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两角和与差的正弦、余弦和正切公式课时作业



课时作业 20

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、选择题
?π ? 3 1.已知 α∈?2,π?,sinα=5,则 tan2α=( ? ?

)

24 A. 7 24 C.-25
? ?

24 B.25 24 D.- 7

? 3 4 3 解析:∵α∈?2,π?,sinα=5,∴cosα=-5,∴tanα=-4.∴tan2α

2tanα 24 ? ? = =- 2 = 7. ? 3?2 1-tan α 1-?-4?
? ?

? 3? 2×?-4?

答案:D 2sin α+sin2α 10 2.已知 sin(π-α)=- 10 ,则 π? =( ? cos?α-4?
? ?
2

)

1 A.2 2 5 C. 5

2 5 B.- 5 D.2

10 10 解析:∵sin(π-α)=- 10 ,∴sinα=- 10 . 2sin2α+sin2α 2sinα?sinα+cosα? ∴ π? = 2 ? cos?α-4? ? ? 2 ?sinα+cosα? 2 5 =2 2sinα=- 5 .

答案:B 3 5 3. 已知 cosα=5, cos(α+β)=-13, α, β 都是锐角, 则 cosβ=( 63 A.-65 33 C.65 33 B.-65 63 D.65 )

5 π 解析:∵α,β 是锐角,∴0<α+β<π,又 cos(α+β)=-13<0,∴2 12 4 <α+β<π,∴sin(α+β)=13,sinα=5.又 cosβ=cos(α+β-α)=cos(α+ 5 3 12 4 33 β)cosα+sin(α+β)sinα=-13×5+13×5=65. 答案:C π? π? ? ? 3 4.已知 cos?x-6?=- 3 ,则 cosx+cos?x-3?的值是( ? ? ? ? 2 3 A.- 3 C.-1 π? ? 解析:cosx+cos?x-3?
? ?

)

2 3 B.± 3 D.± 1

1 3 3 3 =cosx+2cosx+ 2 sinx=2cosx+ 2 sinx = 3?
? 3 ? π? ? 1 ?= 3cos?x- ?=-1. cos x + sin x 6? 2 ? ? 2 ?

答案:C 5 10 5.已知 α、β 都是锐角,若 sinα= 5 ,sinβ= 10 ,则 α+β 等于 ( ) π A.4 3π B. 4

π 3π C.4和 4

π 3π D.-4和- 4

2 5 解析:由 α、β 都为锐角,所以 cosα= 1-sin2α= 5 ,cosβ= 3 10 2 1-sin2β= 10 .所以 cos(α+β)=cosα· cosβ-sinα· sinβ= 2 ,所以 α π +β=4.故选 A. 答案:A 2 6.在△ABC 中,C=120° ,tanA+tanB=3 3,则 tanAtanB 的值 为( ) 1 A.4 1 C.2 解析:∵C=120° , ∴tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC=-tan120° = 3. tanA+tanB 又∵tan(A+B)= , 1-tanAtanB 2 3 3 2 1 ∴ 3= .∴1-tanAtanB=3,tanAtanB=3. 1-tanAtanB 答案:B 二、填空题 3 7.已知 sin(α-β)cosα-cos(β-α)sinα=5,β 是第三象限角,则 5π? ? sin?β+ 4 ?=________.
? ?

1 B.3 5 D.3

解析:依题意可将已知条件变形为

3 3 sin[(α-β)-α]=-sinβ=5,sinβ=-5. 5π 5π 5π 3 2 4 ∴sin(β+ 4 )=sinβcos 4 +cosβsin 4 =-5×(- 2 )+(-5)×(- 2 3 2 4 2 7 2 2 )= 10 + 10 = 10 . 7 2 答案: 10 1 1 8.化简: - =________. 1+tanα 1-tanα -2tanα 2tanα 解析:原式= =- ?1+tanα??1-tanα? 1-tan2α =-tan2α. 答案:-tan2α π? ? 1 9. 若 α∈?0,2?, 且 sin2α+cos2α=4, 则 tanα 的值等于________.
? ?

1 解析:由 sin2α+cos2α=4得 sin2α+1-2sin2α=1-sin2α=cos2α= π? ? 1 1 π π ?0, ?,∴cosα= ,∴α= ,∴tanα=tan = 3. . ∵ α ∈ 2? 4 2 3 3 ? 答案: 3 三、解答题 π? ? ?5π? 3 10.(2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+4?,x∈R,且 f?12?=2.
? ? ? ?

(1)求 A 的值; π? ? ?3π ? 3 (2)若 f(θ)+f(-θ)=2,θ∈?0,2?,求 f? 4 -θ?.
? ? ? ? ?5π? ?5π π? 2π 解:(1)∵f?12?=Asin?12+4?=Asin 3 ? ? ? ?

π 3 3 =Asin3= 2 A=2,∴A= 3.

π? ? (2)由(1)知 f(x)= 3sin?x+4?
? ?

故 f(θ)+f(-θ) π? π? 3 ? ? = 3sin?θ+4?+ 3sin?-θ+4?=2,
? ? ? ?

∴ 3?

? 2 ? 3 2 ?= , ? sin θ + cos θ ? + ? cos θ - sin θ ? 2 ? 2 ? 2

3 6 ∴ 6cosθ=2,∴cosθ= 4 . π? ? 10 又 θ∈?0,2?,∴sinθ= 1-cos2θ= 4 , ? ?
?3π ? 30 ∴f? 4 -θ?= 3sin(π-θ)= 3sinθ= 4 . ? ?

π? 1 ? π 4 11.已知,0<α<2<β<π,cos?β-4?=3,sin(α+β)=5.
? ?

(1)求 sin2β 的值; π? ? (2)求 cos?α+4?的值.
? ?

π? ? π π 解:(1)法 1:∵cos?β-4?=cos4cosβ+sin4sinβ
? ?

2 2 1 = 2 cosβ+ 2 sinβ=3, 2 2 7 ∴cosβ+sinβ= 3 ,∴1+sin2β=9,∴sin2β=-9. π? ?π ? ? 7 法 2:sin2β=cos?2-2β?=2cos2?β-4?-1=-9.
? ? ? ?

π (2)∵0<α<2<β<π, π π 3 π 3π ∴4<β-4<4π,2<α+β< 2 , π? ? ∴sin?β-4?>0,cos(α+β)<0.
? ?

π? 1 ? 4 ∵cos?β-4?=3,sin(α+β)=5,
? ?

π? 2 2 ? 3 ∴sin?β-4?= 3 ,cos(α+β)=-5,
? ?

π? π?? ? ? ? ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4??
? ? ? ? ?? ? ?

π? π? ? ? =cos(α+β)cos?β-4?+sin(α+β)sin?β-4?
? ?

3 1 4 2 2 8 2-3 =-5×3+5× 3 = 15 .

1.设 α,β 都是锐角,那么下列各式中成立的是( A.sin(α+β)>sinα+sinβ B.cos(α+β)>cosαcosβ C.sin(α+β)>sin(α-β) D.cos(α+β)>cos(α-β) 解析:∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 又∵α、β 都是锐角,∴cosαsinβ>0, 故 sin(α+β)>sin(α-β). 答案:C

)

2.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1,

连接 EC,ED,则 sin∠CED=( 3 10 A. 10 5 C. 10

) 10 B. 10 5 D. 15

解析:因为四边形 ABCD 是正方形,且 AE=AD=1, π 所以∠AED=4. 又因为在 Rt△EBC 中,EB=2,BC=1, 5 2 5 所以 sin∠BEC= 5 ,cos∠BEC= 5 .
?π ? 于是 sin∠CED=sin?4-∠BEC? ? ?

π π =sin4cos∠BEC-cos4sin∠BEC 2 2 5 2 5 10 = 2 × 5 - 2 × 5 = 10 .故选 B. 答案:B 3. 已知角 α, β 的顶点在坐标原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, α, 1 β∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是-3,角 α+β 的 4 终边与单位圆交点的纵坐标是5,则 cosα=________. 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cosβ=-3,sin(α+β)=5. π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴2<β<π,2<α+β<π,sinβ= 3 ,cos(α+β)=-5. ∴cosα=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ

3 ? 1? 4 2 2 3+8 2 =-5×?-3?+5× 3 = 15 . ? ? 3+8 2 答案: 15 4.(2014· 江西卷)已知函数 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)为奇函数,
?π? 且 f?4?=0,其中 a∈R,θ∈(0,π). ? ?

(1)求 a,θ 的值; π? ?α? ?π ? ? 2 (2)若 f?4?=-5,α∈?2,π?,求 sin?α+3?的值.
? ? ? ? ? ?

解: (1)因为 f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)是奇函数, 而 y1=a+2cos2x π 为偶函数,所以 y2=cos(2x+θ)为奇函数,又 θ∈(0,π),则 θ=2,所
?π? 以 f(x)=-sin2x· (a+2cos2x),由 f?4?=0 得-(a+1)=0,即 a=-1. ? ? ?α? 1 1 2 4 (2)由(1)得, f(x)=-2sin4x, 因为 f?4?=-2sinα=-5, 即 sinα=5, ? ?

π? ?π ? ? 3 π π 又 α∈?2,π?,从而 cosα=-5,所以有 sin?α+3?=sinαcos3+cosαsin3
? ? ? ?

4-3 3 = 10 .



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