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《选修4-1 几何证明选讲》核心考点15.平面与圆柱面的截线



《选修 4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题 知识点 15:平面与圆柱面的截线 常考题型:求平面与圆柱面的截线图形的几何性质 方法详述:根据截面的形状,研究几何图形的几何性质 例 1 底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,截口是一个椭圆,该椭圆的长 轴长_____,短轴长_____,离心率为_____. 答案:8cm,12cm, 1 . 2 分析:根据平面与圆柱面的截线及椭圆的性质,可得圆柱的底面直径为 12cm,截面与底面 成 30°,根据截面所得椭圆长轴、短轴与圆柱直径的关系,我们易求出椭圆的长轴长和短 轴长,进而得到椭圆的离心率. 解析:∵圆柱的底面直径 d 为 12cm,截面与底面成 30° ∴椭圆的短轴长 2b ? d ? 12 cm 椭圆的长轴长 2a ? d ? 8 3 cm cos 30? 根据得,椭圆的半焦距长 c ? 2 cm , 则椭圆的离心率 c ? c 2 3 1 ? ? . a 4 3 2 1 . 2 故答案为:8cm,12cm, 高考试题精析 【2014 年高考题改编】如图,AB 是圆柱体 OO′的一条母线,BC 过底面圆的圆心 O,D 是圆 O 上不与点 B,C 重合的任意一点,已知棱 AB=5,BC=5,CD=3. (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的大小; (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 转动一周,求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体 积. 解: (1)因为点 D 以 BC 径的圆上,所以 BD⊥DC,因为 AB⊥平面 BDC,DC?平面 BDC,所 以 AB⊥DC,从而有 CD⊥平面 ABD,所以∠CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角. 在 Rt△ADC 中, ?CAD ? 3 2 CD 3 3 2 ,所以 ?CAD ? arcsin , ? ? arcsin 10 AC 10 50 即直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 arcsin 3 2 . 10 (2)由题意可知,所求体积是两个圆锥体的体积之差, 1 1 V ? V圆锥ABC ? V圆锥ABD ? ? ? 52 ? 5 ? ? ? 42 ? 5 ? 15? 3 3 故所求体积为 15π . 【练习】 1. 在如图所示的斜截圆柱中, 已知圆柱底面的直径为 40cm, 母线长最短 50cm, 最长 80cm, 则斜截圆柱的侧面面积 S=( ) A. 2600 cm 2 B. 5200 cm 2 C. 2600? cm 2 D. 5200? cm 2 分析: 几何体的 50cm 到 80cm 处的截去的部分的面积和余下的面积相等, 展开可求侧面积. 解析:几何体的 50cm 到 80cm 处的截去的部分的面积和余下的面积相等, 30 ? 40? ,下部分的面积为: 50 ? 40? , 2 30 ? 40? ? 2600? ,故选 C. 由此可知:斜截圆柱的侧面面积: S ? 50 ? 40? ? 2 将几何体侧面展开,上部分面积为:


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