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二倍角公式设计文档



二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计
王 芳

一.课标解读:《普通高中课程标准实验教科书(数学)》必修 4(人教 B 版),第三 章、第一节、第 143-144 页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有 “二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式,它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化, 又为以后求三角函数值、

化简和证明提供了非常有用的理论工具, 通过对二倍角公式的推导 知道:二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”,通过推 导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想,因此这节课也是培养学 生运算和逻辑推理能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 二、教材分析: 对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法,而是通过提出问题,设置情景对和角公 式中的角 α, β 的关系特殊情形 β



时的简化, 让学生探讨发现、 推证得出二倍角公式,

这样学生会感到自然,好接受,并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系,同时 让学生学会怎样发现数学规律,并体会到化归(这里是将一般化归到特殊)这一基本数学 思想在发现中所起的作用,对教材的例题则有所增减,处理方式也有适当改变。 三、学情分析 我们的学生从认知角度上看,已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础。从 学习情感方面看,大部分学生愿意主动学习。从能力上看,学生主动学习能力、探究的能 力、较弱。 四、教学目标 ? ①多数学生能够在给出的具体的问题情境中独立推导出二倍角公式,并在推导的过 程中体会从一般到特殊的思想方法; ? ? ②学生能够在合作交流的基础上探究出二倍角公式不同的变形方式; ③学生通过分析公式特征及三组求值化简记住公式;并体会公式的正用逆用及变形 应用。 ? ④通过例 1,变单一角度为多角度,单一方法为多种解题方法,从直观上认识二倍 角公式的特征,熟悉其结构,学会如何灵活运用公式解决问题,实现一题多变,并 在解题教学中渗透数学思想方法, 从中揭示知识的生成过程及学会寻找解题的思路、 方法、思想 ? ⑤通过例 2,让学生进一步明确证明恒等式的方法,体会一题多解及数字“1”的妙 用。 五、评价设计

?

目标①:通过看学生的导学案的完成情况,找一名中游偏下的学生回答二倍角公式 的推导方式;

? ? ? ?

目标②:学生在小组讨论的基础上进行展示,能说二倍角公式的灵活应用; 目标③:学生能回答出公式的结构特征,并能熟练解出学案上的三个题组; 目标④:所有学生能独立完成例 1;通过对例 1 的探讨学生能独立完成一题多变; 目标⑤:让学生分析证明恒等式,体会一题多解及数字“1”的妙用。

教学重点、难点、 重点:使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式,以及公式的 两种变形和公式成立的条件;如何学会去发现数学规律,并体会化归、转化等基本数学思 想在发现中所起的作用,能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。 难点:灵活应用二倍角公式变形的态式,熟练解三角综合题。 六、教学过程

一、创设情景,揭示课题
1、(复习性提问):请同学回顾两角和的公式 (学生回答,教师演示)

2、(探索性提问)当上述公式中角



具有特殊化关系

时,

公式变为什么形式?(请学生口答,教师演示)

3、引导学生观察其结构,并指名回答观察结果

二倍角公式简记为 (学生回答:左边角均为 ,右边角均为 ,具有“二倍”关系)

即为我们今天要学习的二倍角公式

设计意图: 复习已学公式,对其特殊化。让学生学会从“一般”到“特殊”的化归方 法,从而达到“温故知新”的教学目的

二、引导探究、深化认识
1、回忆推导过程,让学生明确二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之间的联系 2、(探索性提问)对 : 中的平方联想到 (学生探索、总结得出两种变式: 3、(深化性提问):有了这组二倍角公式,我们是否可以放心大胆的应用呢? (学生:不能,要注意公式成立的条件) 引导学生联想和角公式的条件,利用类比的方法,探索出二倍角公式的条件 , 有无其他变式? )

指出:尤其注意

成立的条件

设计意图: 引导学生应用联想、类比的教学思想、得出公式成立的条件

4、(探索性提问)在 存在,但左边的

中,当左边的 求 ?该怎样求?

时,虽然右边的



存在,能否用

引导学生:改用诱导公式: tan 2? ? tan 2(

?
2

? k? ) ? tan(? ? 2k? ) ? tan ? ? 0

设计意图: 引导学生对特殊情形,另辟蹊径,寻找求解依据,培养学生细致、灵活的 探索习惯 5、二倍角公式中的倍数关系是相对的,为深化对二倍角公式的理解,出示一组填空题(放 幻灯片)

顺向变角
sin ? ? 2 sin(....)cos(....)
s i n ? 2s i n ( . c .o . .s )( . . .sin . )3? ? 2 sin(.....)cos(.....) 2

?

逆向变角 顺向变角

sin 3? c o 3 s? ?
????

你还能举出吗?(学生自由回答)

cos? ? 2 cos2 (......)? 1

cos? ? 1 ? 2 sin 2 (.....)



cos3? ? cos2 (.....)? sin 2 (......)? 2 cos2 (.....)? 1 ? 1 ? 2 sin 2 (.......);
cos

?
2

? cos 2 (....) ? sin 2 (......) ? 2 cos 2 (......) ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 (.....) ;

设计意图: 通过填空,让学生灵活理解“二倍角”的含义,根据学生易混点,类比公式, 展开训练,达到“跨越障碍、突破难点”之目的 6、巩固公式,学习应用

题组一化简求值 (1)sin15°cos15° (4) 1 ? 2 sin 2 75° 题组二化简 (1) cos4 ? ? sin 4 ?
设计意图

(2) cos 2 (5)

?
8

? sin 2

?
8

(3) 2 cos 2

?
12

?1

2 tan22.5? 1 ? tan2 22.5?

(2) (sin? ? cos? )2

(3)

1 1 ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

通过直接,间接应用公式,巩固二倍角公式

三 质疑答辩,排难解惑,发展思维
5 ? , ? ? ? ? ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值 13 2 5 3? ) ,求 sin 2? , cos 2? , tan 2? 的值 变式 1:已知 sin ? ? ? , ? ? (? , 13 2 5 ? ( ,?) 求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值 变式 2:已知 tan ? ? ? ,? ? 12 2
例题 1.已知 sin ? ? 变式 3:已知 tan

?

? 2,? ? ( ,?) 求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值 2 2
有范围限制,做题中应注意什么?仅知道 值时,要灵活应用 值,欲求二倍角 三种等价形式,

?

讲评:此题目中对角

正弦、余弦、正切,先需要知道什么?? ?在求

并注意在求解过程中要尽量使用已知的原始数据,减少错误的可能性 设计意图:由浅入深,巩固公式,培养学生规范、科学解题的能力,教给学生小结解题经 验,做后反思 例 2、证明:

1 ? sin 2? ? cos 2? ? tan ? 1 ? sin 2? ? cos 2?

教师引导学生多种证明方法。

设计意图:

让学生学会等价证明、转化证题及一题多证,以培养学生数学思维的灵

活性、散发性及创造性思维,加深巩固二倍角公式和综合应用已学过的技巧证题

四、归纳整理,整体认识
(1)在两角和的三角函数公式 三角函数公式 中,当 时,就可得到二倍角的

。说明:后者是前者的特例。

(2) 时才成立。

中角

没有条件限制,而

中,只有

(3)二倍角公式不仅限于



的二倍形式,其他如



的二倍,



的二倍,



的二倍等等都适用,要熟悉这些多形式的两个角的倍数关系,才能熟练地应用好

二倍角公式,这是灵活应用公式的关键。 (4) 有三种形式: 。要依据

条件灵活应用公式,另外逆用此公式时更要注重结构形式。 设计意图: 使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识,抓住重点、难点,

关键进行课后复习巩固

五 、巩固深化,反馈矫正
【当堂检测】

(1) tan ? ? , 求 tan 2? , cot 2? .
x x 2 2 2 sin ? ? sin 2? ? ? tan 2 (3)证明 2 sin ? ? sin 2? 2

1 3

(2) cos 4 ? sin 4 ?

设计意图: 检验学生对本节课的掌握程度

六、作业布置:
必做:课后作业 1-10 设计意图: 培养学生自觉学习的习惯,检查学习效果,及时反馈,查漏补缺 选做: (11)一个半径为R的圆里面有一个内接矩形,问:什么时候矩形面积最大?

(12)设 cos( x ?

?

3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x )? , ?x? ,求 的值 4 5 12 4 1 ? tan x

设计意图: 对学有余力的学生留出自我发展的空间,尝试能力,拓展创新

八.设计思路:
1、本节以公式特殊情形 为主线 化简为切入点 以学生探索、推导、应用

以学生发展能力为目的

2、在三角式的运算及恒等变形过程中,除了倍角公式外,也离不开前面所学的同角三 角函数关系、诱导公式以及和角公式等,它们是一个有机整体。在解题过程中要求学生先分 析条件与求解目标之间的差异,选择恰当的公式进行转化沟通,然后明确解题思路,设计解 题步骤,完善解答过程,培养逻辑思维能力。 3、我们通过一题多变,一题多解,使我们学会数学思考与推理,训练发散性思维, 培养创造新意识,提高数学素养。

七、板书设计:
一探索特殊,引出课题 二.公式成立的条件

S (? ? ? ) ? ?S 2? ? ? C(? ? ? ) ? ? ?C 2? ? ?T T(? ? ? ) ? ? 2?
三.学生对例 1 变式的展示 四.学生对例 2 的展示。



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