《选修4-1 几何证明选讲》核心考点15.平面与圆柱面的截线

《选修 4-1 几何证明选讲》核心考点与典型例题 知识点 15：平面与圆柱面的截线 常考题型：求平面与圆柱面的截线图形的几何性质 方法详述：根据截面的形状，研究几何图形的几何性质 例 1 底面直径为 12cm 的圆柱被与底面成 30°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长 轴长_____，短轴长_____，离心率为_____． 答案：8cm，12cm， 1 ． 2 分析：根据平面与圆柱面的截线及椭圆的性质，可得圆柱的底面直径为 12cm，截面与底面 成 30°，根据截面所得椭圆长轴、短轴与圆柱直径的关系，我们易求出椭圆的长轴长和短 轴长，进而得到椭圆的离心率． 解析：∵圆柱的底面直径 d 为 12cm，截面与底面成 30° ∴椭圆的短轴长 2b ? d ? 12 cm 椭圆的长轴长 2a ? d ? 8 3 cm cos 30? 根据得，椭圆的半焦距长 c ? 2 cm ， 则椭圆的离心率 c ? c 2 3 1 ? ? ． a 4 3 2 1 ． 2 故答案为：8cm，12cm， 高考试题精析 【2014 年高考题改编】如图，AB 是圆柱体 OO′的一条母线，BC 过底面圆的圆心 O，D 是圆 O 上不与点 B，C 重合的任意一点，已知棱 AB=5，BC=5，CD=3． (1)求直线 AC 与平面 ABD 所成的角的大小； (2)将四面体 ABCD 绕母线 AB 转动一周，求△ACD 的三边在旋转过程中所围成的几何体的体 积． 解： （1）因为点 D 以 BC 径的圆上，所以 BD⊥DC，因为 AB⊥平面 BDC，DC?平面 BDC，所 以 AB⊥DC，从而有 CD⊥平面 ABD，所以∠CAD 为直线 AC 与平面 ABD 所成的角． 在 Rt△ADC 中， ?CAD ? 3 2 CD 3 3 2 ，所以 ?CAD ? arcsin ， ? ? arcsin 10 AC 10 50 即直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 arcsin 3 2 ． 10 （2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差， 1 1 V ? V圆锥ABC ? V圆锥ABD ? ? ? 52 ? 5 ? ? ? 42 ? 5 ? 15? 3 3 故所求体积为 15π ． 【练习】 1． 在如图所示的斜截圆柱中， 已知圆柱底面的直径为 40cm， 母线长最短 50cm， 最长 80cm， 则斜截圆柱的侧面面积 S=( ) A． 2600 cm 2 B． 5200 cm 2 C． 2600? cm 2 D． 5200? cm 2 分析： 几何体的 50cm 到 80cm 处的截去的部分的面积和余下的面积相等， 展开可求侧面积． 解析：几何体的 50cm 到 80cm 处的截去的部分的面积和余下的面积相等， 30 ? 40? ，下部分的面积为： 50 ? 40? ， 2 30 ? 40? ? 2600? ，故选 C． 由此可知：斜截圆柱的侧面面积： S ? 50 ? 40? ? 2 将几何体侧面展开，上部分面积为：