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1.2.2函数的表示法2



1.2 .2 函数的表示法2
-------分段函数与映射

例题展示
例1: 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定

(1)5公里以内(含5公里),票价2元;(2) 5公里以上,每增加5公里, 票价增加1元(不足5公里的按5公里计算)。
如果某条路线的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间

的函 数解析式,并画出函数的图象。 y

解:设票价为y,里程为x,由题意可知,自 5 变量的取值范围是(0,20】由“招手即停” 4 的票价制定规则,可得函数的解析式:

2, Y= 3,

0<x≤5, 5<x≤10,

3 2 1 0 5 10 15 20 x

4, 10<x≤15, 5, 15<x≤20,

例2:画出函数y=|x|的图象。
解:由绝对值的概念,我们有

x ,x≥0,
Y=
5

y

-x ,x<0.

4 3

所以,函数y=|x|的图象如右图所示

2
1 0 1 2 3 x

-3 -2 -1

分段函数

Y=
y 5

2, 3, 4, 5,

0<x≤5, 5<x≤10, 10<x≤15, 15<x≤20,

x ,x≥0,

Y= -x ,x<0.
y 5 4 3 2

4
3 2 1 0 5 10 15 20 x -3 -2

1
-1 0 1 2 3 x

所谓“分段函数”,是指在定义域的不同部分, 有不同的对应法则的函数. 对它应有以下两点基本认识: (1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几 个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值

域是各段值域的并集。

例3. (1)已知

? x ? 1 ( x ? 0) ? f ( x ) ? ?? ( x ? 0) f { f [ f ( ?1)]} ; ,求 ?0 ( x ? 0) ?

(2)已知

? x 2 ? 1 ( x ? 0) f ( x) ? ? , 若 f (a ) ? 10 , 求 a ; ( x ? 0) ? ?2 x

(3)已知 f(x)的定义域为{x | x>0},且
f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 若 f (9) ? 8 , 求 f (3).

? x ? 1 ( x ? 0) ? f { f [ f ( ? 1)]} ; f ( x ) ? ? ( x ? 0 ) ,求 ? 例3. (1)已知 ?0 ( x ? 0) ? 解: (1) ? ? 1 ? 0 ,? f (?1) ? 0 , [? ] ? f( ) ?? ?1. f { f [0]} f [ (0)] ? f { f [ f ( ?1)]} ?

? x 2 ? 1 ( x ? 0) , (2)已知 f ( x ) ? ? ( x ? 0) ? ?2 x

解: 由已知,

若 f (a ) ? 10 , 求 a ;

? a 2 ? 1 (a ? 0) f (a ) ? ? , 且 f (a ) ? 10 , (a ? 0) ? ?2a
2 a ? ?3 . a ? 1 ? 10 时, ①当

? a ? 0 , ? a ? ?3 .

② 当 ?2a ? 10 时, a ? ?5.
? a ? 0 , ? a ? ?5 舍去.

综上①②: a ? ?3 .

(3)已知 f(x)的定义域为{x | x>0},且
f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , 若 f (9) ? 8 , 求 f (3).

解: 由已知得,
f (9) ? f (3 ? 3) ? f (3) ? f (3) ? 8 , 2 f (3) ? 8 , f (3) ? 4 .


?

规律总结
求分段函数的函数值,要先确定要求值的自
变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析

式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内
到外依次求值.

练习1.

解: ? f (? 3 ) ? 2(? 3 ) ? 2 ? 1 , 2 4 4 ? f [ f (? 3 )] ? f ( 1 ) ? ? 1 ? 1 ? ? 1 , 4 4 2 2 2

?

f (? 1 ) ? 2(? 1 ) ? 2 ? 3 , 2 4 4 [?1, 0 ))? 0 , ? ? ) .[2 , 0 ?(( 0 , 2 ) ? ? ?) .

? x ? 2 ( x ? ?1) 2 练习2.在函数 y ? ? (?1 ? x ? 2) ?x 中,若 ?2 x ( x ? 2) ?

f ( x) ? 3, 则x的值是多少?

x? 3

例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 王伟 98 第二次 87 第三次 91 第三次 92 第五次 88 第六次 95

张城
赵磊 班级平均分

90
68 88.2

76
65 78.3

88
73 85.4

75
72 80.3

86
75 75.7

80
82 82.6

思考:
? 1.测试次数与每个学生的数学成绩能构成一个函数吗? 若能,哪个是自变量,哪个是函数值? ? 2.上述表格表示不够直观,采用怎样的方式可以直观 的反应三名同学的成绩变化?

解:从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩,但不太容易分析 每位同学的成绩变化情况。如果将“成绩”与“测试时间”之间的关 系用函数图象表示出来,如下表,那么就能比较直观地看到成绩变化 地情况。这对我们地分析很有帮助。

y

100 90 80 70 60 0

班? 平 均 分

.
▲ ■

. . . .


.
■ ▲

王伟

?



? ▲
■ ■

?

? 张城

▲ ■



?

赵磊

1

2

3

4

5

6

x

y 100 90 80 70

.
班? 平 均 分


. . . .


.
■ ▲

王伟

?



? ▲
■ ■

?
▲ ■ ■

? 张城

?



60 0

赵磊 1

2

3

4

5

6

x

从图中我们看到,王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均 水平,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳 定,总是在班级平均水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数 学成绩低于班级平均水平,但他的成绩曲线呈上升趋势,表明他的数 学成绩在稳步提高.

反思拓展
? 本题六次测试分别改为“10月月考”,”高一上半期考” ,“高一上期末考”,“高一下半期考”,“高一下期 末考”,还能与每个学生的数学成绩构成函数吗?

例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度 六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 王伟 98 第二次 87 第三次 91 第三次 92 第五次 88 第六次 95

张城
赵磊 班级平均分

90
68 88.2

76
65 78.3

88
73 85.4

75
72 80.3

86
75 75.7

80
82 82.6

如果将函数定义中的两个集合从非空数集扩展 到任意元素的集合,会有什么结果呢? 映射的概念: 设A,B是两个集合,如果按照某种对应 关系f,对于集合A中的任何一个元素,在集 合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样 的对应(包括集合A,B以及A到B的对应关 f:A B 系 f )叫做集合A到集合B的映射,记作:
例如:欧洲所有国家构成集合A,欧洲各国首都构 成集合B,f:国家对应的首都。

问题 函数概念与映射概念之间有怎样的关系?有什么异同? 函数是从非空数集A到非空数集B的映射。映射是 从集合A到集合B的一种对应关系,这里的集合A、 B可以是数集,也可以是其他集合。映射是函数的 推广,函数是一种特殊的映射。

注 意:
(1)符号“f : A B ”表示A到B的映射. (2)映射有三要素:两个集合,一种对应法则, 三者缺一不可.
(3)映射中集合A、B可以是数集,可以是点集或 其它集合.

(4)集合A中的元素在B中必有唯一的元素与之对应。

(5)A中不同的元素在B中可以有相同的元素与之对应
(6)允许B中的元素在A中没有元素与之对应 (7)A中元素与B中元素的对应关系可以是一对一,多 对一,但不能是一对多。

例5. 判断下列对应是否映射?有没有对 应法则? a b c

e f g 是

a b c d 不是

e f g

a b c

e f g d 是

1、3是映射,有对应法则,对应 法则是用图形表示出来的.

练1、判断下列对应关系是否是从集合A到集合B的函 数,若是,指出其定义域和值域。 (1)A=Z,B=N,f是“平方后加1”; (2)A={平面M内的三角形},B={平面M内的圆},f 是“画三角形的外接圆”; (3)A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1} ,f是“与1 的差的平方”; (4)A=R,B={x∈R|x>0},f是“取绝对值”。

从集合A 例6. 以下给出的对应是不是 到B的映射? (1)集合A ? { P | P是数轴上的点 }, 集合 B ? R, 对应关系f : 数轴上的点与它所代表 的实数对应 ; ( 2)集合A ? { P | P是平面直角坐标系中 的点}, 集合B ? {( x , y ) | x ? R, y ? R}, 对应关 系f : 平面直角坐标系中的点 与它的坐标对 应;

( 3)集合A ? { x | x是三角形}, 集合B ? { x | x是圆}, 对应关系f : 每一个三角形都 对应它的内切圆 ; ( 4)集合A ? { x | x是新华中学的班级 }, 集合B ? { x | x是新华中学的学生 }, 对应 关系f : 每一个班级都对应班里 的学生.

例7.画图表示集合A={a, b, c}到集合B={1,2}的所有映射.
解: A
a B 1 A a B 1 2 A a b B 1 A a b B 1 2 B 1 2

b
c A a b c 2

b 2 B
1 c

c
1 2
3

2
B 1

c A a b

A a b
c

B

A a
b c

2

c

从集合A到集合B的映射有 2 ? 8 个.

结 论: 一般地,集合A中有m个元素, 集合B中有 n 个元素, f : A → B, 从集合A到集合B的映射有 n 个.
m



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