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函数导数压轴题及答案


函数、导数综合应用精选题
一、选择题,填空题
1、已知周期为 4 的函数 f ?x ? ? ? 围为( B ) A. ?

?m 1 ? x 2 , x ? ?? 1,1?, ? ? 1 ? x ? 2 , x ? ?1,3?, ?

其中 m ? 0. 若方程 3 f ? x ? ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范

? 15 8 ? ? ? 3 , 3? ? ?
?

B. ?

? 15 ? , 7? ? 3 ? ? ?

C. ? , ?

? 4 8? ? 3 3?

D. ? , 7 ?

?4 ?3

? ?

2、设函数 f ( x) ? ? A. 1 4

2x , -2 ? x ? 0 ,若 f ( x) 是奇函数,则当 x ? (0, 2] 时, g ( x) 的最大值是( C ) 2 ? g ( x) ? log 5 ( x ? 5 ? x ) , 0<x ? 2
B. ? 3 4 C. 3 4 D. ? 1 4

? 1 ,x ?1 1 ? 2 3、定义域为 R 的函数 f ? x ? ? ? x ? 1 ,若关于 x 的函数 h ? x ? ? f ? x ? ? bf ? x ? ? 有 5 个不同的零点 2 ?1, x ? 1 ?
2 2 2 2 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ,则 x12 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 等于( D )

A.

2b 2 ? 2 b2

B. 16

C. 5

D. 15

? 1 , ( x ? 1) ? 2 4、设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有且仅有三个不同的实数解 ?1, ( x ? 1) ?
x1、x2、x3 ,则 x12 ? x2 2 ? x32 ? ( B )
A.

2b 2 ? 2 b2

B.5

C.13

D.

3c 2 ? 2 c2
( C )

5、已知 f ( x ) ? ? A.5 个

? ln x , x ? 0 ? 0, x ? 0

,则方程 f

2

?x ? ? f ?x ? ? 0 不相等的实根共有
C.7 个

B.6 个

D.8 个

1 ? ?x ? , x ? 0 2 6、已知函数 f ( x ) ? ? ,则方程 f (2 x ? x) ? a ( a ? 2 )的根的个数不可能为( A ) x ? x 3 ? 3, x ? 0 ?
A.3 B.4 C.5 D.6

1 ? ?| x ? x |,| x |? 1 , g ( x) 7、设函数 f ( x) ? ? ? ?2sin x,| x |? 1 ? 2 A. ?? ?,?1? ? ?0,?? ? B. (??, ?1]

是二次函数,若 f [ g ( x)] 的值域是 [0, ??),则 g ( x) 的值域是( C ) C. [0, ??)
1

D. ?1, ?? ?

1 ? ? x? ,x ?0 8、已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? 1, g ? x ? ? ? ,则方程 g[ f ( x)] ? a ? 0 ( a 为正实数)的根的个数不可 4x .. 2 ?? x ? 6 x ? 8, x ? 0 ?
3 2

能为( A ) . A.3 个

B.4 个

C.5 个

D.6 个

9、设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数,如 ? ?1.2? ? ?2 , ?1.2? ? 1 , ?1? ? 1 ,若直线 ? f ( x ? 1), x ? 0

y ? kx ? k ( k ? 0 )与函数 y ? f ( x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是( C )
A. ? 0, ? 4

? ?

1? ?

B. ?

? 1 1? , ? ? 4 3?

C. ? , ?

?1 1 ? ?4 3?

D. ? , ? ? 4 3?

?1 1?

10、在算法语言中有一种函数 [ x] 叫做取整函数(也称高斯函数) ,它表示 x 的整数部分,即[ x ]是不超过 x 的最大整 数. 例如:[2] ? 2,[3.1] ? 3,[?2.6] ? ?3 . 设函数 f ( x) ? 11、函数 f ? x ? ? a
x ?b

2x 1 ? , 则函数 y ? [ f ( x)] ? [ f (? x)] 的值域为 {0,-1} . x 1? 2 2

?a ? 0, a ? 1? 的图象关于直线 x ? b 对称.据此可推测,对任意的非零实数 a , b , m ,n, p ,
2

关于 x 的方程 m? f ? x ?? ? nf ? x ? ? p ? 0 的解集都不可能是 ( D )

1 A. ? ,2?

1 B. ? ,4?

1 C. ? ,2,3,4?

D. ? ,4,16,64? 1

2 12、方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的解可视为函数 y ? x ? 2 与函数 y ?

1 4 的图像交点的横坐标.若方程 x ? ax ? 4 ? 0 的各 x

个实根 x1 , x2 ,? , xk ?k ? 4 ? 所对应的点 ? xi , ?

? ?

4? ? 均在直线 y ? x 的同侧,则实数 a 的取值范围是 ?? ?,?6? ? ?6,??? . xi ? ?

13、定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意 x, y ? R 有 f ?x ? y ? ? f ?x ? ? f ? y ? ? 1 ,则下列说法一定正确的是( C ) A. f ? x ? 为奇函数 B. f ? x ? 为偶函数 C. f ? x ? ? 1 为奇函数 D. f ? x ? ? 1 为偶函数

14、设函数 y ? f ?x ? 在 R 内有定义.对于给定的正数 K ,定义函数 f k ? x ? ? ?

? f ? x ?, f ? x ? ? K ,取函数 ? K , f ?x ? ? K

f ?x ? ? 3 ? x ? e ? x .若对任意的 x ? R ,恒有 f k ? x ? ? f ? x ?,则( B )
A. K 的最大值为 2
5

B. K 的最小值为 2

C. K 的最大值为 1

D. K 的最小值为 1

15、已知函数 f ?x ? ? x ?

2x ?1 ?1 ? ? 1 ,则不等式 f ?2 x ? 1? ? f ?x ? ? 2 的解集为 ? ,?? ? x 2 ?1 ?3 ?

16、定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) 是增函数,且函数 y ? f ( x ? 3) 的图像关于(3,0)成中心对称,若 s,t 满足不等式

? 1 ? f ( s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ,当 1 ? s ? 4 时,则 t 2 ? s 2 ? 2s 的取值范围是 ?? ,24 ? . ? 2 ?
2

2 17、设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ,若对任意的 x ? ?t , t ? 2? ,不等式

f ? x ? t ? ? 2 f ? x ? 恒成立,则实数 t 的取值范围是( A )
A. ? 2, ??

?

?

B. ? 2, ?? ?

C. ? 0, 2 ?

D. ??, ? 2 ? ? ? 2, ??

?

? ?

?

18、 已知函数 f ( x) 的定义域为 (?2 , 2) , 导函数为 f ?( x) ? 2 ? cos x , 且 f (0) ? 0 ,则满足

f (1 ? x) ? f ( x ? x 2 )>0 的实数 x 的取值范围为( C )
A. (?1,1) B. (?11 ? 2 ) , C. (1 ? 2, 1) D. (1 ? 2 , 1 ? 2)

19、定义在 ?? ?,?? ? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ?x ?1? ? ? f ?x ? ,且在 ?? 1,0? 上是增函数,下面是关于 f(x)的判断: ① f ? x ? 是周期函数且关于点 P( ③ f ? x ? 在[0,1]上是增函数;

1 ,0 )对称 2

② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ?2? ? f ?0? .

其中正确的判断是 ①②④ (把你认为正确的判断都填上) 20、对于定义在 R 上的函数 f (x) ,有下述命题: ①若 f (x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称. ②若函数 f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,则 f (x) 为偶函数. ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则f ( x) 的周期为 2. ④函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称.其中正确命题的序号是 ①②③ . 21、定义在 R 上的函数 f (x) 对任意实数 x 满足 f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) 与 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? [3,4] 时,

f ( x) ? x ? 2 ,则( D )
A. f (sin ) ? f (cos )

1 2

1 2

B. f (sin ) ? f (cos )

π 3

π 3

C. f (sin ) ? f (cos )

1 4

1 4

D. f (sin1) ? f (cos1)

22、已知定义域为 R 的函数 y ? f (x) 满足 f (? x) ? ? f ( x ? 4) , 当 x ? 2 时, f (x) 单调递增,若 x1 ? x 2 ? 4 且

( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值 ( B )
A.恒大于 0 B.恒小于 0 C.可能等于 0 D.可正可负 23、已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? ,满足 f ?x ? 6? ? ? f ?x ? ,且在区间 ?0,3? 上是增函数,若方程 f ?x ? ? m?m ? 0? 在 区间 ?? 12,12 ? 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 12 .

) 24、已知函数 f ( x) 有 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log2 (x ? 1 ,则 f (?2010)? f (2011) 的值为
( C ) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

3

25、已知偶函数 f ? x ? 满足条件:当 x ? R 时,恒有 f ?x ? 2? ? f ?x ? , 且 0 ? x ? 1 时,有 f ?x ? ? 0 ,则
'

f(

98 101 104 ), f( ), f( ) 的大小关系是 ( B ) 19 17 15 98 104 101 )? f( )? f( ) 19 15 17 101 98 104 )? f( )? f( ) 17 19 15
B. f (

A. f ( C. f (

104 98 101 )? f( )? f( ) 15 19 17 104 101 98 )? f( )? f( ) 15 17 19

D. f (

26、定义在 R 上的可导函数 f ? x ? 满足 f ? ? x ? ? f ? x ? , f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 2 ? ,且当 x ? ? 2, 4?时, f ? x ? ? x 2 ? 2 xf ' ? 2 ? ,则

? 1? f ? ? ? 与f ? 2?
A. f ? ?

? 16 ? ? ? 的大小关系是( B ) ? 3?
B. f ? ?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

C. f ? ?

? 1? ? 16 ? ?? f ? ? ? 2? ? 3?

D. 不确定

27、已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x. 若存在 a ? ?? 4,4? ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a) 有三个不相等的实数根,则实 数 t 的取值范围是 A. ?1, ? ( A ) B. ?1, ?

? 9? ? 8?

? 3? ? 2?

C. ? ,

?9 3? ? ?8 2?

D. ?1, ?

? 5? ? 4?
f ? x1 ? f ? x2 ? ? C ,

28.定义函数 y ? f ?x ? , x ? D ,若存在常数 C ,对任意的 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D ,使得
x x

则称函数 f ? x ? 在 D 上的几何平均数为 C .已知 f ? x ? ? 2 , x ? ?1,2? ,则函数 f ? x ? ? 2 在 ?1,2 ? 上的几何平均数为(C) A. 2 B.2 C. 2 2 D.4

29、已知 f ? x ? 是定义在实数集上的函数,且 f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) , 若f (1) ? 2 ? 3, 则 f ?2005 ? ? 3 ? 2 . 1 ? f ( x)

30、若函数 f ( x) ? log a ( x 3 ? ax) (a ? 0, a ? 1) 在区间 (?

1 ,0)内单调递增,则 a 的取值范围是 2

?3 ? ? ,1? . ?4 ?

?x ? ( x ? 0) 31、已知 f ( x ) ? ? 2 ,则 f [ f ( x)] ? 1 的解集是 ? ?,? 2 ? ?4,?? ? . ? x 2 ( x ? 0) ? ? 1 32、已知 y ? f (x) 是定义在 R 上的单调增函数, ? ? ,? ? (? ? ?1) ,若 1? ? 1? ? f (? ) ? f ( ? ) ? f (1) ? f (0) ,则 ? 的取值范围为 ( A )

?

?

2 0 1 1 33、函数 f ( x ) ? ax3 ? ax 2 ? 2ax ? 2a ? 1 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值范围是( D ) 0 3 2 8 6 3 8 3 8 1 6 3 A. ? ? a ? B. ? ? a ? ? C. ? ? a ? ? D. ? ? a ? ? 5 16 5 16 5 16 5 16 1 0 2 4 0

A. ? ? 0

B. ? ? ?1

C. 0 ? ? ? 1

D. ? ? 1

34、已知函数 f ( x)的图象在[a, b] 上连续不断,定义: f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ? [a, b]) ,[来源:Zxxk.Com]

f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) ,其中, min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最小值,

max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值,若存在最小正整数 k,使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的
x ?[a, b] 成立,则称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩函数” .
已知函数 f(x ) ? x ,(x ? [?1,4])为[-1,4]上的“ k 阶收缩函数”,则 k =
2
2

4

.

2 35、若 f (n) 为 n ? 1 (n ? N ) 的各位数字之和,如 14 ? 1 ? 197 , 1 ? 9 ? 7 ? 17 ,则 f (14) ? 17 ;记 f1 (n) ? f (n) ,
*

f 2 (n) ? f ( f1 (n)) ,?, f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? N * ,则 f 2008 (8) ?

2 .

2 36、如果函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 2 ?a ? 0 ? 没有零点,则 a 的取值范围是

?0,1? ? ?2,?? ?

.

37、设集合 A? p ,q ? ? x ? R | x ? px ? q ? 0 ,当实数 p, q 取遍 ?? 1,1? 的所有值时,所有集合 A? p , q ? 的并集为
2

?

?

? 1? 5 1? 5 ? , ?? ?. 2 2 ? ?
38、若函数 f ?x ? ? a x ? b ? c 满足①函数 f ? x ? 的图象关于 x ? 1 对称;②在 R 上有大于零的最大值; ③函数 f ? x ? 的图象过点 (0,1) ;④ a, b, c ? Z ,试写出一组符合要求的 a, b, c 的值 -2,1,3 39、对任意 a ? [?2,3] ,不等式 x 2 ? (a ? 6) x ? 9 ? 3a ? 0 恒成立,则 x 的取值范围为 x ? 5或x ? 0 40、已知 f ? x ? 是定义在 ?a, b ? 上的函数,其图像是一条连续的曲线,且满足下列条件: ○ f ? x ? 的值域为 G ,且 1 .

G ? ?a, b? ;○对任意的 x, y ? ?a, b? ,都有 f ? x ? ? f ? y ? ? x ? y .那么,关于 x 的方程 f ?x ? ? x 在区间 ?a, b ? 上的根的 2
情况是( B ) A.没有实数根 41、设 S ? 1 ? 于( B ) A.2007 42、设函数 f ( x) ? lg B.有且仅有一个实数根 C.恰有两个实数根 D.有无数个不同的实数根

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 1 ? ? ,则不大于 S 的最大整数[s]等 2 2 1 2 2 3 3 4 2008 2009 2
B.2008 C.2009 D.3000

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a ,其中 a ? R 对于任意的正整数 n ( n ? 2 ) ,如果不 n
1 . 2

等式 f ( x) ? ( x ? 1) lg n 在区间 ?1,?? ? 有解,则实数 a 的取值范围为 a ?

43、若函数 f ( x ) ?

2012 ? x x ? 2012

在区间 ?a, b ? ( a, b 为整数)上的值域是 ? 0,1? ,则满足条件的数对 ?a, b ? 共有 4025 对;

5

44、已知函数 f ( x) 的值域为 ? 0 , 4? (x ? [ ?2, 2] ) ,函数 g ( x) ? ax ? 1, x ?[?2, 2] , ?x1 ? [?2, 2] ,总 ?x0 ? [?2, 2] , 使得 g ( x0 ) ? f ( x1 ) 成立,则实数 a 的取值范围是 a ? ?

5 5 , 或a ? 2 2

.

45、 f ?x ? ? x ? 2 x, g ?x ? ? mx ? 2, 对 ?x1 ? [?1, 2] , ?x0 ? [?1, 2] ,使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则 m 的取值范围是 ? ? 1, ? . 2
2

? ?

1? ?

46、若函数 f ?x ? ?

d ?a, b, c, d ? R ?,其图象如图所示,则 a : b : c : d ? 1 : ?? 6? : 5 : ?? 8? ax ? bx ? c
2

47、已知函数 f ? x ? 满足: f ?1? ? 48、 a ? 1 , 设 定义 f ? n ? ? 则实数 b 的取值范围是 A. ? 2,

1 1 , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ?? x, y ? R ? ,则 f ? 2010 ? = . 4 2

1 1 1 , 如果对 ?n ? 2 , 不等式 12 f ? n ? ? 7 log a b ? 7 log a ?1 b ? 7 恒成立, ? ??? n ?1 n ? 2 2n
( D ) C. ? 0, 4 ? D. ?1, ?? ?

? ?

29 ? ? 17 ?

B. ? 0,1?
2

49、已知函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? 15 ,定义域是 [a, b]( a, b ? Z ) ,值域是[-15,0],则满足条件的整数对 (a, b) 有 7 对.

50、已知集合 U ? ??x, y ? | x ? R, y ? R? , M ? ? x, y ? | x ? y ? a , P ? ??x, y ? | y ? f ?x ??,现给出下列函数: ① y ? a , ② y ? log a x , ③ y ? sin?x ? a ?, ④ y ? cos ax ,若 0 ? a ? 1 时,恒有 P ? CU M ? P ,则 f ? x ? 所有
x

?

?

可取的函数的编号是( B ) A.①②③④ B.①②④
/

C. ①②

D .④

51、已知映射 f : P(m, n) ? P ( m , n ) ? m ? 0, n ? 0 ? .设点 A?1,3? , B ? 2, 2 ? ,点 M 是线段 AB 上一动点

f : M ? M / .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M / 所经过的路线长度为( C )
A.

? 3

B.

? 4

C.

? 6
6

D.

? 12

52、已知函数 f ( x) ?

sin ?x . 关于下列命题正确的个数是( B ) ( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 2)
2

① 函数 f (x) 是周期函数;

②函数 f (x) 既有最大值又有最小值;

③函数 f (x) 的定义域是 R,且其图象有对称轴;④对于任意 x ? (?1,0) , f ?( x) ? 0 ( f ?( x) 是函数 f ( x) 的导函数) . A.1 个 B.2 个 C.3 个
'

D.4 个
a

53、已知可导函数 f ( x)( x ? R)满足 f ( x) ? f ( x) ,则当 a ? 0 时, f (a)和e f (0) 大小关系为( B ) A. f (a) ? e f (0)
a

B. f (a) ? e f (0)
a

C. f (a) ? e f (0)
a

D. f ?a ? ? e f ?0?
a

54、已知 f ( x) ? ? x ? 1?? x ? 2 ?? x ? 3?? ? x ? n ? , (n ? 2, n ? N ) ,其导函数为 f ?( x), 设an ?

f ?(?2) ,则 f (0)

a100 ? ?

1 . 9900

2 55、已知 f ( x) ? sin x ? 2cos xf ?( ) ,则 f ' ( ) = 2 ? 1 .

?

4

? 4

56、使得关于 x 的不等式 a ≥x≥logax(0<a≠1)在区间 (0,?? ) 上恒成立的正实数 a 的取值范围是
x

a?e

1 e

.

57、已知函数 y ? f ( x)和y ? g ( x)在[?2,2] 的图象如下所示:
y 2 y 2

1

?2 ?1
O

1
2

?2

1

x

?1

O

2

x

?1 ?2
y ? f (x)

?2 y ? g (x)

给出下列四个命题: (1)方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有 6 个根 (3)方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有 5 个根 其中正确命题是 (1)(3)(4) .

(2)方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有 3 个根 (4)方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有 4 个根

58、若对任何 x ? [0,1] ,不等式 1 ? kx ? A. k ? 0, l ?

1 ? 1 ? lx 恒成立,则一定有 1? x
C. k ?

( D )

1 3

B. k ? 0, l ?

1 2? 2
( x ? 7)

1 1 ,l ? 4 3

D. k ?

1 1 ,l ? 2 2? 2
*

59、已知函数 f ( x) ? ?

?(3 ? a ) x ? 3 ( x ? 7) ?a
x ?6

,数列 {an } 满足 an ? f (n) (n ? N ) ,且 {an } 是递增数列,则实数 a

7

的取值范围是

?2,3?

.

60、已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? 2 x ? 9 ,且 f (0) 的值为整数,当 x ?[n, n ? 1](n ? N * ) 时, f ( x) 所有可能取的整数值 有且只有 1 个,则 n ? 4 .
*

61、已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ( a 为常数,且 a ? N ) ,对于定义域内的任意两个实数 x1 、 x 2 ,恒有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 1 成立,则正整数 a 可以取的值有 ( B ) A.4 个 B.5 个 C.6 个 D.7 个 62、已知函数 f ? x ? ? lg x ,若 0 ? x1 ? x2 且 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ,则 A.

?
'

2 ,??

?

B.

?

2 ,??

?

1 x1 ? x2 的取值范围是( C ) 2 ?3 ? ?3 ? C. ? ,?? ? D. ? ,?? ? ?2 ? ?2 ?
y

63、已知函数 f ( x ) 的定义域为 [?2, ??) ,部分对应值如下
' 表. f ( x ) 为 f ( x ) 的导函数,函数 y ? f ( x ) 的图象如下图

2b ? 6 所示.若两正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1,则 的取值范 a?3
围是 ( A )

x -2 f(x) 1

0 -1

4 1

-2 o y

6 14 A.( , ) 5 3

B .(

12 8 , ) 7 3

4 12 C .( , ) 3 5
MP MQ

2 D.( ? , 6) 3

64、P, Q 是两个定点,点 M 为平面内的动点,且

? ? ( ? ? 0 且 ? ? 1 ) M 的轨迹围成的平面区域的面积为 S , ,点

设 S ? f (? ) ( ? ? 0 且 ? ? 1 )则以下判断正确的是( A ) A. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 1 ? ?) 上是减函数 (, C. f (? ) 在 (0,1) 上是增函数,在 1 ? ?) 上是增函数 (, 65、若函数 f ( x) ? ? x ? e , 则下列命题正确的是 ( A )
x

B. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在 1 ? ?) 上是减函数 (, D. f (? ) 在 (0,1) 上是减函数,在 1 ? ?) 上是增函数 (,

A. ?a ? (??, ), ?x ? R, f ( x) ? a C. ?x ? R, ?a ? (??, ), f ( x) ? a
3

1 e

B. ?a ? ( , ??), ?x ? R, f ( x) ? a D. ?x ? R, ?a ? ( , ??), f ( x) ? a

1 e

1 e

1 e

66、已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1, x ? R, A ? {x | t ? x ? t ? 1}, B ? {x || f ( x) |? 1}, 集合 A ? B 只含有一个元素,则

t 的取值范围是( D )
A. {0, 3 ? 1} 67、已知函数 f ( x) ? 的取值范围为 ? B. [0, 3 ? 1] C. (0, 3 ? 1] D. (0, 3 ? 1)

9x ? k ? 3x ? 1 , 若对任意的实数 x1 , x2 , x3 , 均存在以 f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) 为三边长的三角形, 则实数 k 9x ? 3x ? 1

1 ? k ? 4. 2 3 2 x ? 3x ? 4 ? b 的解集恰好是 ?a, b ? ,则 a ? b 的值为( B ) 4 8 16 C. D. 3 3
8

68、若关于 x 的不等式 a ? A. 5 B. 4

69、设 ? ? (0, ? ) ,函数 f (x) 的定义域为 [0,1] ,且 f (0) ? 0, f (1) ? 1 ,当 x ? y 时, 2

f(

1 1 x? y ) ? f ( x) sin ? ? (1 ? sin ? ) f ( y ) ,则 f ( ) ? . 2 2 2

70、设存在实数 x ? ? ,3 ? ,使不等式 t ?

?1 ? ?2 ?

1 1 ln x 成立,则实数 t 的取值范围为 t ? ?x ?e 3 x

71、已知函数 f ?x ? ? x ? a ? x ? a ? x ? b ? x ? b ? c ,若存在正数 m ,使 f ?m? ? 0 ,则不等式 f ?x ? ? f ?m? 的解集 是

?? m, m? 或 ?

.
3

72、把函数 f ?x ? ? x ? 3x 的图像 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个单位长度后得到图像 C2 .若对任意 u ? 0 的,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则的 v 最小值为( B ) A.2 B.4 C.6 D.8

73、设函数 f ( x) 的定义域为 D,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有 x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ? f ( x) , 则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数。 ①如果定义域为 [?1, ??) 的函数 f ( x) ? x 为 [?1, ??) 上的 m 高调函数,那么实数 m 的取值范围是 m ? 2 .
2

②如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?a ,且 f ( x) 为 R 上的 4 高调函数,那
2 2

么实数 a 的取值范围是 ?1 ? a ? 1
2



74、已知函数 f ( x) ?| x ? 2 x ? 1 | ,若 a ? b ? ?1 ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab ? a ? b 的取值范围是(-1,1) . 75、对于函数 y ? f (x) ,若存在区间 ? a , b ? ,当 x ? ?a , b ? 时的值域为 ? ka , kb ? ( k ? 0) ,则称 y ? f (x) 为 k 倍值函数. 若 f ( x) ? ln x ? x 是 k 倍值函数,则实数 k 的取值范围是 (1,1 ? ) .

1 e

9

二、解答题
1、已知函数 f ( x) ? a ? x ? x ln a,a ? 1
x 2

(I)求证函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; (Ⅱ)函数 y ?| f ( x) ? t | ?1 有三个零点,求 t 的值; (Ⅲ)对 ?x1 , x2 ? [?1.1]. | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? e ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。 解:(I) f '( x) ? a ln a ? 2 x ? ln a ? 2 x ? (a ? 1) ln a
x x

(2 分) (4 分)

由于 a ? 1 ,故尝 x ? (0, ??) 时, ln a ? 0,a ? 1 ? 0 ,所以 f '( x) ? 0 ,
x

故函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增。
2

(5 分) (6 分) (8 分) 0 0

(Ⅱ)令 f '( x) ? 2 x ? ( a ?1) ln a ? 0 ,得到 x ? 0

x, f ( x), f '( x) 的变化情况表如下:

x
f '( x)
f ( x)

(??, 0)


(0, ??)
+

极小值

因为函数 | f ( x) ? t | ?1 有三个零点,所以 f ( x) ? t ? 1 有三个根, 有因为当 x ? ? 时, f ( x) ? ?? , 所以 t ? 1 ? f min ? f (0) ? 1 ,故 t ? 2 (10 分) (11 分) (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 f ( x) 在区间 [?1,0] 上单调递减,在区间 [0,1] 上单调递增。 所以 f min ? f (0) ? 1, f max ? max{ f ? (?1), f (1)}

1 ? 1 ? ln a, f (1) ? a ? 1 ? ln a a 1 f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2ln a a 1 2 1 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (仅在 x ? 1 时取到等号), 记 g ( x), x ? ? 2 ln x, 则 g '( x) ? 1 ? x2 x x x 1 1 所以 g ( x) ? x ? ? 2 ln x 递增,故 f (1) ? f (?1) ? a ? ? 2ln a ? 0 , x a 所以 f (1) ? f (?1) (13 分) 于是 f max ? f (1) ? a ? 1 ? ln a. f (?1) ?
故对 ?x1 , x2 ? [?1,1],| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |max ?| f (1) ? f (0) |? a ? ln a.

a ? ln a ? e ? 1,所以 1 ? a ? e
2

(15 分)

2、已知 a, b 是方程 4 x ? 4kx ? 1 ? 0(k ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ? (1)当 k ? 0 时,求函数 f (x) 的值域; (2)证明:函数 f (x) 在其定义域 [a, b] 上是增函数; (3)在(1)的条件下,设函数 g ( x) ? x ? 3m x ?
3 2

2x ? k 的定义域为 [a, b] . x2 ?1

1 1 3 1 1 1 (? ? x ? , 0 ? m ? ) ,若对任意的 x1 ? [? , ] ,总存 5 2 2 2 2 2

在 x 2 ? [?

1 1 , ] ,使得 f ( x2 ) ? g ( x1 ) 成立,求实数 m 的取值范围. 2 2

解: (1) ? ?

1 ? 4 4? , ? ; (2)证明 f ' ( x ) ? 0 ; (3) 0 ? m ? 3 10 ? 5 5?
10

x 2 ? mx ? 10 3、设 f ? x ? = ,已知 x ? 1 是 f ? x ? 的一个极值点 x?3
(1)求 m 值及 f ? x ? 的单调区间. (2) g ?x ? ? x ? 2a x ? a ? 4 ,若存在实数 a ,使得 ?x1 ? ?0, t ? , ?x2 ? ?0,2?,有 g ? x1 ? ? f ?x2 ?,求最大正实数 t 的值。
3 2 3

x 2 ? 6 x ? 3m ? 10 / 解:(1) f ( x) ? ∵ f (1) ? 0 2 ( x ? 3)
/

∴ m ? ?5

增区间: ( ??,1) 和 (5, ??)

减区间:(1,3)和(3,5)

(2)∵ g ( x) ? 3 x ? 2a ? 3( x ?
/ 2 2

6 6 a)( x ? a) 3 3

当 x∈[0,2]时, ?4 ? f ( x) ? ?3 而 g (0) ? a ? 4 ? [?4, ?3]
3

要满足 x∈[0,t]时,g(x)的值域为[ ?4, ?3 ]的子集

∴ 0 ? a ?1

∴当 a=0 时,t 的最大值为 1

当 0<a<1 时,t≤1

又 g(

6 4 6 a) ? a 3 (1 ? ) ? 4 ? ?4 3 9 5 ?1 a. 2
2

∴只要 g (t ) ? ?4

∴0 ? t ?

5 ?1 a 2
2

,故 a ? 0 时, t max ? 1;当 0 ? a ? 1时, t max ?

4、已知函数 f ( x) ? k[(log a x) ? (log x a) ] ? (log a x) ? (log x a) , (其中 a ? 1 ), g ( x) ? x ? 2bx ? 4 ,
2 3 3

设 t ? log a x ? log x a . (Ⅰ)当 x ? (1, a) ? (a, ??) 时,将 f ( x) 表示成 t 的函数 h (t ) ,并求函数 h (t ) 在定义域内不存在极值时的 k 的范围. . (Ⅱ)当 k ? 4 时,若对 ?x1 ? (1,??) , ?x 2 ? ?1,2?,使
2 2 2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,试求实数 b 的取值范围.
2

解: (Ⅰ)∵ (log a x) ? (log x a) ? (log a x ? log x a) ? 2 ? t ? 2 ,

(log a x)3 ? (log x a)3 ? (log a x ? log x a)[(log a x ? log x a) 2 ? 3] ? t 3 ? 3t ,
∴ h(t ) ? ?t ? kt ? 3t ? 2k , (t ? 2)
3 2

∴ h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3
2

设 t1 , t 2 是 h?(t ) ? 0 的两根,则 t1t2 ? 0 ,∴ h?(t ) ? 0 在定义域内至多有一解, 欲使 h (t ) 在定义域内有极值,只需 h?(t ) ? ?3t ? 2kt ? 3 ? 0 在 (2, ??) 内有解,且 h?(t ) 的值在根的左右两侧异号,
2

9 9 时 h (t ) 在定义域内有且仅有一个极值,当 k ? 时 h (t ) 在定义域内无极值。 4 4 (Ⅱ)∵对任意的 x1 ? (1,??) ,存在 x2 ? ?1,2?,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 等价于 x ? (1,??) 时,f(x)max ? g(x) , x ? ?1, 2?, max
∴ h?(2) ? 0 得 k ? 综上:当 k ? 又 k=4 时,h(t)=-t +4t +3t-8 (t ? 2) , h?(t ) ? ?3t 2 ? 8t ? 3
3 2

9 4

t ? (2,3)时,h ?(t) 0, 而t ? 3, ?)时,h ?(t) 0 ? ( ? ?

∴h(t)max=h(3)=10, ∴

x ? ?1,2?时,g(x) max

? ?8 - 4b,b ? ? ?? ?5 - 2b,b ? ? ?

3 2 3 2

? 3 ? 3 1 ?b ? ?b ? 或? 2 ∴b ? ? ? 2 2 ?8 ? 4b ? 10 ?5 ? 2b ? 10 ? ?

11

5、记函数 f ( x) ? ln(1 ? x), g ( x) ? x .(参考: ln 2 ? 0.7 ) (1)若函数 F ( x) ? af ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 处取得极值,试求 a 的值;
2

(2)若函数 G( x) ? af ( x) ? g ( x) ? b ? g ( x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 ? ? ?
2

? 4 3? , ? , x2 ? ? 0,1? ,试求 a 的取值范围; ? 5 5? ?

(3)若函数 H ( x) ?

1 1 对任意 x1 , x2 ? ?1,3? 恒有 H ( x1 ) ? H ( x2 ) ? a 成立,试求 a 的取值范围. ? f ( x) g ( x)
2

解:(1) F ( x) ? a ln(1 ? x) ? x , ( x ? ?1) , F '( x) ?

a ? 2x 1? x

由 F '(1) ? 0 ? a ? ?4

1 1 (1 ? x) ln 2 (1 ? x) ? x 2 ? , H '( x) ? 2 (3) H ( x) ? ln(1 ? x) x x (1 ? x) ln 2 (1 ? x)
则 m '( x) ? ln (1 ? x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,又 m ''( x) ?
2

记 m( x) ? (1 ? x) ln (1 ? x) ? x , ( x ? ?1)
2 2

记 n( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x( x ? ?1), n '( x) ?

?2 x , 1? x

2 ln(1 ? x) ? 2 x 1? x

当 x ? 0 时, n '( x) ? 0 ? n( x)在[0, ??) 上单调递减,故 n( x) ? n(0) ? 0 可得 m ''( x) ? 0 ? m '( x)在[0, ??) 上单调递减,故 m '( x) ? m '(0) ? 0 可得 m( x)在[0, ??) 上单调递减,故 m( x) ? m(0) ? 0

[0, 可得 H '( x) ? 0 ? H ( x) 在 ??) 上单调递减,

即 H ( x) 在 ?1, 3? 上单调递减,由题意 a ?| H ( x) max ? H ( x) min |?| H (1) ? H (3) |

?

1 1 1 1 2 1 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ??15 分 ln 2 ln 4 3 2 ln 2 3 2 ln 2 3

12

6、设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 .

(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;

1 2 2 2 解: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 ,所以曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 x x
(3)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围. 处的切线方程为 y ? ? x ? 3 ; (2)存 在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3x 2 ? 2 x ? 3x( x ? ) ,
3 2

2 3

由上表可知:

x
g '( x) g ( x)

0 0 ?3

2 (0, ) 3 ?
递 减 [ 来

2 3
0
极(最)小值

2 ( , 2] 3

2

?
递增

1

源:Z,xx,k.Com]

?

85 27

2 85 112 , [来源:学科网 ZXXK] g ( x)min ? g ( ) ? ? , g ( x)max ? g (2) ? 1 ,[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x)max ? g ( x)min ? 3 27 27
所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

当 x ? [ ,1) 时, h '( x) ? 0 , x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 , 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,在区间 (1, 2] 上递减,
2

1 2

1 2

所以 h( x) max ? h(1) ? 1 ,所以 a ? 1 。

13

(3)另解:对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 成立,等价于:在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) 的最小值不小于 g ( x) 的最大值,由(2 )知,在区间 [ , 2] 上, g ( x) 的最大值为 g (2) ? 1 。

1 2

1 2

1 2

1 f (1) ? a ? 1 ,下证当 a ? 1 时,在区间 [ , 2] 上,函数 f ( x) ? 1 恒成立。 2 1 a 1 当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? ? x ln x ? ? x ln x , 2 x x 1 1 记 h( x) ? ? x ln x , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , h '(1) ? 0 x x 1 1 1 当 x ? [ ,1) , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 ;当 x ? (1, 2] , h '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 ? 0 , 2 x x 1 1 所以函数 h( x) ? ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递减,在区间 (1, 2] 上递增, 2 x 1 h( x) min ? h(1) ? 1 ,即 h( x) ? 1 , 所以当 a ? 1 且 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 1 成立, 2 1 即对任意 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s) ? g (t ) 。 2

7、已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln x (1)求函数 f (x) 的最小值 ( 2)求证:当 n ? N 时, e 解: x ? 0, f ( x) ? 1 ?
'
?

1 1 1 1? ? ??? 2 3 n

? n ?1

1 x ?1 ? ???????????????2 分 ? x x
1 0

(1)

x
f (x)

(0,1) -

(1,??)
+ 递 增 [ 来 源 :Z.x x.k.Co m]

f (x)

递减

极小值为 0

f (x) 最小值为 0,当 x ? 1时取到
(2)? f ( x) ? 0 ,当 x ? 1时取等

? x ? 1 ? ln x ,令 x ?

n ?1 1 n ?1 ? 0 ,? ? ln n n n

?1 ?

1 1 1 2 3 n ?1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln ? ln(n ? 1) 2 3 n 1 2 n

?e

1 1 1 1? ? ??? 2 3 n

? n ?1

14

8、已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) . (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若函数 y ? f (x) 的图象在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,对于任意的 t ? [1,2] ,函数

m ] 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,求 m 的取值范围; 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 (3)求证: ? ? ??? ? (n ? 2, n ? N? ) . 2 3 4 n n a(1 ? x) 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? ( x ? 0) , x g ( x) ? x 3 ? x 2 [ f ' ( x) ?
当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 ? 0,1? ,减区间为 ?1,?? ? ; 当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 ?1,?? ? ,减区间为 ? 0,1? ; 当 a ? 0 时, f (x) 不是单调 函数--------------------

a ? 1 得 a ? ?2 , f ( x) ? ?2 ln x ? 2 x ? 3 2 m 2 3 2 ∴ g ( x) ? x ? ( ? 2) x ? 2 x ,∴ g ' ( x) ? 3x ? (m ? 4) x ? 2 ----2
(Ⅱ) f ' (2) ? ? ∵ g (x) 在区间 (t ,3) 上总不是单调函数,且 g ? 0 ? ? ?2 ∴ ?
'

? g ' (t ) ? 0 ------? g ' (3) ? 0

由题意知:对于任意的 t ? [1,2] , g '(t ) ? 0 恒成立,

? g '(1) ? 0 37 ? ? m ? ?9 所以, ? g '(2) ? 0 ,∴ ? 3 ? g '(3) ? 0 ?
(Ⅲ)令 a ? ?1此时 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 ,所以 f (1) ? ?2 , 由(Ⅰ)知 f ( x) ? ? ln x ? x ? 3 在 (1,?? ) 上单调递增,∴当 x ? (1,??) 时 f ( x) ? f (1) ,即 ? ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ ln x ? x ? 1 对一切 x ? (1,??) 成立,

ln n n ? 1 ? n n ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? (n ? 2, n ? N? ) 2 3 4 n 2 3 4 n n
∵ n ? 2, n ? N* ,则有 0 ? ln n ? n ? 1 ,∴ 0 ?

15

9、已知 f ( x ) ? ax ?

b a ? 2 ln x ,且 f ( e ) ? be ? ? 2 ( e 为自然对数的底数)。 e x

(1)求 a 与 b 的关系; (2)若 f ( x ) 在其定义域内为增函数,求 a 的取值范围;

(3)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? ( n ? N ,n ? 2 ) 22 3 n 4( n ? 1 )

(提示:需要时可利用恒等式: lnx ? x ? 1 ) 解:(1)由题意 g ?x ? ? ax ?

b ? 2 ln x x

(2)由(1)知: g ?x ? ? ax ?
2

b ? 2 ln x (x>0) x

g ' ?x ? ? a ?

a 2 ax2 ? 2 x ? a , ? ? x2 x x2

令 h?x ? ? ax ? 2 x ? a . 要使 g(x)在(0,+∞)为增函数,只需 h(x)在(0,+∞)满足: h(x)≥0 恒成立. 即 h?x ? ? ax ? 2 x ? a ≥0
2

a?

2x 在 ?0,??? 上恒成立 x ?1
2

又 ?0 ?

2x 2 2 ? ? ? 1 所以 a ? 1 1 x ?1 x ? 1 2 x? x x
2

(3)证明:证:lnx-x+1≤0 (x>0),设 k ?x ? ? ln x ? x ? 1 ,则 k ' ? x ? ?

1 1? x .. ?1 ? x x

当 x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;当 x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数; ∴x=1 为 k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0. 即 lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1. ②由①知 lnx≤x-1,又 x>0,?

ln x x ? 1 1 ? ? 1? x x x

16

10、已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明: ?
ln i n(n ? 1) ? ? n ? N? , n ? 1? 4 i ?2 i ? 1
n

解:(I)函数 f ( x)的定义域为(1,??), f ' ( x) ? 当 k ? 0 时 f ' ( x) ?

1 ?k x ?1

1 ? k ? 0 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 ; x ?1 1 1 当 k ? 0 时,若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? ?k ?0 x ?1 k 1 1 1 1 若 x ? (1 ? ,??) 时有 f ' ( x) ? ? k ? 0 则 f ( x)在(1,1 ? ) 上是增函数,在 (1 ? ,??) 上是减函数 x ?1 k k k
(Ⅱ)由(I)知 k ? 0 ,时 f ( x)在(1,??) 递增, 而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立,故 k ? 0 又由(I)知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?

1 ) ? ? ln k ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k
? ln k ? 0得k ? 1

1 ) ? ? ln k ? 0 即可。 k

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 k ? 1 时有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒成立, 且 f ( x)在[2,??) 上是减函数, f (2) ? 0 ,

? x ? (2,??), f ( x) ? 0 恒成立,
即 ln( x ? 1) ? x ? 2在(2,??) 上恒成立 令 x ? 1 ? n 2 ,则 ln n 2 ? n 2 ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)( n ? 1) ,

17

11、已知函数 f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ,数列 ?an ? 满足: a1 ? (Ⅰ)求证: ln ?1 ? x ? ? x ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 , ln 2 ? ln an ?1 ? an ?1an ? f ? an ?1an ? . 2

(Ⅲ)求证不等式: a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? ln 2 ? ln ? n ? 2 ? . 解: (Ⅰ) f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x

f '? x? ?

1 x ?1 ? ? 1? x 1? x

当 ?1 ? x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,即 y ? f ( x) 是单调递增函数; 当 x ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,即 y ? f ( x) 是单调递减函数; 所以 f ' ? 0 ? ? 0 ,即 x ? 0 是极大值点,也是最大值点

f ? x ? ? ln ?1 ? x ? ? x ? f ? 0 ? ? 0 ? ln ?1 ? x ? ? x ,当 x ? 0 时取到等号.
(Ⅱ)由 ln 2 ? ln an ?1 ? an ?1an ? f ? an ?1an ? 得 方法 1

2an ?1 ? an ?1an ? 1

an ?1 ?

1 2 ? an

an ?1 ? 1 ?

a ?1 1 ?1 ? n 2 ? an 2 ? an

1 an ?1 ? 1


?

1 ?1 an ? 1

即数列 ?

? 1 ? 1 ? ?2 ,公差为 ?1 ? 是等差数列,首项为 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

1 n ? ?n ? 1 ? an ? an ? 1 n ?1

方法 2 利用函数不动点 方法 3 利用观察、归纳、猜想、数学归纳法证明 (Ⅲ) a1 ? a2 ? ? ? an ? 1 ?

1 ? 1 1 1 ?1 1 ? n ? ? ? ??? ?1? ?? ?1? ? n ?1 ? 1?1 2 ?1 n ?1 ?2 3

又∵ x ? 0 时,有 x ? ln ?1 ? x ? 令x?

1 1 1 ? n?2 ? ? ln ?1 ? ? 0 ,则 ? ? ln n ?1 n ?1 n ?1 ? n ?1 ?

∴n??

1 ? 4 5 n ?1 n?2? ?1 1 ? 3 ? ?? ? ? ln ? ? n ? ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? n ?1 ? 3 4 n n ?1 ? ?2 3 ? 2 n?2? n?2 ? 3 4 ? n ? ? ln ? ?? ? ? n ? ln 2 ? ln ? n ? 2 ? ? ? n ? ln n ?1 ? 2 ? 2 3

∴ a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? ln 2 ? ln ? n ? 2 ?

用数学归纳法证,酌情给分

18

12、已知函数 f ( x) ?

a ? sin x ? bx (a、b ? R) , 2 ? cos x

(Ⅰ)若 f ( x) 在 R 上存在最大值与最小值,且其最大值与最小值的和为 2680 ,试求 a 和 b 的值。 (Ⅱ)若 f ( x) 为奇函数: (1) 是否存在实数 b ,使得 f ( x) 在 (0,

2? 2? ) 为增函数, ( , ? ) 为减函数,若存在,求出 b 的值,若不存在, 3 3

请说明理由; u (2)如果当 x ? 0 时,都有 f ( x) ? 0 恒成立,试求 b 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f (x) 在 x ? R 上存在最大值和最小值,∴ b ? 0 (否则 f (x) 值域为 R) , ∴ y ? f ( x) ?

2y ? a a ? sin x ?1 ? sin x ? y cos x ? 2 y ? a ? sin( x ? ? ) ? 2 ? cos x 1? y2

? 3 y 2 ? 4ay ? a 2 ? 1 ? 0 ,又 ? ? 4a 2 ? 12 ? 0 ,由题意有 ymin ? ymax ?
∴ a ? 2010 ; u (Ⅱ)若 f (x) 为奇函数,∵ x ? R ,∴ f (0) ? 0 ? a ? 0 , ∴ f ( x) ?

4 a ? 2680 , 3

2 cos x ? 1 sin x ?b, ? bx , f ?( x) ? 2 ? cos x (2 ? cos)2 2 2 2 (1)若 ?b ? R ,使 f (x) 在(0, ? )上递增,在( ? , ? )上递减,则 f ?( ? ) ? 0 , 3 3 3 1 ? 2 cos x 2 ∴ b ? 0 ,这时 f ?( x) ? ,当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f (x) 递增。 2 3 (2 ? cos x) 2 当 x ? ( ? , ? ) 时 f ?( x) ? 0 , f (x) 递减。 3 ?b cos 2 x ? 2(1 ? 2b) cos x ? 1 ? 4b ?( x) ? (2) f (2 ? cos x) 2 1 2 △= 4 (1 ? 2b) ? b(1 ? 4b) ? 4(1 ? 3b) 若△ ? 0 ,即 b ? ,则 f ?( x) ? 0 对 ?x ? 0 恒成立,这时 f (x) 在 ?0,?? ? 上 3 递减,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 。

?

?

若 b ? 0 ,则当 x ? 0 时, ?bx ? [0, ??) ,

? sin x 3 3? ? ?? , ?, 2 ? cos x ? 3 3 ?

sin x ? bx 不可能恒小于等于 0。 2 ? cos x ? sin x 3 3? ? ?? , 若 b ? 0 ,则 f ( x ) ? ? 不合题意。 u 2 ? cos x ? 3 3 ? 1 1 ? 3b ?0, 若 0 ? b ? ,则 f ?(0) ? 3 3 f ?(? ) ? ?b ? 1 ? 0 ,∴ ?x0 ? (0, ? ) ,使 f ?( x0 ) ? 0 , x ? (0, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,这时 f (x) 递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,不合题意。 f ( x) ?
综上 b ? ? ,?? ? 。

?1 ?3

? ?

19

13、 已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? k x
2 2

(1)若 k ? 2 ,求方程 f ( x) ? 0 的解 (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? 0 在 ?0,2 ? 上有两个解 x1 , x2 ,求 k 的取值范围,并证明 解: (1)当 x ? 1 ? 0 即 x ? ?1, 或x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0, x ?
2

1 1 ? ?4 x1 x2

2

?1 ? 3 ?1 ? 3 ,x ? 舍去 2 2

当 x ? 1 ? 0 即 ?1 ? x ? 1 时, 1 ? 2 x ? 0, x ? ?
2

1 2

综上所述, x ? ?

1? 3 1 或x ?? 2 2

? 4分

(2)一法:当 0 ? x ? 1 时, kx ? ?1 ,① 当 1 ? x ? 2 时, 2 x ? kx ? 1 ? 0 ,②
2

若 k ? 0 则①无解,②的解为 x ? ? 若 k ? 0 则①的解为 x ? ? (Ⅰ)当 ?

2 ? (1, 2) ,故 k ? 0 不合题意。?? 1 分 2

1 , k

1 ? (0,1] 时,即 k ? ?1 时,方程②中 ? ? k 2 ? 8 ? 0 , k 2 故方程②中一根在(1,2)内另一根不在(1,2)内,设 g ( x) ? 2 x ? kx ? 1

?k ? ?1 ? g (1) ? 0 ? 7 ,? 则? 7 , 又k ? ?1, 故 ? ? k ? ?1 ,????? 3 分 2 ? g (2) ? 0 ?k ? ? ? 2
k 2 ? 8 ? k 2 ? 16k ? 64 2 7 2 2 而 (k ? 8) ? (k ? 16k ? 64) ? ?16k ? 56 ? ?16(k ? ) ? 0 2
此时

1 1 ? ? x1 x2

k2 ?8 ? k 1 1 , ? ?4? 2 x1 x2

? k 2 ? 8 ? k 2 ? 16k ? 64 ? 0 ,
(Ⅱ)当 ?

1 1 1 1 ? ? 4 ? 0,? ? ? 4 ?? 4 分 x1 x2 x1 x2

1 1 ? (0,1] 时,即 ?1 ? k ? 0, 或k ? 0 时,方程②在(1,2)必须有两个不同解,而 x1 x2 ? ? ? 0, 知方程② k 2 7 ? k ? ?1 2
2

必有负根,不合题意。?? 2 分 综上所述, ? ??? 1 分
2 2 2

二法: f ( x) ? 0 ? x ? 1 ? x ? ? kx, x ? 1 ? x ? ? 利用两个函数的图象可得 1 ? ?k ?

?2 x 2 ? 1,1 ? x ? 2 ?1, 0 ? x ? 1

7 7 , ? ? k ? ?1 2 2

20

14、已知函数 f ( x) ? ax ? ln x ? 3(a ? R), g ( x) ? xe

1? x

.

(1)若函数 g ( x) 图象在(0,0)处的切线也恰为 f ( x) 图象的一条切线,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a,对任意的 x ? ? 0, e ? ,都有唯一的 x0 ? [e , e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x) 成立,若存在,求出 a
?4

的取 值范围;若不存在,请说明理由。 解: (1)? g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ' ? 0 ? ? e ,所以 g ? x ? 的图象在 ? 0,0 ? 处的切线方程是 y ? ex ;2 分 设 y ? ex 与 f ? x ? 的图象切于点 ? x0 , y0 ? ,而 f ' ? x ? ? a ?

1 , x

?a ?

(2)? g ' ? x ? ? ?1 ? x ? e1? x ,? g ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递增,在 ?1, e ? 上单调递减, 且 g ? 0 ? ? 0, g ?1? ? 1, g ? e ? ? e2?e ? ? 0,1? ,? g ? x ? ? ? 0,1? ; 8分 9分 若令 m ? g ? x ? ,则原命题等价于对于任意 m ? ? 0,1? ,都有唯一的 x0 ? ? e ?4 , e ? ,使得 f ? x0 ? ? m 成立. ? ? 而 f '? x ? ? a ?

1 ? e 且 ax0 ? ln x0 ? 3 ? ex0 ,解得 a ? e2 ? e ; 5 分 x0

1 1 , x ? ?e ?4 , e ? , ? ?e?1 , e4 ? ? ? x ? ? x ①当 a ? 0 时,f ' ? x ? ? 0 恒成立, 所以 f ? x ? 在 x ? ?e ?4 , e ? 上单调递减, 要满足条件, 则必须有 f max ? f ? e ?4 ? ? ae ?4 ? 1 ? 1 , ? ?
且 f min ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,无解,所以此时不存在满足条件的 a ;10 分 ks5u ② 当 0 ? a ? e?1 , f ' ? x ? ? 0 恒 成 立 , 所 以 f ? x ? 在 x ? ?e ?4 , e ? 上 单 调 递 减 , 要 满 足 条 件 , 则 必 须 有 ? ?

f max ? f ? e ?4 ? ? ae ?4 ? 1 ? 1 ,且 f min ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 0 ? a ?

4 ,? 0 ? a ? e?1 ;11 分 e

1? ? ?1 ? ③当 e?1 ? a ? e4 时, f ? x ? 在区间 ? e ?4 , ? 上单调递减,在 ? ,e ? 上单调递增, a? ? ?a ? 4 ?1? 又 f e ?4 ? ae ?4 ? 1 ? 1 ,要满足条件,则 f min ? f ? ? ? f ? e ? ? ae ? 4 ? 0 ,解得 a ? , e ?a? 4 ? e?4 ? a ? ; 12 分 e 4 ④当 a ? e 时, f ' ? x ? ? 0 恒成立,所以 f ? x ? 在 x ? ?e ?4 , e ? 上单调递增, ? ?

? ?

又 f min ? f e ?4 ? ae ?4 ? 1 ? 1 ,所以此时不存在 a 满足条件; 综上有 0 ? a ?

? ?

13 分

4 . e

15 分

21

15、设函数 fx p ) 2 , ( ?. p 是实数, e 是自然对数的底数) ( ( ?x ? x x ) (? ln ) g (1)当 p ? 2 时,求与函数 y ? f ( x) 的图象在点 A(1,0)处相切的切线方程; (2)若 f (x) 在其定义域内为单调递增函数,求 p 的取值范围; (3)若在 [1, e] 上至少存在一点 x , fx?x 使得) ( ) g 成立,求 p 的取值范围. ( 0 0 0

1 x

2 e x

p 2 解: (Ⅰ)∵ f'( )?p 2 ? , x ? x x 当 p ? 2 时,点 A(1, 0) 在函数 y ? f ( x) 图象上。
∴ f ?(1) ? 2 . 则 y ? f ( x) 在该点处的切线方程为 y ? 2( x ? 1) 即 2 x ? y ? 2 ? 0 ??? 3 分
2 px 2 ? , ?x p (Ⅱ)∵ f'( )? x 2 x 要使 f (x) 为单调增函数,须 f ' (x ?0在 (0, ??) 恒成立, )
2 即 px 2? ? 在 (0, ??) 恒成立,即 p? ?x p 0

2x 2 在 (0, ??) 恒成立, ? 1 x ?1 x? x
2



2 1 x? x

? 1 ,所以当 p ?1时, f (x) 在 (0, ??) 为单调增函数;

?? 4 分

(Ⅲ)因 g(x) ?

2e 在 [1, e] 上为减函数 ,所以 g ) [, e ( ?2. x 2] x ①当 p ? 0时,由(Ⅱ)知 f (x) 在 [1, e] 上递减
? ?)0 ,不合题意; f) (max ? 2 x f ( 1 ?

??? 2 分

②当 p ?1时,由(Ⅱ)知 f (x) 在 [1, e] 上递增, f xi ?( ?, ()n f1 2 ) m 又 g(x) 在 [1, e] 上为减函数,故只需 f x ? ( ) , () g min max x 即 f ( e ) = p (e ?

1 4e ; 2 ?? n ) ?l e 2 p ? 2 e e ?1
1 ? 0, x

???? 3 分

③当 0?p? 时,因 x ? 1

所以 f ( x) ? p( x ? ) ? 2ln x ? x ?

1 x

1 ? 2ln x x

1 由(2)知x ? ? 2ln x在[1, e]为增函数 x 1 1 1 1 2 ? x ? ? 2ln x ? e ? ? 2ln e ? e ? ? 2 ? 3 ? ? 2 ? ? 2 不合题意 ? 2 分 x e e 3 3
4 e 综上, p的取值范围为 ( 2 ,??. ) e ?1
????? 1 分

22

16、已知函数 f(x)=x + x ,数列 {xn }( xn ? 0) 的第一项 x 1 =1,以后各项按如下方式取定:
3
2

曲线 y=f(x)在 ( x n ?1 , f ( x n ?1 )) 处的切线与经过 (0, 和 n ,f (x n )) 0) (x 两点的直线平行 (如 图) 。求证:当 n ? N * 时,

2 (Ⅰ)x 2 ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ; n

(Ⅱ) ( ) n ?1 ? x n ? ( ) n ? 2 。

1 2

1 2

证明: (I)因为 f ( x) ? 3x ? 2 x,
' 2

所以曲线 y ? f ( x) 在 ( xn ?1 , f ( xn ?1 )) 处的切线斜率 kn ?1 ? 3 x n?1 ? 2 xn ?1.
2
2 2 2 因为过 (0, 0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn ? xn , 所以 xn ? xn ? 3 xn ?1 ? 2 xn ?1 .

(II)因为函数 h( x) ? x ? x 在 x ? 0 时单调递增,
2
2 2 2 2 而 xn ? xn ? 3 xn ?1 ? 2 xn ?1 ? 4 xn ?1 ? 2 xn ?1 ? (2 xn ?1 ) ? 2 xn ?1 ,

所以 xn ? 2 xn ?1 ,即

xn ?1 1 x x x 1 ? , 因此 xn ? n ? n ?1 ????? 2 ? ( ) n ?1. xn 2 xn ?1 xn ? 2 x1 2
2
2 令 yn ? xn ? xn , 则

又因为 xn ? xn ? 2( x n?1 ? xn ?1 ),
2

yn ?1 1 ? . yn 2

2 因为 y1 ? x1 ? x1 ? 2, 所以 yn ? ( ) n ?1 ? y1 ? ( ) n ? 2 .

1 2

1 2

2 因此 xn ? xn ? xn ? ( ) n ? 2 ,

1 2

故 ( ) n ?1 ? xn ? ( ) n ? 2 .

1 2

1 2

点评:本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识,以及不等式的证明,同时考查逻辑推理能力。

23

17、设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x

2

(I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 从而 f ?( x) ?

e . 2

3 1 ? 2 x ,依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? . 2 x?a

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 3 ? ? . f ( x) 的定义域为 ? ? , ∞ ? , ? 3 3 ? 2 ? x? x? 2 2

当?

1 3 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2 2
? 3 ? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? 1? ? 单调减少. 2?

? ? ? , 从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , 1?,? , ∞ ? 单调增加,在区间 ? ?1 ?

(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (?a, ∞) , f ?( x ) ? ? (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 2 2 .方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . x?a

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.
若a ?

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .

2 , x ? (? 2, ∞) , f ?( x ) ? ?

( 2 x ? 1) 2 . x? 2

当x??

? ? 2? ? 2 2 ? , ∞ ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 无极值. ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ? ? 2, ???? ? 2 ? ? 2 2 ? ? ? ?

? 若 a ? ? 2 , x ? ( 2, ∞) , f ?( x ) ?
(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

2 或 a ? ? 2 ,则 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 x2 ? , . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x) 有 f ( x) 的定义域内没有零点,故 f ( x) 无极值. 当a ?

2 时, x1 ? ? a , x2 ? ?a , f ?( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,

由根值判别式方法知 f ( x) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值.

? 综上, f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞) . f ( x) 的极值之和为:

1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln 。 2 2

24

18、 在直角坐标平面中, 过点 A1(1, 0)作函数 f(x)=x2(x>0)的切线 l1, 其切点为 B1(x1, 1); y 过点 A2(x1, 0)作函数 g(x)=ex(x>0) 的切线 l2,其切点为 B2(x2,y2);过点 A3(x2,0)作函数 f(x)= x2(x>0)的切线 l3,其切点为 B3(x3,y3);如此下去,即过点 A2k―2(x2k―2, 0)作函数 f(x)=x2(x>0)的切线 l2k―1, 其切点为 B2k―1 (x2k―1, 2k―1); y 过点 A2k―1 (x2k―1, 0)作函数 g(x)= ex (x>0) 的切线 l2k,其切点为 B2k (x2k,y2k);…. (1)求 x2k―2 与 x2k―1 及 x2k―1 与 x2k 的关系; (2)求数列{xn}通项公式 xn; 1 2 3 n 6 (3)是否存在实数 t,使得对于任意的自然数 n,不等式 + + +…+ ≤ t― 恒成立?若存在,求出 x2+1 x4+1 x6+1 x2n+1 t 这样的实数 t 的取值范围;若不存在,则说明理由. 解 (1) ∵f (x)=2x, ∴切线 l2k―1 的方程为 y―x2k―12=2 x2k―1(x―x2k―1), 又切线 l2k―1 过点 A2k―2(x2k―2, ∴0―x2k―12=2 x2k― 0), 1(x2k―2―x2k―1),且 x2k―1>0,∴x2k―1=2 x2k―2.∴x1=2. (2)又 g (x)=( ex) = ex,∴切线 l2k 的方程为 y―e
1―x2k),且
ノ ノ ノ

x2 k

=e

x2 k

(x―x2k),而切线 l2k 过点 A2k―1(x2k―1,0),∴0―e

x2 k

=e

x2 k

(x2k―

x2k>0,∴x2k= x2k―1+1. ∴x2=x1+1=3. ― (3)由(1) (1)可知 x2k= x2k―1+1 = 2x2k―2+1, x2k+1= 2(x2k―2+1), 即 ∴数列{x2k +1}为等比数列, 且首项为 4, 2k +1=4×2k 1, ∴x 即 x2k =2k+1―1.
? ? n2 3 ?2 ―2 (n为奇数), 而 x2k―1=2 x2k―2=2(2k―1)= 2k+1―2,故数列{xn}通项公式为 xn=? n ? 2 ? 2 2 ―1 (n为偶数). ?

(4) (理)令 Sn=

1 2 3 n 1 2 3 n 1 1 2 3 n + + +?+ = + + +?+ n+1, ∴ Sn= 3+ 4+ 5+?+ n+2, x2+1 x4+1 x6+1 x2n+1 22 23 24 2 2 2 2 2 2

1 1 [1― n] 4 2 1 1 1 2 3 n n n 1 1 n 两式相减得 Sn= 2+ 3+ 4+ 5+?+ n+1― n+2 = ― n+2 = (1― n)― n+2, 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1― 2 1 n n+2 ∴Sn=1― n― n+1 =1― n+1. 2 2 2 n+3 n+2 n+1 ∴Sn+1― Sn=(1― n+2)―(1― n+1)= n+2>0,∴数列{ Sn}递增. 2 2 2 1 2 1 3 1 2 n+2 n+2 n―3 n―2 n―1 n 又当 n≥6 时, n+1=2(1+1) n=2(1+Cn+Cn+Cn+Cn+?+C 2 +C +C +Cn)>4(1+Cn+Cn)>2(n2+n), ∴0< n+1< 2 , 2 2(n +n) n n n n+2 而n→∞ 2 =0,∴n→∞Sn=1. lim lim 2(n +n) 6 ∴对于任意的自然数 n 不等式恒成立等价于 t― ≥1,? t[?2,0) ? [3,??) t

25

19、 (变换主元法)已知函数 f ?x ? ? ax ? ?3 ? 2a ?x ? a ? e
2

?

?

x ?1

,a ? 0.

(1)若 x

? ?1 是函数 f ( x) 的极大值点,求 a 的取值范围.
'

(2)若不等式 f ?x ? ? x ? x ? a ? e
2

?

?

x ?1

对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围.
x ?1

(3)记函数 g ( x) ? f ( x) ? (2a ? 6) ? e

,若 g ? x ? 在区间 ?2,4? 上不单调, 求实数 a 的取值范围. .

2 解: (1) f ?( x) ? ax ? 3 x ? a ? 3 ? f ?(?1) ? a ? 3 ? a ? 3 ? 0 ? a ? ?3

(2) f ?( x) ? x ? x ? a ? 3 ? ( x ? 2)a ? x ? 2 x ? 0 对任意 a ? (0,?? ) 都成立,
2 2 2

?

? x 2 ? 2 x ? 0 ? ?2 ? x ? 0

(2) f ?( x ) ? ( x 2 ? x ? 2a ) ? e x ?1 ? ( x 2 ? 1)a ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 对任意 a ? (0,??) 都成立,

?? x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ? ?3 ? x ? ?1 Ks5u
(3) g ( x) ? f ( x) ? (2a ? 6) ? e
x ?1

= [ax 2 ? (3 ? 2a ) x ? 3a ? 6] ? e x ?1 , g ( x ) ? (ax ? 3 x ? a ? 3) ? e
' 2

x ?1

g( x ) 在区间 [ 2,4] 上不单调 ? ax 2 ? 3 x ? a ? 3 ? 0 在x ? (2,4)上有解且? ? 0 .
变量分离得, a ?

3x ? 3 x2 ? 1

令t(x) ?

3x ? 3 ( x ? (2, 4)) , x2 ? 1

求得 t(x)的值域为 (

9 3( 2 ? 1) 9 3( 2 ? 1) , ) ,? ? a ? 17 2 17 2

20、已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? ax ? x ? a ? 0 ? .
2

(Ⅰ)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象在公共点 P 处有相同的切线,求实数 a 的值并求点 P 的坐标; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象有两个不同的交点 M、N,求 a 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过线段 MN 的中点作 x 轴的垂线分别与 f ? x ? 的图像和 g ? x ? 的图像交 S、T 点,以 S 为切点 作 f ? x ? 的切线 l1 ,以 T 为切点作 g ? x ? 的切线 l 2 .是否存在实数 a 使得 l1 // l 2 ,如果存在,求出 a 的值;如果不存在, 请说明理由.
2 解: (Ⅰ)设函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图象的公共点 P ? x0 , y0 ? ,则有 ln x0 ? ax0 ? x0



又在点 P 有共同的切线 ∴ f ' ? x0 ? ? g ' ? x0 ? ? 设 h ? x ? ? ln x ?

1 ? x0 1 1 1 ? 2ax0 ? 1 ? a ? 代入①得 ln x0 ? ? x0 2 x0 2 x0 2 2

1 1 1 1 ? x ? h ' ? x ? ? ? ? 0 ? x ? 0? 2 2 x 2

所以函数 h ? x ? 最多只有 1 个零点,观察得 x0 ? 1 是零点,∴ a ? 1 ,此时 P ?1, 0 ?

26

(Ⅱ)方法 1 由 f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ax 2 ? x ? a ?

ln x ? x x2

?1 ? 2 ? ? 1? x ? 2 x ? ln x ? x ? 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x x ? 令 r ? x? ? ? r '? x? ? ? ? 2 x x4 x3
当 0 ? x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递增 当 x ? 1 时, r ' ? x ? ? 0 ,则 r ? x ? 单调递减,且 所以 r ? x ? 在 x ? 1 处取到最大值 r ?1? ? 1 , 所以要使 y ?

ln x ? x ?0 x2

ln x ? x 与 y ? a 有两个不同的交点,则有 0 ? a ? 1 x2
1 ,而 y ? f ? x ? 是固定 2

方法 2 根据(Ⅰ)知当 a ? 1 时,两曲线切于点 ?1, 0 ? ,此时变化的 y ? g ? x ? 的对称轴是 x ? 不动的,如果继续让对称轴向右移动即 x ? 一个交点,显然不合,所以 0 ? a ? 1 .

1 1 ? ? a ? 1 ,两曲线有两个不同的交点,当 a ? 0 时,开口向下,只有 2a 2
? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2

(Ⅲ)不妨设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,且 x1 ? x2 ,则 MN 中点的坐标为 ?

以 S 为切点的切线 l1 的斜率 k S ? f ' ?

2 ? x1 ? x2 ? ?? ? 2 ? x1 ? x2
? x1 ? x2 ? ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 2 ?
① 而且有 ln x1 ? ax1 ? x1 和 ln x2 ? ax2 ? x2
2 2

以 T 为切点的切线 l 2 的斜率 kT ? g ' ?

如果存在 a 使得 k S ? kT ,即

2 ? a ? x1 ? x2 ? ? 1 x1 ? x2

如果将①的两边同乘 x1 ? x2 得

2( x1 ? x2 ) 2 ? a ? x12 ? x2 ? ? ? x1 ? x2 ? x1 ? x2



2( x1 ? x2 ) x 2 ? ax12 ? x1 ? (ax2 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln 1 x1 ? x2 x2
2 ? ? ? 1? x1 ? 1 ,则有 ln ? ? ? ? ? 1? 1? ? x2

即 ln

x1 ? x2

2(

x1 ? 1) x2 x1 ?1 x2

设? ?

令 h ? ? ? ? ln ? ?

2 ? ? ? 1? 1? ?

? ? ? 1?

h '? ? ? ?

1

?

?

? ? ? 1? 4 ? 2 (1 ? ? ) (1 ? ? ) 2

2

∵ ? ? 1 ,∴ h ' ? ? ? ? 0

因此 h ? ? ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,故 h ? ? ? ? h ?1? ? 0

所以不存在实数 a 使得 l1 // l 2 .

27

21、已知函数 f ? x ? ?

4x ? a 在区间 ?m, n? 上为增函数,且 f ?m? f ?n ? ? ?4 . 1? x2

(1)当 a ? 3 时,求 m, n 的值; (2)当 f ?n ? ? f ?m? 最小时, ①求 a 的值; ②若 P?x1 , y1 ? , Q?x2 , y2 ? ?a ? x1 ? x2 ? n ? 是 f ? x ? 图象上的两点,且存在实数 x0 使得 f ? x0 ? ?
'

f ? x2 ? ? f ? x1 ? , x2 ? x1

证明: x1 ? x0 ? x2 。

?1 ? x ? 解: ?2 ? 2 x ? 3x ? 2 ? ?2 ? 2 x ? 1?? x ? 2 ? f ?? x? ? ? ?0 ?1 ? x ? ?1 ? x ? (1)当 a ? 3 时,由 ,
2 2 2 2
2 2 2 2 2

f ?? x? ?

4 ?1 ? x 2 ? ? 2 x ? 4 x ? a ?

?1 ? x ?

?

?2 ? 2 x 2 ? ax ? 2 ?

x??


1? ? 1 ? ? 1 ? ??, ? ? ? 2, ?? ? ?? 2 , 2? 2 ?, ? 上为增函数,在 ? 2 或 x ? 2 ,所以 f ? x ? 在 ? 上为减函数,

? 1? 1 f ? ? ? ? f ? m? ? 0 ? f ? n ? ? f ? 2? ? ?m?n?2 由题意知 2 ,且 ? 2 ? 。
? 1? ? 1? f ? ? ? ? ?4, f ? 2 ? ? 1 ?4 ? f ? m ? f ? n ? ? f ? ? ? f ? 2 ? ? ?4 ? 2? 因为 ? 2 ? ,所以 ,

1 m ? ? ,n ? 2 2 可知 。
(2)① 因为 当且仅当

f ? n ? ? f ? m ? ? f ? n ? ? ?? f ? m ?? ? 2 f ? n ? ?? f ? m ?? ? 4 ? ? ? ? ,
时等号成立。

f ?n? ? ? f ?m? ? 2



f ? n? ? f ? m? ?

4n ? a 2 ?2 ? a ? 2 ? n ? 1? ? 0 1 ? n2 ,有 ,得 a ? 0 ; 4m ? a 2 ? ?2 a ? 2 ? m ? 1? ? 0 1 ? m2 ,有 ,得 a ? 0
取得最小值时, a ? 0 , n ? 1 。
2 4 ?1 ? x0 ?

由 故

f ?n? ? f ?m?

f ? ? x0 ? ?
②此时,

?1 ? x ?

2 2 0



4 ?1 ? x1 x2 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?



28

2 1 ? x0 f ( x2 ) ? f ( x1 ) f '( x0 ) ? 2 1 ? x0 x2 ? x1 由 知,

?

?

2

?

1 ? x1 x2 ?1 ? x12 ??1 ? x22 ?
2 2 1



欲证

x1 ? x0 ? x2
2 2 0

?1 ? x ? ,先比较
2 2 1

2 1 ? x0

2 2 0

?1 ? x ? 与

1 ? x12

的大小。

?1 ? x ? ?1 ? x ? ? x ? x ? ? 2x ? x ? x x ? ? x ? x ? ? x ? 2 ? x x ? ? x ? ? ? ? ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? x ? ?1 ? x ?
1 2 1 2 2 1 2

2 1 ? x0

?

1 ? x12

?

1 ? x1 x2 1 ? x12 ? ?1 ? x12 ??1 ? x22 ? ?1 ? x12 ?2
1 2 1 2 2 1

1 2

2

2 2 1

2 2

2 2

因为

0 ? x1 ? x2 ? 1

,所以

0 ? x1 x2 ? 1

,有

x1 ? 2 ? x1 x2 ? ? x2 ? 0
2 1 ? x0



? x ? x2 ? ? x1 ? 2 ? x1 x2 ? ? x2 ? ? 0 ,即 ?1 ? x02 ? ? ? 于是 1

2

?

?1 ? x ?
2 2 1

1 ? x12

2 2 1

?0


?1 ? x ? ?1 ? x ? 另一方面,
2 2 0

2 1 ? x0

?

1 ? x12

2 2 1

?x ?

2 1

2 2 2 ? x0 ?? 3 ? x12 ? x0 ? x12 x0 ?

?1 ? x ? ?1 ? x ?
2 2 0

, ,即

因为

2 0 ? x12 x0 ? 1

,所以

2 2 3 ? x12 ? x0 ? x12 x0 ? 0

,从而

2 x12 ? x0 ? 0

x1 ? x0



同理可证

x0 ? x2

,因此

x1 ? x0 ? x2



22.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 3) x ? ln x. 2

(Ⅰ)若函数 f ( x) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的最小值; (Ⅱ)在函数 f ( x) 的图象上是否存在不同两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,线段 AB 的中点的横坐标为 x0 ,直线 AB 的斜 率为 k ,有 k ? f ( x0 ) 成立?若存在,请求出 x0 的值;若不存在,请说明理由.
/

解:(Ⅰ) f ( x) ? x ? a ? 3 ?
/

1 ( x ? 0). x
/

2分

若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递增,则 f ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒成立, 而当 x ? 0 时, ?( x ? ) ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1. ? a ? 1. 若函数 f ( x) 在 (0, ??) 上递减,则 f ( x) ? 0 对 x ? 0 恒成立,即 a ? ?( x ? ) ? 3 对 x ? 0 恒成立,这是不可能的.
/

1 x

1 x

1 x

综上, a ? 1.

a 的最小值为 1.

6分

1 2 1 2 x1 ? (a ? 3) x1 ? ln x1 ? x2 ? (a ? 3) x2 ? ln x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 2 ? (Ⅱ)假设存在,不妨设 0 ? x1 ? x2 . k ? x1 ? x2 x1 ? x2

29

x1 x2 ? x0 ? (a ? 3) ? . x1 ? x2 ln
ln

9分

f / ( x0 ) ? x0 ? (a ? 3) ?

1 . x0

x x x1 2 1 ?2 ln 1 x x x2 2 x2 1 / 若 k ? f ( x0 ), 则 ,即 ln 1 ? 2 . (*) ? ? ,即 x1 x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x0 ?1 x2

12 分

令t ?

x1 2t ? 2 , u (t ) ? ln t ? ( 0 ? t ? 1 ), x2 t ?1
/

则 u ?(t ) ?

(t ? 1) 2 >0.∴ u (t ) 在 0 ? t ? 1 上增函数, ∴ u(t ) ? u(1) ? 0 , t (t ? 1) 2

∴(*)式不成立,与假设矛盾.∴ k ? f ( x0 ).

因此,满足条件的 x0 不存在.

23、已知函数 f ( x) ? x 2 ln(ax)(a ? 0) (Ⅰ)若 f ' ( x) ? x 2 对任意的 x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? 解: (Ⅰ) f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x

f ( x) 1 ,若 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 ,求证 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4 x e

f ' ( x) ? 2 x ln(ax) ? x ? x 2 ,即 2 ln ax ?1 ? x 在 x ? 0 上恒成立,设 u( x) ? 2 ln ax ? 1 ? x

2 ? 1 ? 0, x ? 2 , x ? 2 时,单调减, x ? 2 单调增,所以 x ? 2 时, u (x) 有最大值 u ( 2) x e u(2) ? 0,2 ln 2a ? 1 ? 2 ,所以 0 ? a ? 2 f ( x) (Ⅱ)当 a ? 1 时, g ( x) ? ? x ln x , x 1 1 1 g ( x) ? 1 ? ln x ? 0, x ? ,所以在 ( ,??) 上 g (x) 是增函数, (0, ) 上是减函数 e e e 1 因为 ? x1 ? x1 ? x 2 ? 1 ,所以 g ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ln( x1 ? x2 ) ? g ( x1 ) ? x1 ln x1 e u ' ( x) ?
即 ln x1 ?

x1 ? x 2 x ? x2 ln( x1 ? x 2 ) ,同理 ln x 2 ? 1 ln( x1 ? x 2 ) x1 x2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 x x ? ) ln( x1 ? x 2 ) ? (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x 2 ) x2 x1 x 2 x1

所以 ln x1 ? ln x 2 ? (

又因为 2 ?

x1 x 2 ? ? 4, 当且仅当“ x1 ? x 2 ”时,取等号 x 2 x1

x x 1 又 x1 , x 2 ? ( ,1), x1 ? x 2 ? 1 , ln( x1 ?x 2 ) ? 0 ,所以 (2 ? 1 ? 2 ) ln( x1 ? x 2 ) ? 4 ln( x1 ? x 2 ) x 2 x1 e
所以 ln x1 ? ln x2 ? 4 ln( x1 ? x2 ) ,所以: x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) 4
30

24、已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? x.
2

(1)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 是增函数,求 a 的取值范围; (2)已知 a ? 0 ,对于函数 f ? x ? 图象上任意不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,其中 x2 ? x1 ,直线 AB 的斜率为 k , 记 N ? u , 0 ? , A1 ? x1 , y1 ? , B1 ? x2 , y2 ? ,若 A1 B1 ? ? A1 N ?1 ? ? ? 2 ? , 求证: f ? ? u ? ? k 。

???? ?

???? ?

31

25、已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 3) ? e ,其定义域为 ? ?2,t ? ( t ? ?2 ),设 f (?2) ? m, f (t ) ? n .
2 x

(Ⅰ)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ? ?2,t ? 上为单调函数; (Ⅱ)试判断 m, n 的大小并说明理由; (Ⅲ)求证:对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x 0 的个数. e x0 3
x

解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ( x ? 3x ? 3) ? e ? (2 x ? 3) ? e ? x( x ? 1) ? e
2 x x

由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,所以 f ( x) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减 要使 f (x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 (Ⅱ) n ? m .因为 f ( x) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减,所以 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值 e 又 f (?2) ?

13 ? e ,所以 f ( x) 在 ? ?2, ?? ? 上的最小值为 f (?2) e2

从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n

(Ⅲ)证:因为

f ' ( x0 ) f ' (x ) 2 2 ? x0 2 ? x0 ,所以 x0 0 ? (t ? 1) 2 ,即为 x0 2 ? x0 ? (t ? 1)2 , x0 e e 3 3

令 g ( x) ? x ? x ?
2

2 2 (t ? 1) 2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 在 (?2, t ) 上有解,并讨论解的个数 3 3 2 2 2 1 因为 g (?2) ? 6 ? (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) ,所以 3 3 3 3
①当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时, g (?2) ? g (t ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且只有一解

②当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ?
2

2 (t ? 1)2 ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且有两解 3

③当 t ? 1 时, g ( x) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有且只有一解; 当 t ? 4 时, g ( x) ? x ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3 , 所以 g ( x) ? 0 在 ( ?2, 4) 上也有且只有一解
2

综上所述, 对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , x0 e 3

且当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时,有唯一的 x0 适合题意;当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0 适合题意. (说明:第(Ⅱ)题也可以令 ? ( x) ? x ? x , x ? (?2, t ) ,然后分情况证明
2

2 (t ? 1) 2 在其值域内,并讨论直线 3

2 y ? (t ? 1)2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数) 3

32

?? x 3 ? x 2 , x ? 1, 26、已知函数 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.
(Ⅰ)求 f ( x) 在 [?1, e] ( e 为自然对数的底数)上的最大值; (Ⅱ)对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边中点在 y 轴上?ks**5u

?? x 3 ? x 2 , x ? 1, 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ? ?a ln x, x ? 1.

2 2 ;解 f ?( x) ? 0 得到 ?1 ? x ? 0 或 ? x ? 1 . 3 3 2 2 2 2 4 所以 f ( x) 在 (?1,0) 和 ( ,1) 上单调递减,在 (0, ) 上单调递增,从而 f ( x) 在 x ? 处取得极大值 f ( ) ? . 3 3 3 3 27
①当 ?1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? x(3x ? 2) ,解 f ?( x) ? 0 得到 0 ? x ? 又 f (?1) ? 2, f (1) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [?1,1) 上的最大值为 2. ②当 1 ? x ? e 时, f ( x) ? a ln x ,当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 ;当 a ? 0 时, f ( x) 在 [1, e] 上单调递增,所以 f ( x) 在 [1, e] 上的最 大值为 a .所以当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 a ;当 a ? 2 时, f ( x) 在 [?1, e] 上的最大值为 2. (Ⅱ)假设曲线 y ? f ( x) 上存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,则 P, Q 只能在 y 轴的两侧,不 妨设 P(t , f (t ))(t ? 0) ,则 Q(?t , t 3 ? t 2 ) ,且 t ? 1 .

??? ???? ? 因为 ?POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,所以 OP ? OQ ? 0 ,
即: ?t 2 ? f (t ) ? (t 3 ? t 2 ) ? 0 (1) 是否存在点 P, Q 等价于方程(1)是否有解. 若 0 ? t ? 1 ,则 f (t ) ? ?t 3 ? t 2 ,代入方程(1)得: t 4 ? t 2 ? 1 ? 0 ,此方程无实数解. 若 t ? 1 ,则 f (t ) ? a ln t ,代入方程(1)得到: 设 h( x) ? ( x ? 1)ln x( x ? 1) , 则 h?( x) ? l nx?

1 ? (t ? 1)ln t , a

1 在 ? 0 [1, ??) 上 恒 成 立 . 所 以 h( x ) 在 [1, ??) 上 单 调 递 增 , 从 而 x

h( x) ? h(1) ? 0 ,所以当 a ? 0 时,方程

1 ? (t ? 1)ln t 有解,即方程(1)有解. a

所以,对任意给定的正实数 a ,曲线 y ? f ( x) 上是否存在两点 P, Q ,使得 POQ 是以 O 为直角顶点的直角三角形,且 此三角形斜边中点在 y 轴上.

33

b 27、设函数 f ( x) ? ax ? (a, b ? R ) ,若 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 1 . x

(Ⅰ)用 a 表示 b ; (Ⅱ)设 g( x) ? ln x ? f ( x) ,若 g( x) ? ?1 对定义域内的 x 恒成立,

? (ⅰ)求实数 a 的取值范围; (ⅱ)对任意的 ? ?[0, ) ,证明: g(1 ? sin ? ) ? g(1 ? sin ? ) . 2
解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ?
b b ,依题意有: f ?(1) ? a ? 2 ? a ? b ? 1 ? b ? a ? 1 ; x2 x a ?1 (Ⅱ) g ( x) ? ln x ? f ( x) ? ln x ? ( ax ? ) ? ?1 恒成立. x

(ⅰ) g( x) ? ?1 恒成立即 g ( x)max ? ?1 . 方法一: g( x) ? ?1 恒成立,则 g(1) ? 1 ? ?a ? a ? 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 .
?( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? 当 a ? 1 时, g ?( x ) ? x2 1 ? a[ x ? ( ?1 ? )]( x ? 1) 1 a ? 0 ? x ? 1, x ? ?1 ? x2 a

x ? ?1 ?

1 ? 0, x2 g ?(0) ? 0 ,则 x ? (0,1) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,当 x ? (1, ??) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减, a
1 a ? 1 ?ax2 ? x ? a ? 1 ?( ax ? a ? 1)( x ? 1) , ?a? 2 ? ? x x x2 x2

则 g( x)max ? g(1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意;即 g( x) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ; 方法二: g ?( x) ?

①当 a ? 0 时, g ?( x ) ?

x ?1 , x ? (0,1) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减,当 x ? (1, ??) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,则 x2

g ( x)max ? g (1) ? 1 ,不符题意;
?( ax ? a ? 1)( x ? 1) ? ②当 a ? 0 时, g ?( x ) ? x2 1 ? a[ x ? ( ?1 ? )]( x ? 1) 1 a ? 0 ? x ? 1, x ? ?1 ? , 2 x a

(1)若 a ? 0 , ?1 ?

1 ? 0 , x ? (0,1) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减;当 x ? (1, ??) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递增,则 a

g( x)max ? g(1) ? 1 ? 2a ? ?1 ? a ? 1 ,矛盾,不符题意;

1 1 (2)若 a ? 0 ,若 0 ? a ? , ?1 ? ? 1 , x ? (0,1) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减,不符题意; 2 a 1 1 1 1 1 若 ? a ? 1 ,0 ? ?1 ? ? 1 ,x ? (0, ?1 ? ) ,g ?( x ) ? 0 ,g ( x ) 单调递减, 不符题意; g (?1 ? ) ? ln(?1 ? ) ? 1 ? 0 矛盾; ( ) 2 a a a a 1 若 a ? 1 , ?1 ? ? 0 , x ? (0,1) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单 调 递 增 ; 当 x ? (1, ??) , g ?( x ) ? 0 , g ( x ) 单 调 递 减 , 则 a
g ( x)max ? g (1) ? 1 ? 2a ? ?1 ,符合题意;综上,得 g ( x) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ;

(ⅱ)由(ⅰ)知, g( x) ? ?1 恒成立,实数 a 的取值范围为 a ? 1 . 方法一:令 sin ? ? t ?[0,1) ,考虑函数
P(t ) ? g(1 ? t ) ? g(1 ? t ) ? ln(1 ? t ) ? a(1 ? t ) ?
P?(t ) ?

a ?1 a ?1 ? [ln(1 ? t ) ? a(1 ? t ) ? ] 1? t 1? t

1 1 a ?1 a ?1 2 1 1 ? ? 2a ? ? ? ? 2a ? ( a ? 1)[ ? ], 2 2 2 2 1? t 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) 1 ? t (1 ? t ) (1 ? t )2
2 1 1 ? 2a ? ( a ? 1)[ ? ] ? 0 ,即证明 1 ? t2 (1 ? t )2 (1 ? t )2

下证明 P?(t ) ? 0 ,即证:

1 1 ? t2 1 ? t2 1 ? a ? ( a ? 1)[ ] ? 0 ,由 ]?0, ? 1 ,即证 1 ? a ? ( a ? 1)[ 2 2 2 2 1? t (1 ? t ) (1 ? t ) (1 ? t )2 (1 ? t )2 1? t

34

又 a ? 1 ? 0 ,只需证 ?1 ?

1 ? t2 ? 0 ,即证 1 ? t 2 ? (1 ? t )2 (1 ? t )2 ? t 4 ? 3t 2 ? 0 ? t 2 (t 2 ? 3) ? 0 ,显然成立. (1 ? t )2 (1 ? t )2

即 p(t ) 在 t ? [0,1) 单调递增, p(t )min ? p(0) ? 0 ,则 p(t ) ? 0 ,得 g(1 ? t ) ? g(1 ? t ) 成立,

? 则对任意的 ? ?[0, ) , g(1 ? sin ? ) ? g(1 ? sin ? ) 成立. 2

?????7′
a ?1 a ?1 ? [ln(1 ? sin ? ) ? a(1 ? sin ? ) ? ] 1 ? sin ? 1 ? sin ?

方法二:考虑函数: h(? ) ? g(1 ? sin ? ) ? g(1 ? sin ? ) ? ln(1 ? sin ? ) ? a(1 ? sin ? ) ?
? ln ? ln

1 ? sin ? a ?1 a ?1 1 ? sin ? 1 1 ? 2a sin ? ? ? ? ln ? 2a sin ? ? ( a ? 1)( ? ) 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

1 ? sin ? 2 ? 2a sin ? ? (a ? 1)( ) 1 ? sin ? 1 ? sin 2 ?

28、已知函数 f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) (a ? R). (Ⅰ)若 a ? ?1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的的切线方程; (Ⅱ)若 f ( x) ?

2 对任意 x? ? ?2, ?1? 恒成立,求实数 a 的取值范围. e2

解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ? x 2 e x , f (1) ? ?e . f ?( x) ? ? x 2 e x ? 2 xe x ,因为切点为( 1,?e ) 则 k ? f ?(1) ? ?3e , , 所以在点( 1,?e )处的曲线的切线方程为: y ? ?3ex ? 2e . (Ⅱ)解法一:由题意得, f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ? 因为 a ?
2 e
2

,即a ?

1 . f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1] , 5

2 1 ,所以 f ?( x) ? 0 恒成立,故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增, 要使 f ( x) ? 2 恒成立, 5 e

则 f (?2) ? e ?2 (4a ? a ? 1) ?

2 e
2

,解得 a ?

1 . 5

解法二: f ?( x) ? e x (ax 2 ? 2ax ? a ? 1) ? e x [a( x ? 1) 2 ? 1] (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 [?2,?1] 上恒成立,故 f (x) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,
f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ? 2 e
2

即a ?

1 . 5

(2)当 a ? 0 时,令 u ( x) ? a( x ? 1) 2 ? 1 ,对称轴 x ? ?1 ,则 u (x ) 在 ?? 2,?1? 上单调递增,又 u(?1) ? 1 ? 0, u(?2) ? (a ? 1) ① 当 a ? 1 ? 0 ,即 ?1 ? a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 ?? 2,?1? 上恒成立,所以 f (x) 在 ?? 2,?1? 单调递增,
f ( x) min ? f (?2) ? e ?2 (5a ? 1) ? 2 e
2

即a ?

1 ,不合题意,舍去 5

②当 a ? ?1 时, f ( x) ? e x (ax 2 ? a ? 1) ? 0 , 不合题意,舍去

综上所述: a ?

1 5

29、已知函数 f ( x) 的定义域为 D ,若对任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函数 f ( x) 在 D 上为非

x 1 减函数.设 函数 f ( x) 在 [0,1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ? f ( x) ; 3 2 1 1 ③ f (1 ? x) ? 2 ? f ( x) .则 f ( ) ? f ( ) ? ( ) 3 8 3 5 (A) 1 (B) (C) 2 (D) 2 2
35

3 2 30、已知函数 f ( x) ? x ? 9 x cos ? ? 48 x cos ? , g ( x) ? f ?( x) ,且对任意的实数 t 均有 g (1 ? e ) ? 0 ,

?t

g (3 ? sin t ) ? 0 。 (I)求 g (2) 及函数 f ( x) 的解析式;
(II)若对任意的 m?[?26, ,恒有 f ( x) ≥ x ? mx ? 11 ,求 x 的取值范围. 6]
2

(Ⅲ)记函数 h( x) ? f ( x) ?

a ? b 的最小值。 解: (1)解法一,由题设得:
?t

2 3 x ? (a ? 9) x 2 ? (b ? 24) x 3

(a, b ? R) ,若 y ? h( x) 在区间[-1,2]上是单调减函数,求

g ( x) ? 3 x 2 ? 18 x cos ? ? 48cos ? , 又由 1 ? e ? (1, 2? ,3 ? sin t ? ? 2, 4? , 知g ( x) ? 0在x ? 1,? 成立,g ( x) ? 0在x ? ? 2,? 成立,由此易得 ( 2 4 g (2) ? 0. 设g ( x) ? 0的另一根为x0,由y ? g ( x)的图像为开口向上的抛物线得x0 ? 4,而2 ? x0 ? 6 cos ? , 1 所以6 cos ? ? 6, 又6 cos ? ? 6, 得 cos ? ? 1, 代人g (2) ? 0得 cos ? ? ,即得 2 3 2 f ( x) ? 3 x ? 9 x ? 24 x.
解法二:由题设得

g ( x) ? 3 x 2 ? 18 x cos ? ? 48cos ? , 又由 g 1? e
?t

? ? ? 0, g ?3 ? sin t ? ? 0 3? ? 3? ? ? ? g ?1 ? e ? ? g (2) ? 0, g ? 3 ? sin ? ? g (2) ? 0, g (4) ? ? 3 ? sin ? ? 0, 2 ? 2 ? ? ?
?t

? g (2) ? 12 ? 36 cos ? ? 48cos ? ? 0① 即有 ? ? g (4) ? 48 ? 72 cos ? ? 48cos ? ? 0② 知g ( x) ? 0在x ? 1,? 成立,g ( x) ? 0在x ? ? 2,? 成立,由此易得 ( 2 4 g (2) ? 0. 1 由①②得36 ? 36 cos ? ? 0, 即1 ? cos ? ? 0。又1- cos ? ? 1, 故 cos ? ? 1.代人①得 cos ? ? ,即得 2 3 2 f ( x) ? 3 x ? 9 x ? 24 x.
(ii)解:由题设知,对任意的

m ? ? ?26, 6? 恒有mx ? 9 x 2 ? 24 x ? 11 ? 0, 令 h(m) ? mx ? 9 x 2 ? 24 x ? 11, 则有 ?h(?26) ? ?26 x ? 9 x 2 ? 24 x ? 11 ? 0, ? ? 2 ?h(6) ? 6 x ? 9 x ? 24 x ? 1 ? 0, ? ? 11 ?? 9 ? x ? 1, ? 解得 ? ?? 1 ? x ? 11 , ? 3 3 ? 1 即 ? ? x ? 1. 3
36

(Ⅲ)∵ y ? h( x) 在区间[-1,2]上是单调减函数,∴ h ( x) ? x ? 2ax ? b ? 0 在区间[-1,2]上恒成立.
/ 2

根据二次函数图象可知 h (?1) ? 0 且 h (2) ? 0 ,
/ /

b 2a+b-1=0
学。科。网]

?1 ? 2a ? b ? 0, ?2a ? b ? 1 ? 0, 即: ? 也即 ? ?4 ? 4a ? b ? 0, ? 4 a ? b ? 4 ? 0.
作出不等式组表示的平面区域如图: 当直线 z ? a ? b 经过交点 P(-

4a-b+4=0

1 , 2)时, 2

1 P(- , 2) 2

-2

o

1 3 z ? a ? b 取得最小值 z ? ? ? 2 ? , 2 2 3 ∴ z ? a ? b 取得最小值为 ????15 分 2

2 a z=a+b

31、设 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c, x ? [?1,1] ,记 y ?| f ( x) | 的最大值为 M.
3 2

(Ⅰ)当 a ? c ? 0, b ?

3 时,求 M 的值; 4

(Ⅱ)当 a, b, c 取遍所有实数时,求 M 的最小值. (以下结论可供参考:对于 a, b, c, d ? R ,有 | a ? b ? c ? d |?| a | ? | b | ? | c | ? | d | ,当且仅当 a, b, c, d 同号时取等号) 解:(1)求导可得 f ' ? x ? ? 3x ?
2

3 1 1 ? 3( x ? )( x ? ) , 4 2 2 1 1 1 1 M ? max{| f (?1) |,| f (? ) |,| f ( ) |,| f (1) |} ? ,当 x ? ?1,? 时取等号. 2 2 2 4
(2)? 4 f ?1? ? 4 f ? ?1? ? 8 ? 8b,8 f ?

?1? ? ?8 f ?2?

? 1? ? ? ? ? 2 ? 8b , ? 2?

1 1 ? M ?| f (1) |; M ?| f (?1) |; M ?| f ( ) |; M ?| f ( ? ) | 8 8
?1? ? 1? ?1? ? 24M ? 4 | f ?1? | ?4 | f ? ?1? | ?8 | f ? ? | ?8 | f ? ? ? | ?| 4 f ?1? ? 4 f ? ?1? ? 8 f ? ? ? 8 f ?2? ? 2? ?2?
因此, M ?

? 1? ? ? ? |? 6 ? 2?

1 4

? ?1 ? x ? 1? 。由(1)可知,当 a ? 0, b ? 3 , c ? 0 时, M ? 1 。? f ? x ? 4 4
'

min

?

1 。 4

37

32、已知偶函数 y ? f (x) 满足:当 x ? 2 时, f ( x) ? ( x ? 2)(a ? x), a ? R ,当 x ? [0,2) 时, f ( x) ? x(2 ? x) (1) 求当 x ? ?2 时, f (x) 的表达式; (2) 若直线 y ? 1 与函数 y ? f (x) 的图象恰好有两个公共点,求实数 a 的取值范围。 (3) 试讨论当实数 a, m 满足什么条件时, 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 有 4 个零点且这 4 个零点从小到大依次成等差数列。 解: (1)设 x ? ?2, 则 ? x ? 2 ,? f (? x) ? (? x ? 2)(a ? x) 又?偶函数

? f ( x) ? f ( ? x)

f ( x) ? ( x ? a)( ? x ? 2)

(2) (Ⅰ) a ? 2 时 x ? 2, f ( x) ? ( x ? 2)( a ? x) (Ⅱ) a ? 2 时,都满足 综上,所以 a ? 4

a a f ( x) max ? f (1 ? ) ? ( ? 1) 2 2 2

a ? ( ? 1) 2 ? 1 2 ?0 ? a ? 4 ?2 ? a ? 4

(3) f ( x) ? m 零点 x1 , x2 , x3 , x4 , y ? f (x) 与 y ? m 交点 4 个且均匀分布 (Ⅰ) a ? 2 时

? x1 ? x 2 ? ?2 3 1 1 3 ? ?2 x 2 ? x1 ? x3 得 x1 ? 3x2 , x1 ? ? , x2 ? ? , x3 ? , x4 ? 2 2 2 2 ?x ? x ? 0 3 ? 2 3 a 3 2 (Ⅱ) 2 ? a ? 4 时, m ? 时 且 ( ? 1) ? 4 2 4 3 ? 3 ? 2 ? a ? 3 ? 2 所以 2 ? a ? 3 ? 2 时, m ? 4 (Ⅲ) a ? 4 时 m=1 时 (IV) a ? 4 时, m ? 1

m?

3 4

? x3 ? x 4 ? 2 ? a 2?a 2?a 2?a 3a 2 ? 20 a ? 12 ? 2 x3 ? x 2 ? x 4 ? x 4 ? , m?( ? 2)( a ? )? ? 4 4 4 16 ?x ? ? x 3 ? 2
此时 1 ? m ? (

a ? 1) 2 2

所以 a ?

10 ? 4 7 10 ? 4 7 or a ? (舍) 3 3

a ? 4且a ?

3a 2 ? 20 a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 时存在 3 16
3 4
② a ? 4 时, m ? 1

综上:① a ? 2 ? 3 时, m ? ③a ?

3a 2 ? 20 a ? 12 10 ? 4 7 时, m ? 符合题意。 3 16

38

33、已知函数 f1 ( x) ? e

| x ? 2 a ?1|

, f 2 ( x) ? e|x ?a|?1 , x ? R,1 ? a ? 6

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求 f ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 在 ? 2,3? 上的最小值; (Ⅱ)若 | f1 ( x) ? f 2 ( x) |? f 2 ( x) ? f1 ( x) 对于任意实数 x 恒成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? | f1 ( x) ? f 2 ( x) | 在 ?1, 6 ? 上的最小值. 2 2 【解析】 (1)对于 a ? 2, x ? ? 2,3? , f ( x) ? e 故 f ( x)min ? 2e (2)由题意 e
| x ? 2 a ?1|
| x ?3|

? e| x ?2|?1 ? e3? x ? e x ?1 ? 2e ,当且仅当 e3? x ? e x ?1 ,即 x ? 2 时等号成立,

故 即 ? e|x?a|?1 对任意 x ? R 恒成立, | x ? 2a ? 1|?| x ? a | ?1 , | x ?2a ?1| ? x? a ? | | 1

对任意 x ? R

恒成立,又由 1 ? a ? 6 可知函数 y ?| x ? 2a ? 1| ? | x ? a | 的图像可得其最大值为 a ? 1 , 故 a ?1 ? 1 ? 1 ? a ? 2
f ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x) | x ? 2a ?1| (3) g ( x) ? ? 1 ①当 1 ? a ? 2 时,由(2)知 f1 ( x ) ? f 2 (x ) ? g (x ) ? f1 (x ) ? e ,图像关于直线 ? ? f 2 ( x), f1 ( x) ? f 2 ( x)

x ? 2a ?1 对称,又 1 ? 2a ?1 ? 3 ,故对 x ? ?1, 6? , g ( x)min ? f1 (2a ? 1) ? 1
②当 2 ? a ? 6 时, (2a ? 1) ? a ? a ? 1 ? 0 ? 2a ? 1 ? a , 当 x ? a 时, f1 ( x) ? e
? x ? (2 a ?1)

? e? x?a ?1 ? f 2 ( x), g ( x) ? f 2 ( x) ? e|x?a|?1 ; ? e? x?a ?1 ? f 2 ( x), g ( x) ? f1 ( x) ? e|x?2 a ?1| ? e? x? a?1 ? f 2 ( x), 得 x ?

当 x ? 2a ?1 时, f1 ( x) ? e

? x ? (2 a ?1)

3a ? 2 ,[来源:学科网] 2 3a ? 2 3a ? 2 3a ? 2 | x ? a|?1 其中 a ? 时 g ( x) ? f 2 ( x) ? e .由 ? x ? 2a ? 1 时 g ( x) ? f1 ( x) ? e|x ?2 a ?1| ; a ? x ? ? 2a ? 1 .故 2 2 2
当 a ? x ? 2a ? 1 时, f1 ( x) ? e
? x ? (2 a ?1)

此当 2 ? a ? 6 时,

3a ? 2 ? ? f1 ( x), x ? 2 令 f1 ( x) ? e| x ?2 a ?1| ? e ? x1 ? 2a ? 2, x2 ? 2a ,且 3a ? 2 ? 2a ? 2 ? g ( x) ? ? 2 ? f ( x), x ? 3a ? 2 2 ? ? 2

(A)当 a ? 6 ? 2a ? 2 ,即 4 ? a ? 6 时, g ( x) min ? f 2 (a) ? e ; (B)当 2a ? 2 ? 6 ? 2a ?1 ,即 7 ? a ? 4 时, g ( x) min ? f1 (6) ? e
2
2 a ?7

(C)当 2a ?1 ? 6 ,即 2 ? a ? 7 时, g ( x)min ? f1 (2a ? 1) ? 1
2

综上所述
g ( x) min

7 ? ?1,1 ? a ? 2 ? 7 ? ? ?e 2 a ? 7 , ? a ? 4 2 ? ?e, 4 ? a ? 6 ? ?

39

34 、 设 函 数 f ? x ? 的 导 函 数 为 f ?( x) , 若 f ?( x0 ) ? 0 , 则 称 点 ? x0 , f ? x0 ?? 是 函 数 f ? x ? 的 一 个 驻 点 。 已 知 函 数

f ?x ? ? ?ax ? b?e x ?x ? 0且a ? 0?
(1)若函数 f ? x ? 总存在有两个驻点 A, B ,求 a, b 所满足的关系; (2)若函数 f ? x ? 有两个驻点 A, B ,且存在 a ? R ,求 A, B 两个驻点在不等式 x ? 1 表示的区域内时实数 b 的范围; (3)若函数 f ? x ? 恰有一个驻点 A ,且存在 a ? R ,使驻点 A 在不等式 ?
a a a a x 2 ? ax ? b )?ex ? a ?ex ? x2 x2

a

? x ?1 ? 表示的区域内,证明: 0 ? b ? 1 . 2 ? y ?e ?

解: (1) f ?( x) ? a ? e x ? (ax ? b)(?

2 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ax ? b ? 0

? a 2 ? 4b ? 0 又 ? a ? 0且x ? 0 ? b ?

a2 且b ? 0 4

(2) x ? ax ? b ? 0 在 (?1,1) 有两个不相等的实根.
2

? ? ? a 2 ? 4b ? 0 ? ? ?1 ? a ? 1 ? 即? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ? 1? a ? b ? 0 ?
2



?4b ? a 2 ? 2 ?a ?4 ? b ? ?1 ?

所以 ?1 ? b ? 1且b ? 0

(3)由① f ?( x) ? 0 ? x ? ax ? b ? 0 ( x ? 0)
a x 2 ? ax ? b x?a ? a?ex ? ①当 b ? 0 , f ? ? x ? ? a ? e ? 在 x ? a 左右两边异号 2 x x a x

? (a, f (a)) 是 y ? f ? x ? 的唯一的一个驻点
由题意知 ?

? -1 ? a ? 1且a ? 0 2 2 2 ? ? e ? ( a ? b )e ? e



? 0 ? a2 ? 1 ? 2 ? ?e ? a ? e

即 0 ? a ? 1 [来源:学科网]
2

存在这样的 a 满足题意 ? b ? 0 符合题意 ②当 b ? 0 时, ? ? a ? 4b ? 0 即 4b ? a
2
2

这时函数 y ? f ( x) 唯一的一个驻点为 ( , f ( ))

a 2

a 2

? a ? 1且a ? 0 ? 2 ? 由题意 ? 即 a2 ? ? e 2 ? ( ? b )e 2 ? e 2 ? ? 2
?0 ? b ? 1

? 0 ? a2 ? 4 ? ? a2 ?b ?1 ? ?1 ? ? 2



?0 ? 4b ? 4 ? ? ?1 ? b ? 1

综合①②知:满足题意 b 的范围为 b ? [0,1) .

40

35、已知二次函数,f(x)=x +ax(a∈R). (1)若函数 y ? f sin x ? 3 cos x ? x ? R ? 的最大值为 (2)当 a=2 时,设 n∈N*, S ?

2

?

?

16 ,求 f(x)的最小值; 3

3 n n ?1 3n ? 1 3n ,求证: <S<2; ? ? ... ? ? 4 f ?n ? f ?n ? 1? f ?3n ? 1? f ?3n ?
2 2 2

(3)当 a>2 时,求证 f(sin xlog2sin x +cos xlog2cos x)≧1-a,其中 x∈R,x≠kπ 且 x≠kπ + 解:(1)令 t ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? 当 a<0 时,t=2 时, y最大 ? 4 ? 2a ?

2

? (k∈z) 2

? ?

??

a 2 a 2 ? ,? x ? R,??2 ? t ? 2 , y ? t ? at ? (t ? ) ? , 3? 2 4

2 16 ,解得: a ? ? , 3 3 1 2 1 1 此时, f ( x) ? ( x ? ) ? ,? f ( x)最小值 ? ? . 3 9 9 2 16 当 a ? 0 时,t=2 时, y最大 ? 4 ? 2a ? ,解得: a ? 3 3 1 1 2 1 1 此时, f ( x) ? ( x ? ) ? ,? f ( x)最小值 ? ? ,综合上述,条件满足时, f ( x) 的最小值为 ? 9 3 9 9
(2) ? S ? 设 S ( n) ?

—5 分

n n ?1 3n ? 1 3n 1 1 1 1 ? ??? ? ? ? ??? ? f (n) f (n ? 1) f (3n ? 1) f (3n) n ? 2 n ? 3 3n ? 1 3n ? 2

1 1 1 1 1 1 1 1 ;则 S (n ? 1) ? ? ??? ? ? ??? ? n?2 n?3 3n ? 1 3n ? 2 n?3 n?4 3n ? 4 3n ? 5
1 1 1 1 3 1 1 ? ? ? ? ? ? ?0 3n ? 3 3n ? 4 3n ? 5 n ? 2 3n ? 5 n ? 2 (3n ? 5)(n ? 2)

S (n ? 1) ? S (n) ?

?S(n)在 n∈N*时单调递增,? S ? S (n) ? S (1) ?


47 45 3 ? ? 60 60 4

1 1 1 1 ? ??? ? n?2 n?3 3n ? 1 3n ? 2
(3)) ?x∈R, x ? k? 且 x ? k? ?
2 2

?S ?

?
2
2

3 1 3 (2n ? 1) ? 2 ? ? 2 ,?综上有: ? S ? 2 成立.—5 分 4 n?2 n?2

(k ? Z ),? sin 2 x, cos 2 x ? 0,1 , ( )
2

又 sin x ? cos x ? 1 ,故设 t ? sin x ,则有 cos x ? 1 ? t 设 f (t ) ? t log 2 t ? (1 ? t ) log 2 (1 ? t ) (其中 t∈(0,1))

36、已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? ln x (a ? R). 1 (1)当 a ? 时,求 f(x)在区间[1, e]上的最大值和最小值; 2 (2)如果函数 g(x), f1(x), f2(x),在公共定义域 D 上,满足 f1 ( x) ? g ( x) ? f 2 ( x) ,那么就称 g (x) 为 f1 (x), f 2 (x) 的 “活动函数”. 1 1 已知函数 f1 (x) ? (a ? )x 2 ? 2ax ? (1 ? a 2 ) ln x, f 2 (x) ? x 2 ? 2ax . 2 2 ①若在区间(1,+∞)上,函数 f ( x ) 是 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”,求 a 的取值范围; ②当 a ?
2 时,求证:在区间(1,+∞)上,函数 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”有无穷多个. 3
41

解: (1)当 a ?

1 1 x2 ?1 1 时, f (x) ? x 2 ? ln x , f ?( x ) ? x ? ? ; x x 2 2 对于 x ?[1, e],有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间[1, e]上为增函数,

∴ f max ( x ) ? f (e) ? 1 ?

e2 1 , f m in (x) ? f (1) ? . 3 分 2 2 (2)①在区间(1,+∞)上,函数 f ( x ) 是 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”,则 f1 (x) ? f (x) ? f 2 (x)

令 p( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x 2 ? 2ax ? ln x <0,对 x ?(1,+∞)恒成立,
1 且 h(x)=f1(x) – f(x)= ? x 2 ? 2ax ? a 2 ln x <0 对 x ?(1,+∞)恒成立, 2

1 2

5分

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] ∵ p`( x) ? (2a ? 1) x ? 2a ? ? ? x x x
1)若 a ?
1 1 ,令 p`( x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x 2 ? , 2 2a ? 1

(*)

当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即

1 ? a ? 1 时,在( x 2 ,+∞)上有 p`( x) ? 0 , 2

此时 p (x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 p (x) ∈( p( x2 ) ,+∞),不合题意; 当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p (x) 在区间(1,+∞)上,有

p(x) ∈( p (1) ,+∞),也不合题意;
2) 若 a ?

7分

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p`( x) ? 0 ,从而 p (x) 在区间(1,+∞)上是减函数; 2

要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p(1) ? ?a ? 又因为 h (x)= –x+2a– h(x)<h(1)= ?
/

1 1 1 1 ? 0 ? a ? ? ,所以 ? ? a ? . 2 2 2 2

9分

a2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 = <0, h(x)在(1, +∞)上为减函数, ? x x x

1 +2a ? 0, 2

所以 a ?

1 1 1 ,综合可知 a 的范围是[ ? , ]. 4 2 4

12 分

另解:(接在(*)号后)

先考虑 h(x), h`(x) = – x + 2a ?

a2 ( x ? a)2 ?0, =? x x
8分

1 1 ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 4 2 1 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 而 p`(x)= 对 x?(1,+?) 且 a ? 有 p`(x) <0. 4 x 1 1 1 1 只要 p(1) ? 0, a ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? , 所以. ? ? a ? . 2 2 2 4
h(x)在(1,+?)递减,只要 h(1) ? 0, 得 ? ②当 a ?

12 分

5 1 2 2 1 4 5 1 4 时, f1 (x) ? x 2 ? x ? ln x, f 2 (x) ? x 2 ? x ,则 y=f2(x) –f1(x)= x – lnx, x ? (1,+∞). 3 9 3 6 3 9 2 3

因为 y =

/

2x 5 6x2 ? 5 1 ? ? >0,y=f2(x) –f1(x)在 (1,+∞)为增函数,所以 f2(x) –f1(x)> f2(1) –f1(1)= . 3 3 9x 9x
1 3

设 R(x)=f1(x)+ ? (0< ? <1), 则 f1(x)<R(x)<f2(x), 所以在区间(1,+∞)上,函数 f1 (x), f 2 (x) 的“活动函数”有 无穷多个.
42

其他如 R(x)= ? f1(x)+ ? f2(x)( 0< ? , ? <1,且 ? + ? =1)等也可以. 37、已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R
x

15 分

(Ⅰ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ?R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅱ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ?N? )
n

②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 . , 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x f ?( x)
f ( x)

(0, k ) ln

ln k
0
极小值

(ln k, ?) ?

?
单调递减

?
单调递增

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e . , 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e . (Ⅱ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? ex1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? ex1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? ex1 ? x2 ? 2 ,

F (2) F (n ? 1) ? e n ?1 ? 2
? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , ??

F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得,

[ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F ( n) F (1)] ? (e n?1 ? 2) n
故 F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ?N? .
n

43

38、设 f ( x) ? ( x ln x ? ax ? a ? a ? 1)e , a ? ?2 .
2 x

(1)若 a ? 0 ,求 f (x) 的单调区间;

(2)讨论 f (x) 在区间 ( ,?? ) 上的极值点个数;

1 e

(3)是否存在 a ,使得 f (x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切?若存在,求出所有 a 的值.若不存在,说明理由. 解: (1)当 a ? 0 时: f ( x) ? ( x ln x ? 1)e , x ? 0 ) ( ,故 f ( x) ? (ln x ? 1 ? x ln x ? 1)e ? ln x( x ? 1)e
x ' x x

1 e

当 x ? 1时: f ( x) ? 0 ,当 x ? 1时: f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时: f ( x) ? 0 .
' ' '

故 f (x) 的减区间为: (0,1) ,增区间为 (1,??) 。 (1) f ( x) ? (ln x ? x ln x ? ax ? a )e
' 2 x

令 g (x) ? ln x ? x ln x ? ax ? a ,
2

故 g ( x) ?
'
'

1 1 1 ? ln x ? 1 ? a , g '' ( x) ? ? 2 ? , 显然 g '' (1) ? 0 ,又当 x ? 1 时: g '' ( x) ? 0 .当 x ? 1时: g '' ( x) ? 0 . x x x
' ' '

故 g (x) min ? g (1) ? 2 ? a ,? a ? ?2 ,? g ( x) ? g ( x) min ? 2 ? a ? 0 . 故 g (x) 在区间 ( ,?? ) 上单调递增,注意到:当 x ? ?? 时, g (x) ? ?? ,故 g (x) 在 ( ,?? ) 上的零点个数由

1 e

1 e

1 1 g ( ) ? (a ? 1)( a ? 1 ? ) 的符号决定. e e 1 1 1 ①当 g ( ) ? 0 ,即: ? 2 ? a ? ?1 ? 或 a ? 1时: g (x) 在区间 ( ,?? ) 上无零点,即 f (x) 无极值点. e e e 1 1 1 ②当 g ( ) ? 0 ,即: ? 1 ? ? a ? 1 时: g (x) 在区间 ( ,?? ) 上有唯一零点,即 f (x) 有唯一极值点. e e e 1 1 综上:当 ? 2 ? a ? ?1 ? 或 a ? 1时: f (x) 在 ( ,?? ) 上无极值点. e e 1 1 当 ? 1 ? ? a ? 1 时: f (x) 在 ( ,?? ) 上有唯一极值点. e e 1 (3)假设存在 a ,使得 f (x) 在区间 ( ,?? ) 上与 x 轴相切,则 f (x) 必与 x 轴相切于极值点处,由(2)可知: e
?1?
? f ' ( x0 ) ? (ln x0 ? x0 ln x0 ? ax0 ? a 2 )e x0 ? 0 1 ?(*)同时成立. ? a ? 1 .不妨设极值点为 x 0 ,则有: ? x0 2 e ? f ( x0 ) ? ( x0 ln x0 ? ax0 ? a ? a ? 1)e ? 0
? ( a ?1)

联立得: ln x0 ? a ? 1 ? 0 ,即 x 0 ? e

代入(*)可得 e
2

? ( a ?1)

? (a ? 1) ? a 2 ? 0 .
t '' t

令 t ? ?(a ? 1), t ? (?2, ) , h(t ) ? e ? t ? (t ? 1) .
t

1 e

则 h (t ) ? e ? 2t ? 3 , h (t ) ? e ? 2 ,
'

当 t ? ( ?2, ) 时

1 e

1 1 h '' (t ) ? h '' ( ) ? e e ? 2 ? 0 ( ? e e ? e 2 ? 2 ) . 故 h ' (t ) 在 t ? (?2, ) 上 单 调 递 减 . 又 h ' (?2) ? e ?2 ? 1 ? 0 , e e
1 2 1 h ( ) ? e e ? ? 3 ? 0 .故 h ' (t ) 在 t ? (?2, ) 上存在唯一零点 t 0 . e e e
' 1

1

1

1

44

39、设函数 f ?x ? ? ?1 ?

? a 3 b ?1 2 ? x ? x ? x ? ? ?2 x ? 3x ?a, b ? R, a ? 0? . 2 ?3 ?

(2)当 ?1 ? 1, ?2 ? 0 时,设 x1 , x2 是 f ? x ? 的两个极值,
' 1 ○如果 x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,求证 f ?? 1? ? 3 ; ' 2 ○如果 a ? 2 ,且 x2 ? x1 ? 2 且 x ? ? x1 , x2 ? 时,函数 g ?x ? ? f ?x ? ? 2?x ? x2 ? 的最小值为 h?a ? ,求 h?a ? 的最大值.

(2)当 ?1 ? 0 , ?2 ? 1 时, 1 ○求函数 y ? f ?x ? ? 3?ln 3 ? 1?x 的最小值;
a b c 2 ○对任意的实数 a 、 b 、 c ,当 a ? b ? c ? 3 时,求证: 3 a ? 3 b ? 3 c ? 9.

解 (Ⅰ)①证明:当 ?1 ? 1 , ?2 ? 0 时, f ?( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? 1 ,x1,x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,由 x1 ? 1 ? x2 ? 2

? f ?(1) ? 0 ?a ? b ? 0 且a ?0得? ,即 ? .所以 f `( – 1)= a – b + 2 = – 3(a+b) + (4a +2b – 1) + 3 > 3 . ? f ?(2) ? 0 ?4a ? 2b ? 1 ? 0


3

2 2 ②设 f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ,所以 g ( x) ? a( x ? x2 )( x ? x1 ? ) ? ?a( x2 ? x)( x ? x1 ? ) ,[来源:Zxxk.Com] a a
2 ? ? ? ( x2 ? x) ? ( x ? x1 ? a ) ? 2 1 易知 x2 ? x ? 0 , x ? x1 ? ? 0 ,[所以 g ( x) ? ?a ? ? ? ? ?(a ? ? 2) a 2 a ? ? ? ?
当且仅当 x1 ? x ? x ? x1 ? xx] 易知当 a ? 2 时, h( a ) 有最大值,即 h(a)max ? h(2) ? ?
2

x ? x2 1 2 1 1 时,即 x ? 1 .[来源:Z§ ? ? x1 ? 1 ? 时取等号,所以 h(a) ? ?(a ? ? 2) ( a ? 2 ) a a 2 a a

9 . 2

(Ⅱ)①当 ?1 ? 0 , ?2 ? 1 时, f ( x) ? 3x x ,所以 y ? 3x x ? 3(ln 3 ? 1) x .

y? ? 3x (ln 3) ? x ? 3x ? 3(ln 3 ? 1) ,容易知道 y ? 是单调增函数,且 x ? 1 是它的一个零点,即也是唯一 的零点.
当 x ? 1 时, y? ? 0 ;当 x ? 1 时, y? ? 0 ,故当 x ? 1 时,函数 y ? f ( x) ? 3(ln 3 ? 1) x 有最小值为 ?3ln3 . ②由①知 4分

3x x ? 3(ln 3 ? 1) x ? 3ln 3 ,当 x 分别取 a、b、c 时有:

3a a ? 3(ln 3 ? 1)a ? 3ln 3 ; 3b b ? 3(ln 3 ? 1)b ? 3ln 3 ; 3c c ? 3(ln 3 ? 1)c ? 3ln 3 三式相加即得.

? 3? x ,0 ? x ? 3, ? 40、已知 f ( x) ? ?1 ? x 2 ? f (3), x ? 3. ?
(1)求函数 f (x) 的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a ? 0 恰有一个实数解,求实数 a 的取值范围;
45

(3)已知数列 {a n }满足 : 0 ? a n ? 3, n ? N ? , 且a1 ? a 2 ? a3 ? ? a 2009 ?

2009 ,若不等式 3

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a2009 ) ? x ? ln( x ? p)在x ? ( p,??) 时恒成立,求实数 p 的最小值。
解: (1)当 x ? 3时, f ( x) ? f (3) ?

3 是常数,不是单调函数; 5

当0 ? x ? 3时, f ( x) ?

3? x , 求导, 得 1? x2

?? 0,0 ? x ? 10 ? 3, ? x 2 ? 6x ? 1 ( x ? 3) 2 ? 10 ? f ?( x) ? ? ?? ?? 0, x ? 10 ? 3 2 2 2 2 (1 ? x ) (1 ? x ) ? ?? 0, 10 ? 3 ? x ? 3 ? 所以, f ( x)的单调递增区间是(0, 10 ? 3), f ( x)单调递减区间是( 10 ? 3,3).???? 4分
(2)由(1)知, f (0) ? 3, f ( x) max ? f ( 10 ? 3) ?

1 2( 10 ? 3)

?

10 ? 3 3 , f (3) ? 2 5

方程f ( x) ? a ? 0恰有一个实数解, 等价于直线y ? a与曲线y ? f ( x) 恰有一个公共点, 所以, a ? 10 ? 3 , 或者 ? a ? 3.???? 4分 2 5

(3)因为 a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a 2009 ?

2009 1 ,当a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a2009 ? 时, 2 3

1 有f ( ) ? 3 3 1 所以f (a1 ) ? f (a 2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a 2009 ) ? 2009 f ( ) ? 6027 成立.??? 2分 3 先证f (a1 ) ? f (a 2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a 2009 ) ? 6027 . 求函数f ( x) ? 3? x 1 (0 ? x ? 3)在x ? 处的切线方程 : 2 3 1? x 1 9 9 1 3 k ? f ?( ) ? ? , 则切线为y ? 3 ? ? ( x ? ) ? y ? (11 ? 3 x) 3 10 10 3 10

则有 f ( x) ?

3? x 3 1 ? (11 ? 3x) ? ( x ? 3)( x ? ) 2 ? 0 成立 2 10 3 1? x

46

所以当0 ? a n ? 3, n ? N *时, 有f (a n ) ? f (a1 ) ? f (a 2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f (a 2009 )

3 (11 ? 3a n ), 所以 10

3 [11 ? 2009 ? 3(a1 ? a 2 ? ? ? a 2009 )] ? 6027 ???? 2分 10 设g ( x) ? x ? ln( x ? p ), ? 1 , 且x ? p.令g ?( x) ? 0, 得x ? p ? 1, x? p 当p ? x ? p ? 1时, g ?( x) ? 0, 此时g ( x)单调递减; 则g ?( x) ? 1 ? 当x ? p ? 1时, g ?( x) ? 0, 此时g ( x)单调递增. 所以g ( x) min ? g ( p ? 1) ? p ? 1 要使不等式f (a1 ) ? f (a 2 ) ? f (a3 ) ? ? f (a 2009 ) ? x ? ln( x ? p )在x ? ( p,??)恒成立, 只需6027 ? p ? 1, 得p ? 6026 所以p的最小值为6026 .???? 3分

47


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