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高中数学复习专题讲座(第15讲)三角函数式的化简与求值


题目 高中数学复习专题讲座 三角函数式的化简与求值 高考要求 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学 习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径, 特别是要掌握化简和求值 的一些常规技巧,以优化我们的解题效果,做到事半功倍 重难点归纳 1 求值问题的基本类型 ①给角求值,②给值求值,③给式求值,④ 求函数式的最值或值域,⑤化简求值 2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性,化非特角为特殊角, 熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的 变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题,要认真寻找条件和结论的 关系,寻找解题的突破口,很难入手的问题,可利用分析法 ④求最值问 题,常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解
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例 1 不查表求 sin220°+cos280°+ 3 cos20°cos80°的值
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命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法,对 计算能力的要求较高 知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟,计算易出错 技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形;解法二转化为函数 问题,使解法更简单更精妙,需认真体会
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解法一 =
1 2

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sin220°+cos280°+ 3 sin220°cos80°
1 2

(1-cos40°)+
1 2 1 2

(1+cos160°)+

3 sin20°cos80°

=1- =1-

cos40°+ cos40°+

1 2 1 2

cos160°+ 3 sin20°cos(60°+20°) (cos120°cos40°-sin120°sin40°)

+ 3 sin20°(cos60°cos20°-sin60°sin20°) =1- =1-
1 2
3 4
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cos40°- cos40°-
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1 4
3 4

cos40°-

3 4

sin40°+
1 4

3 4

sin40°-

3 2

sin220°

(1-cos40°)=

解法二

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设 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°

y=cos220°+sin280°- 3 cos20°sin80°,则 x+y=1+1- 3 sin60°=
1 2



x-y=-cos40°+cos160°+ 3 sin100° =-2sin100°sin60°+ 3 sin100°=0 ∴x=y=
1 4


1
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即 x=sin220°+cos280°+ 3 sin20°cos80°=

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4

例 2 设关于 x 的函数 y=2cos2x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a), 试确定 满足 f(a)=
1 2

的 a 值,并对此时的 a 值求 y 的最大值
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命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以 及较强的逻辑思维能力 知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题 错解分析 考生不易考查三角函数的有界性,对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题,还要用到配 方法、数形结合、分类讲座等
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由 y=2(cosx-

a 2

)2-

a

2

? 4a ? 2 2

及 cosx∈[-1,1]得

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?1 ? 2 ? a f(a)= ? ? ? 2a ? 1 ? 2 ?1 ? 4 a ?

(a ? ?2) (?2 ? a ? 2) (a ? 2)

∵f(a)=

1 2

,
1 2

∴1-4a= 或 -
a
2

? a=

1 8

? [2,+∞ )
1 2

-2a-1=
1 2

,解得 a=-1 ? ( ? 2, 2 ) ,
1 2
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2

此时,y=2(cosx+

)2+


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当 cosx=1 时,即 x=2kπ ,k∈Z,ymax=5

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例 3 已知函数 f(x)=2cosxsin(x+

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 的值; (3)若当 x∈[
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?
12



7? 12

]时,f(x)的反函数为 f 1(x),求 f- 1(1)的值





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命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还 考查计算变形能力,综合运用知识的能力 知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识 - 错解分析 在求 f- 1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化,逆向思维
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(1)f(x)=2cosxsin(x+
?
3

?
3

)- 3 sin2x+sinxcosx
?
3

=2cosx(sinxcos

+cosxsin

)- 3 sin2x+sinxcosx
?
3

=2sinxcosx+ 3 cos2x=2sin(2x+ ∴f(x)的最小正周期 T=π (2)当 2x+
?
3

)

=2kπ -
?
3

?
2

,即 x=kπ -
?
2 , 7? 2
5? 6

5? 12

(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2

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(3)令 2sin(2x+ ∴2x+ 则 x= 例4
?
3

)=1,又 x∈[ ,
3? 2

], ,

∈[

?
3


],∴2x+
?
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?
3

=

?
4

,故 f- 1(1)=
?
2

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4

已知

<β <α <
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3? 4

,cos(α -β )=

12 13

,sin(α +β )=-

3 5

,求 sin2

α 的值_________ 解法一
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? 2

<β <α <

3? 4

,∴0<α -β <
5 13

?
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π <α +β <
2

3? 4

,
4 5 .

4

2 ∴ sin(? ? ? ) ? 1 ? cos (? ? ? ) ?

, cos(? ? ? ) ? ? 1 ? sin (? ? ? ) ? ?

∴sin2α =sin[(α -β )+(α +β )] =sin(α -β )cos(α +β )+cos(α -β )sin(α +β )
? 5 13 ? (? 4 5 )? 12 13 ? (? 3 5 )?? 56 65 .

解法二

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∵sin(α -β )=

5 13

,cos(α +β )=-

4 5

,
72 65

∴sin2α +sin2β =2sin(α +β )cos(α -β )=- sin2α -sin2β =2cos(α +β )sin(α -β )=- ∴sin2α = ( ?
2
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40 65

1

72 65

?

40 65

)? ?

56
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65

学生巩固练习 1 已知方程 x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根均 tanα 、tanβ ,且α ,β ∈
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(-

? ? ? ? ? , ),则 tan 的值是( 2 2 2

) C
4
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A 2
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1
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B
3 5

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-2
?
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D

1
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或-2

2
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3

2 1 2

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已知 sinα =
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,α ∈(

,π ),tan(π -β )=

,则 tan(α -2

β )=______ 3
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设α ∈(

?
4

,

3? 4

),β ∈(0,
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?
4

),cos(α -

?
4

)=

3 5

,sin(

3? 4

+β )=

5 13



则 sin(α +β )=_________ 4
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不查表求值:
?
4

2 sin 130 ? ? sin 100 ? (1 ? 1 ? cos 10 ?

3 tan 370 ? )

.

5 6

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已知 cos(
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+x)=

3 5

,(

17 ? 12
8 3

<x<

7? 4

),求

sin 2 x ? 2 sin 1 ? tan x

2

x

的值
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已 知 α - β =
? 4 sin (
2

π , 且 α ≠ k π (k ∈ Z)
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1 ? cos( ? ? ? ) csc

?
4

?
2
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? sin
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?
2

?

?
4

) 的最大值及最大值时的条件

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7 如右图,扇形 OAB 的半径为 1,中心角 60°,四边 形 PQRS 是扇形的内接矩形,当其面积最大时,求点 P 的位 置,并求此最大面积
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B Q P

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8

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已知 cosα +sinβ = 3 ,sinα +cosβ 的取值范围是
2x ? 3
1 2

O

R

S

A

D,x∈D,求函数 y= log

4 x ? 10

的最小值,并求取得最小

值时 x 的值 参考答案 1 解析 ∵a>1,tanα +tanβ =-4a<0
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tanα +tanβ =3a+1>0,
? ? ?
2

又α 、β ∈(-

? 2

,

? 2

)∴α 、β ∈(-

? 2

,θ ),则

∈(-

? 2

,0),
??? 4 2 ? , ??? 3 2

又 tan(α +β )=

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?

? 4a 1 ? ( 3 a ? 1)

?

4 3

2 tan , 又 tan( ? ? ? ) ? 1 ? tan
? ?? 2

2

? ??

整理得 2tan2 答案 2
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? 3 tan

? ?? 2

?2

2

=0

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解得 tan

=-2

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B
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解析

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∵sinα =
3 4

3 5

,α ∈(

? 2

,π ),∴cosα =-
1 2

4 5

则 tanα =-

,又 tan(π -β )=
2 ? (?

可得 tanβ =-

1 2

,

tan 2 ? ?

2 tan ? 1 ? tan ?
2

?

) 2 ? ? 4. 1 2 3 1 ? (? ) 2
2

1

tan (? ? 2 ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? ? tan 2 ?

? ?

3 4

? (? 3 4

4 3

) 4 3 ? )

7 24

1 ? (?

) ? (?

答案 3
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7 24
? 3? 4 4

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α ∈( ,
? 4 )? 4 5

),α -
? 4 ? 4 )? ( ). ?

? 4

∈(0,

? 2

),又 cos(α -
, ? ). sin( 3? 4

? 4

)=

3
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5

? sin( ? ?

, ? ? (0,

3? 4

? ??( ? ?) ?

3? 4

? ?) ?

5 13

,? cos(

3? 4

? ?) ? ?

12 13

.

? sin( ? ? ? ) ? sin[( ? ? ? ? cos[( ? ? ? ? cos( ? ? ? 4 ? 4 即 sin( ? ? ? ) ? 56 65 ) ? cos( )? ( 3? 4 3? 4

3? 4

? 2

]

? ? )] ? ? ) ? sin( ? ? ? 4 ) ? sin( 3? 4 ? ?) ? ? 3 5 ? (? 12 13 )? 4 5 ? 5 13 ? 56 65 .

答案 4
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56 65

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答案

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2
?
4 ? x) ? 7 4
2

5 . 解 :? cos( 又 17 ? 12

3 5 5? 3

,? sin 2 x ? ? cos 2 ( ? x?

?
4

? x) ?

7 25

. 4 5

? x ?

? ,?
?

?
4

? 2 ? ,? sin( x ?
2

?
4

)? ?

sin 2 x ? 2 sin 1 ? tan x

x

2 sin x cos x ? 2 sin 1? sin x cos x 4 5 3 5

x

?

2 sin x (sin x ? cos x ) cos x cos x ? sin x

sin 2 x sin( ? cos(

?
4

? x)

7 ? 25

? (?

) ?

28 75

?
4

? x)

6 .解 : 令 t ?

1 ? cos( ? ? ? ) csc ? 2 ? sin ? 2

? 4 sin (
2

? 4

?

? 4

)

sin ?

? 2

(1 ? cos ? )
2

1 ? cos( ?4 2

? 2

?

? 2

) ?

sin

? 2

? 2 cos
2

2

? 2 ? 4 ( 1 ? 1 sin ? ) 2 2 2

1 ? sin ? 2 (sin ? 2 8 3 ? t ? 4 sin(

? 2 ? 2

cos cos ? ?? 2 ? 2 ? 2 2? 3 ? 2? 3

? 2

? sin

) ? 2 ? 4 sin

? ?? 2 8 3 4

?2

?? ?? ?

? ,? ?

? ?? 4 2 3

2? ? ? 1 2
? 2 ? 2 3

? ?

?

. )?2

? 2

?) ? (?

) ? 2 ? ? 2 sin(
?? k? 2 ?

? ? ? k ? (k∈Z),?

2? 3

(k∈Z)
? 2 ? 2 3 ? ) 的最小值为-1
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∴当
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? 2
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?

2? 3

? 2 k? ?

? 2

, 即 ? ? 4 k? ?
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? 3

(k∈Z)时, sin(

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7 解 以 OA 为 x 轴 O 为原点,建立平面直角坐标系, 并设 P 的坐标为(cosθ ,sinθ ),则
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|PS|=sinθ 立解之得 Q(

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直线 OB 的方程为 y= 3 x,直线 PQ 的方程为 y=sinθ
3

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3

sinθ ;sinθ ),所以|PQ|=cosθ -

3 3

sinθ

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于是 SPQRS=sinθ (cosθ - = = ∵0<θ < ∴sin(2θ + 此时,θ = 8
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3 3

sinθ )
3 3

3 3
3 3

( 3 sinθ cosθ -sin2θ )= (
? 6
3 2

(

3 2
3 3

sin2θ - sin(2θ +
? 6
3 6

1 ? cos 2 ? 2

)

sin2θ +
? 6

1 2

cos2θ -
5 6

1 2

)=
1 2

? 6

)-
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3
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6
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? 3

,∴

<2θ +



π

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<sin(2θ +

)≤1 ,

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? 6 ? 6

)=1 时,PQRS 面积最大,且最大面积是
A ,点 P 为 ? B 的中点,P(
3 1 , ) 2 2
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设 u=sinα +cosβ

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则 u2+( 3 )2
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=(sinα +cosβ )2+(cosα +sinβ )2=2+2sin(α +β )≤4 ∴u2≤1,-1≤u≤1 即 D=[-1,1],
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设 t= 2 x ? 3 ,∵-1≤x≤1,∴1≤t≤ 5
?M ? 2x ? 3 4 x ? 10 4 t ? t 2t ? 4
2

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x=
1

t

2

?3
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2

?

1 2t ? 4 t

?

?

2 8

.

4 2 2 8

当 且 仅 当 2t ?

,即 t ?

2时 , M

m ax

?

.

? y ? lo g 0 .5 M 在 M ? 0时 是 减 函 数 , ? y m in ? lo g 0 .5 此时t ? 2,
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2 8

? lo g 0 .5

2 ? lo g 0 .5 8 ? 1 2 .

5 2

时,

2x ? 3 ?

2, x ? ?

课前后备注

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