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3.4.1



3.4 .1 算术平均数 与 几何平均数

如图,这是在北 京召开的第22届 国际数学家大会 会标.会标根据 中国古代数学家 赵爽的弦图设计 的,颜色的明暗 使它看上去象一 个风车,代表中 国人民热情好客。 ICM2002会标

D

探究
1、正方形ABCD的
a 2 ? b2 面积S=____

______
C

a 2 ? b2

b
G F E H

2、四个直角三角形的

A

a

2ab 面积和S’ =______
3、S与S’有什么

B

样的不等关系?

a ? b ? 2ab
2 2

S≥S’

D

D

G

F

C
A

A

a

a
a?b

F G E H

C

H

E

a?b

b
B

b
B

若a ? 0, b ? 0, 则a ? b ? 2 ab 当且仅当a ? b时取等号

探究:
D

1、如图,AB是圆的直径,C 是AB上与A、B不重合的一 点,AC=a,CB=b,过点C作垂 直于AB的弦DE,连AD,BD,

A

a O C

b

a?b B 则CD=__ 2 ab ,半径=____
2、你能用这个图形得出 基本不等式

E

半弦不大于半径

a?b ab ? (a>0,b>0) 2

几何解释吗?

新课讲授: 1.一个重要不等式: 2 2 如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取 “=”号). 2 2 2 证明: 因为:a ? b ? 2ab ? (a ? b) 显然

当a ? b时, (a ? b) ? 0;当a ? b时, (a ? b) ? 0 2 ? (a ? b) ? 0
2 2

故 : a ? b ? 2ab
2 2

1.一个重要不等式: 2 2 如果 a, b ? R ,那么 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取 “=”号).

练习:判断下列不等式是否正确? 2 2 (1) a ? b ? ?2ab √
(2)

a ? b ? 2 ab
2 2

√ ×

(3)

a ? b ? 2 ab

a?b ? 2.定理 如果a,b是正数,那么 2

ab

(当且仅当 a ? b 时 取“=” 号), 2 2 证明: 因为: ( a ) ? ( b ) ? 2 ab .

a ? b ? 2 ab a?b 即 ? ab 2 a?b ? ab 显然,当且仅当 a ? b 时, 2

?

a?b 2.定理 如果a,b是正数,那么 2 ?

ab

(当且仅当 a ? b 时取 “=”). a?b 3. ab ? (a ? 0, b ? 0) 2
几何平均数 算术平均数

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
变形:

a ? b ? 2 ab

a?b 2 即 ab ? ( ) 2

4.定理的运用: 求函数的最值
例1 已知 x, y 都是正数,求证:

xy 是定值p, 则当x=y时,和 x ? y 有最小值. 2
(1)若积

P

(2)若和 x ? y 是定值s, 1 2 则当x=y时积 xy 有最大值 4 S 证明: 因为: x, y ? R ? ? x ? y ? xy 2 (1) 积 xy 是定值p,有:

因此当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 P

x? y ? 2

P

? x ? y ? 2 P (当x ? y时取" ? ")

例1 已知 x, y 都是正数,求证: (1)若积 xy 是定值p,
则当x=y时,和 x ? y 有最小值;2 . P (2)若和 x ? y 是定值s, 1 2 xy S 则当x=y时积 有最大值 4 (2)和 x ? y 为定值s,有:
S 即 xy ? 1 S 2 (当x ? y时取 " ? ") xy ? 4 2

证明:

因此当 x ? y 时积

xy 有最大值 1 S 2
4

9 81 2 当且仅当x ? 即x ? ?3时,f ( x) ? x ? 2 有最小值18. x x 变化1: 当x ? 0时,求函数f ( x) ? x ? 81的最小值,
并求函数取最小值时x的值.
x

并求函数取最小值时x的值. 9 9 2 2 解: f ( x) ? x ? ( ) ? 2 ? x ? ? 18 x x

81 例2 当x ? 0时,求函数f ( x) ? x ? 2 的最小值, x
2

81 81 解:因为x ? 0 所以f ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 18 x x 81 81 当且仅当x ? 即x ? 9时,f ( x) ? x ? 有最小值18. x x

变化2: 当x ? 0时,求函数f ( x) ? x ? 81的最值. x

81 解: 因为x ? 0 所以 ? x ? 0, ? ? 0 x
81 ? f ( x) ? ?[(? x) ? (? )] x

81 ? ?2 (? x) (? ) ? ?18 x
81 81 当且仅当 ? x ? ? 即x ? ?9时,f ( x) ? x ? 有最大值-18. x x

例3 设0 ? x ? 2,求函数f ( x) ? 3x(8 ? 3x)的最值.

并求相应的x的值.
解:因为 0 ?

x ? 2 ?3x ? 0,8 ? 3x ? 0
?4

3 x ? (8 ? 3 x) ? f ( x) ? 3x(8 ? 3x) ? 2

故:

4 当且仅当3x ? 8 ? 3x即x ? 时, 3

f ( x) ? 3x(8 ? 3x)有最大值4.

例题2:若x ? 2 y ? 1, 求2 ? 4 的最小值。
x y

解: 2 ?4 ? 2 ?2
x y
x 2y
x 2y 2 2 ? 2 ?

? 2 2 x ?2 y ? 2 2
当且仅当2x ? 22 y 即x ? 2 y时取等号 1 1 ?当x ? , y ? 时取到最小值为2 2. 2 4

变式训练
当点( x, y)在直线x ? 3 y ? 2 ? 0上移动时,求 y ? 3x ? 27 y ? 1的最小值.

解:y ? 3x ? 27 y ? 1 ? 3x ? 33 y ? 1 ? 2 3 ?3
x 3y

?1 ? 2 3

x ?3 y

?1

? 2? 3 ?1 ? 7 当且仅当3x =33 y 即x ? 3 y时取得等号 1 此时x ? 1, y ? ? 最小值为7 3

1某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为P,
第三年的增长率为 q ,这两年的平均增长率为

x ,

则(

p?q ( A) x ? 2




p?q ( B) x ? 2 p?q (C ) x ? 2 p?q ( D) x ? 2

) 2下列函数中,最小值是4的是( C 4 4 A y=x+ B y=sinx+ (0<x<? ) x sin x C y=ex +4e-x D y=log3x+4logx 3

3.思考题: 3 若x ? 3,求函数y ? x ? 的最小值. x ?3
解: 因为 x ? 3 ? x ? 3 ? 0 1 1 ?y ? x? ? ( x ? 3) ? ?3 x ?3 x?3 1 ? 2 ( x ? 3) ? ?3 ? 5 x ?3
1 当且仅当x ? 3 ? 即x ? 4时,ymin ? 5 x ?3

课堂小结: (1)两个重要不等式
a ? b ? 2ab(a, b ? R,当a ? b时取" ? ")
2 2

a?b ? 2

ab (a, b ? R ,当a ? b时取" ? ")

?

(2)利用均值不等式求函数最值时注意:

一正二定三相等

课时小结
? 本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系
顺利解决了函数的一些最值问题。在用均值不等式求函数 的最值,是值得重视的一种方法,但在具体求解时,应注 意考查下列三个条件: ? (1)函数的解析式中,各项均为正数; 为定值; ? (3)函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值。

? (2)函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个

一正二定三取等!

? 即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:
一正二定三取等。



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