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高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质三相似三角形的判定及性质达标训练新人教A版4-1


三 相似三角形的判定及性质
更上一层楼 基础·巩固 1 如图 1-3-10, D 是△ABC 的 AB 边上的一点, 过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E.已知 AD∶DB=2∶3, 则 S 下标△ADE∶S 下标 BCED 为( )

A.2∶3 B.4∶9 D.4∶21 思路解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC. 又 AD∶DB=2∶3,∴AD∶AB=2∶5. 其面积比为 4∶25,则 S△ADE∶S 四边形 BCED=4∶21. 答案:D 2 如图 1-3-11 所示,铁道口的栏杆短臂长 1 m,长臂长 16 m,当短臂端点下降 0.5 m 时, 长臂端点升高( )

图 1-3-10 C.4∶5

图 1-3-11 A.11.25 m B.6.6 m C.8 m D.10.5 m 思路解析:本题是一个实际问题,可抽象为如下的数学问题:如右图,等腰△AOC∽等腰 △BOD,OA=1 m,OB=16 m,高 CE=0.5 m,求高 DF.由相似三角形的性质可得 OA∶OB=CE∶DF,即 1∶16=0.5∶DF,解得 DF=8 m.

答案:C 3 有一块三角形铁片 ABC,已知最长边 BC=12 cm,高 AD=8 cm,要把它加工成一个矩形铁片, 使矩形的一边在 BC 上,其余两个顶点分别在 AB、AC 上,且矩形的长是宽的 2 倍,则加工成 的铁片的面积为( ) A.18 cm 或
2 2

1152 2 cm 49

B.20 cm 或 18 cm
2

2

2

C.16 cm D.15 cm 思路解析:本题有图(1)和图(2)两种情况,如图(1),矩形的长 EF 在 BC 上,G、H 分别在 AC、 AB 上,高 AD 交 GH 于 K,设矩形的宽为 x cm,则长为 2x cm, 由 HG∥BC,得△AHG∽△ABC,得 =

AK HG 8 ? x 2x 24 2 ? ? ? ?x? cmS 矩形 EFGH=2x AD BC 8 12 7

1152 2 cm ; 49
2

如图(2),矩形的宽 MN 在 BC 上,类似地可求得 S 矩形 MNPQ=18 cm .

1

答案:A 4 如图 1-3-12, 在△ABC 中, 点 D 在线段 BC 上, ∠BAC=∠ADC, AC=8, BC=16, 那么 CD=_________.

图 1-3-12 思路解析:先根据已知条件和隐含条件证明两个三角形相似, 即△ABC∽△DAC.再根据相似建 立比例式,根据给出的线段易求出未知线段. 答案:4 5 如果两个相似三角形的面积比为 9∶4,那么它们的相似比为_______________. 思路解析:根据相似三角形面积的比等于相似比的平方直接开平方即可. 答案:3∶2 6 如图 1-3-13,△ABC 中∠C 为直角,△DEF 中∠F 为直角,DE⊥AC,交 AC 于 G,交 AB 于 H, DF⊥AB,交 AB 于 I,求证:△ABC∽△DEF.

图 1-3-13 证明:∵HI⊥DF,EF⊥DF, ∴HI∥EF,∠DIH=∠DFE=90°. ∴∠DHI=∠DEF.∴△DHI∽△DEF. ∵∠DIH=∠AGH=90°,∠DHI=∠AHG,∴△DHI∽△AHG. ∵∠A=∠A,∠AGH=∠ACB=90°, ∴△AGH∽△ACB.∴△ABC∽△DE F 综合·应用 7 如图 1-3-14,已知∠ACB=∠ADE,∠ABC=∠AED,求证:∠ABE=∠ACD.

2

图 1-3-14 思路分析:∠ABE 和∠ACD 分别位于△ABE 和△ACD 中,显然不可以利用全等来证明这两个角 相等,但这两个角所在的两个三角形能相似吗?从已知条件中给的四个角分别在△ABC 和 △AED 中,由它们相等不难证明△ABC∽△AED,这一对三角形的相似,沟通了我们想要证明 的两个三角形的关系,沟通了两个角的关系.这里使用了“两边对应成比例且夹角相等,两 三角形相似”的判定方法. 证明:∵∠ABC=∠AED,∠ACB=∠ADE,∴△ABC∽△AED. ∴

AB AC AB AE ? ? ,∠BAC=∠EAD.∴ . AE AD AC AD

∴∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC,即∠BAE=∠CAD. ∴△ABE∽△ACD.(两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似) ∴∠ABE=∠ACD. 8 如图 1-3-15,已知△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,CF∥BA,BF 交 AD 于 P 点,交 2 AC 于 E 点.求证:BP =PE·PF.

图 1-3-15 思路分析:因为 BP、PE、PF 三条线段共线,找不到两个三角形,所以必须考虑等线段代换等 其他方法,因为 AB=AC,D 是 BC 的中点,由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线,如 果我们连结 PC,由线段垂直平分线的性质知 PB=PC,只需证明△PEC∽△PCF,问题就能解决 了.

证明:连结 PC,在△ABC 中,∵AB=AC,D 为 BC 的中点, ∴AD 垂直平分 BC.∴PB=PC.∴∠1=∠2. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ABC-∠1=∠ACB-∠2.∴∠3=∠4. ∵CF∥AB,∴∠3=∠F.∴∠4=∠F. 又∵∠EPC=∠CPF,∴△PCE∽△PFC. ∴

PC PF 2 ? .∴PC =PE·PF. PE PC
3

∵PC=PB,∴PB =PE·PF.(等线段代换) 9 如图 1-3-16,已知△ABC 中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=2∶3∶4, 求 S△ADE∶S 四边形 DEGF∶S 四边形 BCGF.

2

图 1-3-16 思路分析:要求题目中的三部分的面积比,必须先求出△ADE\,△AFG 和△ABC 的面积,才能 求出两个四边形的面积.由已知 DE∥FG∥BC 的条件, 可以得到相似三角形, 再由相似三角形 的面积比等于相似比的平方的性质,可求出相似三角形的面积比.题目中未给出具体数值, 故应引入参数. 解:∵AD∶DF∶FB=2∶3∶4, 设 AD=2k,DF=3k,FB=4k(k>0),则 AF=5k,AB=9k, ∵DE∥FG,∴△ADE∽△AFG. ∴

S ?ADE AD 2 2 4 ?( ) ? ( )2 ? S ?AFG AF 5 25
S ?AFG AF 2 25 . ?( ) ? S ?ABC AB 81

同理,可得

设 S△ADE=4a,则 S△AFG=25a,S△ABC=81a(a>0). ∴S 四边形 DEGF=25a-4a=21a, S 四边形 BCGF=81a-25a=56a. ∴S△ADE∶S 四边形 DEGF∶S 四边形 BCGF=4∶21∶56. 10 如图 1-3-17,点 C、D 在线段 AB 上,△PCD 是等边三角形.

图 1-3-17 (1)当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB? (2)当△ACP∽△PDB 时,求∠APB 的度数. 思路分析:本题是一个探索型的问题,考查相似三角形的判定及性质,它给出了一个条件, 让你自己再添加一个条件,可使两个三角形相似.因此,首先想到相似的判定方法,因又限 制了三条边的关系,所以是对应边就成比例.当三角形相似以后,那么对应角相等,易求 ∠APB. 解: (1)∵△PCD 是等边三角形, ∴∠PCD=∠PDC=60°,PD=PC=CD. 从而∠ACP=∠PDB=120°. ∴当

AC PC ? 时,△ACP∽△PDB. PD BD
2

即当 CD =AC·BD 时,△ACP∽△PDB.

4

(2)当△ACP∽△PDB 时,∠APC=∠PBD. ∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB =∠PBD+60°+∠DPB =60°+60°=120°.

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