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求函数的解析式



求函数解析式
一、函数的解析式: 把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等 式就叫函数的解析式,简称解析式. 二、求函数解析式的常用方法有: 1.待定系数法 2.换元法(构造法) 3.消元法

例3

已知f(x)是一次函数,f[f(x)]=4x-1,求f(x)的

解析式. 解:设f(x)=kx+b(k≠0) 则 f[f(x)]=f(kx+b)=k(kx+b)+b =k2x+kb+b=4x-1
? k ?4 则有 ? ?kb ? b ? ?1
2

1 ? f (x) ? 2x ? 或f (x) ? ?2x ? 1 3 适合:已知函数的模型(如一次函数、二次函数、反比例
函数等)求函数解析式.

? k?2 ? k ? ?2 ? ?? 或 1 ? b ? ? ? b ?1 ? 3 ?

待定系 数法

例4
解:

已知 f (x ? 1) ? x 2 ? 2x ? 2 ,求 f (x).

令t = x +1,则x = t-1
2

∴f ?t? = ?t-1? + 2 ?t-1? + 2 = t2 +1

?f ? x ? = x +1
2

适合:已知f[g(x)]的解析式,求f(x).

换元法

1 例5 已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x( x ? 0) ,求 f (x). x

1 ? 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 解:由 ? ?3 f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x x ?
3x 2 ? ( x ? 0) 解得 f ( x) ? 5 5x

消去法

适合: 同时含有 f (x)与f ( 1 ),或f (x)与f ( ?x)的表达式.
x

1.(2012·重庆高一检测)下表表示一球自一斜面滚下t 秒内所行的距离的呎数,当t=2.5时,距离s为_______呎(呎 是一种英制长度单位)
t s 0 0 1 10 2 40 3 90 4 160 5 250

解析:由图表可以得到函数的解析式为 s=10t2,将t=2.5代入解析式得距离 s=10×2.52=62.5(呎) 【答案】62.5

2.(2012·郑州高一检测)已知反比例函数f(x),满足f(3)= -6,求f(x)的解析式. 解:设反比例函数为

k k f(x) = (k≠0),则f(3)= = -6. x 3 解得k = -18. 18 故f(x)= - . x

1 x 3. 若f ( ) ? , 求f (x). 2 x 1? x
1 1 解 : 令t ? , 则x ? (t ? 0, t≠ ? 1), x t

1 t t f (t) ? ? 2 1 1 ? ( )2 t ? 1 t

? f (x) ?

x (x ? 0,x ? ?1). 2 x ?1

4.已知 f (x) ? 2f (?x) ? 3x ? x 2 ,

求f(x)的解析式.
2 ? f (x) ? 2f ( ? x) ? 3x ? x ? 解:? 2 ? ?f (? x) ? 2f (x) ? ?3x ? ? ? x ?

1 2 ? f ? x ? ? x ? 3x. 3



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