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重庆市铜梁中学2014-2015学年高二上学期第三次月考数学试卷(理科)



重庆市铜梁中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个答案正确) 1. (5 分)直线 x+y﹣a=0 的倾斜角为() A.0 B.
2

C.

D.

2. (5 分)命题:“对任意 a>﹣2

,都有 a >4”的否定是() 2 2 A.对任意 a>﹣2,都有 a ≤4 B. 存在 a0>﹣2,使得 a0 ≤4 2 2 C. 对任意 a≤﹣2,都有 a ≤4 D.不存在 a0>﹣2,使得 a0 >4 3. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示(单位长度:cm) ,则此几何体的表面积是()

A.

B.21cm

2

C.

D.24cm

2

4. (5 分)和直线 3x﹣4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为() A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0
2 2

D.﹣3x+4y+5=0

5. (5 分)“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 6. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 7. (5 分)已知直线 3x+4y﹣5=0 与圆 O:x +y =4 相交于 A,B 两点,则△ OAB 面积为() A.3 B. 2 C. D.1
2 2

8. (5 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上,若 AA1⊥平面 A1B1C1,A1B1⊥B1C1,AA1=8,A1B1=6,A1C1=2 则球 O 的体积为()

A.

π

B.

π

C.360

π

D.

π

9. (5 分)已知点 P 是双曲线 曲线的左、右焦点,I 为△ PF1F2 的内心,若 线的离心率为() A.4 B. C. 2

右支上一点,F1、F2 分别是双 成立,则双曲

D.

10. (5 分)已知函数 f(x)= 范围为() A. C. (﹣ , )

﹣mx﹣3m 与 x 轴有两个不同交点,则实数 m 的取值

D.

19. (12 分)已知圆 C:x +y ﹣4x﹣6y+12=0,点 A(3,5) . (1)过点 A 作圆的切线,求切线的方程; (2)过点 A 作圆的切线,切点为 M,N,求过点 A,M,N 的圆的方程. 20. (12 分) 如图所示, 已知四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC, AB=AD=1,BC=2,PB⊥平面 ABCD,PB=1.

2

2

(1)求异面直线 PA 与 CD 所成角的大小; (2)求二面角 A﹣PD﹣B 的大小.

21. (13 分) (A 题)如图,在椭圆

+

=1(a>0)中,F1,F2 分别是椭圆的左右焦点,

B,D 分别为椭圆的左右顶点,A 为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线 AF1 交 y 轴于 点 E,且点 F1,F2 三等分线段 BD. (1)若四边形 EBCF2 为平行四边形,求点 C 的坐标; (2)设 m= ,n= ,求 m+n 的取值范围.

重庆市铜梁中学 2014-2015 学年高二上学期第三次月考 数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个答案正确) 1. (5 分)直线 x+y﹣a=0 的倾斜角为() A.0 B. C. D.

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 设直线 x+y﹣a=0 的倾斜角为 α,α∈

专题: 计算题. 分析: 三视图复原的组合体是下部是正方体,上部是四棱锥,根据三视图数据,求出表面 积即可. 解答: 解:三视图复原的组合体是下部是棱长为 2 的正方体,上部是底面边长问 的正方 形,高为 1 的四棱锥, 组合体的表面积为: =

故选 A. 点评: 本题考查由三视图求表面积,考查计算能力,空间想象能力,是基础题. 4. (5 分)和直线 3x﹣4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的方程为() A.3x+4y﹣5=0 B.3x+4y+5=0 C.﹣3x+4y﹣5=0

D.﹣3x+4y+5=0

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 分析: 求出和直线 3x﹣4y+5=0 关于 x 轴对称的直线的斜率, 再求出直线 3x﹣4y+5=0 和 x 轴的交点,可求答案. 解答: 解:和直线 3x﹣4y+5=0 关于 x 轴对称的直线,其斜率与直线 3x﹣4y+5=0 的斜率 相反, 设所求直线为 3x+4y+b=0,两直线在 x 轴截距相等,所以所求直线是 3x+4y+5=0. 故选 B. 点评: 本题是直线的对称问题,一般要用垂直平分解答;本题方法较多,由于对称轴是坐 标轴,所以借助斜率,比较简单. 5. (5 分)“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 考点: 直线与圆的位置关系;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 2 2 分析: 直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切,求出 a 和 b 的关系结合条件 a=b, 判断充要条件关系. 解答: 解:若 a=b,则直线与圆心的距离为 ∴y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切 若 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切,则 ∴a﹣b=0 或 a﹣b=﹣4 2 2 故“a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x﹣a) +(y﹣b) =2 相切”的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,充要条件的判定,是有点难度的基础题. 6. (5 分)设 α,β 是两个不同的平面,l 是一条直线,以下命题正确的是() A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β B. 若 l∥α,α∥β,则 l?β C. 若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β
2 2 2 2 2 2

等于半径,

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系, 逐一分析四个答案中的结论, 发 现 A,B,D 中由条件均可能得到 l∥β,即 A,B,D 三个答案均错误,只有 C 满足平面平 行的性质,分析后不难得出答案. 解答: 解:若 l⊥α,α⊥β,则 l?β 或 l∥β,故 A 错误; 若 l∥α,α∥β,则 l?β 或 l∥β,故 B 错误; 若 l⊥α,α∥β,由平面平行的性质,我们可得 l⊥β,故 C 正确; 若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β 或 l∥β,故 D 错误; 故选 C 点评: 判断或证明线面平行的常用方法有:①利用线面平行的定义(无公共点) ;②利 用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ;③利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α,a?,a∥α??a∥β) .线线垂直可由线 面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂 直的重要依据.垂直问题的证明, 其一般规律是“由已知想性质, 由求证想判定”, 也就是说, 根据已知条件去思考有关的性质定理; 根据要求证的结论去思考有关的判定定理, 往往需要 将分析与综合的思路结合起来. 7. (5 分)已知直线 3x+4y﹣5=0 与圆 O:x +y =4 相交于 A,B 两点,则△ OAB 面积为() A.3 B. 2 C. D.1 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 求得圆心到直线的距离为 d=1,半径为 2,利用直角三角形中的边角关系求得 ∠AOB=120°,从而求得△ OAB 面积为 ?OA?OB?sin∠AOB 的值. =1,半径为 2,
2 2

解答: 解:圆心(0,0)到直线 3x+4y﹣5=0 的距离为 d= 故 cos = = ,∴ =60°,∴∠AOB=120°, = ,

故△ OAB 面积为

?OA?OB?sin∠AOB= ×2×2×

故选:C. 点评: 本题主要考查直线和圆相交的性质, 点到直线的距离公式, 直角三角形中的边角关 系,属于基础题. 8. (5 分)如图,已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的六个顶点都在球 O 的球面上,若 AA1⊥平面 A1B1C1,A1B1⊥B1C1,AA1=8,A1B1=6,A1C1=2 则球 O 的体积为()

A.

π

B.

π

C.360

π

D.

π

考点: 球内接多面体;球的体积和表面积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 通过球的内接体,将三棱柱 ABC﹣A1B1C1 还原成长方体,球的直径是其对角线的 长,求出球的半径,即可求出球 O 的体积. 解答: 解: 由题意, 三棱柱的底面是直角三角形, 侧棱与底面垂直, 将三棱柱 ABC﹣A1B1C1 还原成长方体,球的直径是其对角线的长, 因为 AA1=8,A1B1=6,A1C1=2 所以球的半径为:5 , 所以球 O 的体积为 ,所以球的直径是 =10

=



故选 D. 点评: 本题考查球的内接体与球的关系,球的半径的求解,考查球 O 的体积,考查计算 能力,确定球的半径是关键.

9. (5 分)已知点 P 是双曲线 曲线的左、右焦点,I 为△ PF1F2 的内心,若 线的离心率为() A.4 B. C. 2

右支上一点,F1、F2 分别是双 成立,则双曲

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 设圆 I 与△ PF1F2 的三边 F1F2、PF1、PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 可得△ IF1F2,△ IPF1,△ IPF2 可看作三个高相等且均为圆 I 半径 r 的三角形.利用三角形面 积公式,代入已知式 ,化简可得|PF1|﹣|PF2|= ,

再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率. 解答: 解:如图,设圆 I 与△ PF1F2 的三边 F1F2、PF1、PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 则 IE ⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,它们分别是△ IF1F2,△ IPF1,△ IPF2 的高,



, ,其中 r 是△ PF1F2 的内切圆的半径.

∵ ∴ = +

两边约去 得:|PF1|=|PF2|+ ∴|PF1|﹣|PF2|= 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a, ∴2a=c?离心率为 e= 故选 C =c

点评: 本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中, 用来求双曲线的离心率, 着重考查了双 曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点,属于中档题. 10. (5 分)已知函数 f(x)= 范围为() A. C. (﹣ , ) D. ﹣mx﹣3m 与 x 轴有两个不同交点,则实数 m 的取值

考点: 直线与圆相交的性质;命题的真假判断与应用. 专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: A、B、C 用圆心到直线的距离与半径的关系说明;D、M 中的边能组成两类大小 不同的正三角形 解答: 解:因为 xcosθ+(y﹣2)sinθ=1 所以点 P(0,2)到 M 中每条直线的距离

即 M 为圆 C:x +(y﹣2) =1 的全体切线组成的集合, 所以存在圆心在(0,2) , 半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交, 也存在圆心在(0,2) , 小于 1 的圆与 M 中所有直线均不相交, 也存在圆心在(0,2) ,半径等于 1 的圆与 M 中所有直线相切, 故 ABC 正确, 因为 M 中的直线与 以(0,2)为圆心,半径为 1 的圆相切,所以 M 中的直线所能围成的正 三角形面积不都相等.如图△ ABC 与△ ADE 均为等边三角形而面积不等. 故 D 错误, 故答案为:ABC.

2

2

点评: 本题通过逻辑语言来考查直线与圆的位置关系. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (13 分) (1) 求经过点(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程; (2)求过直线 x﹣2y﹣3=0 与 2x﹣3y﹣2=0 的交点,且与 7x+5y+1=0 垂直的直线方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的截距式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)当直线过原点时,直线的方程为 式为 x+y=a,把点(2,3)代入即可得出. (2)法一:由 得交点为(﹣5,﹣4) .由所求直线与 7x+5y+1=0 垂直,可 .当直线不过原点时,设直线的截距

得所求直线斜率

,利用点斜式即可得出;

法二:利用“直线系”由所求直线过直线 x﹣2y﹣3=0 与 2x﹣3y﹣2=0 的交点,可设所求直线 为 x﹣2y﹣3+λ(2x﹣3y﹣2)=0,即(2λ+1)x﹣(3λ+2)y﹣(2λ+3)=0, 又∵所求直线与 7x+5y+1=0 垂直,利用斜率之间的关系可得 解答: 解: (1)当直线过原点时,直线的方程为 当直线不过原点时,设直线的截距式为 x+y=a, 把点(2,3)代入可得 a=5. 综上可得:直线的方程为:3x﹣2y=0 或 x+y=5. . ,解出即可.

(2)法一:由



,交点为(﹣5,﹣4) .

又∵所求直线与 7x+5y+1=0 垂直, ∴所求直线斜率 , ,

∴所求的直线方程为

化为 2x﹣7y﹣3=0. 故所求直线方程为 5x﹣7y﹣3=0. 法二: 由所求直线过直线 x﹣2y﹣3=0 与 2x﹣3y﹣2=0 的交点,可设所求直线为 x﹣2y﹣3+λ(2x ﹣3y﹣2)=0, 即(2λ+1)x﹣(3λ+2)y﹣(2λ+3)=0, 又∵所求直线与 7x+5y+1=0 垂直,∴ ,即 λ=﹣3.

故所求直线方程为 5x﹣7y﹣3=0. 点评: 本题考查了直线的截距式、直线的交点、直线系的应用、相互垂直的直线斜率之间 的关系、分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. 17. (13 分)设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 . (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若?p 是?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 本题(1)根据条件 a=1 化简命题 p、q,利用 p ∧q 为真得到命题 p、q 均为真,从 而求出 x 的取值范围,得到本题结论; (2)根据条件?p 是?q 的充分不必要条件,得到命题 p、q 的逻辑关系,从而得到参数 a 的关系式,解不等式,求出 a 的取值范围,得到本题结 论. 解答: 解: (1)当 a=1 时, 2 2 ∵命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0, 2 ∴x ﹣4x+3<0, ∴1<x<3. ∵命题 q:实数 x 满足 .
2 2

∴ ∴2<x≤3.



∵p∧q 为真, ∴2<x<3. 故实数 x 的取值范围为(2,3) . (2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件, ∴¬p?¬q,即 q?p. ∵命题 q:x 满足 2<x≤3, 命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a>0, 2 2 ∴记 f(x)=x ﹣4ax+3a , ,
2 2









∴ ≤a<3. ∴实数 a 的取值范围 20. (12 分) 如图所示, 已知四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是直角梯形, AD∥BC, AB⊥BC, AB=AD=1,BC=2,PB⊥平面 ABCD,PB=1. (1)求异面直线 PA 与 CD 所成角的大小; (2)求二面角 A﹣PD﹣B 的大小.

考点: 二面角的平面角及求法;异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: (1)取 BC 中点 F,连结 AF 交 BD 于 E,连结 PF,∠FAP 是异面直线 PA 与 CD 所成的角,由此能求出异面直线 PA 与 CD 所成角. (2)连结 AF,交 BD 于 E,过 E 作 EG⊥PD 于 G,连结 AG,由已知得∠AGE 为二面角 A ﹣PD﹣B 的平面角,由此能求出二面角 A﹣PD﹣B 的大小. 解答: 解: (1)取 BC 中点 F,连结 AF 交 BD 于 E,连结 PF, 在梯形 ABCD 中,AF∥CD, ∴∠FAP 是异面直线 PA 与 CD 所成的角, 在△ PFA 中,AF= ,PF= ,PA= ,



, .

∴异面直线 PA 与 CD 所成角为

(2)连结 AF,交 BD 于 E,过 E 作 EG⊥PD 于 G,连结 AG, ∵PB⊥平面 ABCD,∴平面 PBD⊥平面 ABCD, 在菱形 ABFD 中,AE⊥BD,则 AE⊥平面 PBD, ∵EG⊥PD,∴AG⊥PD, ∴∠AGE 为二面角 A﹣PD﹣B 的平面角, 在△ AGE 中,AE= ∴tan∠AGE= ∴ , . = ,EG= , ,

∴二面角 A﹣PD﹣B 的大小为

点评: 本题考查异面直线所成角的大小的求法,考查二面角的大小的求法,是中档题,解 题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

21. (13 分) (A 题)如图,在椭圆

+

=1(a>0)中,F1,F2 分别是椭圆的左右焦点,

B,D 分别为椭圆的左右顶点,A 为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线 AF1 交 y 轴于 点 E,且点 F1,F2 三等分线段 BD. (1)若四边形 EBCF2 为平行四边形,求点 C 的坐标; (2)设 m= ,n= ,求 m+n 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;平行向量与共线向量. 专题: 综合题;函数思想;圆锥曲线的定义、性质 与方程. 分析: (1)由 F1,F2 三等分线段 BD,得|F1F2|= |BD|,即 2c=
2

①,又 a =b +c ②,

2

2

2

b =8③,联立方程组即可求得 a,c 值,从而可得 F1 坐标为(﹣1,0) ,由四边形 EBCF2 为平行四边形及 F1 为 BF2 的中点,知 F1 为 CE 中点,即 C、E 关于点 F1 对称,设 C(x0, y0) ,则 E(﹣2﹣x0,﹣y0) ,根据 C 在椭圆上及 E 在 y 轴上可得关于 x0 的方程组,由此可 求得 C 点坐标;

(2) 易知直线 AC 存在斜率, 设直线 AC: y=k (x+1) , A (x1, y1) , C (x2, y2) , 由



得(8+9k )x +18k x+9(k ﹣8)=0,

2

2

2

2





则 m+n=

+

=

+

=

+

,利用弦长公式及韦

达定理可把 m+n 表示为关于 k 的函数,由点 A 在第一象限可求得 k 的取值范围,根据 k 的 范围即可求得 m+n 的取值范围; 解答: 解: (1) 因为 F1, F2 三等分线段 BD, 所以|F1F2|= |BD|, 即 2c= 又 a =b +c ②,b =8③,联立①②③解得 a=3,c=1, 所以 B(﹣3,0) ,F1(﹣1,0) ,F1 为 BF2 的中点, 因为四边形 EBCF2 为平行四边形,所以 C,E 关于 F1(﹣1,0)对称, 设 C(x0,y0) ,则 E(﹣2﹣x0,﹣y0) , 因为 E 在 y 轴上,所以﹣2﹣x0=0,解得 x0=﹣2, 又因为点 C(x0,y0)在椭圆上,所以 ,
2 2 2 2

, 所以 a=3c①,

又 x0=﹣2,所以

,解得 y0=± ) ;

,依题意



因此点 C 的坐标为(﹣2,﹣

(2)依题意直线 AC 的斜率存在,所以可设直线 AC:y=k(x+1) ,A(x1,y1) ,C(x2, y2) , 由 ,得(8+9k )x +18k x+9(k ﹣8)=0,
2 2 2 2





所以 m=

=

=

=

=

=

,其中 h 为

点 O 到 AE 的距离,

n=

=

=

=

=

=

=



m+n=

+

=

=



=2+

=2+

=2+

=2﹣

=﹣



因为点 A 在第一象限,所以 0<k<2 令 t=﹣ ,则

,即 0<k <8, <8,即 0< < ,解得 t>2,

2

,所以 0<8﹣

故 m+n 的取值范围是 t>2. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解,考查函数思想,考查学生 综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,解决(2)问的关键是把 m+n 表示为关于直线 AC 斜率 k 的函数,体现函数思想.



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