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2016年四川初二数学联赛(决赛)参考答案及评分细则


2016 年全国初中数学联合竞赛(四川初二决赛) 试题参考答案及评分标准
说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档;解答题, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方 法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相 应的分数. 一、选择题(本题满分 42 分,每小题 7 分) 1、C 2、C 3、B 4、D

5、A

6、D

二、填空题(本题满分 28 分,每小题 7 分) 7、 ? 3 8、2 9、672 10、17 三、解答题(本题共三小题,第 11 题 20 分,第 12、13 题各 25 分,共 70 分) 11、设三角形的三边长为整数且周长为 30,则这样的三角形共有多少个? 解:设三角形的三边长为 a 、 b 、 c ,且不妨设 a ? b ? c ,则有:

?a ? b ? c ? 30 a?b?c a?b?c ,所以 c ? ? 15 故 10 ? ? c ? 14 。…………(5 分) ? 2 3 ?a ? b ? c
当 c ? 10 时, b ? 10, a ? 10 ,有 1 解; 当 c ? 11 时, b ? 11, a ? 8 ,或 b ? 10, a ? 9 ,有 2 解; 当 c ? 12 时, b ? 12, a ? 6 或 b ? 11, a ? 7 或 b ? 10, a ? 8 或 b ? 9, a ? 9 有 4 解; 当 c ? 13 时, b ? 13, a ? 4 或 b ? 12, a ? 5 或 b ? 11, a ? 6 或 b ? 10, a ? 7 或 b ? 9, a ? 8 ,有 5 解; 当 c ? 14 时 , b ? 14, a ? 2 或 b ? 13, a ? 3 或 b ? 12, a ? 4 或 b ? 11, a ? 5 或 b ? 10, a ? 6 或
b ? 9, a ? 7 或 b ? 8, a ? 8 ,有 7 解;

故总共有:1+2+4+5+7=19 个三角形。

…………………………(20 分)

注:本题能够正确求出两个 c 的正确解,即可给 5 分。 四、 (本大题满分 25 分) 12、如图,在 △ ABC 的 AB 、 AC 两边向外任意作两个平行四边形,分别为 ABDE 和
ACFG ,延长 DE 、 FG 交于 H ,连接 AH ,在 BC 边上向外以 BC 为一条边作平行四边形,

满足另外一条邻边 BM 与 AH 平行且相等.记四边形 ABDE , ACFG , BMNC 的面积分别为
S1 , S 2 , S 3 .求证: S1 ? S 2 ? S 3 。

2016 年全国初中数学联赛(四川初二决赛)参考答案及评分细则

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证明:如图,延长 HA 交 BC , MN 分别于 P , Q ,连接 AM , HB 。 因 为 PQ 平 行 BM , 且 ?ABM 的 边 BM 是 平 行 四 边 形 PBMQ 的 一 条 边 , 因 此

S ?ABM ?

1 S BMQP ; 2 1 S ABDE ; 2

………………(5 分) ………………(10 分)

E D

H

类似地有 S ?ABH ?

A B

G F

又 AH 平行且等于 BM ,故 AHBM 是平行四边形, 于是有 S ?ABM ? S ?ABH , 所以有 S BMQP ? S ABDE ; ………………(15 分) ………………(20 分)
M Q P C

N

同理有: S CNQP ? S ACFG ,故 S ABDE ? S ACFG ? S BCNM ,结论成立。………(25 分) 五、 (本大题满分 25 分)
x 轴上是否存在点 C , 13、 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(1,2) , 点 B(?1,?2) , 问: 使 △ ABC

为直角三角形?若存在,求出所有点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:如图,假设存在这样的点 C ,设 C 的坐标为 (m,0) ,由各点的坐标和勾股定理可 得 :

AC ? (m ? 1) 2 ? 2 2



BC ? (m ? 1) 2 ? 2 2



AB ? (1 ? 1) 2 ? (2 ? 2) 2 ? 2 5 。………………(5 分)
(1) 若 C 为直角顶点, 且 C 在 x 轴的正半轴时, 因为 A 与 B 关于 O 对称, 所以 O 是 AB 中点,于是有 OC ?

1 AB ? 5 ,所以 C 的坐标为 ( 5 ,0) ;根据对称性, (? 5 ,0) 也符合 2

要求。………………(15 分) (2)若 A 为直角顶点时,此时 C 应在 x 轴的正半轴,由勾股定理有:

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ,即 (2 5 ) 2 ? (m ? 1) 2 ? (m ? 1) 2 ? 2 2 ,解得 m ? 5 ,即 C (5,0) 。
类似地, B 为直角顶点时,可得 C (?5,0) 。

( 5 ,0) , 此时 C 的坐标可分别为: 综上, 这样的直角三角形存在, 此时 A 为直角顶点时, (? 5 ,0) , (5,0) , (?5,0) 。………………(25 分)

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