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2.3.4平面与平面垂直的性质定理(典型)



面面垂直的判定
(1)利用定义

[作出二面角的平面角,证明平面角是直角]
(2)利用判定定理 [线面垂直 面面垂直]

l ?? ? ? ?? ? ? l ? ??
线线垂直
2014年9月22日

? ? A

l
B

线面

垂直

面面垂直
2

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思考1

如图,长方体中,α⊥β, 不一定 与AD垂直

(1)α里的直线都和β垂直吗?
(2)什么情况下α里的直线和β垂直?
D1 C1 B1

F
A1

A

α β

E

D

C

B

2014年9月22日

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3

思考2 ? ? ? ,? 何?

? ? CD, AB ? ? , AB ? CD,

垂足为B,那么直线AB与平面β 的位置关系如

Eβ D
α C
2014年9月22日

垂直

B

A

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4

垂足为B. 证明:在平面 ? 内作BE⊥CD, 则∠ABE就是二面角 ? ? CD ? ? ∵ ? ? ? , ∴AB⊥BE. 的平面角. Eβ D α B A

又由题意知AB⊥CD,
且BE CD=B

?. ∴AB⊥

C

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5

平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线 与另一个平面垂直. 符号表示:

?
C?

? ?? ? ? ? CD AB ? ?

? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB ? CD ? 面面垂直 AB CD ? B ? ?

A
B D

线面垂直

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6

思考3

设平面 ? ⊥平面 ? ,点P在平面? 内,过

点P作平面 ? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么 位置关系?

直线a在平面 ? 内
α a P

β
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例1

如图,已知平面?,?,? ? ?,直线a满足a ? ?,

a ? ?,试判断直线a与平面?的位置关系.
分析:寻找平面α内与a平行的直线.
α b a

l
β

A

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8

解:在α内作垂直于 ? 与? 交线的直线b,

α

∵ ? ? ?, ∴

b ? ?,
β

b
l A

a

∵ a ? ?, ∴a∥b.

又∵ a ? ?, ∴a∥α.
即直线a与平面α平行.

a ? ?). 结论:垂直于同一平面的直线和平面平行(
? ? ?,a ? ?,a ? ? ? a / / ?
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9

变式

已知平面? ? ?,?

? ? AB,直线a∥?,

a ? AB,试判断直线a与?的位置关系.
α b B l β a 垂直

A
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例2.已知平面?,?,? 满足? ? ? ,? ? ? ,? 求证:l ? ? .

? ? l,

l β
m b

aα n

γ

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11

结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那 么这两个平面的交线垂直于这个平面.

? ? ? ,? ? ? ,?
如图: α γ l

? ?l ?l ??
β

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两个平面垂直应用举例 例1 如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上的动点, 过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面,D、E分别是 VA、VC的中点,直线 DE与平面VBC有什么关系?试 说明理由.

AC垂直于平面VBC及DE∥AC.

平面 VAC⊥平面VBC及DE⊥VC.

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13

例2.S为三角形ABC所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面SAB⊥平面SBC. 求证:AB⊥BC. S
证明:过A点作AD⊥SB于D点. ∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC, ∴ AD⊥BC.
A D C

又∵ SA ⊥ 平面ABC, ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
∴BC ⊥ 平面SAB.

B

∴BC ⊥AB.
2014年9月22日
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练习:1.如图,以正方形ABCD的对角线AC为 折痕,使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面, 求BD与平面ABC所成的角。
D

D

折成
A

O

C A
O B
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C

B
2014年9月22日

2.如图,平面AED ⊥平面ABCD,△AED 是等边三角形,四边形ABCD是矩形, (1)求证:EA⊥CD (2)若AD=1,AB= 2 ,求EC与平面ABCD 所成的角。
E

D M

C

A
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B
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(2012·北京模拟)如图,正方形ADEF与梯形ABCD所

在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,
M为CE的中点.

(1)求证:BM∥平面ADEF;(2)求证:平面BDE⊥平面BEC.

2014年9月22日

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【证明】(1)取DE中点N,连接MN,AN. 在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点, 所以MN∥CD,且MN= 1 CD.
2 由已知AB∥CD,AB= 1 CD, 2

所以MN∥AB,且MN=AB,

所以四边形ABMN为平行 四边形.所以BM∥AN. 又因为AN ?平面ADEF,且BM 所以BM∥平面ADEF.
2014年9月22日
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? 平面ADEF,

(2)因为四边形ADEF为正方形, 所以ED⊥AD, 又因为平面ADEF⊥平面ABCD, 且平面ADEF∩平面ABCD=AD. 又因为ED

? 平面ADEF,

所以ED⊥平面ABCD. 所以ED⊥BC.

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在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,

可得BC= 2 2 ,
在△BCD中,BD=BC= 2 2 ,CD=4,所以BC⊥BD,

BD∩ED=D,
所以BC⊥平面BDE,

又因为BC ?平面BCE,
所以平面BDE⊥平面BEC.

2014年9月22日

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1.平面与平面垂直的性质定理: ?

A B D

面面垂直
2.几个结论 α P

线面垂直

C?

α

b
β A

a l

a
β

α

l γ

β

a ??

a∥α

l ??

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垂直、平行关系小结
A α 线线垂直 a B 面面垂直 β

线面垂直

线线平行 面面平行
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