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2016年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)(解析版)



河北省邯郸市 2016 年高考数学一模试卷(理科)(解析版)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若 z= A.﹣ ,则 z =( + i B. + i ) C. D. )

2.已知集合 A={x|﹣3<x<2},B={x|3x>1},则 A∩(?RB)=( A.(﹣3,1] B.(1,2) C.(﹣3,0] D.[1,2)


3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 A.x2﹣y2=1 B. ﹣y2=1 C.x2﹣

+y2=1 的焦点和顶点,则该双曲线方程为(



=1

D.



=1 )

4.现有 6 个白球、4 个黑球,任取 4 个,则至少有两个黑球的取法种数是( A.90 B.115 C.210 D.385

5.某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表: 单价 x(元) 8 销量 y(件) 90 根据如表可得线性回归方程 时,可预测销售的件数为 ( A.82 ) B.84 C.86 D.88 8.2 84 = x+ 8.4 83 .其中 8.6 80 =﹣20, 8.8 75 9 68

= ﹣b ,那么单价定为 8.3 元

6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=f(x﹣1),若 f(x)在区间[0,1]内单调 递增,则 f(﹣ )、f(1)、f( )的大小关系为( A.f(﹣ )<f(1)<f( ) ( )<f(1) ) C.f(﹣ )<f

B.f(1)<f(﹣ )<f( )

D.f( )<f(1)<f(﹣ )

7.在等比数列{an}中,公比 q≠1,且 a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等差数列,若 a1+a2+a3=1,则 a12+a22+…+a102=( A.1 B.10 ) C.32 D.100 )

8.执行如图所示的程序框图,则输出结果 a 的值为(

A.2

B.

C.

D.﹣1 )(ω>0)在区间[ , ]内单调递增,则 ω 的最

9.已知函数 f(x)=2sin2(ωx+ 大值是( A. B. ) C. D.

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的

表面积为(



A.2(1+

+



B.2(1+2

+



C.4+2

D.4(1+



11.已知函数 f(x)=ex(x≥0),当 x<0 时,f(﹣x)=4f(x).若函数 g(x)=f(x) ﹣ax﹣a(a>0)有唯一零点,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.( ,e) C.( ,e) )

D.( ,1)

12.在公差不为 0 的等差数列{an}中,a2+a4=ap+aq,记 + 的最小值为 m,若数列{bn}满足 b1= A. m,2bn+1﹣bnbn+1=1,则 b1+ B. C. D. + +…+ =( )

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.已知向量 λ=

, .

夹角为 120°,|

|=5,|

|=2,

=



,若



,则

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x2+y2 的最小值为



15.已知三棱锥 P﹣ABC 内接于球 O,PA=PB=PC=2,当三棱锥 P﹣ABC 的三个侧面的面 积之和最大时,球 O 的表面积为 16.已知直线 y= x 与椭圆 C: + . =1(a>b>0)相交于 A、B 两点,若椭圆上存 .

在点 P,使得△ABP 是等边三角形,则椭圆 C 的离心率 e=

三、解答题(共 5 小题,70 分) 17.(12 分)(2016 潮南区模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 acosB+bcosA=2ccosC. (1)求 C; (2)若△ABC 的面积为 2 ,a+b=6,求∠ACB 的角平分线 CD 的长度. 的正

18.(12 分)(2016 邯郸一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,△ABD 是边长为 2 三角形,∠CBD=∠CDB=30°,E 为棱 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)若平面 PAB⊥平面 ABCD,PA=PB=2,求二面角 P﹣BC﹣E 的余弦值.

19.(12 分)(2016 邯郸一模)某种机器在一个工作班的 8 小时内,需要工作人员操控累 计 2 个小时才能正常运行,当机器需用操控而无人操控时,机器自动暂停运行.每台机器在 某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立. (1)若在一个工作班内有 4 台相同机器,求在同一时刻需用人操控的平均台数.

(2)若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于 0.9 的水平,且该人待工而 闲的槪率小于 0.6.试探讨:一人操控 1 台、2 台、3 台机器这三种工作方案中,哪种方案符 合要求,并说明理由. 20.(12 分)(2016 邯郸一模)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 l 过点 F 交抛物线 C 于 A、B 两点.且以 AB 为直径的圆 M 与直线 y=﹣1 相切于点 N. (1)求 C 的方程; (2)若圆 M 与直线 x=﹣ 相切于点 Q,求直线 l 的方程和圆 M 的方程. 21.(12 分)(2016 邯郸一模)设函数 f(x)=(x+a)lnx+b,曲线 y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x+y﹣2=0 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明: <1.

选做题(请考生从 22,23,24 三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑) 22.(10 分)(2016 邯郸一模)如图,点 A、B、D、E 在⊙O 上,ED、AB 的延长线交于 点 C,AD、BE 交于点 F,AE=EB=BC. (1)证明: = ;

(2)若 DE=4,AD=8,求 DF 的长.

【选项 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2016 邯郸一模)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,已知曲线 C:ρsin2θ=2cosθ,过点 P(2,﹣1)的直线 l: 曲线 C 交于 M、N 两点. (t 为参数)与

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)求|PM|2+|PN|2 的值.

【选项 4-5:不等式选讲】 24.(2016 邯郸一模)已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|2x﹣1|. (1)当 a=2 时,求 f(x)+3≥0 的解集; (2)当 x∈[1,3]时,f(x)≤3 恒成立,求 a 的取值范围.

2016 年河北省邯郸市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.若 z= A.﹣ ,则 z =( + i B. + i ) C. D. 求得答案. ,

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求得 z,再由 【解答】解:∵z= ∴z =|z|2= 故选:D. =

= .

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.

2.已知集合 A={x|﹣3<x<2},B={x|3x>1},则 A∩(?RB)=( A.(﹣3,1] B.(1,2) C.(﹣3,0] D.[1,2)



【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:由 B 中不等式变形得:3x>1=30, 解得:x>0,即 B=(0,+∞), ∴?RB=(﹣∞,0], ∵A=(﹣3,2), ∴A∩(?RB)=(﹣3,0], 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆 A.x2﹣y2=1 B. ﹣y2=1 C.x2﹣

+y2=1 的焦点和顶点,则该双曲线方程为(



=1

D.



=1

【分析】求得椭圆的焦点和顶点坐标,设双曲线的方程为 c,进而得到 b 的值,可得双曲线的方程. 【解答】解:椭圆 +y2=1 的焦点为(±1,0)和顶点(±



=1(a,b>0),可得 a,

,0),

设双曲线的方程为



=1(a,b>0),

可得 a=1,c= 可得 x2﹣y2=1. 故选:A.

,b=

=1,

【点评】本题考查双曲线的方程的求法,注意运用椭圆的方程和性质,考查运算能力,属于 基础题.

4.现有 6 个白球、4 个黑球,任取 4 个,则至少有两个黑球的取法种数是( A.90 B.115 C.210 D.385



【分析】根据黑球的个数分为三类,根据根据分类计数原理可得. 【解答】解:分三类,两个黑球,有 C42C62=90 种, 三个黑球,有 C43C61=24 种, 四个黑球,有 C44=1 种, 根据分类计数原理可得,至少有两个黑球的取法种数是 90+24+1=115, 故选:B. 【点评】本题考查了分类计数原理,关键是分类,属于基础题.

5.某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表: 单价 x(元) 8 销量 y(件) 90 根据如表可得线性回归方程 可预测销售的件数为 ( A.82 ) B.84 C.86 D.88 8.2 84 = x+ 8.4 83 . 其中 8.6 80 =﹣20, 8.8 75 9 68

= ﹣b , 那么单价定为 8.3 元时,

【分析】根据题意,计算 、 ,利用线性回归方程过样本的中心点,求出线性回归方程, 再计算 x=8.3 时 的值,从而得出预测结果.

【解答】解:根据题意,计算 = ×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, = ×(90+84+83+80+75+68)=80, 线性回归方程 = x+ 中 =﹣20,

= ﹣b =80﹣(﹣20)×8.5=250, 所以线性回归方程 当 x=8.3 时, =﹣20x+250,

=﹣20×8.3+250=84,

可预测单价定为 8.3 元时,销售件数为 84. 故选:B. 【点评】 本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题, 也考查了利用线性回归方程进 行预测的应用问题,是基础题目.

6.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=f(x﹣1),若 f(x)在区间[0,1]内单调 递增,则 f(﹣ )、f(1)、f( )的大小关系为( A.f(﹣ )<f(1)<f( ) )

B.f(1)<f(﹣ )<f( ) C.f(﹣ )<f( )

<f(1) D.f( )<f(1)<f(﹣ ) 【分析】 根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化, 结合函数单调性的性质进行比较即可得 到结论. 【解答】解:∵定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:f(x+1)=f(x﹣1), ∴由 f(x+1)=f(x﹣1),得 f(x+2)=f(x), 则 f(﹣ )=f(﹣ +2)=f( ), f( )=f( ﹣2)=f(﹣ )=f( ), ∵f(x)在区间[0,1]内单调递增, ∴f(﹣ )<f( )<f(1),

即 f( )<f( )<f(1), 故选:C. 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性,周期性和单调性的关系进行转 化是解决本题的关键.

7.在等比数列{an}中,公比 q≠1,且 a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等差数列,若 a1+a2+a3=1,则 a12+a22+…+a102=( A.1 B.10 ) C.32 D.100

【分析】由题意列关于等比数列的首项和公比的方程组,求解方程组得答案. 【解答】解:在等比数列{an}中,公比 q≠1, 由 a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等差数列,且 a1+a2+a3=1, 得 ,即:

,解得



∴数列{

}是常数列 1,1,1,…,

则 a12+a22+…+a102=10. 故选:B. 【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查方程组的解法,是基础题.

8.执行如图所示的程序框图,则输出结果 a 的值为(



A.2

B.

C.

D.﹣1

【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 a,n 的值,观察规律可得 a 的取值以 3 为周期,从而有当 i=2017 时,不满足条件 n≤2016,退出循环,输出 a 的值为﹣1,从而得 解. 【解答】解:模拟执行程序,可得 a=2,n=1, 满足条件 n≤2016,a= ,n=3 满足条件 n≤2016,a=﹣1,n=4 满足条件 n≤2016,a=2,n=5 … 观察规律可知,a 的取值以 3 为周期,由 2016=672×3,从而有: 满足条件 n≤2016,a= ,n=2016 满足条件 n≤2016,a=﹣1,n=2017 不满足条件 n≤2016,退出循环,输出 a 的值为﹣1. 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环 的方法解答,属于基本知识的考查.

9.已知函数 f(x)=2sin2(ωx+ 大值是( A. B. ) C. D.

)(ω>0)在区间[



]内单调递增,则 ω 的最

【分析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的单调性求得 ω 的最 大值. 【解答】解:∵函数 f(x)=2sin2(ωx+ (ω>0) 在区间[ , ]内单调递增, )在区间[ , ]内单调递减, )=2 =1﹣cos(2ωx+ )

故 y=cos(2ωx+

∴2ω

+

≤π,∴ω≤ ,

故选:C. 【点评】本题主要考查二倍角公式的应用,余弦函数的单调性,属于基础题.

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某四面体的三视图,则该四面体的

表面积为(



A.2(1+

+



B.2(1+2

+



C.4+2

D.4(1+



【分析】根据三视图知几何体是三棱锥 P﹣ABC 是棱长为 2 的正方体一部分,由正方形的 性质求棱长、判断位置关系,由三角形的面积公式求出该四面体的表面积. 【解答】解:根据三视图知几何体是三棱锥 P﹣ABC 是棱长为 2 的正方体一部分, 直观图如图所示: 由正方体的性质可得,PC=PA=AC=2 ∴BC⊥PC,AB⊥PA, ∴该四面体的表面积: S= =2(1+2 故选:B. + ), + ,PB= ,

【点评】 本题考查三视图求几何体的体积, 由三视图冰借助于正方体复原几何体是解题的关 键,考查空间想象能力.

11.已知函数 f(x)=ex(x≥0),当 x<0 时,f(﹣x)=4f(x).若函数 g(x)=f(x) ﹣ax﹣a(a>0)有唯一零点,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.( ,e) C.( ,e) )

D.( ,1)

【分析】由题意得

,y=f(x)与 y=ax+a(a>0)有唯一交点.由 f'

(x)=ex(x≥0),得切线方程为 y﹣em=em(x﹣m),由此能求出结果.

【解答】 解:由题意得



∵函数 g(x)=f(x)﹣ax﹣a(a>0)有唯一零点, ∴y=f(x)与 y=ax+a(a>0)有唯一交点. 由图可得 a1<a<a2, 由题意得, ,

∵f'(x)=ex(x≥0),设切点横坐标为 m, ∴切线斜率 k=f'(m)=em=a2, 切线方程为 y﹣em=em(x﹣m),且过点(﹣1,0) 解得 m=0,∴ ∴ 故选:D. . ,

【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数性质和 数形结合思想的合理运用.

12.在公差不为 0 的等差数列{an}中,a2+a4=ap+aq,记 + 的最小值为 m,若数列{bn}满足 b1= A. m,2bn+1﹣bnbn+1=1,则 b1+ B. C. D. + +…+ =( )

【分析】 根据题意, 求出 + 的最小值 m, 从而求出 b1 与通项公式 bn, 再求出

以及 b1+

+

+… +

的值.

【解答】解:在等差数列{an}中,由 a2+a4=ap+aq 得,p+q=6, 因为 + = ( + )(p+q)= (1+9+ + )= + ( + )≥ + 2 = ,

当且仅当 q=3p 时取得最小值,此时 p= ,q= (不合题意,舍去); 应取 p=2,q=4,此时 + 取得最小值是 所以 m= ,b1= ; ,

又由 2bn+1﹣bnbn+1=1, 可归纳出 bn= ,所以 = ;

所以 b1+

+

+…+

=

+

+

+… +

=1﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ =1﹣ = .



故选:C. 【点评】本题考查了等差数列与数列求和的应用问题,也考查了逻辑推理与运算能力,是综 合性题目.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 . 【分析】根据向量数量积的公式,结合向量垂直的关系即可得到结论. 【解答】解:∵向量 ∴ ∵ ∴( 即 = =| +λ +λ ﹣ || , ) , 夹角为 120°,| |=5,| |=2, , 夹角为 120°,| |=5,| |=2, = +λ ,若 ⊥ ,则 λ=

|cos120°=5×2×(﹣ )=﹣5, ⊥ =( +λ , +λ ﹣λ )( ﹣ )=0,

=0,

∴﹣5﹣25+4λ+5λ=0 解得 λ= , .

故答案为:

【点评】 本题主要考查平面向量的基本运算, 利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题 的关键.

14.若 x,y 满足约束条件

,则 z=x2+y2 的最小值为 5 .

【分析】画出满足条件的平面区域,求出角点的坐标,结合 z=x2+y2 的几何意义求出其最小 值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:





,解得 A(2,1),

z=x2+y2 的几何意义表示平面区域内的点到原点的距离的平方, 故 z=z=x2+y2=4+1=5, 故答案为:5. 【点评】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.

15.已知三棱锥 P﹣ABC 内接于球 O,PA=PB=PC=2,当三棱锥 P﹣ABC 的三个侧面的面 积之和最大时,球 O 的表面积为 12π . 【分析】三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,三棱锥 P﹣ABC 的三个 侧面的面积之和最大, 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球, 求出长方体的对角线的长, 就是球的直径,然后求球的表面积. 【解答】解:由题意三棱锥 P﹣ABC 的三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,三棱锥 P﹣ ABC 的三个侧面的面积之和最大, 三棱锥 P﹣ABC 的外接球就是它扩展为正方体的外接球,求出正方体的对角线的长:2 所以球的直径是 2 球的表面积:4π× 故答案为:12π. 【点评】 本题考查球的表面积,几何体的外接球,考查空间想象能力, 计算能力, 是基础题. ,半径为 ,

=12π.

16.已知直线 y=

x 与椭圆 C:

+

=1(a>b>0)相交于 A、B 两点,若椭圆上存

在点 P,使得△ABP 是等边三角形,则椭圆 C 的离心率 e= 【分析】联立直线 y= 为



x 和椭圆方程,求得 A,B 的坐标,以及|OA|2,将直线 OP 方程

,代入椭圆方程,求得 P 的坐标及|OP|2,再由|OP|2=3|OA|2,结合离心率

公式,可得 e. 【解答】解:因为 ,

所以 由题设直线 OP 方程为 所以

; , ,

所以



所以



故答案为:



【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的对称性和等边三角形的性质,考查 化简整理的运算能力,属于中档题.

三、解答题(共 5 小题,70 分) 17.(12 分)(2016 潮南区模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,满足 acosB+bcosA=2ccosC. (1)求 C; (2)若△ABC 的面积为 2 ,a+b=6,求∠ACB 的角平分线 CD 的长度.

【分析】(I)根据正弦定理将边化角,化简得出 cosC; (II)根据三角形的面积公式列方程解出 CD. 【解答】解:(Ⅰ)∵acosB+bcosA=2ccosC,

∴sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC, 即 sinC=2sinCcosC, 因为 0<C<π,所以 ,故 ; .

(Ⅱ)在△ABC 中,∵CD 平分∠ACB,∴ ∵S△ ABC=S△ ACD+S△ BCD, ∴2 解得 = a . + = (a+b)CDsin



【点评】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.

18.(12 分)(2016 邯郸一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,△ABD 是边长为 2 三角形,∠CBD=∠CDB=30°,E 为棱 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC; (2)若平面 PAB⊥平面 ABCD,PA=PB=2,求二面角 P﹣BC﹣E 的余弦值.

的正

【分析】(1)取 AB 中点 F,连接 EF、DF,则 EF∥PB,由∠CBD=∠FDB=30°,得 DF∥ BC,从而平面 DEF∥平面 PBC,由此能证明 DE∥平面 PBC. (2)连接 DF,分别取 FB,FD,FP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 P﹣BC﹣E 的余弦值. 【解答】证明:(1)取 AB 中点 F,连接 EF、DF,…(1 分) ∵E 为棱 PA 的中点,∴EF∥PB, ∵∠CBD=∠FDB=30° ∴DF∥BC ∵EF、DF? 平面 DEF,PB、BC? 平面 PBC ∴平面 DEF∥平面 PBC,…(4 分)

∵DE? 平面 DEF,∴DE∥平面 PBC.…(6 分) 解:(2)∵PA=PB=2,∴PF⊥AB,∵平面 PAB⊥平面 ABCD,交线为 AB, ∴PF⊥平面 ABCD,且 PF=1, 连接 DF,分别取 FB,FD,FP 所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,如图所示.… (7 分) 则点 E(﹣ ,B( ,0,0), ,D(0,3,0),P(0,0,1),

,0, ),…(8 分)

设平面 BCP 的法向量为 则 ∴ , ,



,∴y=0,x=1,即

…(10 分)

设平面 BCE 的法向量为



,则





,∴

…(11 分)

∴cos<

>=

=



∴二面角 P﹣BC﹣E 的余弦值为

.…(12 分)

【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真 审题,注意向量法的合理运用.

19.(12 分)(2016 邯郸一模)某种机器在一个工作班的 8 小时内,需要工作人员操控累 计 2 个小时才能正常运行,当机器需用操控而无人操控时,机器自动暂停运行.每台机器在 某一时刻是否用人操控彼此之间相互独立. (1)若在一个工作班内有 4 台相同机器,求在同一时刻需用人操控的平均台数. (2)若要求一人操控的所有机器正常运行的概率控制在不低于 0.9 的水平,且该人待工而 闲的槪率小于 0.6.试探讨:一人操控 1 台、2 台、3 台机器这三种工作方案中,哪种方案符 合要求,并说明理由. 【分析】 (Ⅰ)用 X 表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数,则 X 服从二项分布 B(4, ),由此能求出在同一时刻需用人操控的平均台数. (Ⅱ)设 X 表示 n 台机器在同一时刻需用人操控的台数,当 n=1 时,X 服从两点分布;当 n=2 时, P = (X) k=0, 1, 2; , 当 n=3 时, ,

k=0,1,2,3.由此得到一个工作人员操控 2 台机器符合要求.

【解答】解:(Ⅰ)用 X 表示四台机器在同一时刻需用人操控的台数, 则 X 服从二项分布: ∴在同一时刻需用人操控的平均台数 EX= ,k=0,1,2,3,4, =1.….(4 分)

(Ⅱ)设 X 表示 n 台机器在同一时刻需用人操控的台数. ①当 n=1 时,X 服从两点分布: X P 此时,一人操控 1 台机器,工作人员能够及时操控机器,不会出现机器等待操控的情形,但 工作人员待工而闲的概率为 >0.60.…(6 分) ②当 n=2 时,P(X)= P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)=( )2= 即 X 的分布列为: X P 此时,一人操控 2 台机器,在同一时刻需要操控 2 台机器的概率为 故一人操控的 2 台机器正常运行的概率为 的概率为( )2=0.526<0.60.….(8 分) ③当 n=3 时, P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=( )3= , = , = = , , ,k=0,1,2,3. , .工作人员待工而闲 0 1 2 = , = , , ,k=0,1,2. 0 1

即 X 的分布列为: X P 此时,一人操控 3 台机器,出现机器等待工作人员操控而不能正常运行的概率为: 3×( )2× +( )3= ,故一人操控的 3 台机器正常运行的概率为 . 工作人员待工而闲的概率为( )3= …(10 分) 综上所述,一个工作人员操控 2 台机器符合要求.….(12 分) 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用,是中档题,解题时要 认真审题,注意二项分布的性质的合理运用. =0.421875<0.60. 0 1 2 3

20.(12 分)(2016 邯郸一模)已知抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,直线 l 过点 F 交抛物线 C 于 A、B 两点.且以 AB 为直径的圆 M 与直线 y=﹣1 相切于点 N. (1)求 C 的方程; (2)若圆 M 与直线 x=﹣ 相切于点 Q,求直线 l 的方程和圆 M 的方程. 【分析】(1)利用梯形的中位线定理和抛物线的性质列出方程解出 p 即可; (2)设 l 斜率为 k,联立方程组解出 AB 的中点即 M 的坐标,根据切线的性质列方程解出 k 即可得出 l 的方程和圆的圆心与半径. 【解答】解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p, 又∵以 AB 为直径的圆 M 与直线 y=﹣1 相切, ∴|AB|=y1+y2+2,故 p=2, ∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. (2)设直线 l 的方程为 y=kx+1,代入 x2=4y 中, 化简整理得 x2﹣4kx﹣4=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=﹣4, ∴ ,

∴圆心的坐标为 M(2k,2k2+1),

∵圆 M 与直线 ∴|MQ|=|MN|, ∴ 此时直线 l 的方程为 圆心 ,半径

相切于点 Q,

,解得



,即 x﹣2y+2=0, , .

∴圆 M 的方程为

【点评】 本题考查了抛物线的性质, 直线与圆锥曲线的位置关系, 切线的性质, 属于中档题.

21.(12 分)(2016 邯郸一模)设函数 f(x)=(x+a)lnx+b,曲线 y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x+y﹣2=0 (1)求 y=f(x)的解析式; (2)证明: <1.

【分析】 (1)求函数的导数,根据导数的几何意义建立方程关系即可求 y=f(x)的解析式; (2)将不等式进行转化,构造函数,求函数的导数,利用导数研究函数的单调性和极值即 可证明: <1.

【解答】解:(1)因为

,所以 f′(1)=1+a=﹣1,所以 a=﹣2

又点(1,f(1))在切线 x+y﹣2=0 上,所以 1+b﹣2=0,所以 b=1 所以 y=f(x)的解析式为 f(x)=(x﹣2)lnx+1.….(4 分) (2)令 g(x)=x﹣ex,(x>0) 因为 g′(x)=1﹣ex 所以当 x>0 时,g′(x)<0 所以 g(x)在区间(0,+∞)内单调递减, 所以 g(x)<g(0)=﹣1<0 所以 等价于 f(x)﹣1>g(x).….(6 分)

我们如果能够证明 f(x)﹣1>﹣1,即 f(x)>0 即可证明目标成立. 下面证明:对任意 x∈(0,+∞),f(x)>0.

由(1)知 则

,令 ,所以 h(x)在(0,+∞)内单调递增,

又 h(1)=﹣1<0,h(2)=ln2>0,所以存在 x0∈(1,2)使得 h(x0)=0. 当 0<x<x0 时,h(x)<0 即 f′(x)<0,此时 f(x)单调递减; 当 x>x0 时,h(x)>0 即 f′(x)>0,此时 f(x)单调递增; 所以 f(x)≥f(x0)=(x0﹣2)lnx0+1.由 f′(x0)=0 得 所以 f(x)≥f(x0)=(x0﹣2)lnx0+1=(x0﹣2)( ,则 r′(x)=1﹣ = ﹣1)+1=5﹣(x0+ <0 ).



所以 r(x)在区间(1,2)内单调递减,所以 r(x)<r(1)=5 所以 f(x)>5﹣(x+ )>5﹣5=0. 综上,对任意 x∈(0,+∞), .….(12 分)

【点评】 本题主要考查导数的综合应用, 利用导数的几何意义以及构造函数是解决本题的关 键.综合性较强,难度较大.

选做题(请考生从 22,23,24 三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选題号后的方框涂黑) 22.(10 分)(2016 邯郸一模)如图,点 A、B、D、E 在⊙O 上,ED、AB 的延长线交于 点 C,AD、BE 交于点 F,AE=EB=BC. (1)证明: = ;

(2)若 DE=4,AD=8,求 DF 的长.

【分析】(1)证明∠BAD=∠EAD,即可证明:

=



(2)证明△EAD∽△FED,利用比例关系求 DF 的长. 【解答】(1)证明:∵EB=BC

∴∠C=∠BEC ∵∠BED=∠BAD ∴∠C=∠BED=∠BAD…(2 分) ∵∠EBA=∠C+∠BEC=2∠C,AE=EB ∴∠EAB=∠EBA=2∠C, 又∠C=∠BAD ∴∠EAD=∠C ∴∠BAD=∠EAD…(4 分) ∴ .…(5 分)

(2)解:由(1)知∠EAD=∠C=∠FED,又∠EDA=∠EDA ∴△EAD∽△FED…(8 分) ∴ 又∵DE=4,AD=8, ∴DF=2.…(10 分) 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质,考查等角对等弧,考查学生分析解决问题的能 力,属于中档题.

【选项 4-4:坐标系与参数方程】 23.(2016 邯郸一模)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 标系,已知曲线 C:ρsin2θ=2cosθ,过点 P(2,﹣1)的直线 l: 曲线 C 交于 M、N 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)求|PM|2+|PN|2 的值. 【分析】(1)由 ρsin2θ=2cosθ 得 ρ2sin2θ=2ρcosθ,把 ,代入即可得出直角坐 (t 为参数)与

标方程.根据

(t 为参数),消去 t 得普通方程.

(2)将直线 l 的参数方程化为

(t 为参数)代入 y2=2x 中,整理得

.由参数的几何意义,可知:|PM|2+|PN|2= 即可得出. 【解答】解:(1)由 ρsin2θ=2cosθ 得 ρ2sin2θ=2ρcosθ, ∵ ,∴y2=2x;

=

﹣4t1t2

根据

(t 为参数),消去 t 得,x﹣y﹣3=0,

故曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2=2x,x﹣y﹣3=0.

(2)将直线 l 的参数方程化为

(t 为参数)代入 y2=2x 中,

整理得



设 t1,t2 是该方程的两根,则



由参数的几何意义,可知



【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、参数方程化为普通方程、直线参数方程的应 用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

【选项 4-5:不等式选讲】 24.(2016 邯郸一模)已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|2x﹣1|. (1)当 a=2 时,求 f(x)+3≥0 的解集; (2)当 x∈[1,3]时,f(x)≤3 恒成立,求 a 的取值范围. 【分析】(1)问题转化为解关于 x 的不等式组,求出不等式的解集即可;(2)根据 x 的范 围,去掉绝对值号,从而求出 a 的范围即可. 【解答】解:(1)当 a=2 时,由 f(x)≥﹣3,可得|x﹣2|﹣|2x﹣1|≥﹣3, ① 或② 或③ ,

解①得

;解②得

;解③得 x=2,

综上所述,不等式的解集为{x|﹣4≤x≤2}; (2)若当 x∈[1,3]时,f(x)≤3 成立, 即|x﹣a|≤3+|2x﹣1|=2x+2, 故﹣2x﹣2≤x﹣a≤2x+2, 即:﹣3x﹣2≤﹣a≤x+2, ∴﹣x﹣2≤a≤3x+2 对 x∈[1,3]时成立, ∴a∈[﹣3,5]. 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想,是一道中档题.



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