9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 其它课程 >>

【创新设计】2014高考数学人教A版(通用版,理)一轮复习讲义:第十章 统计、统计案例及算法初步



第一节 随机抽样

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考 对随机抽样(尤其是分层抽样)的考查,几

1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本, 了解分层抽样和系统抽样.

乎年年都出现在高考试题中,题型以选择题 和填空题为主, 难度较低, 2012 年天津 T9, 如 江苏 T2 等.

[归纳· 知识整合] 1.简单随机抽样 (1)抽取方式:不放回抽取; (2)每个个体被抽到的概率相等; (3)常用方法:抽签法和随机数法. [探究] 1.简单随机抽样有什么特点? 提示:(1)被抽取样本的总体个数 N 是有限的;(2)样本是从总体中逐个抽取的;(3)是一 种不放回抽样;(4)是等可能的抽取. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)先将总体的 N 个个体编号; N N (2)确定分段间隔 k,对编号进行分段.当 (n 是样本容量)是整数时,取 k= ; n n

(3)在第 1 段用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤k); (4)按照一定的规则抽取样本,通常是将 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号 l+k,再加 k 得到第 3 个个体编号 l+2k,依次进行下去,直到获取整个样本. [探究] 2.系统抽样有什么特点? 提示:适用于元素个数很多且均衡的总体;各个个体被抽到的机会均等;总体分组后, 在起始部分抽样时,采用简单随机抽样. 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地 抽取一定数量的个体, 将各层取出的个体合在一起作为样本, 这种抽样方法是一种分层抽样. (2)分层抽样的应用范围: 当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样. [探究] 3.分层抽样有什么特点? 提示:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时可采用简 单随机抽样或系统抽样. [自测· 牛刀小试] 1.在抽样过程中,每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样,在分层抽样、系统 抽样、简单随机抽样三种抽样中,不放回抽样有( A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

解析:选 D 三种抽样都是不放回抽样. 2.(2013· 温州模拟)某工厂生产 A,B,C 三种不同型号的产品,产品数量之比为 3∶4∶ 7,现在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型号产品有 15 件,那么样本容 量 n 为( A.50 C.70 ) B.60 D.80

3 解析:选 C 由分层抽样的方法得 ×n=15, 3+4+7 解得 n=70. 3.利用简单随机抽样,从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本.若第二次抽取时,余 1 下的每个个体被抽到的概率为 ,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( 3 1 A. 3 1 C. 4 5 B. 14 10 D. 27 )

9 1 解析:选 B 由题意知 = ,解得 n=28. n-1 3 10 5 故 P= = . 28 14 4.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为 10∶8∶7,从中抽取 200 名职员作为样 本,若每人被抽到的概率为 0.2,则该单位青年职员的人数为________. 200 解析:总人数为 =1 000,该单位青年职员的人数为 0.2 10 1 000× =400. 25 答案:400 5.(2012· 湖北高考)一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人.现用分层抽样 的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有________人. 解析:分层抽样的特点是按照各层占总体的比抽取样本,设抽取的女运动员有 x 人,则 x 42 = ,解得 x=6. 8 56 答案:6

简单随机抽样

[例 1] 为了支援我国西部教育事业,决定从 2011 级学生报名的 30 名志愿者中,选取 10 人组成志愿小组,请用抽签法和随机数表法设计抽样方案. [自主解答] 抽签法: 第一步:将 30 名志愿者编号,编号为 1,2,3,?,30. 第二步:将 30 个号码分别写在 30 张外观完全相同的纸条上,并揉成团,制成号签. 第三步:将 30 个号签放入一个不透明的盒子中,充分搅匀. 第四步:从盒子中逐个抽取 10 个号签,并记录上面的编号. 第五步:所得号码对应的志愿者,就是志愿小组的成员. 随机数法: 第一步:将 30 名志愿者编号,编号为 01,02,03,?,30. 第二步:在随机数表中任选一数开始,按某一确定方向读数. 第三步:凡不在 01~30 中的数或已读过的数,都跳过去不作记录,依次记录下 10 个得 数. 第四步:找出号码与记录的数相同的志愿者组成志愿小组.

把本例中“30 名志愿者”改为“1800 名志愿者”,仍抽取 10 人,应如何进行抽样? 解:因为总体数较大,若选用抽签法制签太麻烦,故应选用随机数法. 第一步:先将 1 800 名志愿者编号,可以编为 0001,0002,0003,?,1800. 第二步:在随机数表中任选一个数,例如选出第 2 行第 1 列的数 9. 第三步:从选定的数开始向右读,依次可得以 0736,0751,0732,1355,1410,1256, 0503,1557,1210,1421 为样本的 10 个号码,这样我们就得到一个容量为 10 的样本. ————— —————————————— 应用简单随机抽样应注意的问题 (1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅 匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法. (2)在使用随机数表时,如遇到三位数或四位数时,可从选择的随机数表中的某行某列 的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,有超过总体号码或出现重复号码 的数字舍去.

1.今用简单随机抽样从含有 6 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本.问: (1)总体中的某一个体 a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少? (2)个体 a 不是在第一次被抽到,而是在第二次被抽到的概率是多少? (3)在整个抽样过程中,个体 a 被抽到的概率是多少? 解:①用简单随机抽样,从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的样本,每次抽 1 n 取一个个体时任一个体被抽到的概率为 ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 ; N N ②抽签有先后,但概率都是相同的. 1 1 1 故(1) ;(2) ;(3) . 6 6 3

系统抽样

[例 2] (2012· 山东高考)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查, 为此将他 们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到 的 32 人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其 余的人做问卷 C,则抽到的人中,做问卷 B 的人数为( A.7 C.10 [自主解答] B.9 D.15 第 n 个抽到的编号为 9+(n-1)×30=30n-21,由题意得 451≤30n- )

21≤750,解得 15 11 7 ≤n≤25 .又 n∈Z,故满足条件的共有 10 个. 15 10

[答案] C ————— —————————————— 解决系统抽样应注意的几个问题 (1)适合元素个数较多且均衡的总体; (2)各个个体被抽到的机会均等; (3)样本的第一个个体用简单随机抽样.

2.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( A.13 C.20 解析:选 C B.19 D.51 由系统抽样的原理知抽样的间隔为 52 =13,故抽取的样本的编号分别为 4 )

7,7+13,7+13×2,7+13×3,从而可知选 C.

分层抽样

[例 3] 某学校共有教职工 900 人,分成三个批次进行教育培训,在三个批次中男、女 教职工人数如下表所示. 已知在全体教职工中随机抽取 1 名, 抽到第二批次中女教职工的概 率是 0.16. 第一批次 女教职工 男教职工 196 204 第二批次 x 156 第三批次 y z

(1)求 x 的值; (2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训效果的调查,问应在第三批次 中抽取教职工多少名? x [自主解答] (1)由 =0.16,解得 x=144. 900 (2)第三批次的人数为 y+z=900-(196+204+144+156)=200, m 54 设应在第三批次中抽取 m 名,则 = ,解得 m=12. 200 900

故应在第三批次中抽取 12 名教职工. ————— —————————————— 分层抽样的步骤 第一步:将总体按一定标准分层; 第二步: 计算各层的个体数与总体数的比, 按各层个体数占总体数的比确定各层应抽取 的样本容量; 第三步:在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样).

3.(2012· 天津高考)某地区有小学 150 所,中学 75 所,大学 25 所.现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取____________所学 校,中学中抽取____________所学校. 150 75 解析:从小学中抽取 30× =18 所学校;从中学中抽取 30× = 150+75+25 150+75+25 9 所学校. 答案:18 9

? 1 组比较——三种抽样方法的比较 类别 简单随机抽 样 抽样过程 系统抽样 中每个个 体被抽取 的机会相 等 分层抽样 共同点 各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部分, 按事先确定的规则在各 部分抽取 将总体分成几层进行抽 取 相互联系 适用范围 总体中的个体 数较少 在起始部分抽样时 采用简单随机抽样 各层抽样时采用简 单随机抽样或系统 抽样 总体中的个体 数较多 总体由差异明 显的几部分组 成

易误警示——抽样方法中的解题误区

[典例] (2012· 江苏高考)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 3∶3∶4,现 用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从高二年级抽 取________名学生.

3 [解析] 由题意得高二年级的学生人数占该学校高中人数的 ,利用分层抽样的有关知 10 识得应从高二年级抽取 50× [答案] 15 [易误辨析] 1.因不能正确确认抽样的比例从而导致失误. 2.在求解过程中计算失误. 3.解答随机抽样问题时,还有以下几点容易造成失误: (1)分不清系统抽样中各段入样的个体编号成等差数列; (2)分层抽样中各层所占的比例不准确; (3)系统抽样时总体容量不能被样本容量整除时,不知随机从总体中剔除余数;分层抽 样时所取各层个体数不是整数时,不会微调个体数目. [变式训练] 1.从 2 006 名学生中选取 50 名组成参观团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从 2 006 人中剔除 6 人,剩下的 2 000 人再按照系统抽样的方法进行,则每人入选的概率 ( ) A.不全相等 C.都相等,且为 25 1 003 B.均不相等 D.都相等,且为 1 40 3 =15 名学生. 10

解析:选 C 抽样过程中每个个体被抽取的机会均等,概率相等,剔除后的抽取过程与 50 25 从 2006 人中抽取 50 人,每人入选的概率相同,其概率为 = . 2 006 1 003 2. 中央电视台在因特网上就观众对 2013 年春节晚会这一节目的喜爱程度进行调查, 参 加调查的总人数为 12 000,其中持各种态度的人数如表所示: 很喜爱 2 435 喜爱 4 600 一般 3 926 不喜爱 1 039

电视台为进一步了解观众的具体想法和意见, 打算从中抽取 60 人进行更为详细的调查, 其中持“喜爱”态度的观众应抽取________人. 解析:由于样本容量与总体容量的比为 故应抽取“喜爱”态度的观众人数为 1 4 600× =23(人). 200 答案:23 60 1 = , 12 000 200

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( ①从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本; ②箱子里有 100 支铅笔,今从中选取 10 支进行检验.在抽样操作时,从中任意拿出一 支检测后再放回箱子里; ③从 50 个个体中一次性抽取 5 个个体作为样本. A.0 个 C.2 个 B.1 个 D.3 个 )

解析:选 A ①不满足样本的总体数较少的特点;②不满足不放回抽取的特点;③不满 足逐个抽取的特点. 2.某校高三年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解该年级学生的健康情况,从男生 中任意抽取 25 人,从女生中任意抽取 20 人进行调查.这种抽样方法是( A.简单随机抽样法 C.随机数表法 B.抽签法 D.分层抽样法 )

解析:选 D 由于总体容量较大,且男、女生健康差异明显,因此采用分层抽样方法抽 取样本. 3.(2012· 浙江高考改编)某个年级有男生 560 人,女生 420 人,用分层抽样的方法从该 年级全体学生中抽取一个容量为 280 的样本,则此样本中男生人数为( A.80 C.160 B.120 D.240 )

4 解析:选 C 设样本中男、女生分别为 x,y,且 x∶y=4∶3,所以 x=280× =160. 7 4.800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健康检查.现将 800 名学生从 1 到 800 进行编号, 800 求得间隔数 k= =16,即每 16 人抽取一个人.在 1~16 中随机抽取一个数,如果抽到的 50 是 7,则从 33~48 这 16 个数中应取的数是( A.40 C.38 ) B.39 D.37

解析:选 B 按系统抽样分组,33~48 这 16 个数属第 3 组,则这一组应抽到的数是 7 +2×16=39. 5.某工厂有 A,B,C 三种不同型号的产品,这三种产品数量之比为 2∶3∶5,现用分 层抽样从中抽出一个容量为 n 的样本,该样本中 A 种型号产品有 8 件,那么这次样本的容 量 n 是( A.12 ) B.16

C.20

D.40

n 8 解析:选 D 设三种产品的数量之和为 2k+3k+5k=10k,依题意有 = ,解得 n= 10k 2k 40. 6.在 100 个零件中,有一级品 20 个,二级品 30 个,三级品 50 个,从中抽取 20 个作 为样本: ①采用随机抽样法,将零件编号为 00,01,02,?,99,抽出 20 个; ②采用系统抽样法,将所有零件分成 20 组,每组 5 个,然后每组中随机抽取 1 个; ③采用分层抽样法,随机从一级品中抽取 4 个,二级品中抽取 6 个,三级品中抽取 10 个,则( )

1 A.不论采取哪种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 5 1 B.①②两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 ,③并非如此 5 1 C.①③两种抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率都是 ,②并非如此 5 D.采用不同的抽样方法,这 100 个零件中每个被抽到的概率各不相同 解析:选 A 由抽样方法的性质知,抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等,这个比 例只与样本容量和总体有关. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.某高中共有学生 2 000 名,已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到高三年级男生的 概率是 0.1 现用分层抽样的方法在全校抽取若干名学生参加社区服务,相关信息如下表: 年级 男生(人数) 女生(人数) 抽样人数 高一 a c x 高二 310 d 15 高三 b 200 10

则 x=________. b n 解析:由 =0.1,可得 b=200.设在全校抽取 n 名学生参加社区服务,则有 = 2 000 2 000 10 . 200+200 解得 n=50.故 x=50-15-10=25. 答案:25 8.将参加夏令营的 600 名学生编号为:001,002,?,600.采用系统抽样方法抽取一个 容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营区,从 001 到 300 在第Ⅰ营区,从 301 到 495 在第Ⅱ营区,从 496 到 600 在第Ⅲ营区,三个营区被抽中的人数

依次为________. 解析:依题意及系统抽样的意义可知,将这 600 名学生按编号依次分成 5 0 组,每一组 各有 12 名学生,第 k(k∈N*)组抽中的号码为 3+12(k-1). 103 令 3+12(k-1)≤300 得 k≤ , 4 因此第Ⅰ营区被抽中的人数是 25, 103 令 300<3+12(k-1)≤495,得 <k≤42, 4 因此第Ⅱ营区被抽中的人数是 42-25=17. 故第Ⅲ营区被抽中的人数是 50-25-17=8. 答案:25,17,8 9.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3 000 件,根据分层抽样的结果,企业统 计员制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量(件) A B 1 300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得 A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10,根据以上信息,可得 C 的产品数量是________. 解析:设 C 产品的样本容量为 x,则 A 产品的样本容量为 10+x,由 B 知抽取的比例为 1 ,故 x+10+x+130=300,解得 x=80.所以 C 产品的数量为 800. 10 答案:800 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.一次数学模拟考试,共 12 道选择题,每题 5 分,共计 60 分,每道题有四个可供选 择的答案,仅有一个是正确的.学生小张 只能确定其中 10 道题的正确答案,其余 2 道题完 全靠猜测回答. 小张所在班级共有 40 人,此次考试选择题得分情况统计表: 得分(分) 百分率 40 15% 45 10% 50 25% 55 40% 60 10%

现采用分层抽样的方法从此班抽取 20 人的试卷进行选择题质量分析. (1)应抽取多少张选择题得 60 分的试卷? (2)若小张选择题得 60 分,求他的试卷被抽到的概率. 40 4 解:(1)得 60 分的人数 40×10%=4.设抽取 x 张选择题得 60 分的试卷,则 = , 20 x 即 x=2.故应抽取 2 张选择题得 60 分的试卷.

(2)设小张的试卷为 a1,另三名得 60 分的同学的试卷为 a2,a3,a4,所有抽取 60 分试卷 的方法为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a2,a3),(a2,a4),(a3,a4)共 6 种,其中小张的试 3 1 卷被抽到的抽法共有 3 种,故小张的试卷被抽到的概率为 P= = . 6 2 11.(2012· 天津高考)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的方 法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查. (1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析, ①列出所有可能的抽取结果; ②求抽取的 2 所学校均为小学的概率. 解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①在抽取到的 6 所学校中,3 所小学分别记为 A1,A2,A3,2 所中学分别记为 A4,A5, 大学记为 A6,则抽取 2 所学校的所有可能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5}, {A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4, A5},{A4,A6},{A5,A6},共 15 种. ②从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为{A1, 2}, 1, A {A 3 1 A3},{A2,A3},共 3 种,所以 P(B)= = . 15 5 12.(2012· 北京高考)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余 垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投 放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别 为 a,b,c,其中 a>0,a+b+c=600.当数据 a,b,c 的方差 s2 最大时,写出 a,b,c 的值 (结论不要求证明),并求此时 s2 的值. 1 (注:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为数据 x1,x2,?,xn 的平 n 均数) 解:(1)厨余垃圾投放正确的概率约为

“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 400 2 = = . 厨余垃圾总量 400+100+100 3 (2)设“生活垃圾投放错误”为事件 A,则事件 A 表示“生活垃圾投放正确”. 事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与 400+240+60 “其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,即 P( A )约为 =0.7, 1 000 所以 P(A)约为 1-0.7=0.3. (3)当 a=600,b=c=0 时,s2 取得最大值. 1 因为 x = (a+b+c)=200, 3 1 所以 s2= ×[(600-200)2+(0-200)2+(0-200)2]=80 000. 3

1.(2012· 福建高考)一支田径队有男女运动员 98 人,其中男运动员有 56 人.按男女比 例用分层抽样的方法,从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本,那么应抽取女运动员人 数是________. 98-56 解析:应抽取女运动员的人数为 ×28=12. 98 答案:12 2.某学校在校学生 2 000 人,学校举行了跑步和登山比赛,每人都参加且每人只参加 其中一项比赛,各年级参加比赛的人数情况如下表: 高一年级 跑步人数 登山人数 a x 高二年级 b y 高三年级 c z

1 其中 a:b:c=2∶5∶3,全校参加登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的 4 满意程度, 按分层抽样的方式从中抽取一个 200 人的样本进行调查, 则高三年级参加跑步的 学生中应抽取( A.15 人 C.40 人 ) B.30 人 D.45 人

3 解析:选 D 由题意,全校参加跑步的人数占总人数的 ,高三年级参加跑步的总人数 4 3 3 1 为 ×2 000× =450,由分层抽样的特征,得高三年级参加跑步的学生中应抽取 ×450= 4 10 10 45 人.

第二节 用样本估计总体

[备考方向要明了]

考 什 么 1.了解分布的意义和作用, 会列频率分布表, 会画频率分

怎 么 考

布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 1.由于高考对统计考查的覆盖面 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准 差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准 差),并给出合理解释. 4.会用样本的频率分布估计总体的分布, 会用样本的基本 数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总 体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决 一些简单的实际问题. 广, 几乎对所有的统计考点都有涉 及,其中频率分布直方图、均值与 方差、茎叶图是核心,题型多是选 择题或填空题, 难度不大, 2012 如 年安徽 T5,陕西 T6 等. 2.近几年来,对概率统计的综合问 题考查的力度有所加大, 题目难度 中低档,如 2012 年广东 T17 等.

[归纳· 知识整合] 1.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差); (2)决定组距与组数; (3)将数据分组; (4)列频率分布表; (5)画频率分布直方图. 2.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布 折线图. (2)总体密度曲线:随着样本容量的增加,作图时所分组数增加,组距减小,相应的频

率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线. 3.茎叶图的优点 茎叶图的优点是可以保留原始数据,而且可以随时记录,方便记录与表示. 4.标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离. (2)标准差: s= 1 - - - [?x - x ?2+?x2- x ?2+?+?xn- x ?2]. n 1

1 - - - (3)方 差:s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2](xn 是样本数据,n 是样本容量, x n 是样本平均数). 5.利用频率分布直方图估计样本的数字特征 (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此 可以估计中位数的值. (2)平均数:平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边 中点的横坐标之和. (3)众数:在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的中点的横坐标. [探究] 1.在频率分布直方图中如何确定中位数? 提示:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积是相等的. 2.利用茎叶图求数据的中位数的步骤是什么? 提示:(1)将茎叶图中数据按大小顺序排列;(2)找中间位臵的数. [自测· 牛刀小试] 1. (2012· 山东高考)在某次测量中得到的 A 样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据,则 A, 两样本的下列数字特征对 B 应相同的是( A.众数 C.中位数 ) B.平均数 D.标准差

解析:选 D 只有标准差不变,其中众数、平均数和中位数都加 2. 2.(2011· 安庆模拟)如图是根据某校 10 位高一同学的身高 (单位:cm)画出的茎叶图,其中左边的数字从左到右分别表示 学生身高的百位数字和十位数字, 右边的数字表示学生身高的 个位数字,从图中可以得到这 10 位同学身高的中位数是( A.161 C.163 B.162 D.164 ) 15 16 17 5 1 1 5 3 2 7 3 8 5

161+163 解析:选 B 由给定的茎叶图可知,这 10 位同学身高的中位数为 =162. 2 3.某校举行 2013 年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出的分数如下茎叶统计图,去 掉一个最高分和一个最低分,所剩数据的方差为________. 解析:由茎叶图知,去掉一个最高分和一个最低分, 所剩数据为 84,84,86,84,87,所以由公式得方差为 1.6. 答案:1.6 7 8 9 9 4 3 4 6 4 7

4.从一堆苹果中任取 10 只,称得它们的质量如下(单位:克): 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为________. 4 解析:数据落在[114.5,124.5)内的有:120,122,116,120 共 4 个,故所求频率为 =0.4. 10 答案:0.4 5.(2012· 大同模拟)将容量为 n 的样本中的数据分为 6 组,绘制频率分布直方图,若第 一组至第六组的数据的频率之比为 2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和为 27,则 n=________. 2+3+4 解析:由已知,得 · n=27, 2+3+4+6+4+1 即 9 · n=27,解得 n=60. 20

答案:60

频率分布直方图的应用

[例 1] (1)在样本频率分布直方图中, 共有 11 个小长方形, 若中间一个小长方形的面积 1 等于其他 10 个小长方形面积和的 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为( 4 A.32 C.40 B.0.2 D.0.25 )

(2)某区高二年级的一次数学统考中,随机抽取 200 名同 学的成绩,成绩全部在 50 分至 100 分之间,将成绩按如下方 式分成 5 组:第一组,成绩大于等于 50 分且小于 60 分;第二 组,成绩大于等于 60 分且小于 70 分;??第五组,成绩大于 等于 90 分且小于等于 100 分,据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这 200 名同学中 成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生有______名.

[自主解答] (1)由频率分布直方图的性质,可设中间一组的频率为 x,则 x+4x=1,解 得 x=0.2.故中间一组的频数为 160×0.2=32. (2)由题知,成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生所占的频率为 1-(0.005×2+0.025 +0.045)×10=0.2, 所以这 200 名同学中成绩大于等于 80 分且小于 90 分的学生有 200×0.2 =40 名. [答案] (1)A ————— (2)40 —————————————— 频率分布直方图反映了样本的频率分布 频率 (1)在频率分布直方图中纵坐标表示 , 组距 频率 频率=组距× . 组距 (2)频率分布表中频率的和为 1,故频率分布直方图中各长方形的面积和为 1.

1.已知一个样本容量为 100 的样本数据的频率分布直方图如图 所示,样本数据落在[6,10)内的样本频数为________,样本数据落在 [2,10)内的频率为________. 解析:样本数据落在[6,10)内的样本频数为 0.08×4×100=32, 样本数据落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4. 答案:32 0.4

数字特征的应用

[例 2] (2012· 安徽高考)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统 计图如图所示,则( )

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

[自主解答] 由题意可知,甲的成绩为 4,5,6,7,8,乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以甲、乙的成 绩的平均数均为 6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5,B 错;甲、乙的成绩的方差 1 1 分别为 ×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2, ×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2 5 5 12 +(6-6)2+(9-6)2]= ,C 对;甲、乙的成绩的极差均为 4,D 错. 5 [答案] C ————— —————————————— 样本数字特征及公式推广 (1)平均数和方差都是重要的数字特征,是对总体一种简明的阐述.平均数、中位数、 众数描述总体的集中趋势,方差和标准差描述波动大小. (2)平均数、方差公式的推广 - 若数据 x1,x2,?,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则数据 mx1+a,mx2+a,?,mxn+a - 的平均数为 m x +a,方差为 m2s2.

2.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均值为 x ,则( )

A.me=m0= x C.me<m0< x

B.me=m0< x D.m0<me< x

解析:选 D 由图可知,30 名学生的得分情况依次为:2 个人得 3 分,3 个人得 4 分, 10 个人得 5 分,6 个人得 6 分,3 个人得 7 分,2 个人得 8 分,2 个人得 9 分,2 个人得 10 分.中位数为第 15,16 个数(分别为 5,6)的平均数即 me=5.5,5 出现次数最多,故 m0=5, x 2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10 = ≈5.97.于是得 m0<me< x . 30 茎叶图的应用

[例 3] 某校高三年级进行了一次数学测验,随机从甲、乙两班各抽取 6 名同学,所得 分数的茎叶图如图所示. 甲 班 2 9 1 乙 班

7 6

0 2 8

8 7 6

0 2

3 5

6

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均分数较高,并说明理由; (2)现从甲班这 6 名同学中随机抽取两名同学,求他们的分数之和大于 165 分的概率. [自主解答] (1)因为乙班的成绩集中在 80 分,且没有低分,所以乙班的平均分比较高. (2)设从甲班中任取两名同学,两名同学分数之和超过 165 分为事件 A.从甲班 6 名同学 中任取两名同学, 则基本事件空间中包含了 15 个基本事件, 又事件 A 中包含 4 个基本事件, 4 所以,P(A)= . 15 4 即从甲班中任取两名同学,两名同学分数之和超过 165 分的概率为 . 15 ————— —————————————— 茎叶图的优缺点 由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况, 这一点同频率分布直方图类似. 它优于频率 分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据, 没有任何信息损失, 第二点是茎叶图便 于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐.

3.(2012· 湖南高考)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中 所得 分数的茎 叶图 ,则该运 动员在这 五场比赛中得 分的方差 为 ________.

0 1

8 0

9 3 5

1 (注:方差 s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2],其中 x 为 x1,x2,?,xn 的平 n 均数) 解析:该运动员五场比赛中的得分为 8,9,10,13,15,平均得分 x = 11, 1 方差 s2= [(8-11)2+(9-11)2+(10-11)2+(13-11)2+(15-11)2]=6.8. 5 答案:6.8 4.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数 据的茎叶图(中间的数字表示身高的百位、十位数,旁边的数字分别表示身高的个位数)如图 所示. 甲班 2 9 8 8 8 1 4 0 2 18 17 16 1 2 3 5 5 6 9 6 9 乙班 8+9+10+13+15 = 5

8

15

7

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差. 解:(1)由茎叶图可知乙班身高比较集中在 170~181 之间,所以乙班的平均身高较高. (2)甲班的方差为: 1 ×[(182-170)2+(179-170)2+(178-170)2+(171-170)2+(170-170)2+(168-170)2 10 +(168-170)2+(164-170)2+(162-170)2+(158-170)2]=54.2.

? 2 个异同——众数、中位数和平均数的异同,标准差和方差的异同 (1)众数、中位数和平均数的异同 ①众数、中位数和平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重要的量. ②由于平均数与每一个样本数据有关, 所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的 改变,这是众数和中位数都不具有的性质. ③众数考查各数据出现的频率, 其大小只与这组数据中部分数据有关. 当一组数据中有 不少数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. ④某些数据的改动对中位数可能没有影响, 中位数可能出现在所给的数据中, 也可能不 在所给的数据中.当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势. (2)标准差和方差的异同 标准差和方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散 程度就越大; 标准差、 方差越小, 数据的离散程度则越小. 因为方差与原始数据的单位不同, 且平方后可能夸大了偏差程度, 所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样 的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差. ? 2 个区别——直方图与条形图的区别 不要把直方图错以为条形图, 两者的区别在于条形图是离散随机变量, 纵坐标刻度为频 数或频率,直方图是连续随机变量,纵坐标刻度为频率/组距,这是密度,连续随机变量在 某一点上是没有频率的.

易误警示——频率分布直方图中的易误点 [典例] (2012· 山东高考)如图是根据部分城市某年 6 月份的平均气温(单位:℃)数据得 到的样本频率分布直方图, 其中平均气温的范围是[20.5,26.5], 样本数据的分组为[20.5,21.5),

[21.5,22.5), [22.5,23.5), [23.5,24.5), [24.5,25.5), [25.5,26.5]. 已知样本中平均气温低于 22.5℃ 的城市个数为 11,则样本中平均气温不低于 25.5℃的城市个数为________.

[解析] 最左边两个矩形面积之和为 0.10×1+0.12×1=0.22, 总城市数为 11÷ 0.22=50, 最右边矩形面积为 0.18×1=0.18,50×0.18=9. [答案] 9 [名师点评] 1.忽视频率分布直方图中纵轴的含义为频率/组距,误认为是每组相应的频率值,导致 失误; 2.不清楚直方图中各组的面积之和为 1,导致某组的频率不会求; 3.不理解由直方图求样本平均值的方法,误用每组的频率乘以每组的端点值而导致失 误; 4.由直方图确定众数时应为最高矩形中点对应的横坐标值,中位数应为左右两侧的频 1 率均等各为 . 2 [变式训练] 对某种电子元件的使用寿命进行跟踪调查, 所得样本的频率分布直方图如图所示, 由图 可知, 这一批电子元件中使用寿命在 100~300 h 的电子元件的数量与使用寿命在 300~600 h 的电子元件的数量的比是________.

1 3 4 1 解析:寿命在 100~300 h 的电子元件的频率为?2 000+2 000?×100= = ; ? ? 20 5 1 1 3 4 寿命在 300~600 h 的电子元件的频率为?400+250+2 000?×100= . ? ? 5 1 4 1 则它们的电子元件数量之比为 ∶ = . 5 5 4

1 答案: 4

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2012· 湖北高考)容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 分组 频数 [10,20) 2 [20,30) 3 [30,40) 4 [40,50) 5 [50,60) 4 [60,70) 2

则样本数据落在区间[10,40)的频率为( A.0.35 C.0.55

) B.0.45 D.0.65

9 解析:选 B 求得该频数为 2+3+4=9,样本容量是 20,所以频率为 =0.45. 20 2.某校 100 名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示,分数不低于 a 即为优秀,如 果优秀的人数为 20 人,则 a 的估计值是( )

A.130 C.134

B.140 D.137

解析: C 由题意知, 选 优秀的频率为 0.2, a 的值在 130~140 之间, 故 则(140-a)×0.015 =0.1,解得 a=133.4. 3.(2012· 陕西高考)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到 样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是( A.46,45,56 B.46,45,53 C.47,45,56 D.45,47,53 45+47 解析: A 从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数, 选 即 2 =46,众数为 45,极差为 68-12=56. 4.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次, )

投中的次数如下表: 学生 甲班 乙班 1号 6 6 2号 7 7 3号 7 6 4号 8 7 ) 5号 7 9

则以上两组数据的方差中较小的一个为 s2,则 s2=( 2 A. 5 3 C. 5 解析: A 选 7 B. 25 D.2

1 2 x 甲=7, 2 = [(6-7)2+(7-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2]= ,x 乙=7, s甲 5 5

1 6 s2 = [(6-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)2]= , 乙 5 5 2 两组数据的方差中较小的一个为 s2 ,即 s2= . 甲 5 5.某单位举办技能比赛,9 位评委给生产科打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉 一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图 中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是( 评委给生产科打出的分数 8 9 A.2 C.4 解析:选 A 若数字 90+x 是最高分, 1 则为 x 1= (88+89+91+92+92+93+94)≈91.3, 7 不合题意,因此最高分为 94 分, 1 此时平均分 x 2= (88+89+91+92+92+93+90+x), 7 1 ∴ (635+x)=91,解得 x=2. 7 6.(2012· 江西高考)小波一星期的总开支分布如图(1)所示,一星期的食品开支如图(2) 所示,则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( ) 9 2 8 x B.3 D.5 7 3 4 2 1 )

A.30% C.3%

B.10% D.不能确定

解析:选 C 由图(1)得到小波一星期的总开支,由图(2)得到小波一星期的食品开支, 从而再借助图(2)计算出鸡蛋开支占总开支的百分比.由图(2)知,小波一星期的食品开支为 300 30+40+100+80+50=300 元,由图(1)知,小波一星期的总开支为 =1 000 元,则小波 30% 一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 30 ×100%=3%. 1 000

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7. (2013· 徐州模拟)学校为了调查学生在课外读物方面的 支出情况,抽出了一个容量为 n 且支出在[20,60)元的样本, 其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人.则 n 的值为________. 解析: 支出在[50,60)的频率为 1-0.36-0.24-0.1=0.3, 30 因此 =0.3,故 n=100. n 答案:100 8.(2013· 南京模拟)为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的 稳定程度,统计了该运动员在 6 场比赛中的得分,用茎叶图表 示如图,则该组数据的方差为________. 108 解析:该运动员 6 场的总得分为 14+17+18+18+20+21=108,平均得分为 =18 6 1 分,方差= [(14-18)2+(17-18)2+(18-18)2+(18-18)2+(20-18)2+(21-18)2]=5. 6 答案:5 9.为了了解大连市今年准备报考飞行员的学生的体重情 况, 将所得的数据整理后, 画出了频率分布直方图(如图所示), 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,第 2 小组的频数为 120,则抽取的学生人数是________. 解析:由频率分布直方图知:学生的体重在 65~75 kg 的频率为(0.012 5+0.037 5)×5 =0.25,则学生的体重在 50~65 kg 的频率为 1-0.25=0.75. 1 2 4 0 7 1 8 8

2 从左到右第 2 个小组的频率为 0.75× =0.25, 6 所以抽取的学生人数是 120÷ 0.25=480. 答案:480 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.(2012· 安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 mm 时,则视为 合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机 抽取 5 000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品.计算这 50 件不合格品的直径长与标准 值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表: 分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 50 1.00 10 8 0.50 频数 频率 0.10

(1)将上面表格中缺少的数据补充完整; (2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概 率; (3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有 20 件不合格品.据此估算这批 产品中的合格品的件数. 解:(1) 分组 [-3,-2) [-2,-1) (1,2] (2,3] (3,4] 合计 频率分布表 频数 5 8 25 10 2 50 频率 0.10 0.16 0.50 0.20 0.04 1.00

(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区 间(1,3]内的概率约为 0.50+0.20=0.70. (3)设这批产品中的合格品数为 x 件,依题意有 5 000×20 50 20 = ,解得 x= -20= 5 000 x+20 50

1 980. 所以该批产品的合格品件数估计是 1 980 件. 11.(2012· 广东高考)某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其 中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]. (1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分)的 人数记为 ξ,求 ξ 的数学期望.

解:(1)由题意得: 10x=1-(0.006×3+0.01+0.054)×10=0.18, 所以 x=0.018. (2)∵成绩不低于 80 分的学生共有(0.018+0.006)×10×50=12 人,其中 90 分以上(含 90 分)的共有 0.006×10×50=3 人, 因此 ξ 的可能值为 0,1,2 三个值, P(ξ=0)= P(ξ=2)= C2 6 C1C1 9 9 9 3 , 2 = ,p(ξ=1)= 2 = C12 11 C12 22 C2 1 3 = , C2 22 12

∴ξ 的分布列为: ξ P 6 9 1 1 ∴E(ξ)=0× +1× +2× = . 11 22 22 2 12.某中学共有 1 000 名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩 如下表所示: 数学成 绩分组 人数 [0,30) 60 [30,60) 90 [60,90) 300 [90,120) x [120,150] 160 0 6 11 1 9 22 2 1 22

(1)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽

样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分,求他被抽 中的概率; (2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的 人数; (3)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表). 样本容量 解:(1)分层抽样中,每个个体被抽到的概率均为 , 总体中个体总数 1 故甲同学被抽到的概率 P= . 10 (2)由题意得 x=1 000-(60+90+300+160)=390. 故估计该中学达到优秀线的人数 120-110 m=160+390× =290. 120-90 (3)频率分布直方图如图所示.

该学校本次考试的数学平均分. x= 60×15+90×45+300×75+390×105+160×135 =90. 1 000

估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分.

1.(2012· 陕西高考)从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货 机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示).设甲 乙两组数据的平均数分别为 x 甲, x 乙,中位数分别为 m 甲,m 乙,则 ( ) A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙

解析:选 B 由茎叶图可知甲数据集中在 10 至 20 之间,乙数据集中在 20 至 40 之间, 明显 x 甲< x 乙,甲的中位数为 20,乙的中位数为 29,即 m 甲<m 乙.

2.某乡镇供电所为了调查农村居民用电量情况,随机抽取了 500 户居民去年的月均用 电量(单位:kW/h),将所得数据整理后,画出频率分布直方图如下,其中直方图从左到右前 3 个小矩形的面积之比为 1∶2∶3,试估计: (1)该乡镇月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是多少? (2)该乡镇居民月均用电量的中位数约是多少?(精确到 0.01)

解:(1)设直方图从左到右前 3 个小矩形的面积分别为 P,2P,3P. 由直方图可知,最后两个小矩形的面积之和为 (0.087 5+0.037 5)×2=0.25. 因为直方图中各小矩形的面积之和为 1, 所以 P+2P+3P=0.75,即 P=0.125. 所以 3P+0.087 5×2=0.55. 由此估计,该乡镇居民月均用电量在[39.5,43.5)内的居民所占百分比约是 55%. (2)显然直方图的面积平分线位于正中间一个矩形内,且该矩形在面积平分线左侧部分 的面积为 0.5-P-2P=0.5-0.375=0.125,设样本数据的中位数为 39.5+x. 2 因为正中间一个矩形的面积为 3P=0.375,所以 x∶2=0.125∶0.375,即 x= ≈0.67. 3 从而 39.5+x≈40.17,由此估计,该乡镇居民月均用电量的中位数约是 40.17(kW/h). 3.为了解学生身高情况,某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样调 查,测得身高情况的统计图如图所示.

(1)估计该校男生的人数;

(2)估计该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率; (3)从样本中身高在 180~190 cm 之间的男生中任选 2 人, 求至少有 1 人身高在 185~190 cm 之间的概率. 解:(1)样本中男生人数为 40,分层抽样比为 10%. 故估计全校男生人数为 400. (2)由统计图知,样本中身高在 170~185 cm 之间的学生有 14+13+4+3+1=35 人, 样本容量为 70. 故该校学生身高在 170~185 cm 之间的概率 35 P1= =0.5. 70 (3)由统计图知,样本中身高在 180~185 cm 之间的男生有 4 人(不妨设为 A、B、C、D), 样本身高在 185~190 cm 之间的男生有 2 人(不妨设为 E, F)从身高在 180~190 cm 之间的 6 人中任选 2 人有 15 种结果,其中至少 1 人身高在 185~190 cm 之间的结果有 9 种, 9 3 故所求事件的概率 P2= = . 15 5

第三节 变量间的相关关系与统计案例

[备考方向要明了]

考 什 么 1.会作两个相关变量的散点图, 会利用散点图认识变量之 间的相关关系. 2.了解最小二乘法的思想, 能根据给出的线性回归系数公 式建立线性回归方程. 3.了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方 法及其简单应用. 4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

怎 么 考

高考对本节内容的考查主要是线 性回归分析和独立性检验的统计 分析方法,三种题型都有可能出 现, 难度中档, 2012 年湖南 T4, 如 辽宁 T19 等.

[归纳· 知识整合] 1.两个变量的线性相关 (1)正相关: 在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们 将它称为正相关. (2)负相关: 在散点图中, 点散布在从左上角到右下角的区域, 两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 就称这两个变量之间具有线性 相关关系,这条直线叫做回归直线. [探究] 相关关系和函数关系有何异同点? 提示:(1)相同点:两者均是指两个变量的关系. (2)不同点:①函数关系是一种确定的关系,而相关关系是一种非确定的关系.②函数 关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 2.回归方程 (1)最小二乘法: 求回归直线使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程: ^ ^ ^ 方程y=bx+a是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, ^ ^ yn)的回归方程,其中a,b是待定参数. x y x y ? ? ?x --??y --? ?x y -n-- ^ ?b= = , - - ? ? ?x - x ? ?x -n x ?^ - ^- ?a= y -b x .
n n i i i i i=1 i=1 n 2 n i 2 i 2 i=1 i=1

3.残差分析 (1)残差:对于样本点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn),它们的随机误差为 ei=yi-bxi-a, ^ ^ ^ ^ ^ i=1,2,?,n,其估计值为ei=yi-yi=yi-bxi-a,i=1,2,?,n,ei 称为相应于点(xi,yi) 的残差.

? ?yi-yi?2
i=1

n

^

(2)相关指数 R2=1- - ? ?yi- y ?2
n i=1

, R2 越大,意味着残差平方和越小,即模型的拟合效

果越好;R2 越小,残差平方和越大,即模型的拟合效果越差.在线性回归模型中,R2 表示 解释变量对于预报变量变化的贡献率,R2 越接近于 1,表示回归的效果越好. 4.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量 X 和 Y, 它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 2×2 列联表: y1 x1 x2 总计 a c a+c y2 b d b+d 总计 a+b c+d a+b+c+d

n?ad-bc?2 K2= (其中 n=a+b+c+d 为样本容量),则利用独立性检验判 ?a+b??a+c??b+d??c+d? 断表来判断“X 与 Y 的关系”. [自测· 牛刀小试] 1.下列结论正确的是( )

①函数关系是一种确定性关系; ②相关关系是一种非确定性关系; ③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法; ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法. A.①② C.①②④ B.①②③ D.①②③④

解析:选 C 由回归分析的方法及概念判断. 2. 已知 x, 的取值如下表, y 从散点图可以看出 y 与 x 线性相关, 且回归方程为 y=0.95x +a,则 a=( ) x y A.3.25 C.2.2 解析:选 B 0 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7

B.2.6 D.0 x =2, y =4.5,因为回归方程经过点( x , y ),所以 a=4.5-0.95×2

=2.6. 3.工人月工资 y(元)关于劳动生产率 x(千元)的回归方程为 y=650+80x,下列说法中正 确的个数是( )

①劳动生产率为 1 000 元时,工资为 730 元; ②劳动生产率提高 1 000 元,则工资提高 80 元; ③劳动生产率提高 1 000 元,则工资提高 730 元; ④当月工资为 810 元时,劳动生产率约为 2 000 元. A.1 C.3 B.2 D.4

解析:选 C 将数据代入方程计算可判断①②④正确. 4.一位母亲记录了自己儿子 3~9 岁的身高数据(略),由此建立的身高与年龄的回归模 ^ 型为y=7.19x+73.93,用这个模型预测这个孩子 10 岁时的身高,则正确的叙述是( A.身高一定是 145.83 cm B.身高在 145.83 cm 以上 C.身高在 145.83 cm 左右 D.身高在 145.83 cm 以下 ^ 解析:选 C 用回归模型y=7.19x+73.93,只能作预测,其结果不一定是一个确定值. 5.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,下列说法正确的是(
2

)

)

A.若 K 的观测值为 k=6.635,我们有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关系,那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病 B.从独立性检验可知,有 99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,我们说某人吸烟,那 么他有 99%的可能患有肺病 C.若从统计量中求出有 95%的把握认为吸烟与患肺病有关系,是指有 5%的可能性使 得推断出现错误 D.以上三种说法都不正确 解析:选 C 根据独立性检验的思想知.

相关关系的判断

[例 1] 在某地区的 12~30 岁居民中随机抽取了 10 个人的身高和体重的统计资料如表: 身高(cm) 143 156 159 172 165

体重(kg) 身高(cm) 体重(kg)

41 171 69

49 177 74

61 161 69

79 164 68

68 160 54

根据上述数据,画出散点图并判断居民的身高和体重之间是否有相关关系. [自主解答] 以 x 轴表示身高,y 轴表示体重,可得到相应的散点图如图所示.

由散点图可知,两者之间具有相关关系,且为正相关. ————— —————————————— 利用散点图判断相关关系的技巧 (1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上,就用该函数来描述变量间 的关系,即变量之间具有函数关系. (2)如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近,变量之间就有相关关系. (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.

1.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1 表示变量 Y 与 X 之 间的线性相关系数,r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数,则( A.r2<r1<0 C.r2<0<r1 B.0<r2<r1 D.r2=r1 )

解析:选 C 对于变量 Y 与 X 而言,Y 随 X 的增大而增大,故 Y 与 X 正相关,即 r1>0; 对于变量 V 与 U 而言,V 随 U 的增大而减小,故 V 与 U 负相关,即 r2<0,所以有 r2<0<r1.

线性回归方程及其应用

[例 2] 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进 行试销,得到如下数据: 单价 x(元) 销量 y(件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

^ (1)求回归直线方程y=bx+a,其中 b=-20, - - a= y -b x ;

(2)预计在今后的销售中, 销量与单价仍然服从(1)中的关系, 且该产品的成本是 4 元/件, 为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 1 [自主解答] (1)由于 x = (x1+x2+x3+x4+x5+x6)=8.5, 6 1 y = (y1+y2+y3+y4+y5+y6)=80. 6 ^ 所以 a= y -b x =80+20×8.5=250,从而回归直线方程为y=-20x+250. (2)设工厂获得的利润为 L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x2+330x-1 000 33 =-20?x- 4 ?2+361.25. ? ? 当且仅当 x=8.25 时,L 取得最大值. 故当单价定为 8.25 元时,工厂可获得最大利润. ————— —————————————— 求回归直线方程时的注意点 求回归方程,关键在于正确求出系数 a,b,由于计算量较大,所以计算时要仔细谨慎, 避免因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈线性时,求出的回归方程才有意义.

2.某种产品的广告费支出 x 与销售额(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y 2 30 4 40 5 50 6 60 8 70

如果 y 与 x 之间具有线性相关关系. (1)作出这些数据的散点图; (2)求这些数据的线性回归方程; (3)预测当广告费支出为 9 百万元时的销售额. 解:(1)

(2) x =5, y =50, ?xiyi=1 390, ?x2=145, i
i=1 i=1

5

5

?xiyi-5 x ·y
^ b=
i=1 5

5

^ - ^- =7, a= y -b x =15,

?xi2-5 x 2
i=1



^ ∴线性回归方程为y=7x+15. ^ (3)当 x=9 时,y=78. 即当广告费支出为 9 百万元时,销售额为 78 百万元.

独立性检验的基本思想及其应用

[例 3] (2012· 湖南衡阳第二次联考)衡阳市第一次联考后,某校对甲、乙两个文科班的 数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于 120 分为优秀,120 分以下为非优秀.统计成绩 后,得到如下的 2×2 列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部 110 人中随机抽取 1 人为优 3 秀的概率为 . 11 优秀 甲班 乙班 合计 10 30 110 非优秀 合计

(1)请完成上面的列联表; (2)根据列表中的数据,若按 99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; 参考公式与临界值表:K2= P(K2≥k0) k0 n?ad-bc?2 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

0.100 2.706

[自主解答] (1)列联表如下: 优秀 甲班 乙班 合计 10 20 30 非优秀 50 30 80 合计 60 50 110

110×?10×30-20×50?2 (2)根据列联表中的数据,得到 K2= ≈7.486<10.828. 60×50×30×80

因此按 99.9%的可靠性要求,不能认为“成绩与班级有关系”. ————— —————————————— 独立性检验的步骤 (1)根据样本数据制成 2×2 列联表. n?ad-bc?2 (2)根据公式 K = 计算 K2 的观测值. ?a+b??a+c??b+d??c+d?
2

(3)比较 K2 与临界值的大小关系作统计推断.

3.地震、海啸、洪水、森林大火等自然灾害频繁出现,紧急避险常识越来越引起人们 的重视, 某校为了了解学生对紧急避险常识的了解情况, 从七年级和八年级各选取 100 名同 学进行紧急避险常识知识竞赛.图(1)和图(2)分别是对七年级和八年级参加竞赛的学生成绩 按[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]分组,得到的频率分布直方图.

(1)分别计算参加这次知识竞赛的两个年级学生的平均成绩(注:统计方法中,同一组数 据常用该组区间的中点值作为代表); (2)完成下面 2×2 列联表, 并回答是否有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常 识的了解有差异”? 成绩小于 60 分人数 七年级 八年级 合计 n?ad-bc?2 附:K2= .临界值表: ?a+b??c+d??a+c??b+d? P(K2≥k) k 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 成绩不小于 60 分人数 合计

解:(1)七年级学生竞赛平均成绩为 (45×30+55×40+65×20+75×10)÷ 100=56, 八年级学生竞赛平均成绩为 (45×15+55×35+65×35+75×15)÷ 100=60. (2)2×2 列联表如下:

成绩小于 60 分人数 七年级 八年级 合计 70 50 120

成绩不小于 60 分人数 30 50 80

合计 100 100 200

200×?50×70-50×30?2 ∴K2= ≈8.333>6.635. 100×100×120×80 ∴有 99%的把握认为“两个年级学生对紧急避险常识的了解有差异”.

? 1 种求法——相关关系的判定和线性回归方程的求法 (1)函数关系一种理想的关系模型,而相关关系是一种更为一般的情况. (2)如果两个变量不具有线性相关关系,即使求出回归直线方程也毫无意义,而且用其 进行估计和预测也是不可信的. (3)回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体.样本的取值范围一般不超过回归 直线方程的适用范围,否则就没有实用价值. ? 1 个难点——独立性检验思想的理解 独立性检验的思想类似于反证法,即要确定“两个变量 X 和 Y 有关系”这一结论成立 的可信度,首先假设结论不成立,即它们之间没关系,也就是它们是相互独立的,利用概率 n?ad-bc?2 的乘法公式可推知,(ad-bc)接近于零,也就是随机变量 K2= 应该 ?a+b??c+d??a+c??b+d? 很小,如果计算出的 K2 的观测值 k 不是很小,通过查表 P(K2≥k0)的概率很小.又根据小概 率事件不可能发生,由此判断假设不成立,从而可以肯定地断言 X 与 Y 之间有关系.

答题模板——概率与统计的综合问题

[典例] (2012 辽宁高考改编· 满分 12 分)电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节 目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查,其中女性有 55 名.下面是根据调查结果 绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”,已知“体育迷”中 有 10 名女性. (1)根据已知条件完成下面的 2×2 列联表,并据此资料判断是否有 95%的把握认为“体 育迷”与性别有关? 非体育迷 男 女 合计 体育迷 合计

(2)将日均收看该体育节目不低于 50 分钟的观众称为“超级体育迷”,已知“超级体育 迷”中有 2 名女性,若从“超级体育迷”中任意选取 2 人,求至少有 1 名女性观众的概率. n?ad-bc?2 附K= , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k) k

0.05 3.841

0.01 6.635

[快速规范审题] 第(1)问 1.审条件,挖解题信息 观察条件:100 名观众收看节目时间的频率分布直方图及日均收看时间不低于 40 分钟 的观众称为体育迷,女体育迷 10 名― ― ― ― 非体育迷及体育迷人数 ― ― ― → 2.审结论,明确解题方向 观察所求结论: 完成 2×2 列联表并判断“体育迷”与性别的相关性― ― →确定 a, ― ― b, c,d 及 K2 的值 3.建联系,找解题突破口 由直方图及条件确定体育迷与非体育迷人数― →完成列联表― →计算 K2 可判断结论 第(2)问 1.审条件,挖解题信息
需要 借助直方图可确定

观察条件: →确定“超级体育迷”标准且有 2 名女性“超级体育迷”― ― ― ― 确 ― ― ― ― → 定“超级体育迷”的人数 2.审结论,明确解题方向 观察结论: →从“超级体育迷”中任取 2 人求至少有 1 名女性观众的概率― ― ― 1 ― ― ― → 名女性观众或两名女性观众 3.建联系,找解题突破口 由频率分布直方图确定“超级体育迷”的人数― ― ― ― 所有基本事件并计数为 n ― ― ― →
列举法列举出 分类分析

由频率分布直方图

? 和至少有 1 名女性的基本事件,计数为 m ???? 求概率
[准确规范答题] (1)由频率分布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而完成 2×2 列联表如下:

代入P ?

m n

非体育迷 男 女 合计 ?(3 分) 30 45 75

体育迷 15 10 25

合计 45 55 100

忽视直方图纵轴表示
频率 为 ??? 导致每组 ? 组距

人数计算失误.

将 2×2 列联表中的数据代入公式计算,得 K2= 100×?30×10-45×15?2 100 = ≈3.030.因为 3.030<3.841, 所以我们 33 75×25×45×55 没有 95%的把握认为“体育迷”与性别有关.?(6 分) (2)由频率分布直方图可知,“超级体育迷”为 5 人,从而一切 可能结果所组成的基本事件为(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),(a1, 1.“ 超 级 体 育 迷 ” 人 数 b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2), 计算错误导致失误. 其中 ai 表示男性,i=1,2,3,bj 表示女性,j=1,2.?(9 分) 由 10 个基本事件组成, 而且这些基本事件的出现是等可能 的.用 A 表示“任选 2 人中,至少有 1 人是女性”这一事件, 则 A 为(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3, b2),(b1,b2),?(11 分) 7 由 7 个基本事件组成,因而 P(A)= .?(12 分) 10 2.由 5 人中任取 2 人列 举出所有可能结果时重 复或遗漏某一情况导致 失误. K2 的计算不准 确、 导致结果判 断出错.

[答题模板速成]

解决概率与统计的综合问题的一般步骤:

第一步 理清题 意, 理解 问题中 的条件 和结 论. 尤其 是直方 图中给 定的信 息, 找关 键量 ?

第二 步 由直 方图 确定 所需 的数 据, 列出 2×2 列联 表 ?

第三 步

第四 步 确定 基本

第五步

第六步

利用 独立 性检 验的 步骤 进行 判断

事件 总数 ? 及所 求事 件所 含基 本事 件的 个数 ? 利用概 率公式 求事件 的概率 反思回 ? 顾、检查 关键点易 错点及答 题规范

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.下列关系中,是相关关系的为( )

①学生的学习态度与学习成绩之间的关系; ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系; ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. A.①② C.②③ B.①③ D.②④

解析: A ①中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系, 选 但具有相关性是相关 关系. ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系. ③④都不具备相关关系. 2.(2012· 新课标全国卷)在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,

1 xn 不全相等)的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这 2 组样本数据的样本相关系数为( A.-1 1 C. 2 ) B.0 D.1

解析:选 D 因为所有的点都在直线上,所以它就是确定的函数关系,所以相关系数为 1. 3. 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23, 样本点的中心为(4,5), 则回归直线方程为( ^ A.y=1.23x+4 ^ C.y=1.23x+0.08 ^ B.y=1.23x+5 ^ D.y=0.08x+1.23 )

解析:选 C 因回归直线方程必过样本点的中心( x , y ),将点(4,5)代入 A、B、C 检 验可知. 4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系,随机抽取 5 对父子的身高数据如下: 父亲身高 x(cm) 儿子身高 y(cm) 174 175 176 175 176 176 176 177 178 177

则 y 对 x 的线性回归方程为( A.y=x-1 1 C.y=88+ x 2

) B.y=x+1 D.y=176

解析:选 C 设 y 对 x 的线性回归方程为 y=bx+a, -2×?-1?+0×?-1?+0×0+0×1+2×1 1 因为 b= = , 2 ?-2?2+22 1 1 a=176- ×176=88,所以 y 对 x 的线性回归方程为 y= x+88. 2 2 5.有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构对此现象的调查结果: 冷漠 多看电视 少看电视 总计 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168 )

则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系( A.99% C.95% 解析:选 A 可计算 K2≈11.377>6.635. B.97.5% D.90%

6.通过随机询问 110 名性别不同的行人,对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天 桥进行抽样调查,得到如下的列联表: 男 走天桥 走斑马线 总计 n?ad-bc?2 由 K2= , ?a+b??c+d??a+c??b+d? 110×?40×30-20×20?2 算得 K2= ≈7.8. 60×50×60×50 附表: P(K2≥k) k 对照附表,得到的正确结论是( ) 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

A.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关” B.有 99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关” C.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别有关” D.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“选择过马路的方式与性别无关” 110×?40×30-20×20?2 解析: A ∵K = 选 ≈7.8>6.635, ∴有 99%以上的把握认为“选 60×50×60×50
2

择过马路的方式与性别有关”. 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7.经调查某地若干户家庭的年收入 x(万元)和年饮食支出 y(万元)具有线性相关关系, ^ 并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程:y=0.245x+0.321,由回归直线方程可知,家庭年收 入每增加 1 万元,年饮食支出平均增加________万元. ^ 解析:x 变为 x+1,y=0.245(x+1)+0.321=0.245x+0.321+0.245,因此家庭年收入每 增加 1 万元,年饮食支出平均增加 0.245 万元. 答案:0.245 8.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某 月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0.4 2 0.5 3 0.6 4 0.6 5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为________;用线性回归分析的方法,预测小李该月 6

号打 6 小时篮球的投篮命中率为________.
5 1 解析: 平均命中率 y = ×(0.4+0.5+0.6+0.6+0.4)=0.5; x =3, (xi- x )(yi- y ) 而 ? 5 i=1

=(-2)×(-0.1)+(-1)×0+0×0.1+1×0.1+2×(-0.1)=0.1, ? (xi- x )2=(-2)2+(-
i=1 ^ ^ ^ ^ ^

5

1)2+02+12+22=10,于是b=0.01,a= y -b x =0.47,故y =0.01x+0.47,令 x=6,得y = 0.53. 答案:0.5 0.53 9.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取 50 名学生,得到 如下 2×2 列联表: 理科 男 女 13 7 文科 10 20

已知 P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 50×?13×20-10×7?2 根据表中数据,得到 K2= ≈4.844.则认为选修文科与性别有关系 23×27×20×30 出错的可能性为________. 解析:k≈4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定“是否 选修文科与性别之间有关系”成立,并且这种判断出错的可能性约为 5%. 答案:5% 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10.已知 x,y 的一组数据如下表: x y 1 1 3 2 6 3 7 4 8 5

(1)从 x,y 中各取一个数,求 x+y≥10 的概率; 1 1 1 (2)对于表中数据,甲、乙两同学给出的拟合直线分别为 y= x+1 与 y= x+ ,试利用 3 2 2 “最小平方法(也称最小二乘法)”判断哪条直线拟合程度更好. 解:(1)从 x,y 中各取一个数组成数对(x,y),共有 25 对,其中满足 x+y≥10 的有(6,4), 9 (6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),共 9 对.故所求概率 P= . 25 4 1 (2)用 y= x+1 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S1=?3-1?2 ? ? 3 10 11 7 +(2-2)2+(3-3)2+? 3 -4?2+? 3 -5?2= . ? ? ? ? 3

1 1 用 y= x+ 作为拟合直线时,所得 y 值与 y 的实际值的差的平方和为 S2=(1-1)2+(2 2 2 7 9 1 -2)2+?2-3?2+(4-4)2+?2-5?2= . ? ? ? ? 2 1 1 ∵S2<S1,∴直线 y= x+ 的拟合程度更好. 2 2 11.为了分析某个高三学生的学习状态,对其下一阶段的学习提供指导性建议.现对他 前 7 次考试的数学成绩 x、物理成绩 y 进行分析.下面是该生 7 次考试的成绩. 数学 物理 88 94 83 91 117 108 92 96 108 104 100 101 112 106

(1)他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定?请给出你的证明; (2)已知该生的物理成绩 y 与数学成绩 x 是线性相关的,若该生的物理成绩达到 115 分, 请你估计他的数学成绩大约是多少?并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性, 给出该生在 ^ ^ 学习数学、物理上的合理建议.(其中,数据(xi,yi)(i=1,2,?,n)的线性回归方程为y=bx - - ? ?xi- x ??yi- y ?
n

^ ^ +a,b=

i=1

^ - ^- ,a= y -b x ) - ? ?xi- x ?2
n i=1

-12-17+17-8+8+12 - 解:(1)∵ x =100+ =100, 7 -6-9+8-4+4+1+6 - y =100+ =100, 7 994 250 ∴s2 = =142.∴s2 = , 数学 物理 7 7 ∵s2 >s2 ,∴该生的物理成绩更稳定. 数学 物理 (2)由于 x 与 y 之间具有线性相关关系,
7 iyi-7 x i=1
?

- - x y 497 = =0.5, 994

^ ∴b=

-2 7 i -7 x x2 i=1
?

^ - ^- a= y -b x =100-0.5×100=50. ^ ∴线性回归方程为y=0.5x+50.当 y=115 时,x=130. 建议: 进一步加强对数学的学习, 提高数学成绩的稳定性, 这将有助于物理成绩的进一步提高. 12.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于 85 分为优秀,85 分以下为非优秀 统计成绩后,得到如下的列联表.

优秀 甲班 乙班 合计 10

非优秀

总计

30 105

2 已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为 . 7 (1)请完成上面的列联表; (2)根据列联表的数据,若按 95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”; (3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人:把甲班优秀的 10 名学生从 2 到 11 进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到 6 号或 10 号的概率. n?ad-bc?2 附:K = , ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

P(K2≥k) k 解:(1) 优秀 甲班 乙班 合计 (2)根据列联表中的数据,得到 10 20 30

0.05 3.841

0.01 6.635

非优秀 45 30 75

总计 55 50 105

105×?10×30-20×45?2 K2= ≈6.109>3.841, 55×50×30×75 因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. (3)设“抽到 6 号或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x, y),则所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、?、(6,6),共 36 个. 事件 A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共 8 个, 8 2 ∴P(A)= = . 36 9

1.观察下列各图形:

其中两个变量 x、y 具有相关关系的图是( A.①② C.③④

)

B.①④ D.②③

解析: C 相关关系有两种情况: 选 所有点看上去都在一条直线附近波动, 是线性相关; 若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动,是非线性相关.①②是不相关的, 而③④是相关的. 2.考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系.调查了 457 株黄烟,得到下表 中数据: 培养液处理 青花病 无青花病 合计 根据表中数据可知 K2=( A.40.682 C.45.331 解析:选 D 代入 K2 公式得 K2≈41.61. 3.某电脑公司有 6 名产品推销员,其工作年限与年推销金额的数据如下表: 推销员编号 工作年限 x/年 推销金额 y/万元 1 3 2 2 5 3 3 6 3 4 7 4 5 9 5 ) B.31.64 D.41.61 25 80 105 未处理 210 142 352 合计 235 222 457

(1)以工作年限为自变量 x,推销金额为因变量 y,作出散点图; (2)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程; (3)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年,试估计他的年推销金额. 解:(1)依题意,画出散点图如图所示,

^ ^ (2)从散点图可以看出,这些点大致在一条直线附近,设所求的线性回归方程为y=bx+

^ a. - ? ?xi- x ??yi- y ?
5

^ 则b=

i=1



? ?xi- x ?2
i=1

5

10 ^ ^- =0.5,a= y -b x =0.4, 20

∴年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程为 ^ y=0.5x+0.4. (3)由(2)可知,当 x=11 时, ^ y=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9(万元). ∴可以估计第 6 名推销员的年推销金额为 5.9 万元. 4.冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备,为了检验用这两种设备生产的产品 中所含杂质的关系,调查结果如下表所示: 杂质高 旧设备 新设备 37 22 杂质低 121 202

根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系? 解:由已知数据得到如下 2×2 列联表: 杂质高 旧设备 新设备 合计 37 22 59 杂质低 121 202 323 合计 158 224 382

382×?37×202-121×22?2 由公式 K = ≈13.11, 158×224×59×323
2

由于 13.11>10.828,故有 99.9%的把握认为含杂质的高低与设备改造是有关的.

第四节 算法初步

[备考方向要明了]

考 什 么

怎 么 考

1.了解算法的含义,了解算法的思想. 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构: 顺序结 构、条件结构、循环结构. 3.理解几种基本算法语句——输入语句、 输出 语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含 义.

算法初步属于新课标的新增内容,是高考的 热点,每年均有考查,一般以程序框图和算 法语句为主.多以选择题、填空题形式出现, 一般为中等偏易题,如 2012 年安徽 T6,山东 T7,福建 T12 等.

[归纳· 知识整合] 1.算法的含义与程序框图 (1)算法:算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤. (2)程序框图:程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字来准确、直观地 表示算法的图形. (3)程序框图中图形符号的含义:

图形符号

名称

功能

终端框(起止框)

表示一个算法的起始和结束

输入、输出框 处理框(执行框)

表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立,成立时在

判断框

出口处标明“是”或“Y”;不成立 时标明“否”或“N”

流程线 ○ 连接点

连接程序框 连接程序框图的两部分

2.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 输入语句 输出语句 一般格式 INPUT“提示内容”;变量 PRINT“提示内容”; 表达式 功能 输入信息 输出常量、变量的值和系统信息

赋值语句

变量=表达式

将表达式所代表的值赋给变量

3.三种基本逻辑结构及其基本算法语句 (1)顺序结构 ①定义:由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基 本结构. (2)条件结构 ①定义: 算法的流程根据条件是否成立有不同的流向, 条件结构就是处理这种过程的结 构. ②程序框图及算法语句 (ⅰ)IF—THEN 格式

(ⅱ)IF—THEN—ELSE 格式

(3)循环结构 ①定义:从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,反复执行的步骤称为 循环体. ②程序框图及算法语句 (ⅰ)UNTIL 语句

(ⅱ)WHILE 语句

[探究] 1.三种基本逻辑结构的共同点是什么? 提示:三种基本逻辑结构的共同点,即只有一个入口和一个出口,每一个基本逻辑结构

的每一部分都有机会被执行到,而且结构内不存在死循环. 2.循环结构中的条件结构有什么作用? 提示:控制循环进程,避免进入“死循环”,是循环结构必不可少的一部分. [自测· 牛刀小试] 1.算法的有穷性是指( A.算法必须包含输出 B.算法中每个步骤都是可执行的 C.算法的步骤必须有限 D.以上说法均不对 解析:选 C 根据算法的概念可知 C 正确. 2.在程序框图中,一个算法的步骤到另一个算法的步骤的连接用( A.连接点 C.流程线 解析:选 C 由算法概念可知 C 正确. 3.(教材改编题)阅读如图所示的程序框图,若输入的 x 是 2,则输出的值为________. B.判断框 D.处理框 ) )

解析:∵2>0,∴输出 1. 答案:1 4.运行如图所示的程序,输出的结果是________. 解析:a=1,b=2,把 1 与 2 的和赋给 a, 即 a=3,输出的结果是 3. 答案:3 5.(2012· 江苏高考)如图是一个算法流程图,则输出的 k 的值是________.

解析:将 k=1,2,3,?,分别代入可得 k=5. 答案:5 6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出 n 的结果是________.

1 解析:S=2.n=1→S=-1,n=2→S= ,n=3→S=2,n=4,即输出的 n 为 4. 2 答案:4

基本逻辑结构

?log2x,x≥2, ? [例 1] (1)已知函数 y=? 下图表示的是给定 x 的值,求其对应的函数值 ? ?2-x,x<2,

y 的程序框图.①处应填写________;②处应填写________.

(2)(2012· 安徽高考)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是(

)

A.3 C.5

B.4 D.8

[自主解答] (1)由框图可知只要满足①条件则对应的函数解析式为 y=2-x,故此处应 填写 x<2?则②处应填写 y=log2x. (2)第一次进入循环体有 x=2,y=2;第二次进入循环体有 x=4,y=3;第三次进入循 环体有 x=8,y=4,跳出循环 .故输出的结果是 4. [答案] (1)x<2? y=log2x (2)B ————— ——————————————

1.利用条件分支结构解决算法问题的注意点 利用条件分支结构解决算法问题时, 要引入判断框, 要根据题目的要求引入一个或多个 判断框.而判断框内的条件不同,对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化,故要 逐个分析判断框内的条件. 2.当型循环、直到型循环的区别 直到型循环是“先循环,后判断,条件满足时终止循环”;而当型循环则是“先判断, 后循环,条件满足时执行循环”;两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的, 它们恰好相反.

1.(2012· 湖南高考)如果执行如图所示的程序框图,输入 x=4.5, 则输出的数 i=________. 解析:执行程序,i,x 的取值依次为 i=1,x=3.5;i=2,x=2.5; i=3,x=1.5;i=4,x=0.5;结束循环,输出 i 的值为 4. 答案:4

程序框图的识别及应用

[例 2] ( )

(1)执行如图所示的程序框图,输出的结果为 20,则判断框中应填入的条件为

A.a≥5? C.a≥3?

B.a≥4? D.a≥2?

(2)(2012· 山东高考)执行如图所示的程序框图,如果输入 a=4,那么输出的 n 的值为 ( )

A.2 C.4

B.3 D.5

[自主解答] (1)因为 20=1×5×4,所以程序执行两次,保证程序在 a=3 时终止,不 再进一步执行. (2)当 n= 0 时,P=1,Q=3,P<Q 成立,执行循环;当 n=1 时,P=5,Q=7,P<Q 成立,执行循环;当 n=2 时,P=21,Q=15,P<Q 不成立,但是 n=2+1=3 后,再输出. [答案] (1)B ————— (2)B —————————————— 识别程序框图运行和完善程序框图的步骤 识别运行程序框图和完善程序框图是高考的热点.解答这一类问题,第一,要明确程序 框图的顺序结构、条件结构和循环结构;第二,要识别运行程序框图,理解框图所解决的实 际问题; 第三, 按照题目的要求完成解答. 对程序框图的考查常与数列和函数等知识相结合, 进一步强化框图问题的实际背景.

2.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6

如图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填________,输出的 S=________.

解析:由题意可知,程序框图是要统计 6 名队员投进的三分球的总数,由程序框图的循 环逻辑知识可知,判断框应填 i<7?或 i≤6?,输出的结果就是 6 名队员投进的三分球的总 数,而 6 名队员投进的三分球数分别为 a1,a2,a3,a4,a5,a6,故输出的 S=a1+a2+?+ a6. 答案:i<7?(或 i≤6?) a1+a2+?+a6 基本算法语句

[例 3] 设计一个计算 1×3×5×7×9×11×13 的算法.图中给出了程序的一部分,则 在横线①上不能填入的数是( ) S=1 i=3 WHILE i< S=S*i i=i+2 WEND PRINT S END A.13 C.14 B.13.5 D.14.5



[自主解答] 当填 i<13 时,i 值顺次执行的结果是 5,7,9,11,当执行到 i=11 时,下次就 是 i=13,这时要结束循环,因此计算的结果是 1×3×5×7×9×11,故不能填 13,但填的 数 字 只 要 超 过 13 且 不 超 过 15 均 可 保 证 最 后 一 次 循 环 时 , 得 到 的 计 算 结 果 是 1×3×5×7×9×11×13. [答案] A ————— —————————————— 与算法语句有关的问题的解题步骤 解决算法语句有三个步骤,首先通读全部语句,把它翻译成数学问题;其次领悟该语句 的功能;最后根据语句的功能运行程序,解决问题.

3.下列程序执行后输出的结果是________. i=11 S=1 DO S=S*i i=i-1 LOOP UNTIL i<9 PRINT S END 解析:程序反映出的算法过程为 i=11?S=11×1,i=10; i=10?S=11×10,i=9; i=9?S=11×10×9,i=8; i=8<9 退出循环,执行 PRINT 故 S=990. 答案:990 S.

? 1 组关系——顺序结构、循环结构和条件结构的关系 顺序结构是每个算法结构都含有的, 而对于循环结构有重复性, 条件结构具有选择性没 有重复性,并且循环结构中必定包含一个条件结构,用于确定何时终止循环体,循环结构和 条件结构都含有顺序结构. ? 2 个注意——利用循环结构表示算法及赋值语句的注意点 (1)利用循环结构表示算法,第一要先确定是利用当型循环结构,还是直到型循环结构; 第二要选择准确的表示累计的变量; 第三要注意在哪一步开始循环, 满足什么条件不再执行 循环体. (2)关于赋值语句,有以下几点需要注意: ①赋值号左边只能是变量名字,而不是表达式,如 3=m 是错误的. ②赋值号左右不能对换,赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变 量,如 Y=x,表示用 x 的值替代变量 Y 的原先的取值,不能改写为 x=Y,因为后者表示用 Y 的值替代变量 x 的值. ③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值,不能出现两个或多个“=”.

创新交汇——算法的交汇性问题

1. 算法是新课标高考的一大热点, 其中算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点. 这 类问题,常常背景新颖,交汇自然,很好地考查了考生的信息处理能力及综合运用知识解决 问题的能力. 2.解答此类问题,熟练掌握算法基本知识是前提,知识的综合和迁移能力是关键. [典例] (2013· 临沂模拟)执行如图所示的程序框图, 若输入 x=10, 则输出 y 的值为________. 1 [解析] 当 x=10 时,y= ×10-1=4,此时|y-x|=6>1,不合条 2 件; 1 当 x=4 时,y= ×4-1=1, 2 此时|y-x|=3>1,不合条件; 1 1 当 x=1 时,y= ×1-1=- , 2 2 3 此时|y-x|= >1,不合条件; 2 1 1 1 5 当 x=- 时,y= ×?-2?-1=- , ? ? 2 2 4 3 此时|y-x|= <1,符合条件. 4 5 所以输出 y 的值为- . 4 5 [答案] - 4 [名师点评] 1.本题有以下创新点 巧妙而自然地将算法、不等式、函数相互交汇,构成了本题的一大特色. 2.解答本题的关键点 解答本题关键是根据框图确定符合条件|y-x|<1 的 y 的值, 求解中, 需要进行逐一取值, 逐个判断,最后再确定结束,得到结果. [变式训练] 执行如图所示的程序框图,若输入 p=0.8,则输出 n 的值为________.

解析:程序执行如下: n=1,S=0,p=0.8,S<p 成立; 1 S= ,n=2,S<p 成立; 2 1 1 S= + ,n=3,S<p 成立; 2 4 1 1 1 S= + + ,n=4,S<p 不成立,因此输出 n=4. 2 4 8 答案:4

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.程序框图如图所示:如果输入 x=5,则输出结果为( )

A.109 C.973

B.325 D.2 917

解析: B 第 1 次运行后, 选 x=5×3-2=13<200, 2 次运行后, 第 x=13×3-2=37<200, 第 3 次运行后,x=37×3-2=109<200,第 4 次运行后,x=109×3-2=325>200,故输出 结果为 325. 2.当 a=1,b=3 时,执行完如图的一段程序后 x 的值是( )

IF a<b

THEN

x=a+b ELSE x=a-b END IF A.1 C.4 解析:选 C ∵a<b. ∴x=a+b=1+3=4. 3.(2012· 北京高考)执行如图所示的程序框图,输出的 S 的值为( ) B.3 D.-2

A.2 C.8

B.4 D.16

解析:选 C 根据循环 k=0,S=1;k=1,S=2;k=2,S=8,当 k=3 时,输出 S= 8. 4.运行下面的程序时,WHILE 循环语句的执行次数是( N=0 WHILE N<20 N=N+1 N=N*N WEND PRINT N END A.3 C.15 解析:选 A 次. 5.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( ) B.4 D.19 0<20,1<20,2×2<20,5×5>20,程序结束,故 WHILE 循环语句共执行了 3 )

A.f(x)=x2 1 B.f(x)= x C.f(x)=lnx+2x-6 D.f(x)=sin x 解析: D 本题的程序框图的功能是判断函数是否是奇函数且是否存在零点, 选 满足既 是奇函数又存在零点的函数是选项 D. 6.(2012· 陕西高考)如图是计算某年级 500 名学生期末考试(满分为 100 分)及格率 q 的 程序框图,则图中空白框内应填入( )

N A.q= M N C.q= M+N

M B.q= N M D.q= M+N

解析:选 D 程序执行的过程是如果输入的成绩不小于 60 分即及格,就把变量 M 的值 增加 1,即变量 M 为成绩及格的人数,否则,由变量 N 统计不及格的人数,但总人数由变 量 i 进行统计,不超过 500 就继续输入成绩,直到输入完 500 个成绩停止循环,输出变量 q, 及格人数 M 变量 q 代表的含义为及格率,也就是 = . 总人数 M+N 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分)

7.图是用模拟方法估计圆周率 π 值的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应 填入________.

解析:通过阅读题目和所给数据可知试验了 1 000 次.M 代表落在圆内的点的个数,根 π M 4M 据几何概型, = ,对应的圆周率 π 为 P= . 4 1 000 1 000 4M 答案:P= 1 000 8.(2012· 福建高考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值等于 ________.

解析:当 k=1 时,1<4,则执行循环体得:s=1,k=2;当 k=2 时,2<4,则执行循 环体得:s=0,k=3;当 k=3 时,3<4,则执行循环体得:s=-3,k=4;当 k=4 时不满 足条件,则输出 s=-3. 答案:-3 9.某同学设计如图的程序框图用以计算 12+22+32+?+202 的值,则在判断框中应填 写________.

解析:由计算式可知,程序到 i=20 终止,因此判断框中应填 i≤20? 答案:i≤20? 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 10. 已知某算法的程序框图如图所示, 若将输出的(x, y)值依次记为(x1, 1)、 2, 2)、 y (x y ?、 (xn,yn)、?若程序运行中输出的组数是(x,-8),求 x 的值.

解:开始 n=1,x1=1,y1=0→n=3,x2=3,y2=-2→n=5,x3=9,y3=-4→n=7, x4=27,y4=-6→n=9,x5=81,y5=-8,则 x=81. 11.设计一个计算 1+3+5+7+?+99 的值的程序,并画出程序框图. 解:法一:(当型语句)程序如下: s=1 i=3 WHILE s=s+i i=i+2 WEND PRINT s END 程序框图如图(1)所示. i<=99

法二:(直到型语句)程序如下: s=1 i=3 DO s=s+i i=i+2 LOOP UNTIL i>99 PRINT s END 程序框图如图(2)所示. 12.已知数列{an}的各项均为正数,观察如图所示的程序框图,当 k=5,k=10 时,分 5 10 别有 S= 和 S= ,求数列{an}的通项公式. 11 21

解:由程序框图可知 S=

1 1 1 + +?+ , a1a2 a2a3 ak ak +1

∵{an}是等差数列,其公差为 d,则有 1 1 1 1 = ?a -a ?, akak+1 d? k k+1? 1 1 1 1 1 1 1 ∴S= ?a -a +a -a +?+a -a ? d? 1 2 2 3 k k+1? 1 1 1 = ?a - a ?. d? 1 k+1? 5 10 由题意可知,k=5 时,S= ;k=10 时,S= , 11 21

?d?a -a ?=11, ? ? ∴? 1 1 1 10 ?d?a -a ?=21, ? ?
1 1 1 5
1 6 1 11

?a1=1, ?a1=-1, ? ? 解得? 或? (舍去). ? ? ?d=2, ?d=-2

故 an=a1+(n-1)d=2n-1(n∈N*).

1. (2012· 广东高考)执行如图所示的程序框图, 若输入 n 的值为 6, 则输出 s 的值为(

)

A.105 C.15 解析:选 C

B.16 D.1 按照程序过程,通过反复判断循环条件执行程序.执行过程为 s=1×1

=1,i=3;s=1×3=3,i=5;s=3×5=15,i=7≥6,跳出循环.故输出 s 的值为 15. 2.(2013· 皖南八校联考)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值为( )

A.2 C.-3 解析:选 B

1 B.- 2 1 D. 3 1 1 i=1,S=-3;i=2,S=- ;i=3,S= ;i=4,S=2;i=5,S=-3; 2 3

1 1 i=6,S=- ?.S 的值以 4 为周期出现,所以 i=2010,S=- ;i=2011,程序结束,输出 2 2 1 的 S 的值为- . 2 3. 运行如图所示的程序框图, 若输出的结果是 62, 则判断框中整数 M 的值是________.

2-26 解析:因为 0+21+22+23+24+25= =62,结合题所给的框图可知,M=5. 1-2 答案:5



相关文档:


更多相关文章:
...高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义:第十章 算...
(人教,理科)大一轮复习配套讲义:第十章 算法初步、统计统计案例_高考_高中...2015届高考数学(人教,理... 7人阅读 6页 5下载券 【创新设计】2014高考数...
2014高考数学(理)一轮复习单元测试第十章统计与概率...
2014高考数学(理)一轮复习单元测试第十章统计与概率新人教A版_高三数学_数学...x2 , s1 ? s2 5、 【山东省青岛一中 2013 届高三 1 月调研理】某学生四...
【3份】2017高考数学人教A版理科一轮复习练习:第11章 ...
【3份】2017高考数学人教A版理科一轮复习练习:第11章 统计统计案例_高三数学_数学_高中教育_教育专区。基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.某...
2014高考数学一轮复习 第9章《统计统计案例(第2...
2014高考数学一轮复习 第9章《统计统计案例》(第2课时)知识过关检测 理 新人教A版 隐藏>> 2014高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 9 章《统计、 ...
【创新设计】北京体育大学附中2014版高考数学一轮复习 ...
【创新设计】北京体育大学附中2014版高考数学一轮复习 统计单元突破训练 新人教A版_高考_高中教育_教育专区。北京体育大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习...
2014高考数学一轮复习 考点热身训练 第十章 统计、统...
2014高考数学一轮复习 考点热身训练 第十章 统计统计案例(单元总结与测试)_高考_高中教育_教育专区。2014高考数学一轮复习 考点热身训练 第十章 统计统计...
【3份】2017高考数学(理)人教A版一轮复习第11章 统计与...
【3份】2017高考数学(理)人教A版一轮复习第11章 统计统计案例(基础知识+题型剖析+练出高分)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【3 份】2017 高考数学(理)...
...版)高三数学(理)大一轮复习第十章 统计统计案例课...
【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第十章 统计统计案例课时规范训练10-3_数学_高中教育_教育专区。课时规范训练 [A 级 基础演练] 1.四...
2014高考数学一轮复习 第9章《统计统计案例(第1...
2014高考数学一轮复习 第9章《统计统计案例(第1课时)知识过关检测 理 新人教A版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2014高考数学(理)一轮复习知识过关...
【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(六十八)用...
【创新设计】2014高考数学一轮复习 限时集训(六十八)用样本估计总体 理 新人教A版_高考_高中教育_教育专区。限时集训(六十八) 用样本估计总体 (限时:45 分钟 满...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图