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【创新大课堂】(新课标)2016高考数学一轮总复习 第二章 第5节 对数函数练习



【创新大课堂】 (新课标)2016 高考数学一轮总复习 第二章 第 5 节 对数函数练习
一、选择题

1.(2015·长沙模拟)已知 a=5 A.a>b>c C.a>c>b

log 3.4 2

,b=5

log 3.6 4

1 log 0

.3 ,c=( ) 3 ,则( 5

)

B.b>a>c D.c>a>b

10 1 log 0.3 log [解析] c=( ) 3 可化为 c=5 3 3 , 如图所示,结合指数函数的单调性可知选项 5 C 正确.

[答案] C 2. (2014·福建高考)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像如图所示,则下列函数图 像正确的是( )

[解析] 因为函数 y=logax 过点(3,1),所以 1=loga3,解得 a=3,所以 y=3 不可 能过点(1,3),排除选项 A;

-x

y=(-x)3=-x3 不可能过点(1,1),排除选项 C; y=log3(-x)不可能过点(-3,-1),排除选项 D.故选 B.
[答案] B

x-a 3.设 f(x)=lg( )是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( 1-x
A.(-1,0) C.(-∞,0) B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

)

1

[解析] 由 f(x)是奇函数可得 a=-1, 1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0.故选 A. 1-x [答案] A 4.(2015·长春模拟)函数 f(x)=log2(x +1)的值域为( A.R C.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,1)
-1

)

1 -1 -1 [解析] x +1= +1≠1,所以 f(x)=log2(x +1)≠log21=0,即 y≠0,所以 f(x)

x

=log2(x +1)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).故选 C. [答案] C 5.(2015·辽宁五校协作联考)设函数 f(x)=loga|x|在(-∞,0)上单调递增,则 f(a +1)与 f(2)的大小关系是( A.f(a+1)>f(2) C.f(a+1)=f(2) ) B.f(a+1)<f(2) D.不能确定

-1

[解析] 由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,根据函数 f(x)为偶函数,可以判断 f(x)在 (0,+∞)上单调递减,所以 f(a+1)>f(2). [答案] A 6.已知函数 f(x)=|lg x|.若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是( A.(2 2,+∞) C.(3,+∞) B.[2 2,+∞) D.[3,+∞) )

[解析] 函数 f(x)=|lg x|的大致图像如图所示.

由题意结合图知 0<a<1,b>1. 1 ∵f(a)=|lg a|=-lg a=lg =f(b)=|lg b|=lg b,

a

1 2 ∴b= .∴a+2b=a+ .

a

a

2 令 g(a)=a+ ,

a

2

则易知 g(a)在(0, 2)上为减函数, 2 ∴当 0<a<1 时,g(a)=a+ >g(1)=1+2=3.故选 C.

a

[答案] C 二、填空题
? ?2 ,x≤0, 7.(2015·济南模拟)设函数 f(x)=? ?log2x,x>0, ?
x

则 f(f(-1))=________.

1 1 1 -1 [解析] f(-1)=2 = ,所以 f(f(-1))=f( )=log2 =-1. 2 2 2 [答案] -1 8.计算:log2.56.25+lg 0.001+ln e+ =________.

1 3 1 3 2 -3 [解析] 原式=log2.5(2.5) +lg 10 +ln e2 +2log22 =2-3+ + =1. 2 2 [答案] 1 9.(2014·重庆高考)函数 f(x)=log2 x·log 1 [解析] 依题意得 f(x)= log2x·(2+2log2x) 2 1?2 1 1 1 1 ? 2 =(log2x) +log2x=?log2x+ ? - ≥- , 当且仅当 log2x=- , 即 x= 时等号成立, 2? 4 4 2 ? 2 1 因此函数 f(x)的最小值为- . 4 1 [答案] - 4 10.(2015·哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 1-x
2

(2x)的最小值为________.

x

ab 的取值范围是________.
[解析] 由题意可知 ln 即 ln(

a

1-a

+ln

=0, 1-b

b

× )=0,从而 × =1, 1-a 1-b 1-a 1-b

a

b

a

b

化简得 a+b=1,故 ab=a(1-a)=-a +a 1 2 1 =-(a- ) + ,又 0<a<b<1, 2 4 1 1 2 1 1 所以 0<a< ,故 0<-(a- ) + < . 2 2 4 4

2

3

1 [答案] (0, ) 4 三、解答题 11.(2015·珠海模拟)函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(0)=0,当 x>0 时,f(x)= 1 log x. 2 (1)求函数 f(x)的解析式. (2)解不等式 f(x -1)>-2. [解] (1)当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=log1 2 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x). 所以函数 f(x)的解析式为 2 ? ? f(x)=?0,x=0, log1 ?-x?,x<0. ? ? 2 log1 x,x>0, (2)因为 f(4)=log1 4=-2, 2 因为 f(x)是偶函数,所以不等式 f(x -1)>-2 可化为 f(|x -1|)>f(4). 又因为函数 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 所以|x -1|<4,解得- 5<x< 5, 即不等式的解集为(- 5, 5). 12.已知函数 f(x)=ln
2 2 2 2

(-x).

x+1 . x-1

(1)求函数 f(x)的定义域,并判断函数 f(x)的奇偶性; (2)对于 x∈[2,6],f(x)=ln 围. [解] (1)由

x+1 m >ln 恒成立,求实数 m 的取值范 x-1 ?x-1??7-x?

x+1 >0, x-1

解得 x<-1 或 x>1, ∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 当 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,

f(-x)=ln

-x+1 x-1 x+1 =ln =-ln =-f(x), -x-1 x+1 x·1

4

∴f(x)=ln

x+1 是奇函数. x-1 x+1 m >ln 恒成立. x-1 ?x-1??7-x?

(2)由 x∈[2,6]时,f(x)=ln ∴

x+1 m > >0, x-1 ?x-1??7-x?

∵x∈[2,6], ∴0<m<(x+1)(7-x)在 x∈[2,6]上成立. 令 g(x)=(x+1)(7-x) =-(x-3) +16,x∈[2,6], 由二次函数的性质可知 x∈[2,3]时函数 g(x)单调递增, x∈[3,6]时函数 g(x)单调递减,
2

x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7,
∴0<m<7.

5



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