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函数与导数压轴题 二轮专用


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函数与导数第一轮补充练习
函数与导数相结合压轴题精选(一)
1、设 x1 、 x2 是函数 f ( x) ?

a 3 b 2 x ? x ? a 2 x(a ? 0) 的两个极值点,且 | x1 | ? | x2 |? 2 . 3 2

(1)证明: 0 ? a ? 1 ;

(2)证明: | b |?

4 3 ; 9

(3)若函数 h( x) ? f ?( x) ? 2a( x ? x1 ) ,证明:当 x1 ? x ? 2 且 x1 ? 0 时, | h( x) |? 4a 解:(1) f ?( x) ? ax 2 ? bx ? a 2 . ∵ x1 , x 2 是 f (x) 的两个极值点, ∴ x1 , x 2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根. ∵ a ? 0,? x1 x2 ? ?a ? 0, x1 ? x2 ? ? ∴ | x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? 1分 2分

b . a

b2 a2

? 4a .

3分

∵ | x1 | ? | x 2 |? 2,?

b2 a
2

? 4a ? 4, 即b 2 ? 4a 2 ? 4a 3 .

4分

∵ b 2 ? 0,?0 ? a ? 1. (2)设 g (a) ? 4a 2 ? 4a 3 ,则 g ?(a) ? 8a ? 12a 2 ? 4a(2 ? 3a) .

5分 6分 8分

2 2 , g ?(a) ? 0 ? ? a ? 1, 3 3 2 2 得 g (a) 在区间 (0, ) 上是增函数,在区间 ( ,1 ]上是减函数, 3 3 2 16 ∴ g (a) max ? g ( ) ? . 3 27 4 3 ∴ | b |? . 9
由 g ?(a) ? 0 ? 0 ? a ? (3)∵ x1 , x 2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个实数根,

9分 10 分

? f ?( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) . ? h( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 2a( x ? x1 ) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ? 2) .

11 分

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? h( x) |? a | x ? x1 |? x ? x1 || x ? x2 ? 2 |? a( |
? x ? x1 ,? x ? x1 |? x ? x1 . |
又 x1 ? 0, x1 x2 ? 0,? x2 ? 0.? x2 ? 2 ? 2 .

| x ? x1 | ? | x ? x2 ? 2 | 2 ) . 12 分 2

| ∵ x ? 2,? x ? x2 ? 2 ? 0.? x ? x2 ? 2 |? x2 ? 2 ? x .
∴ | x ? x1 | ? | x ? x2 ? 2 |? x2 ? x1 ? 2 ? 4 . ∴ | h( x) |? 4a . 2、已知函数 f ( x) ? 14 分

1 3 1 x ? (b ? 1) x 2 ? cx (b, c为常数 ) . 3 2

(Ⅰ)若 f ( x)在x ? 1和x ? 3 处取得极值,试求 b、c 的值; (Ⅱ)若 f ( x)在(??, x1 ), ( x2 ,??) 上单调递增且在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,又满足 x2 ? x1 ? 1, 求证:

b 2 ? 2(b ? 2c);
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 t ? x1 , 试比较t 2 ? bt ? c与x1 的大小,并加以证明. 解:(Ⅰ) f ?( x) ? x 2 ? (b ? 1) x ? c ,由题意得,1 和 3 是方程 x 2 ? (b ? 1) x ? c =0 的两根,

?1 ? b ? 1 ? 3, ∴? ?c ? 1 ? 3,

?b ? ?3, 解得? ?c ? 3.

…………4 分

(Ⅱ)由题得,当 x ? (??, x1 ), ( x2 ,??)时, f ?( x) ? 0; x ? ( x1 , x2 )时, f ?( x) ? 0 ∴ x1 , x2是方程f ?( x) ? x ? (b ? 1) x ? c 的两根,
2

则 x1 ? x2 ? 1 ? b, x1 x2 ? c
2 2

… 6分
2

∴ b ? 2(b ? 2c) ? b ? 2b ? 4c ? (b ? 1) ? 4c ? 1

? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? 1 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 1
∴ ( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0,
2

? x2 ? x1 ? 1,
…………9 分

∴ b ? 2(b ? 2c)
2 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, x ? (b ? 1) x ? c ? ( x ? x1 )(x ? x2 ), 即 x ? bx ? c ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? x
2 2

…………12 分

所以, t ? bx ? c ? x1 ? (t ? x1 )(t ? x2 ) ? t ? x1 ? (t ? x1 )(t ? 1 ? x2 ) ,

? x2 ? 1 ? x1 ? 1 ? t ,

∴ t ? 1 ? x2 ? 0, 又0 ? t ? x1 ,
2

∴ t ? x1 ? 0

∴ (t ? x1 )(t ? 1 ? x2 ) ? 0,

即 t ? bx ? c ? x1 . …………14 分

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3、已知函数 f ( x) ? a ?

1 . |x|

(1)求证:函数 y ? f ( x)在(0,??) 上是增函数. (2)若 f ( x) ? 2 x在(1,??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围. (3)若函数 y ? f ( x)在[m, n] 上的值域是 [m, n](m ? n) ,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 x ? (0,?? )时, f ( x) ? a ? (2) a ?

1 . 用定义或导数证明单调性均可…………3 分 x

1 ? 2 x在(1,?? ) 上恒成立. x 1 则a ? h( x)在(1,?? ) 上恒成立. 设 h( x ) ? 2 x ? x
可证 h( x)在(1,??) 单调增……………5 分 故 a ? h(1)即a ? 3

? a 的取值范围为 (??,3] …………6 分
(3)? f (x) 的定义域为 {x | x ? 0, x ? R}

? mn ? 0 …………7 分

当 n ? m ? 0时,由(1)知f ( x)在(0,??) 上单调增 ? m ? f (m), n ? f (n) 故 x ? ax ? 1 ? 0 有两个不相等的正根 m,n,
2

?a ? 0 ?? ?? ? 0

? a ? 2 ………………9 分

当 m ? n ? 0 时,可证 f ( x)在(??,0) 上是减函数.

? m ? f (n), n ? f (m)

而m ? n, 故mn ? 1

此时a ? 0 …………11 分

综上所述,a 的取值范围为 {0} ? (2,??) …………12 分 4、已知二次函数 f (x) 满足:①在 x ? 1 时有极值;②图像过点 ( 0 , ?3 ) ,且在该点处的切线与直线 2 x ? y ? 0 平行。 (1)求 f (x) 的解析式; (2)求函数 g ( x) (3)若曲线

? f ( xe x ), x ? ?0,1?的值域;
a

y ? f (e x ) 上任意两点的连线的斜率恒大于 a ? 1 ,求 a 的取值范围。

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(1)设f ( x) ? ax2 ? bx ? c, (a ? 0) ? f (0) ? ?3 ? c ? ?3?????1分 ? f ?( x) ? 2ax ? b ? 在x ? 1处有极值? f ?(1) ? 0即2a ? b ? 0 ? 在点(0,?3)出的切线平行于 x ? y ? 0 2 ? f ?(0) ? ?2即b ? ?2故a ? 1 ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3????? 4分

(2)设u ? xe x 则u ? ? e x ? xe x ? e x ( x ? 1),?????5分 ? 0 ? x ? 1时u ? ? 0 ? u ( x)为?0,上的增函数? 0 ? u ? e,????? 7分 1? ? f (u ) ? (u ? 1) 2 ? 4,? g ( x)的值域是 ? 4,e 2 ? 2e ? 3 ?????8分 1 1 1 已 (3)设h( x) ? f (e x ) ? (e x ) 2 ? 2e x ? 3 ? h?( x) ? 2e x (e x ? 2) ? 2(e x ? ) 2 ? ? ? ??9分 5、 2 2 2 又 ? x ? ln 2时h?( x) ? 0, h( x)为减函数,x〉 2时h?( x) ? 0, h( x)为增函数?????10分 ln 1 ?曲线y ? f (e x )上任意两点的连线的斜 率恒大于 ? ?????11分 2 2 1 1 2a ? a ? 2 解不等式 ? ? a ? 得 ? 0,? a ? 0?????12分 2 a a
知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

?

?

1 2 x ? a(a 为常数),直线 l 与函数 f (x) 、 g (x) 的图象都相切,且 l 与函数 f (x) 2

图象的切点的横坐标为 1. (1)求直线 l 的方程及 a 的值; (2)若 h( x) ? f ( x ? 1) ? g′ (x ) [注:g′ (x ) 是 g (x ) 的导函数],求函数 h(x) 的单调递增区间; (3)当 k ? R 时,试讨论方程 f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? k 的解的个数.

解:(1)由 f ?( x) | x?1 ? 1 , 故直线 l 的斜率为 1,切点为(1, f (1) ),即(1,0), ∴直线 l 的方程为 y ? x ? 1 . 直线 l 与 y ? g (x) 的图象相切,等价于方程组 2分

? y ? x ? 1, ? 只有一解, ? 1 2 ?y ? 2 x ? a ?

1 2 x ? x ? (1 ? a) ? 0 的两个相等实根, 2 1 1 ∴ ? ? 1 ? 4 ? (1 ? a) ? 0 ,∴ a ? ? . 2 2 (2)∵ h( x) ? ln(x ? 1) ? x( x ? ?1) ,
即方程 由 h?( x) ?

1 x , ?1 ? ? x ?1 x ?1

7分

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1 ? 0, ∴ ? 1 ? x ? 0 ,∴当 x ? (?1,0) 时, f (x) 是增函数, x ?1 即 f (x) 的单调递增区间为( ?1,0) 9分 h?( x) ? 0,
(3)令 y1 ? f (1 ? x 2 ) ? g ( x) ? ln(1 ? x 2 ) ?

1 2 1 x ? , y2 ? k . 2 2

? 由 y1 ?

2x x ? x 3 x(1 ? x)( x ? 1) ?x? ? , 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2
11 分

? 令 y1 ? 0 ,则 x ? 0 , ?1,1. ? 当 x 变化时, y1 ? 0, y1 的变化关系如下表:

x
y?

( ? ?,?1 ) +

-1 0 极大 值

(-1, 0) -

0 0 极小

(0,1) +

1 0 极大值

(1, ?? ) -

y

ln 2 1 1 又 y1 ? ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 为偶函数, 2 2 1 1 据此可画出 y1 ? ln(1 ? x 2 ) ? x 2 ? 的示意图如右图: 2 2

1 值 2

ln 2

当 k ? (ln 2,?? ) 时,方程无解; 当 k ? ln 2 或 k ? (??, ) 时,方程有两解;

1 2

1 时,方程有三解; 2 1 当 k ? ( , ln 2) 时,方程有四解. 2
当k ?

14 分

6、已知 b> ?1 ,c>0,函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x2 ? bx ? c 的图像相切. (Ⅰ)设 b ? ? (c) ,求 ? (c) ; (Ⅱ)设 D( x) ?
g ( x) (其中 x> ?b )在 [?1, ??) 上是增函数,求 c 的最小值; f ( x)

(Ⅲ)是否存在常数 c,使得函数 H ( x) ? f ( x) g ( x) 在 (??, ??) 内有极值点?若存在,求出

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c 的取值范围;若不存在,请说明理由. (Ⅰ)【方法一】由 f ( x) ? g ( x) ? x2 ? (b ?1) x ? c ? b ? 0 , 依题设可知, ? ? (b ? 1)2 ? 4c ? 0 . ∵b> ?1 ,c>0, ∴ b ? 1 ? 2 c ,即 b ? ? (c) ? 2 c ?1 . 【方法二】依题设可知 f ?( x) ? g ?( x) ,即 2 x ? b ? 1 ,
1? b 为切点横坐标, 2 1? b 1? b ) ? g( ) ,化简得 (b ? 1)2 ? 4c . 于是 f ( 2 2

∴x?

同法一得 b ? ? (c) ? 2 c ?1 . (Ⅱ)依题设 D( x) ?
x 2 ? bx ? c c ? x? , x?b x?b

∴ D?( x) ? 1 ?

c c c ? (1 ? )(1 ? ). 2 ( x ? b) x?b x ?b

∵ D ( x) 在 [?1, ??) 上是增函数, ∴ (1 ?
c c )(1 ? ) ≥0 在 [?1, ??) 上恒成立, x?b x?b c ≥0 在 [?1, ??) 上恒成立, x?b

又 x> ?b ,c>0,∴上式等价于 1 ?

即 c ≤ x ? b ,而由(Ⅰ)可知 c ≤ x ? 2 c ?1 , ∴ c ≥1 ? x . 又函数 1 ? x 在 [?1, ??) 上的最大值为 2, ∴ c ≥2,解得 c≥4,即 c 的最小值为 4. (Ⅲ)由 H ( x) ? ( x ? b)( x2 ? bx ? c) ? x3 ? 2bx2 ? (b2 ? c) x ? bc , 可得 H ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? (b2 ? c) . 令 3x2 ? 4bx ? (b2 ? c) ? 0 ,依题设欲使函数 H ( x ) 在 (??, ??) 内有极值点, 则须满足 ? ? 4(b2 ? 3c) ? 4(c ? 4 c ? 1) >0,

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亦即 c ? 4 c ? 1>0,解得 c < 2 ? 3 或 c > 2 ? 3 , 又 c>0,∴0<c< 7 ? 4 3 或 c> 7 ? 4 3 . 故存在常数 c? (0,7 ? 4 3) ? (7 ? 4 3, ??) ,使得函数 H ( x ) 在 (??, ??) 内有极值点.(注: 若△≥0,则应扣 1 分.)
7、已知 m ? R ,研究函数 f ( x) ?

m x2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6 的单调区间 ex

解:

[2mx ? 3(m ? 1)]e x ? [mx2 ? 3(m ? 1) x ? 3m ? 6]e 2 f ?( x) ? (e x ) 2
=

? m x2 ? (m ? 3) x ? 3 .……………………3 分 ex

记 g ( x)

? ?mx2 ? (m ? 3) x ? 3,? e x ? 0.? 只需讨论 g (x) 的正负即可.
? ?3x ? 3.

(1)当 m ? 0时, g ( x) 当 g ( x)

? 0时, x ? ?1, f ?( x) ? 0;当g ( x) ? 0时, x ? ?1, f ?( x) ? 0.

?当m ? 0时, f ( x)的增区间为 ??,?1),减区间为 ?1,??). …………5 分 ( (
(2)当 m

3 , x 2 ? ?1 , m 3 ,?? )上, g ( x) ? 0, 即f ?( x) ? 0. ①当 m ? 0时, x1 ? x 2 , 在区间 ( ?? ,?1), (? m ? 0时, g ( x) ? 0有两个根 ; x1 ? ?

? f (x) 在此区间上是增函数;
在区间 ( ?1,?

3 )上, g ( x) ? 0, 即f ?( x) ? 0. m

? f (x) 在此区间上是减函数;……………………7 分
②当 0 ?

m ? 3时, x1 ? x2 , 在区间 (?? ,?

3 ), (?1,?? )上, g ( x) ? 0,即f ?( x) ? 0. m

? f (x) 在此区间上是减函数;在区间 (?

3 ,?1)上, g ( x) ? 0, 即f ?( x) ? 0. m

? f (x) 在此区间上是增函数;………………9 分
当 m ? 3时, x1

? x2 , 在区间(??,?1), (?1,??)上, g ( x) ? 0,即f ?( x) ? 0.

? f ( x)在x ? ?1 处连续, ? f (x) 在 (??,??) 上是减函数;…………11 分
④当 m

? 3时, x1 ? x2 ,在区间 (?? ,?1), (?

3 ,?? )上, g ( x) ? 0, 即f ?( x) ? 0. m

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? f (x) 在此区间上是减函数;
3 )上, g ( x) ? 0, 即f ?( x) ? 0, ? f (x) 在此区间上是增函数.……13 分 m 8、设函数 y ? f ( x) ? x( x ? a)(x ? b)(a 、 b ? R). (Ⅰ) a ? b, ab ? 0 , 若 过两点 (0, 、 a , 的中点作与 x 轴垂直的直线, 0) ( 0) 此直线与函数 y ? f (x) 的图象交于点 P( x0 , f ( x0 )) ,求证:函数 y ? f (x) 在点 P 处的切 线过点( b ,0)
在区间 ( ?1,?

(Ⅱ)若 a ? b(a ? 0 ),且当 x ? [0, | a | ?1] 时 f ( x) ? 2a 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2 解(Ⅰ)由已知 P( a , a (b ? a )),…………1 分 2 4 2

y? ? 3x 2 ? (2a ? 2b) x ? ab, …………3 分
2 所求,所求切线斜率为 3( a ) 2 ? (2a ? 2b) ? a ? ab ? ? a , …………4 分 2 2 4
2 2 切线方程为 y ? a (b ? a ) ? ? a ( x ? a ), 令y ? 0, 解得x ? b, 4 2 4 2

所以,函数 y=f (x)过点 P 的切线过点(b,0)…………5 分 (II)因为 a ? b ,所以 y ? f ( x) ? x( x ? a) 2 ,
a y ? ? 3x 2 ? 4ax ? a 2 ? 3( x ? a)( x ? ), …………………………6 分 3

当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x)在(?? , a ) 上单调递增,在(
3

a , a )单调递减, 3

在 (a,??) 上单调递增.…………………………7 分
? a 2 所以,根据题意有 ? f ( 3 ) ? 2a , …………………8 分 ? ? f (a ? 1) ? 2a 2 , ?

?4 3 2 ? a ? 2a , 即 ? 27 ?a ? 1 ? 2 a 2 , ?

27 1 27 或a ? ? ,结合 a ? 0 ,所以 1 ? a ? …………9 分 2 2 2 a 当 a ? 0 时,函数 y ? f ( x )在( ,?? ) 单调递增.………………10 分 3
解之得 1 ? a ? 所以,根据题意有 f (1 ? a) ? 2a , ……………………11 分
2

即 (1 ? a)(1 ? a ? a) ? 2a , 整理得 4a ? 6a ? 5a ? 1 ? 0,
2 2 3 2

因为 a ? 0 ,所以上述不等式无解,……………………13 分

27 . 2 2 9、已知函数 f ( x) ? x ? a ln x 在(1,2 ] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (1)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (2)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解;
综上, 1 ? a ?

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(3)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ? 解(1)? f ?( x) ? 2 x ? 又∵ g ?( x) ? 1 ?

1 在 x ∈(0,1 ] 内恒成立,求 b 的取值范围 x2

a , 依题意 f ?( x) ? 0( x ? (1,2],? a ? 2 x 2 ,? a ? 2. (1 分) x
,依题意 g ?( x) ? 0( x ? (0,1),? a ? 2 x ,? a ? 2. (2 分)

a 2 x

? a ? 2, (3分)

? f ( x) ? x 2 ? 2 ln x, g ( x) ? x ? 2 x. (5 分)

(2)由(1)可知,原方程为 x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2,即x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0. 设 h( x) ? x ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2,由h?( x) ? 2 x ?
2

2 1 ?1? , (6 分) x x

令 h?( x) ? 0,? x ? 0,? ( x ? 1)(2x x ? 2x ? 令 h?( x) ? 0,? x ? 0, 解得0 ? x ? 1. (8 分) 由

x ? 2) ? 0,? x ? 1. (7 分)

x
h ?(x)
h(x)

(0,1) - 递减

1 0 0

(1,+∞) + 递增

即 h(x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0,即当 x ? 0且x ? 1时, h(x) >0,? h( x) ? 0 只有一个解. 即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解.(10 分) (3)? f ?( x) ? 2 x ? 2 ? 2( x ? 1)( x ? 1) ,?当 x ? (0,1] 时 f (x) 为减函数,其最小值为 1.(12 分)
x x

令 y ? 2bx ?

1 2 , 则y ? ? 2b ? 3 ,? b ? ?1, x ? (0,1] ? y ? ? 0在(0,1] 恒成立 2 x x 1 在 x ? (0,1] 为增函数,其最大值为 2b-1,(14 分) x2

∴函数 y ? 2bx ? 依题意 ?

?b ? ?1 ,解得 ? 1 ? b ? 1. 为所求范围.(16 分) ?2b ? 1 ? 1

3 2 10、函数 y ? ?2 x ? 3(1 ? 2a) x ? 12ax ? 1 在 x ? ? 处取极小值, x ? ? 处取极大值,且

?2 ? ? .
(Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数的极大值与极小值的和. 解:(I) y? ? ?6x ? 6(1 ? 2a) x ? 12a ? ?6( x ? 1)(x ? 2a) …………2 分
2

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由 y ? =0,得 x ? 1, 或x ? ?2a ………………3 分 ①若 ? ? 1, ? ? ?2a, 则1 ? ?2a, a ? ?
2

1 2

此时, y? ? ?6( x ? 1) 2 ? 0 ,不存在极值;…………5 分 ②若 ? ? ?2a, ? ? 1, 则(?2a) ? 1, 得a ?
2

1 1 , 或a ? ? (舍) 2 2

当a ?

1 时, x ? (?? ,?1), y ? 0; x ? (?1,1), y ? ? 0; x ? (1,?? ), 2 1 y ? ? 0 满足题设条件 综合①②, a ? ………………7 分 2

函数与导数相结合压轴题精选(二)

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11、已知 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为连续、可导函数,如果 f (x) 既有极大值 M,又有极小值 N,求证: M ? N . 证明:由题设有 f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ? 3a( x ? x1 )(x ? x2 ), 不仿设 x1 ? x 2 , 则由 a ? 0知 : 当x ? (??, x1 )时f ?( x) ? 0,当x ? ( x1 , x2 )时f ?( x) ? 0,当x ? ( x2 ,??)时

f ?( x) ? 0, 故f ( x)在x1 处取极大值,在 x2 处取极小值,
3 3 2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? b( x12 ? x2 ) ? c( x1 ? x2 )

? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) 2 ? ax1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? c]
? ( x1 ? x 2 )[a ? (? ? ( x1 ? x 2 )[?
2

2b c ? 2b )2 ? a ? ?b? ? c] 3a 3a 3a

2 2 (b ? 3ac)] 9a

由方程 3ax ? 2bx ? c ? 0 有两个相异根,有 ? ? (2b) 2 ? 12ac ? 4(b 2 ? 3ac) ? 0, 又 x1 ? x2 ? 0, a ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,得证. 12、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax 在(0,1)上是增函数.
3

(1)求实数 a 的取值集合 A; (2)当 a 取 A 中最小值时,定义数列 {an } 满足: 2an?1 ? f (an ) ,且 a1 ? b(0,1)(b 为常 数),试比较 an?1与an 的大小; (3)在(2)的条件下,问是否存在正实数 C,使 0 ?

an ? c ? 2 对一切 n ? N 恒成立? an ? c
2

(1)设 0 ? x1 ? x2 ? 1, 则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x2 ? x1 )(x1 ? x1 x2 ? x2 ? a)
2

由题意知: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且 x2 ? x1 ? 0
2 2 ? x12 ? x1 x2 ? x2 ? a, 则x12 ? x1 x2 ? x2 ? (0,3)

? a ? 3,即A ? {a | a ? 3}

(4 分)

2 (注:法 2: f ?( x) ? ?3x ? a ? 0, 对x ? (0,1) 恒成立,求出 a ? 3 ).

(2)当 a=3 时,由题意: a n ?1 ? ?

1 3 3 a n ? a n , 且a1 ? b ? (0,1) 2 2
?

以下用数学归纳法证明: an ? (0,1), 对n ? N 恒成立.

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①当 n=1 时, a1 ? b ? (0,1) 成立; ②假设 n=k 时, ak ? (0,1) 成立,那么当 n ? k ? 1 时,

1 3 3 1 a k ?1 ? ? a k ? a k ,由①知 g ( x) ? (? x 3 ? 3x) 2 2 2
在(0,1)上单调递增,? g (0) ? g (ak ) ? g (1) 由①②知对一切 n ? N 都有 an ? (0,1) 而 a n ?1 ? a n ? ?
?

即0 ? ak ?1 ? 1 ,
(7 分)

1 3 1 1 2 a n ? a n ? a n (1 ? a n ) ? 0 2 2 2

? an?1 ? an
(10 分

(9 分)

(3)若存在正实数 c,使 0 ? 令y?

an ? c ? 2 恒成立 an ? c

x?c 2c ? 1? , 在(c,?? ) 上是减函数, x?c x?c

?

an ? c 随着a n 增大,而小, an ? c an ? c ? 2 恒成立, an ? c

又 {an } 为递增数列,所以要使 0 ?

?a1 ? c ? 0 ? 只须 ? a1 ? c ?a ? c ? 2 ? 1
13、已知 f ( x) ?

?0 ? c ?

a1 b ,即0 ? c ? 3 3

(14 分)

2x ? a ( x ? R) 在区间[-1,1]上是增函数. x2 ? 2 1 的两根为 x1 、 x2 ,试问:是否存在实数 m,使得不等式 x

(1)求实数 a 的值所组成的集合 A. (2)设关于 x 的方程 f ( x) ?

m 2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A及t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值
范围;若不存在,请说明理由

(1) f ?( x) ?

? 2( x 2 ? ax ? 2) ( x 2 ? 2) 2
? f ?( x) ? 0对, x ? [?1,1] 恒成立.

? f ( x)在[?1,1] 是是增函数
设 ? ( x) ? x ? ax ? 2, 则有?
2

?? (1) ? 0 ? ?1 ? a ? 1 ?? (?1) ? 0

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? 对x ? [?1,1], f ( x) 是连续函数,且只有当 a ? 1时, f ?(?1) ? 0 ,
以及当 a ? ?1 , f ?(1) ? 0,? A ? {a | ?1 ? a ? 1} 时 (2)由

2x ? a 1 ? , 得x 2 ? ax ? 2 ? 0 2 x ?2 x

? ? ? a 2 ? 8 ? 0,? x1 , x2 是方程 x 2 ? ax ? 2 ? 0 的两实根.

? x1 ? x 2 ? a 2 2 从而 | x1 ? x 2 |? ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? a ? 8 ?? x1 x 2 ? ?2 ?

? ?1 ? a ? 1

? x1 ? x2 |? a 2 ? 8 ? 3 |

要使不等式 m 2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意 a ? A及t ? [?1,1] 恒成立, 当且仅当 m 2 ? tm ? 1 ? 3对任意t ? [?1,1] 恒成立, 即 m ? tm ? 2 ? 0 对任意 t ? [?1,1] 恒成立.
2

设 g (t ) ? m 2 ? tm ? 2 ? mt ? m 2 ? 2

? g (?1) ? m 2 ? m ? 2 ? 0 ? 则有 ? ? g (1) ? m 2 ? m ? 2 ? 0 ?

? m ? 2或m ? ?2

? 存在 m,其范围为 {m | m ? 2或m ? ?2}
14、已知二次函数 y=g(x)的图象过原点和点(m,0)与点(m+1, m+1), (1)求 y=g(x)的表达式; (2)设 f (x) =(x-n)g(x)(m>n>0)且 f (x) 在 x=a 和 x=b(b<a)处取到极值, ①求证:b<n<a<m; ②若 m+n=2 2 , 则过原点且与曲线 y= f (x) 相切的两条直线能否互相垂直?若能, 则给出证明; 若不能,请说明理由? (文科生做)设常数 a>0, a≠1,函数 f ( x ) ? log a , .... x?5 (1)讨论 f (x) 在区间(-∞,-5)上的单调性,并予以证明; (2)设 g(x)=1+loga(x-3),如果 f (x) =g(x)有实数根,求 a 的取值范围.
(理科生做)解:(1)设 g(x)=ax2+bx+c(a≠0),由题意得 ....

x?5

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?c ? 0, ?a ? 1, ? 2 ? 2 ?am ? bm ? 0, 解得?b ? ?m, ? g ( x) ? x ? m x. …………………………3 分 ?a(m ? 1) ? b ? 1, ?c ? 0. ? ?
(2)∵f(x)=(x-n)g(x)=x(x-m)(x-n)=x3-(m+n)x2+mnx, ∴f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn.…………… 5 分 ①由题意知,a ,b 为方程 f′(x)=0 的两个实根, 又 f′(0)=m·n>0, f′(n)=n(n-m)<0, f′(m)=m(m-n)>0, ∴两根 x=b,x=a 分布在(0,n),(n,m)内.又 b<a,∴b<n<a<m.…………9 分 ②设两切点的横坐标分别为 x1, x2,则切线 l1 的方程为 y-f(x1)=[3 x1 -2(m+n)x1+mn](x-x1). 又 l1 过原点,∴-x1(x1-m)(x1-n)= [3 x1 -2(m+n)x1+mn](-x1) 解得 x1=0, 或 x1=
2 2

m?n m?n m?n ,同理 x2=0 或 x2= .∴x1=0, x2= .……………………12 分 2 2 2
1 (m ? n) 2 ? mn.又m ? n ? 2 2 , 4
1 (2 2 ) 2 ? m ? n] =-1,得 mn=1. 4

两切线的斜率分别为 k1=mn,k2= ?

若两切线相互垂直,则 k1k2=-1,即 mn [?

解方程组 ?

? ?m ? n ? 2 2 ?m ? 2 ? 1, 得? ?n ? 2 ? 1. ?m n ? 1, ?
f ( x) ? log a (1 ? 10 ) .利用定义可以证明当 a<1 时,f(x)是 x?5

故存在过原点且与曲线 y=f(x)相切的两条直线互相垂直.………………14 分 (文科生做)解:(1) ....

(-∞,-5)上的增函数; 当 0<a<1 时,f(x)是(-∞,-5)上的减函数(证明略)……………………6 分 (2)∵g(x)=1+loga(x-3), f(x)=g(x)有实根,即 loga

x ? 5 =1+log (x-3)有实根, a x?5

则实根大于 5.又因为 1+loga(x-3)=loga[a(x-3)],原方程有大于 5 的实根,即 方程

x ? 5 =a(x-3)有大于 5 的实数根.…………………………………………9 分 x?5
x?5 (a>0) x?5 t 1 1 ? 2 ? (令x ? 5 ? t ? 0) ? ? . ( x ? 5)(x ? 3) 20 x ? 2 x ? 5 t 2 ? 12t ? 20 4 5 ? 12 t? ? 12 t

由此解得 a=

当且仅当 t ? 2 5 ,即x ? 5 ? 2 5时取等号 ? 0 ? a ? .

3 ? 5 ………………14 分 . 16

15、已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? b(a, b ? R).
3 2

(1)若 a ? 1 ,函数 f (x) 的图象能否总在直线 y ? b 的下方?说明理由; (2)若函数 f (x) 在[0,2]上是增函数, x ? 2 是方程 f (x) =0 的一个根, 求证: f (1) ? ?2 ; (3)若函数 f (x) 图象上任意不同的两点连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

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解:(1)不能,取 x ? ?1, 则f (?1) ? 1 ? 1 ? b ? b, 即存在点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线 (2)由 x

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? 2 是方程 f ( x) ? 0 的一个根,得 f (2) ? ?8 ? 4a ? b ? 0, 即 b ? 8 ? 4a
3

y ? b 的上方;

(3 分) (4 分)

又 f ?( x) ? ?3x 2 ? 2ax , 令f ?( x) ? 0, 即 ? 3x 2 ? 2ax ? 0.得x ? 0, x ? 2a . 1 2 又函数

f (x) 在[0,2]上是增函数,? x 2 ? 2a ? 2,即a ? 3 ,
3

(7 分)

f (1) ? ?1 ? a ? b ? ?1 ? a ? 8 ? 4a ? 7 ? 3a ? ?2 (9 分) (3)设任意不同的两点 P ( x1 , y1 ), P ( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ,则 y1 ? y 2 ? 1. 1 2
x1 ? x2

?

3 2 x13 ? ax12 ? x 2 ? ax2 2 ? 1, 即 ? x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2

2 ? ? x12 ? (a ? x 2 ) x1 ? x 2 ? ax2 ? 1 ? 0

? x1 ? R

2 ? ? ? (a ? x 2 ) 2 ? 4(? x 2 ? ax2 ? 1) ? 0

2 即 ? 3 x 2 ? 2ax2 ? a 2 ? 4 ? 0

(12分) 4 ? a2 3 (14分)

a a ? ?3( x 2 ? ) 2 ? ? a 2 ? 4 ? 0, 3 3 故? 3 ? a ? 3

2

2 ?x 16、(理)设 f ( x) ? (ax ? x ? 1) ? e (e 为自然对数的底,a 为常数且 a ? 0, x ? R ), f (x) 取极小值

时,求 x 的值. (文)函数 f ( x) ? ax ?
3

3 (a ? 1) x 2 ? 3x(a 为常数且 a ? 0, x ? R )取极小值时,求 x 的值. 2
?x

理)解: f ?( x) ? (2ax ? 1) ? e

? (ax2 ? x ? 1) ? e ? x ? (?1)
………………2 分 ………………4 分

? ?e ? z ? (ax ? 1)(x ? 2)
1 或2 a 1 1 (1) 当 ? ? 2即 ? ? a ? 0 ,由表 a 2
令 f ?( x) ? 0 ? x ? ? x f′(x) f(x) (-∞, -2) + ↗ -2 0 极大值

1 ( ?2,? ) a
- ↘

?

1 a

1 (? ,?? ) a
+ ↗

0 极小值

1 ? x ? ? 时, f ( x) 取极小值. a
(2) 当 ?

………………7 分

1 1 1 ? 2即a ? ? 时, f ?( x) ? ? ? e ? x ? ( x ? 2) 2 ? 0 无极值. a 2 2
………………9 分

(3) 当 ? x

1 1 ? 2即a ? ? 时,由表 a 2 1 1 ? (-∞,- ) a a

1 ( ? , ?2) a

-2

(?2,??)

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f′(x) f(x)

+ ↗

0 极大值

- ↘

0 极小值

+ ↗

? x ? ?2时, f ( x)取极小值. 1 1 综上,当 ? ? a ? 0时, x ? ? 时, f ( x)取极小值 2 a
1 当a ? ? 时, x ? ?2时, f ( x)取 极 小 值 2 1 当a ? ? 时, f ( x) 无极小值. 2 (文)解 : f ?( x) ? 3ax2 ? 3(a ? 1) x ? 3 ? 3(ax ? 1)(x ? 1) (一)当a ? 0时, f ?( x) ? ?3( x ? 1)

………………12 分 ………………3 分

x ? ?1时, f ?( x) ? 0, x ? ?1时, f ?( x) ? 0
? f (x) 无极小值.
(二) 当a ? 0时, f ?( x) ? 3a( x ? x f′(x) f(x) (-∞, -1) + ↗ ………………6 分

1 )( x ? 1)令f ?( x) ? 0 ? x ? a 1 ( ?1, ) -1 a
- ↘

1 或 ?1 由表 a 1 1 ( ,?? ) a a
+ ↗

0 极大值

0 极小值

1 ?当x ? 时, f ( x) 取极小值 a 1 综上,当 a ? 0时, x ? 时, f ( x ) 取极小值 a
当 a ? 0时, f ( x) 无极小值. ………………12 分

17、已知 b ? ?1, c ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? b 的图象与函数 g ( x) ? x 2 ? bx ? c 的图象相切. (1)求 b 与 c 的关系式。(用 c 表示 b) (2)设函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在(-∞,+∞)内有极值点,求 c 的取值范围. 解(1)由题知: f ?( x) ? g ?( x), 得2 x ? b ? 1, x ? 由 f(

1? b 2

1? b 1? b ) ? g( )得(b ? 1) 2 ? 4c ? b ? ?1, c ? 0, ? b ? ?1 ? 2 C …4 分 2 2 (2) F ( x) ? f ( x) ? g ( x) g ( x) ? x 3 ? 2bx2 ? (b 2 ? c) x ? bc

? F ?( x) ? 3x 2 ? 4bx ? b 2 ? c 令F ?( x) ? 0即3x 2 ? 4bx ? b 2 ? c ? 0 则? ? 16b 2 ? 12(b 2 ? c) ? 4(b 2 ? 3c) ???????????????? 6分
①若△=0,则 F ?( x) ? 0 有一个实根 x0 ,且 F ?(x) 变化如下: x

(??, x0 )

x0

( x0 ,??)

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F ?(x)

+

0

+

于是 x ? x0 不是函数的极值点………………………………………………………8 分 ②若 ? ? 0, 则F ?( x) ? 0 有两个不相等的实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,且 F ?(x) 变化如下:

x
F ?(x)

(??, x1 )
+

x1
0

( x1 , x 2 ) -

x2
0

( x2 ,??)
+

? x ? x1是F ( x) 的极大值点, x ? x2是F ( x) 的极小值点………………………10 分
综上,当且仅当△>0 时,F(x)在 (??,??) 上有极值点. 由 ? ? 4(b 2 ? 3c) ? 0, 得3c ? b 2 , 又b ? ?1 ? 2 c

?3c ? (?1 ? 2 c ) 2

? 2 c ? 1 ? ? 3c或2 c ? 1 ? 3c
?C的范围为 0,7 ? 4 3) ? (7 ? 4 3,??) ……12 分 (

解得 0 ? c ? 7 ? 4 3或c ? 7 ? 4 3. 18、已知函数 g ( x) ?

ax2 ? 1 (a, b, c ? N ), g (? x) ? ? g ( x), g (1) ? 2, g (2) ? 3 bx ? c

(1)求 g (x) 的解析式;

(2)设数列 {an } 的通项公式为

g ( n) 其前 n 项的和为 Sn,试求 lim S n ; n ? ?? (n ? 1)(n 2 ? 1)

(3)设 f ( x) ? xg( x),? ( x) ? f [ f ( x)] ? ?f ( x). 问:是否存在实数 ? ,使 ? ( x)在(??,?1) 上为减函数且(-1,0)上是增函数?若存在求出实数 ? 的值和 ? (x) 的单调区间, 以及 ? (x) 的极值;若不存在,请说明理由. ①c ? 0

a ? b ?1 1 n(n ? 1)

x2 ?1 ? g ( x) ? x ? lim S n ? 1
n ? ??

②? a n ?

4 2 ③ ? ( x) ? x ? 2x ? 2 ,列表分析知,存在实数 ? ? 4 ,

使 ? ( x)在(?1,0)和(1,??) 递增

在 (??,?1)和(0,1) 递减

时 当 x ? ?1

? ( x) 极小值-3

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当 x ? 0时

? ( x) 极大值-2.

19、已知 a ? (1, x),b

?

?

? ( x2 ? x,? x) ,m 为常数且 m ? -2,求使

2 ? ? a ? b ? 2 ? m( ? ? ? 1) 成立的 x 的范围。 ? a ?b ?

? a ? (1, x), b ? ( x 2 ? x,? x) ? ? ? a ? b ? x 2 ? x ? x 2 ? x ??? 2分 ? ? 2 故a ? b ? 2 ? m( ? ? ? 1) a ?b 2 x?2 ? x ? 2 ? m( ? 1) ? ( x ? 2) ? m ? 0 ??? 4分 x x ( x ? 2)(x ? m) ? ? 0 ? x( x ? 2)(x ? m) ? 0 ??? 7分 x ( )当m=-2时,原不等式? x( x ? 2) 2 ? 0 ? x ? 0 1 原不等式的解集为 x | x ? 0}??????? 9分 { (2)当m ? -2时,原不等式的解集为x | m ? x ? ?2或x ? 0}???12分 {

20、设函数 f ( x) ? e x?m ? x, 其中m ? R. (I)求函数 f (x) 的最值; (Ⅱ)给出定理:如果函数 y ? f (x) 在区间[ a, b ]上连续,并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数

y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点,即存在 x0 ? (a, b),使得f ( x0 ) ? 0 .
运用上述定理判断,当 m ? 1 时,函数 f (x) 在区间 (m,2m) 内是否存在零点. 解:(I)? f ( x)在(??,??)上连续, f ?( x) ? e 令 f ?( x) ? 0, 得x ? m.
x ?m

? 1,
……………………2 分

当x ? (??, m)时, e x ? m ? 1, f ?( x) ? 0; 当x ? (m,??)时, e x ? m ? 1, f ?( x) ? 0. ? f ( x) min ? f (m) ? 1 ? m;
由①知 f(x)无最大值. (Ⅱ)函数 f(x)在[m,2m]上连续. ……………………6 分 ①

所以,当x ? m时, f ( x)取极小值也是最小值 .

而f (2m) ? e m ? 2m, 令g (m) ? e m ? 2m, 则g ?(m) ? e m ? 2,? m ? 1,? g ?(m) ? e ? 2 ? 0,

? g (m)在(1,??) 上递增.
由 g (1) ? e ? 2 ? 0得g (m) ? g (1) ? 0,即f (2m) ? 0,

……………………8 分 ……………………10 分

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又 f (m) ? 1 ? m ? 0,? f (m) ? f (2m) ? 0, 根据定理,可判断函数 f(x)在区间(m,2m)上存在零点. ………………12 分

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导数与函数相结合压轴题精选(三) 21、函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0)

(Ⅰ)在区间(0,1)内,求实数 a 使得函数 f (x) 的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB; (Ⅱ)设 m>0,记 M(m, f (m) ),求证在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函数图象在 x=b 处的切线平行于直线 AM.

(Ⅰ)解:直线 AB 斜率 kAB=-1 令 f ?(a) ? ?1(0 ? a ? 1) 解得 a ?

f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 即3a 2 ? 2a ? 1 ? ?1

2 3

…………………………4 分

(Ⅱ)证明:直线 AM 斜率 k AM ?
2

(m 3 ? m 2 ? m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ?1 m?0

考察关于 b 的方程 f ?(b) ? m ? m ? 1 即 3b2-2b-m2+m=0 ………………7 分 在区间(0,m)内的根的情况 令 g(b)= 3b2-2b-m2+m,则此二次函数图象的对称轴为 b ? 而 g ( ) ? ?m ? m ?
2

1 3

1 3

1 1 1 ? ?( m ? ) 2 ? ?0 3 2 12

g(0)=-m2+m=m(1-m) g(m)=2m2-m-m(2m-1) ………………10 分

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1 时, g (0) ? 0, g (m) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 (0, m) 内有一实根 2 1 1 1 (2)当 ? m ? 1时, g (0) ? 0, g ( ) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 (0, ) 内有一实根 2 3 3 1 1 (3)当 m ? 1时, g ( ) ? 0, g (m) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 ( , m) 内有一实根 3 3
∴(1)当 0 ? m ? 综上,方程 g(b)=0 在区间(0,m)内至少有一实根,故在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函 数图象在 x=b 处的切线平行于直线 AM…………14 分

22、设 f(x)=lnx-

x ?1 x

(x≥1),g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx (x≥1).

⑴求证 f(x)和 g(x)在[1, ? ?? 上均为减函数; ⑵设 b>1,证明不等式 证明(1)f(x)=lnxf(x)
1 = ? x x ? ( x ? 1) ? x 1 2 x 1 2 x ? ( x ? 1) 1 x ? 1 2 x ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ? ? ? ? ? ?? ≤0. x x 2x x 2x x 2x x 2x x

2 ln b 1 ? ? . 2 b ?1 1? b b

x ?1 x

(x≥1),

∴f(x)在[1,+∞)上为减函数. g(x)=2(x-1)-(x2+1)lnx g'(x)=2-[2xlnx+(x2+1)· =-[2xlnx+
( x ? 1) 2 ]. x
1 ( x ? 1) 2 ]=-2xlnxx x

( x ? 1) 2 当 x≥1 时,2xlnx≥0, >0,故 g'(x)<0 x

所以 g(x)在[1,+∞)上也为减函数. (2)∵b>1,又∵f(x) 在[1,+∞)上为减函数, ∴f(b)<f(1) 即 lnbb ?1 b

<0,

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ln b 1 .① ? b ?1 b

同理,可得 g(b)<g(1), 即 2(b-1)-(b2+1)lnb<0, ∴
ln b 2 > 2 b ?1 b ?1
2



由①②可得

2 ln b 1 < < . b ?1 b ?1 b

23、设 f (x) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) , f ( x ) 的导数为 f ?( x ) . 若 | f (0) |? 1, f ?(0) ? 0, f (1) ? 0 . (1) 求 f ( x ) 的解析式; (2) 对于任意的 x1 , x 2 ? [0, 1] , 且 x1 ? x 2 , 求证: ① | f (x 2 ) ? f (x1 ) | ? 2 | x1 ? x 2 | ; ② | f (x 2 ) ? f (x1 ) | ? 1 . 证明: (1)由 f (x) ? ax 2 ? bx ? c, 得 f ?( x ) ? 2ax ? b. ……(2 分)

?| c |? 1 ?a ? 1 ?a ? ? 1 ? ? ? . 解得 ?b ? 0 , 或 ?b ? 0 , ……(4 分) 由已知, 得 ?b ? 0 ?a ? b ? c ? 0 ?c ? ? 1 ? c ? 1 ? ? ? 2 又∵ a ? 0 , ∴ f (x) ? x ? 1. ……(5 分)
(2) ①∴ f (x 2 ) ? f (x1 ) ? x 2 ? x1 , | f (x 2 ) ? f (x1 ) |?| (x 2 ? x1 ) ? (x 2 ? x1 ) |
2 2

= | (x 2 ? x1 ) | ? | (x 2 ? x 1 ) | . ……(7 分) 由 x1 , x 2 ? [0, 1], 得 0 ? x 1 ? x 2 ? 2. ∴ | f (x 2 ) ? f (x1 ) | ? (x1 ? x 2 ) | x1 ? x 2 |? 2 | x1 ? x 2 | ②∵ x1 , x 2 ? [0, 1], ∴ x1 , x 2 ? [0, 1], ……(10 分) , 由 0 ? x 2 ? 1 , 0 ? x1 ? 1 , ? 1 ? x1 ? 0
2 2 2 2 2

得 ? 1 ? x 2 ? x1 ? 1. | x 2 ? x1 |? 1. ……(11 分) ∴ | f (x 2 ) ? f (x1 ) |?| x 2 ? x1 |? 1 .……(12 分
2 2 2 2 2 2

24、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 2 . 3 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 在 (??, ??) 上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)设 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 是函数 f ( x ) 的两个极值点,若直线 AB 的斜率不小于 ? 数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)∵ f ( x) ?

5 ,试求实 6

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 2 为 R 上的单调函数, 3 2

2 ∴ f ?( x) ? x ? ax ? a ? 0 对 x ? R 恒成立,(因为 f ?( x) ? 0 对 x ? R 不恒成立)…2 分

∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? [0,4]
2

………………………………………………………4 分

(Ⅱ)∵在 x ? x1 , x2 处函数 f ( x ) 有极值 ∴△= a ? 4a ? 0, 即 a ? 4, 或 a ? 0; 且 x1 ? x2 ? ?a, x1 x2 ? a ………………………6 分
2

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k AB ?
1 3

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 2 1 ? ( x1 ? x2 2 ? x1 x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? a ………………………8 分 x2 ? x1 3 2
2

= [( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] ?

1 1 1 1 2 5 a( x1 ? x 2 ) ? a ? (a 2 ? a) ? a 2 ? a ? ? a 2 ? a ? ? 2 3 2 6 3 6
……………………………………………11 分 ……………………………………………12 分

化简得 a2 ? 4a ? 5 ? 0, 即 ?1 ? a ? 5. ∴ ?1 ? a ? 0, 或4 ? a ? 5.

25、已知定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x ) 与偶函数 g( x ) 满足: f (x) ? g(x) ? a x ( a ? 0 , 且 a ? 1 ). (1) 求证: f (2x) ? 2f (x) ? g(x) ; (2) 设 f ( x ) 的反函数为 f ?1 ( x) , 当 a ? 2 ? 1时, 试比较 f ?1[g(x)] 与-1 的大小, 并证明你 的结论; (3) 若 a ? 1 , n 为正偶数, 试比较 f (n ) 与 nf (1) 的大小, 并证明你的结论. 解:(1) ∵ f (x) ? g(x) ? a x , ∴ f (?x) ? g(?x) ? a ? x . ∵ f ( x ) 是奇函数, g( x ) 是偶函数, ∴ ? f (x) ? g(x) ? a ? x , ……(2 分)

a x ? a ?x a x ? a ?x ∴ f (x) ? , g( x ) ? , 2 2 a x ? a ? x a x ? a ? x a 2 x ? a ?2 x 1 ? ? ? f (2x ), ∴ f ( x ) ? g( x ) ? 2 2 4 2 f (2x) ? 2f (x) ? g(x). ……(4 分)

2 ? 1 ? 1, ∴ y1 ? a x 是 (??, ? ?) 上的减函数, y 2 ? a ? x 是 (??, ? ?) a x ? a ?x 上的增函数, ∴ f ( x ) ? 是 (??, ? ?) 上的减函数,且值域为 (??, ? ?) , 2 ?1 由反函数及函数的单调性的概念得: f ( x) 是 (??, ? ?) 上的减函数. ……(6 分)
(2) ∵ 0 ? a ?

a x ? a ?x ( 2 ? 1) ?1 ? ( 2 ? 1) ? a x ? a ?x ? 1 , ? 1, g( x ) ? 2 2 ?1 ?1 ?1 ∴ f [g(x)] ? f (1), 又 f (?1) ? ?1, ∴ f [g(x)] ? ?1. ……(8 分)
又∵ f (?1) ?

a x ? a ?x a ? a ?1 1 n ?n? ? [(a ? a ?n ) ? n (a ? a ?1 )] (3) f (n ) ? nf (1) ? 2 2 2 1 ? [( a ? a ?1 )( a n ?1 ? a n ? 2 ? a ?1 ? ? a ? a ?( n ? 2) ? a ? a ?( n ?1) ) ? n (a ? a ?1 )] ……(10 分) 2 1 ? (a ? a ?1 )( a n ?1 ? a n ? 2 ? a ?1 ? ? a ? a ?( n ? 2) ? a ?( n ?1) ? n ) ……(12 分) 2 n ?1 ? ( n ?1) ?1 ? 2 , a n ?2 ? a ?1 ? a ? a ?( n ?2) ? 2 ,… ∵ a ? 1 , ∴ a ? a ? 0, a ? a n n ?1 ? a n ? 2 ? a ?1 ? ? a ? a ?( n ? 2 ) ? a ?( n ?1) ? ? 2 ? n ∴a 2 ∴ f (n) ? nf (1) ? 0, 即 f (n ) ? nf (1).……(14 分)
26、设函数 f (x) ? ax ? 8x ? 3 (a ? R) .
2

(1) 若 g( x ) ? x f ( x ), f ( x ) 与 g( x ) 在某值时, 都取得极值, 求 a 的值; (2) 对于给定的负数 a, 有一个最大的正数 M(a), 使得 x ? [0, M(a )] 时, 恒有 | f (x) |? 5 . 求: ①M(a)的表达式; ②M(a)的最大值及相应 a 的值.

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4 处取得极值.……(1 分) a ∵ g(x) ? ax 3 ? 8x 2 ? 3x, ∴ g?(x) ? 3ax 2 ? 16x ? 3. ……(2 分) 4 2 4 16 由题意得 3a ( ? ) ? 16 ( ? ) ? 3 ? 0, ∴ a ? .……(4 分) a a 3 4 2 16 16 , ∴ f ( x ) min ? 3 ? . (2) ∵a ? 0 , f ( x ) ? a ( x ? ) ? 3 ? a a a
解: (1)易知 a ? 0 , f ( x ) 在 x ? ?

16 ? 5 即 ? 8 ? a ? 0 时, 要使 | f (x) |? 5 , 在 x ? [0, M(a )] 上恒成立, a 2 而 M (a ) 要最大, 所以 M (a ) 只能是方程 ax ? 8x ? 3 ? 5 的较小根.
如图 1, 当 3 ?

2a ? 16 ? 4 .……(6 分) a 16 ? 5 即 a ? ?8 时, 同样道理 M (a ) 只能是方程 ax 2 ? 8x ? 3 ? ?5 的较大根. 如图 2, 当 3 ? a ? 2 4 ? 2a ? 4 ∴ M (a ) ? .……(8 分) a ? 2a ? 16 ? 4 , a ? (?8, 0) ? ? a 综上得 M(a ) ? ? ……(10 分) ? ? 2 4 ? 2a ? 4 , a ? (??, ? 8] ? a ? 2a ? 16 ? 4 2 1 当 a ? (?8, 0) 时, M(a ) ? ? ? ; ……(12 分) a 2a ? 16 ? 4 2
∴ M (a ) ?

? 2 4 ? 2a ? 4 4 4 5 ?1 ……(13 分) ? ? ? a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2 5 ?1 当且仅当 a ? ?8 时, M (a ) 有最大值 .……(14 分) 2
当 a ? (??, ? 8] 时, M(a ) ?

27、设函数 f ? x ? ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b , 0 ? a ? 1. 3

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间和极值; ( Ⅱ ) 若 当 x ??a ?1, a ? 2? 时 , 恒 有 f ? ? x ? a, 试 确 定 a 的 取 值 范 围 解 ( Ⅰ ) ?

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f ? ? x ? ? ?x2 ? 4ax ? 3a2 .
令 f ? ? x ? ? ? x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 3a .……………………………2 分 由表

x
y?
y

? ?? , a ?
?
递减

a
0

? a , 3a?
?
递增

3a
0

?3a , ? ??
?
递减

4 ? a3 ? b 3

b

可知:当 x ? ? ?? , a ? 时,函数 f ? x ? 为减函数;当 x ? ? 3a , ? ?? 时,函数 f ? x ? 也为减函数;当

x ? ? a , 3a ? 时,函数 f ? x ? 为增函数.…………………………………4 分
当 x ? a 时,函数 f ? x ? 的极小值为 ?

4 3 a ?b ; 3

当 x ? 3a 时,函数 f ? x ? 的极大值为 b .……………………………………………6 分
2 2 (Ⅱ)由 f ? ? x ? ? a ,得 ? a ? ? x ? 4ax ? 3a ? a .

∵ 0 ? a ? 1, ∴ a ?1 ? 2a , f ? ? x ? ? ?x ? 4ax ? 3a ,在 ? a ? 1, a ? 2? 上为减函数.…………8 分
2 2

∴ ? f ? ? x ? ? max ? f ? ? a ? 1? ? 2a ? 1 , ? f ? ? x ? ? min ? f ? ? a ? 2 ? ? 4a ? 4 . ? ? ? ? 于是,问题转化为求不等式组 ?

?2a ? 1 ? a 4 的解,解这个不等式组,得 ? a ? 1 . 5 ?4a ? 4 ? ?a
4 ? a ? 1 .……………………………………12 分 5

又 0 ? a ? 1 ,∴所求 a 的取值范围是

28、设函数 f ?x ? ? ?a x 2 ? 1 ? x ? a, x ? (0,1], a ? R ? (Ⅰ)若 f ?x ?在(0,1] 上是增函数,求 a 的取值范围; (Ⅱ)求 f ?x ?在(0,1] 上的最大值.

.( I ) x ? ?0,1?时, f ' ( x ) ? ?a ? 当 解

x x ?1
2

? 1.

………… 2 分

要使 f (x) 在 x ? ?0,1? 上是增函数,需使 f ' ( x) ? ?

ax x2 ?1

? 1 ? 0 在 ?0,1? 上恒成立.

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a?

x2 ?1 1 1 ? 1 ? 2 在(0,1]上恒成立而 1 ? 2 在(0,1]上的最小值为 2 , . x x x
…………… 4 分

又a ? R ? , ?0 ? a ? 2为所求 ………… 6 分 .
(Ⅱ)由Ⅰ知:

(1) 当0 ? a ? 2时, f ?x?在(0,1]上是增函数 .

? ? f ? x ??max ? f ?1? ? 1 ? 2  ? 1; a
(2) 当a ? 2时, 令f ??x ? ? 0, 得x ? 1 ? (0,1] a ?1
2

?

?

…………8 分

…………10 分

?0 ? x ?

1 1 , f ??x ? ? 0;? 2 ? x ? 1; f ??x ? ? 0. a ?1 a ?1
2

? ? f ? x ??max ? f (

1 1 1 1 ? a2 ) ? ?a 2 ?1 ? ?a ? ? a ? a ? a 2 ? 1. 2 a2 ? 1 a ?1 a2 ? 1 a ?1

综上,当 0 ? a ? 2时, ?f ?x ??max ? 1 ? 2 a ? 1;当a ? 2时, ?f ?x ??max ? a ? a 2 ? 1. 29、设函数 f ( x) ? (1 ? x) ? ln(1 ? x)
2 2

?

?

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在 [0, 2] 上恰有两个不同的实数根,求实数 a 的取值范围。
2

解: (1) f (x) 的定义域为( ? ? , ? 1 ) ? (1, ? ? )

f ?( x) ? 2( x ? 1) ?

2 2 x( x ? 2) ? (2 分) x ?1 x ?1

由 f ?( x) ? 0 得 ? 2 ? x ? ?1 或 x ? 0 (3 分) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 或 ? 1 ? x ? 0 (4 分)

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所以 f (x) 在( ? 2 , ? 1 )和(0, ? ? )内为增函数,在( ? ? , ? 2 )和( ? 1 ,0)内为减函数 (6 分) (2)方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a 令 g ( x) ? x ? a ? 1 ? ln( ? x) 2 1 则 g ?( x) ? 1 ? 即 x ? a ? 1 ? ln( ? x) 2 ? 0 (7 分) 1

2 x ?1 ? (8 分) x ?1 x ?1

由 g ?( x) ? 0 得 x ? ?1 或 x ? 1 由 g ?( x) ? 0 得 ? 1 ? x ? 1 ∴ g (x) 在 [0 , 1] 递减,在 [1 , 2] 递增(10 分) 所以 f ( x) ? x 2 ? x ? a ,即 g ( x) ? 0 在 [0 , 2] 上恰有两个不同的实根是

? g ( 0) ? 1 ? a ? 0 ? ? g (1) ? 2 ? a ? 2 ln 2 ? 0 (13 分) ? g ( 2) ? 3 ? a ? 2 ln 3 ? 0 ?
解得 2 ? 2 ln 2 ? a ? 3 ? 2 ln 3 (14 分) 30、已知函数 f ( x) ? x 4 ? 4x3 ? ax2 ?1在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减. (1)求 a 的值; (2)设 g ( x) ? bx2 ?1,若方程 f ( x) ? g ( x) 的解集恰好有 3 个元素,求 b 的取值范围; (3) (2) 在 的条件下, 是否存在实数对 (m, n) , f ( x ? m) ? g ( x ? n) 为偶函数?如存在, 使 求出 m, n 如不存在,说明理由. 解: (1) f ' ( x) ? 4x3 ? 12x 2 ? 2ax ,由已知 f ' ( x) 在 [0,1] 上的值为正,在 [1,2] 上的值为负. 故 x ? 1 是方程 4 x3 ? 12x 2 ? 2ax ? 0 之根,
?a ? 4 .

3分

(2)由 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ( x 2 ? 4x ? 4 ? b) ? 0 有三个相异实根, 故方程 x 2 ? 4 x ? 4 ? b ? 0 有两个相异的非零根.

? ? ? 16 ? 4(4 ? b) ? 0 且 4 ? b ? 0 .

?b ? (0,4) ? (4,??) .

7分

(3)? f ( x ? m) ? g ( x ? n) ? x4 ? 4x3 (m ? 1) ? 2x2 (3m2 ? 6m ? 2 ? ) ? 2x(2m3 ? 6m2

b 2

? 4m ? bn) ? m4 ? 4m3 ? 4m2 ? bn2 ? 2 为偶函数,

10 分

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?m ? 1 ? 0, ?m ? ?1, ? ?? 3 ?? ? ?2m ? 6m ? 4m ? bn ? 0 ?bn ? 0. ?
由(2)知 b ? 0 .

? m ? ?1, n ? 0 .
31、已知函数 f ( x) ? ln

x?2 x ? . x?4 4

I、求 f ( x ) 的极值. II、求证 f ( x ) 的图象是中心对称图形.

III、设 f ( x ) 的定义域为 D ,是否存在 ? a, b? ? D .当 x ? ? a, b? 时, f ( x ) 的取值范围是 ? , ? ?若存在, 4 4 求实数 a 、 b 的值;若不存在,说明理由 (I) (I) f ( x) ?
/

?a b? ? ?

x?2 x( x ? 6) x( x ? 6) ? 0 ,得 x ? (??, 2) ? (4, ??) ,解 ? 0得 . (2/ ) 注意到 x?4 4( x ? 2)( x ? 4) 4( x ? 2)( x ? 4)

x ? 6 或 x ? 0 .当 x 变化时, f / ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f / ( x)
f ( x)

(??, 0)
+

0
0 极大值

(0, 2)


(4, 6)


6
0 极小值

(6, ??)


?

?

?

?

所以 f (0) ? ln

1 3 是 f ( x ) 的一个极大值, f (6) ? ln 2 ? 是 f ( x ) 的一个极大值.. (4/ ) 2 2 3 3 (II) 点 ? 0, f (0) ? ,(6, f (6)) 的中点是 (3, ) ,所以 f ( x ) 的图象的对称中心只可能是 (3, ) . (6/ ) 4 4 3 设 P( x, f ( x)) 为 f ( x ) 的 图 象 上 一 点 , P 关 于 ( 3 , 的 ) 对 称 点 是 4 3 4? x 6? x 3 Q( ? x ?, 6 f . ?xf (6 ? x) ? ln ( ) ) ? ? ? f ( x) . ?Q 也在 f ( x) 的图象上, 因而 f ( x) 的图 2 2? x 4 2
/

象是中心对称图形. (8 ) (III) 假设存在实数 a 、 b .? ? a, b? ? D ,? b ? 2 或 a ? 4 . 若 0 ? b ? 2 , 当 x ? ? a, b? 时, f ( x) ? f (0) ? ln 值范围是不可能是 ? , ? . (10 ) 4 4

1 b b ? 0 ,而 ? 0 ? f ( x) ? .故此时 f ( x) 的取 2 4 4

?a b? ? ?

/

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若 4 ? a ? 6 ,当 x ? ? a, b? 时, f ( x) ? f (6) ? ln 2 ? 的取值范围是不可能是 ? , ? . (12/ ) 4 4

3 3 a 3 a ? ,而 ? ? f ( x) ? .故此时 f ( x) 2 2 4 4 2

?a b? ? ?

若 a ? b ? 0或6 ? a ? b ,由 g ( x) 的单调递增区间是 ? ??,0? , ? 6, ??? ,知 a , b 是 f ( x) ? 个解.而 f ( x) ?

x 的两 4

x x?2 ?a b? ? ln ? 0 无解. 故此时 f ( x) 的取值范围是不可能是 ? , ? . (14/ ) 4 x?4 ?4 4?

综上所述,假设错误,满足条件的实数 a 、 b 不存在. 32、已知 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 是定义在 R 上的函数,其图象交 x 轴于 A、B、C 三点.若 点 B 的坐标为 (2,0),且 f (x) 在[-1,0]和[4,5]上有相同的单调性,在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性. (1)求 c 的值; (2)在函数 f (x)的图象上是否存在一点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)求| AC |的取值范围. (1)解: f / ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c 0 依题意 f (x) 在 [?1, ] 和[0,2]上有相反的单调性, ∴x = 0 是 f (x)的一个极值点,故 f / (0) ? 0 ,得 c = 0 (2)解:因为 f (x)交 x 轴于点 B(2,0) ∴ 8a ? 4b ? d ? 0 ,即 d ? ?4(b ? 2a) 令 f / ( x) ? 0 得 3ax 2 ? 2bx ? 0 , 1 ? 0, 2 ? ? x x 2分 4分

2b 3a 因为 f (x)在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性,∴ f / ( x) 在[0,2]和[4,5]上有相反的符号 2b b 故 2≤ ? ≤4 ? -6≤ ≤-3 6分 a 3a 假设存在点 M(x0,y0)使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b,则 f / (x0) =3b, 2 即 3ax0 ? 2bx0 ? 3b ? 0 b ? ? ? (2b) 2 ? 4 ? 3a ? (?3b) ? 4b 2 ? 36ab ? 4ab( ? 9) a b 而-6≤ ≤-3,∴△<0 a 故不存在点 M(x0,y0),使得 f (x)在点 M 的切线斜率为 3b. 8分 0 0 (3)解:设 A(? , ),C ( ? , ) ,依题意可令 f ( x) ? a( x ? ? )( x ? 2)( x ? ? )

? a[ x 3 ? (2 ? ? ? ? ) x 2 ? (2? ? 2? ? ?? ) x ? 2?? ] b ? ? ?? ?? ?2 ?b ? ? a (2 ? ? ? ? ) ? a 则? 即? d ?d ? ?2a?? ??? ? ? 2a ?
∴ | AC |?| ? ? ? |? (? ? ? ) 2 ? 4?? ? (? ∵-6≤ 当

10 分

b 2d b ? 2) 2 ? ? ( ? 2) 2 ? 16 a d a

b b ≤-3,∴当 ? ?6 时, AC max ? 4 3 ; a a
12 分

b ? ?3 时, AC min ? 3 ,故 3≤| AC |≤4 3 . a

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