 1 ? cos 2 x 1 1 3 sin 2 x ? ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2

2 试题分析: f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ? 1 ?

?

2? 2 ? 3 3 2 ? ? ; f ( x)min ? ? . sin(2 x ? ) ? ,所以 T ? 2 2 4 2 2 2
4、B
6? 2 , 3; 4

3、B 6、 9、B 12、B 15、 ?3 , 2
3 ; 4

5、D 8、A 11、A 14、 [0,
3 2

7、C 10、A 13、D

?
3

]

16、 ? 18、右,

?

17、1;

? 6

? 3 ? ,1? 19、 ? ; ? ? ? 2 ?
二、解答题 1、【答案】(1)证明详见解析;(2) cos C ? 【解析】 试题解析:(1)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B , 因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B , 所以, A ? 2 B . (2)由 cos B ?

22 . 27

2 1 5 2 ,得 sin B ? , cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

故 cos A ? ?

1 4 5 , sin A ? , 9 9

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?
2、【答案】(1)

22 . 27

2 ;(2) 9 5

a2 ? b2 ? c2 ? 0, 3、解:(Ⅰ)由题意及余弦定理得, a ? b ? 5ab 2ab
2 2

即 7 a 2 ? b 2 ? 5c 2 .…………………………………………………………2 分

?

?

7 ab .…………………………………………4 分 2 2 ? c2 2 2 2 a ?b ?c 1 故 cosC ? ? 7 ? ? .…………………………………6 分 2ab 2ab 2 2? 因为 C ? ?0, ? ? ,所以 ?C ? .……………………………………………7 分 3
2 由题意及正弦定理得, c ?

? 2 7 ?c ? b (Ⅱ)因为 a ? 1 ,由(Ⅰ)知, ? ,解得 b ? 1 或 b ? 2 .……10 分 2 ?5c 2 ? 7 ? 7b 2 ?
①当 b ? 1 时, S ?ABC ?

1 3 ;……………………………12 分 ab sin C ? 2 4 1 3 .……………………………14 分 ab sin C ? 2 2

②当 b ? 2 时, S ?ABC ?

综上, ?ABC 的面积为

3 3 .……………………………………………15 分 , 4 2

3 ab a2 ? b2 ? c2 2 3 4、解:(Ⅰ)由余弦定理得: cosC ? ? ? , 2ab 2ab 4 3 2 C ?1 ? . ∴ cos C ? 2 cos 2 4
∴ cos

(3 分) (5 分)

C ? C 14 C 14 , ∵ ? (0, ) ,∴ cos ? ?? 2 4 2 4 2 4

(7 分)

(Ⅱ)若 c ? 2 ,则由(Ⅰ)知: 8 ? 2(a 2 ? b 2 ) ? 3ab ? 4ab ? 3ab ? ab ,(10 分) 又 sin C ? ∴ S ?ABC ?
7 , 4 1 1 7 ab sin C ? ? 8 ? ? 7, 2 2 4

(12 分)

即 ?ABC 面积的最大值为 7 . 5、解: (Ⅰ) f (

(14 分)

?
12

) ? cos(2 ?

?
12

?

?
3

) ? 2 3 sin

?
12

cos

?
12

? m ? 1 ,解得 m ? 1 .

(Ⅱ)? f ( x ) ? cos(2 x ?
?

?

1 3 ) ? 2 3 sin x cos x ? m ? ( cos 2 x ? sin 2 x ) ? 3 sin 2 x ? m 3 2 2

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? m ? cos(2 x ? ) ? m ,故 T ? ? , 2 2 3 ? 5? ? ? ? 令 2 x ? ? [2k? ? ? ,2k? ? 2? ] ,其中 k ? Z ,解得: x ? ? k? ? , k? ? , 3 6 ? 3 ? ? ? 5? ? ? k?Z. 因此函数 f ( x ) 的单调增区间为 ? k? ? , k? ? 3 6 ? ? ?

6、解: 2 cos

2

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? ? sin A ? cos A ? ? 2 5 5 5

3 ? sin A ? ? ? 5 2 2 又 0 ? A ? ? ,且 sin A ? cos A ? 1 ,有 ? ?cos A ? 4 ? 5 ?
(Ⅰ)由正弦定理得 由 sin A ?

???3 分

b a 3 ? , sin B ? , sin B sin A 2

3 4 ? ? ? 2? ,sin B ? ,知 ? A ? ,得 B ? 或 ; ???7 分 5 5 6 3 6 3 a 10 (sin B ? sin C ) ? 2 ? [sin B ? sin( A ? B )] (Ⅱ)由正弦定理得 l ? a ? b ? c ? a ? sin A 3 10 ? 2 ? [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B] ? 2 ? 2(3sin B ? cos B) ? 2 ? 2 10 sin( B ? ? ) 3
???11 分

? 10 ?sin ? ? ? 10 ,则有 ? ? A 其中 ? 为锐角,且 ? ?cos ? ? 3 10 ? 10 ?
由 0 ? B ? ? ? A ,则 ? ? B ? ? ? ? ? A ? ? 则有 ?ABC 周长 l 的最大值为 2 ? 2 10 .
2 2 2

???14 分

(注:也可利用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,结合基本不等式求解) 7、

(2) ? AD ? BD,??DAB ? ?B , cos ?CAD ? cos ? A ? B ? ? 则 CD ? 5 ? x .由余弦定理得 ? 5 ? x ? ? 4 ? x ? 2 ? 4 ? x ?
2 2 2

7 ,在 ?CAD 中, 设 AD ? x , 8

7 ,解得 x ? 3 ,即 AD ? 3, CD ? 2 . 8

8、解:(Ⅰ)由 c ? a cos B ?

b 及正弦定理可得 2 sin B , sin C ? sin A cos B ? 2

………………2 分

因为 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B 所以 cos A sin B ?

sin B , 2

………………4 分

因为 sin B ? 0 ,所以 cos A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? (Ⅱ)由余弦定理可知

1 , 2

………………6 分 ………………7 分

? . 3

? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos ? b2 ? c2 ? bc 3

………………8 分

所以 12 ? b2 ? c2 ? bc ? (b ? c)2 ? bc ? 6 ? bc ,解得 bc ? 6 .……………10 分

1 1 由 S?ABC ? bc sin A ? ah , 2 2 1 ? 1 得 ? 6 ? sin ? ? 2 3 ? h , 2 3 2
解得 h ?

………………12 分 ………………13 分 ………………15 分

3 . 2

9、解:(I)在 ?ABC 中,? cos B ?

2 5 , 5
1 , 2
………………2 分

? B 为锐角, tan B ?
又 tan C ?

1 , 3
……………5 分

1 1 ? tan B ? tan C tan( B ? C ) ? ? 2 3 ?1 , 1 1 1 ? tan B tan C 1? ? 2 3
180? ? ( B ? C )) ? ? tan(B ? C ) ? tan A ? tan(
故 tan A ? ?1 (II) 因 0? ? A ? 180? ,由(I)结论可得: A ? 135?

………………7 分 ………………8 分

? 在 ?ABC 中, B, C 均为锐角 ? cos B ?
1 2 5 , tan C ? , 3 5

? sin B ?

5 10 , sin C ? . 10 5

………………11 分



a c ? 得a ? 5 sin A sin C
1 1 ac sin B ? . 2 2

………………13 分

故 ?ABC 的面积为: S ?

………………14 分

10、 解: ( I ) (1) 由于函数 f ( x ) 定义域为 R , 值域为 [?4,8] , 且A?0, 则? (2)由于图象过点 (0,5) ,代入,得 6sin ? ? 2 ? 5 ,即 sin ? ?

? A? B ? 8 ?A ? 6 , 得? ?B ? 2 ?? A ? B ? ?4

1 ? ? ? ,又因为 ? ? ? ? ,故 ? ? 2 2 2 6

( 3 ) 由 于 直 线 x?

?
6

?? 是 f ( x) 图 象 的 一 条 对 称 轴 , 则 s i n (
6

?

?
6

?? )

,1则

?
6

??

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,即 ? ? 6k ? 2(k ? Z ) ,且 ? ? 0 ,故 ? ? 6k ? 2(k ? N )

(4)由于 f ( x ) 在 (

? ? ? ? 1 1 2? , ) 上单调递减,故 ? ? T ? ,得 ? ? 6 ,故只有当 k ? 0 时, 3 2 2 3 2 2 ?

? ? 2 满足条件.
综上所述, f ( x) ? 6sin(2 x ?

?
6

)?2

(II) f (? ) ? 6sin(2? ?

?

? 1 ) ? 2 ? 4 ,即 sin(2? ? ) ? 6 6 3

因为 ? ? (

? ?

? ? 7? ? 2 2 , ) ,所以 2? ? ? ( , ) ,故 cos(2? ? ) ? ? ,则 6 2 6 2 6 6 3

? ? ? ? ? ? 2 2 3 1 1 1? 2 6 cos 2? ? cos[(2? ? ) ? ] ? cos(2? ? ) cos ? sin(2? ? )sin ? ? ? ? 6 6 6 6 6 6 3 2 32 6
1 ? cos 2? 2 ? 而 sin ? ? 2
又因为 ? ? (

1?

1? 2 6 5?2 6 6 ? , 2 12

? ?

, ) ,则 sin ? ? 6 2

5? 2 6 2 ? 3 3? 6 ? ? 12 6 2 3

11、解:(1)∵ 2sin A cos B ? 3sin B ? 2sin Bcos A ??????????????2 分 ∴ 2sin ? A ? B? ? 3sin B ? 2sin C ??????????????????????2 分

AC ? 2 ,∴ AB ? 3 ,
∴ 4 ? 9 ? BC ? 6BC ? cos B ?????????????????????2 分
2

∴ BC ? 4 ?????????????????????????????1 分

∴ S?ABC ?

1 3 15 3 15 ???????????????????2 分 ? 2? 4? ? 2 16 4

12、解: (1) sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ A?

?
6

) ? cos A ? [1 ? cos( B ? A)]cos A ? sin( B ? A) sin A

?
?
6

) ? cos( B ? A) cos A ? sin( B ? A) sin A
) ? cos B

?

6

? ? 2? 2? ? B 或 ( A ? ) ? ( ? B) ? ? ,即 A ? B ? 或 A? B ? 6 2 6 2 3 3 2? ? 而 ?ABC 是锐角三角形,∴ A ? B ? ,∴ C ? 3 3
?
?

) ? cos B ? sin( ? B) 6 2

?

?

所以 a2 ? 2ab ? b2 ? 4(a2 ? b2 ? ab) ? (a ? b)2 ? 0 ,∴ a ? b ? 2 所以 ?ABC 是正三角形,边长 c ? 2 . 13、解:(Ⅰ)因为 m ? n ,所以 (5a ? 4c) cos B ? 4b cos C ? 0 ,……………….…….2 分 所以 (5sin A ? 4sin C ) cos B ? 4sin B cos C , ………… ………………………….4 分 所以 5sin A cos B ? 4(sin B cos C ? cos B sin C ) ? 4sin( B ? C ) ? 4sin A ,

??

?

4 . ……… …………………… ………. ……………….7 分 5 4 2 (Ⅱ)由余弦定理得, 10 ? 25 ? a ? 2 ? 5 ? a ? , 5 2 化简得, a ? 8a ? 15 ? 0 ,……………………………………… ….. …………….10 分
而 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 解得, a ? 3 或 a ? 5, ……………………………… ….. ………………………….12 分

1 3 ,又 S ? ca sin B , 5 2 1 3 9 1 3 15 故 S ? ? 5? 3? ? 或 S ? ? 5? 5? ? . ……………………………….14 分 2 5 2 2 5 2
而 c ? 5, sin B ?



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