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2.10 变化率与导数、导数的计算



第十节

变化率与导数、导数的计算

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)函数y=f(x)在x=x0处的导数: ①定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率
f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ?y 为y

=f(x)在x=x 处的导数,记作 __________________= ?x ?0 lim ?x 0 ?x ? 0 ? x lim

f′(x0)或 y? |x?x ,
0

f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) ?x ?0 ?x 即f′(x0)= lim ?y =___________________. ?x ? 0 ? x lim

②几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线 y-f(x0) 切线的斜率 相应地,切线方程为_______ y=f(x)上点(x0,f(x0))处的___________. =f′(x0)(x-x0) ______________. (2)函数y=f(x)的导函数:
f (x ? ?x) ? f (x) ?x ?0 称函数f′(x)=__________________为函数 y=f(x)的导函数,导函数 ?x lim

有时也记作y′.

(3)基本初等函数的导数公式: 原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα (α ∈Q*) 导函数 0 f′(x)=__ α xα -1 f′(x)=______ cosx f′(x)=_____

f(x)=sinx
f(x)=cosx

-sinx f′(x)=______

原函数 f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f(x)=lnx

导函数
xlna a f′(x)=_____ x e f′(x)=__

1 xln a f′(x)=______ 1 f′(x)=_____ x

(4)导数四则运算法则: f′(x)±g′(x) ①[f(x)±g(x)]′=_______________. f′(x)g(x)+f(x)g′(x) ②[f(x)·g(x)]′=______________________.
f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) f (x) 2 ]? =__________________(g(x)≠0). ③[ [g(x)] g(x)

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢, |f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用导数求切线的方法. (2)数学思想:转化与化归、数形结合. (3)记忆口诀:

导数概念要理清,专门刻画变化量,
放大放大再放大,逼近逼近再逼近. 几何意义在切线,物理应用求速度. 常见函数的导数,定义证明会推导. 导数的四则运算,记住法则计算巧. 简单函数的复合,记住公式会运算.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
)

(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0).(

(2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(

)
)
1 x

(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(

【解析】(1)错误.应先求f′(x),再求f′(x0).
(2)正确.如y=1是曲线y=sin x的切线,但其交点个数有无数个. (3)错误.如y=0与抛物线y2=x只有一个公共点,但是y=0不是抛物线 y2=x的切线. 答案:(1)〓 (2)√ (3)〓

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修2-2P11T1改编)在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面 的高度(单位:m)是h(t)=-4.9t2+6.5t+10.则运动员的速度v= 加速度a= . ,

【解析】v=h′(t)=-9.8t+6.5,a=v′(t)=-9.8. 答案:-9.8t+6.5 -9.8

(2)(选修2-2P18T3改编)已知函数r(V)= 3 3V ,则r′( 4 3? )=_____. 【解析】因为r′(V)= 1 3 所以r′( 4 3? )= 1 .
12?

3 , 2 3 4?V

4?

答案: 1

12 ?

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·广东高考)曲线y=-5ex+3在点(0,-2)处的切线方程 为 .

【解析】因为y′=-5ex,y′|x=0=-5,即在点(0,-2)处的切线斜率为-5, 所以切线方程为y-(-2)=-5(x-0),5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0

(2)(2013·江西高考)若曲线y=xα +1(α ∈R)在点(1,2)处的切线经过 坐标原点,则α = .

【解析】因为y′=α·xα-1,所以在点(1,2)处的切线斜率k=α,则切

线方程为y-2=α(x-1),又切线过原点,故0-2=α(0-1),解得α=2.
答案:2

(3)(2015·阳泉模拟)直线y= 1 x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,
2

则实数b=
x

.
1 1 = ,得x=2, x 2

【解析】y′= 1 ,令

因此切点为(2,ln2),代入直线方程 y= 1 x+b得b=ln2-1.
2

答案:ln2-1

考点1

导数的计算

【典例1】求下列函数的导数: (1)y=exsin x.(2)y=x( x 2 ? 1 ? 13 ). (3)y=x- sin x cos x .
2 2 x x

【解题提示】(1)利用积的导数运算法则求解.

(2)(3)先化简再求导.(4)y=ln(1-2x)是由y=ln u与u=1-2x复合而成.

【规范解答】(1)y′=(ex)′sin x+ex(sin x)′=exsin x+excos x. (2)因为 y ? x 3 ? 12 ? 1,
x 所以y′= 3x 2 ? 23 . x 1 (3)因为y=x- sin x, 2 所以y′=1- 1 cos x. 2 1 u

【易错警示】解答本题有三点容易出错: (1)解答本题(2)时,若直接使用积的运算法则求导,则运算烦琐,易 出错. (2)解答本题(3)时,若不先化简,直接使用积的运算法则求导,易导 致错误答案.

【规律方法】导数计算的原则和方法
(1)原则:先化简解析式,使之变成能用八个求导公式求导的函数的

和、差、积、商,再求导.
(2)方法:

①连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;
②分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分

式函数,再求导;
③对数形式:先化为和、差的形式,再求导;

④根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; ⑤三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导; ⑥复合函数:由外向内,层层求导.

【变式训练】求下列各函数的导数.

(1)y=(3x2-4x)(2x+1).
(2)y=x2sin x.
x (3)y= ln . 2 x ?1

【解析】(1)因为y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, 所以y′=18x2-10x-4. (2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.
2 2 (ln x) ? (x ? 1) ? ln x(x ? 1)? (3)y′= (x 2 ? 1) 2 1 2 (x ? 1) ? 2xln x x 2 ? 1 ? 2x 2ln x x ? ? . 2 2 2 2 (x ? 1) x(x ? 1)

【加固训练】求下列函数的导数. (1)y=3xex-2x+e. (2)y= ( x ? 1)( 1 ? 1).
x

【解析】(1)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′(2x)′=3xln3·ex+3xex-2xln2=(3e)xln(3e)-2xln2.
1 1 ? 1 1 (2)先化简, y ? x ? ? x ? ? 1 ? ? x 2 ? x 2, x x 1 3 ? ? 所以 y? ? ? 1 x 2 ? 1 x 2 ? ? 1 (1 ? 1 ). 2 2 x 2 x

考点2

导数几何意义的应用 知·考情

导数的几何意义是高考重点考查的内容,主要考查求曲线的切线 斜率、切线方程或已知曲线的切线斜率、切线方程求参数的值或范围 等问题.

明·角度
命题角度1:求切点坐标或切线方程

【典例2】(2014·江西高考)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线
2x+y+1=0,则点P的坐标是 .

【解题提示】切线问题运用导数的几何意义求解.

【规范解答】设点P(x0,y0),因为y′=-e-x, 所以曲线在点P处的切线的斜率为 k ? ?e? x ,
0

又因为切线平行于直线2x+y+1=0,所以 ?e? x ? ?2,
0

解得x0=-ln2,代入y=e-x得y0=2, 所以点P(-ln2,2). 答案:(-ln2,2)

命题角度2:求参数的值
【典例3】(2014·陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路

段与两条直道平滑连接(相切),已知环湖弯曲路段为某三次函数图像
的一部分,则该函数的解析式为( )

1 3 1 2 x ? x ?x 2 2 1 C.y ? x 3 ? x 4 A.y ?

B.y ?

1 3 1 2 x ? x ? 3x 2 2 1 1 D.y ? x 3 ? x 2 ? 2x 4 2

【解题提示】根据已知图像可以得到函数图像在与x轴交点处的导数,
再利用导数及函数的零点列出三元一次方程组 ,解之即得所求.

【规范解答】选A.由已知可得此函数为三次函数且过原点,故可设函
数解析式为y=f(x)=ax3+bx2+cx,所以f′(x)=3ax2+2bx+c,

由题意知f′(0)=-1,f′(2)=3,f(2)=0,即c=-1,
12a+4b+c=3,8a+4b+2c=0,

解之得a= 1 ,b=- 1 ,c=-1.
所以y= 1 x3- 1 x2-x.
2 2 2 2

悟·技法
导数几何意义的应用及解法

(1)已知切点A(x0,y0)求斜率k,即求该点处的导数值k=f′(x0).
(2)已知斜率k,求切点A(x1,f(x1)),即解方程f′(x1)=k.

(3)求过某点M(x1,y1)的切线方程时,需设出切点A(x0,f(x0)),则切线
方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),再把点M(x1,y1)代入切线方程,求x0.

(4)根据导数的几何意义求参数的值时,一般是利用切点P(x0,y0)既在
曲线上又在切线上构造方程组求解.

提醒:当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时,则切线恒过定点.

通·一类 1.(2015·昆明模拟)若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点 (0,m)处有公切线,则a+b=( A.-1 B.0 ) C.1 D.2

【解析】选C.f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,由题意知f(0)=a=g(0)

=1,且f′(0)=0=g′(0)=b,即a=1,b=0,所以a+b=1.

2.(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ b (a,b
x

为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平 行,则a+b的值是__________.

【解析】曲线y=ax2+ b (a,b为常数)过点P(2,-5), 则有4a+ b =-5,
2 x

又该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行, 由y′=2ax- b2 得 4a ? b ? ? 7 ,
x 4 2 a ? ?1, 则a+b=-3. 联立两式得 ? ? ? b ? ?2,

答案:-3

3.(2014·广东高考)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为______. 【解析】因为y′=-5e-5x,y′|x=0=-5, 即在点(0,3)处的切线斜率为-5, 所以切线方程为y-3=-5(x-0),即5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0

4.(2015·无锡模拟)抛物线y=x2上的点到直线:x-y-2=0的最短距离为 __________. 【解析】y′=2x,根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切 线对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x02), 则 y? |x?x ? 2x 0 ? 1, 所以x0= 1 ,所以切点坐标为( 1 , 1 ),切点到直线x-y2 2 4 1 1 | ? ?2| 7 2 ,所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的 2=0的距离d= 2 4 ? 8 2
0

最短距离为 7 2 .
7 2 答案: 8 8

创新体验2

导数几何意义应用的创新问题

【创新点拨】 1.高考考情:导数几何意义的应用中的创新问题是近几年高考命题的 一个增长点,此类问题以新定义、新情境为依托,考查学生理解问题、 解决创新问题的能力. 2.命题形式:常见的有新概念、新情境、新法则等.

【新题快递】 1.(2014·陕西高考)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆 点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的 一部分,则函数的解析式为( )

1 3 3 x ? x 125 5 3 3 C.y ? x ?x 125 A.y ?

B.y ?

2 3 4 x ? x 125 5 3 3 1 D.y ? ? x ? x 125 5

【解题提示】根据函数的图象可以得到函数的极值点 ,再利用导数求 得解析式的极值点,二者能够统一的即为所求.

【解析】选A.由函数图象可得函数的极值点为〒5,对四个选项中函数 解析式进行求导,只有选项A的函数解析式求导得y′=3〓 1 x2- 3 ,令
125 5

y′=0得x=〒5,所以只有选项A的解析式与图象相统一.

2.(2014·安徽高考)若直线l与曲线C满足下列两个条件: (1)直线l在点P(x0,y0)处与曲线C相切. (2)曲线C在点P附近位于直线l的两侧,则称直线l在点P处“切过”曲 线C. 下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).

①直线l:y=0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=x3;
②直线l:x=-1在点P(-1,0)处“切过”曲线C:y=(x+1)2; ③直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=sin x; ④直线l:y=x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y=tan x; ⑤直线l:y=x-1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y=ln x.

【解析】根据题意满足条件的有①③④,②⑤不满足题意. 答案:①③④

【备考指导】
1.准确转化:解决此类问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣题目

所给条件,结合题目要求进行恰当转化,切忌同已有概念或定义相混淆.
2.方法选取:对于导数几何意义的应用中的创新问题,可恰当选用图象

法、特例法、一般逻辑推理等方法,同时结合导数的几何意义求解,以
此培养学生领悟新信息、运用新信息的能力.



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