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2016年高三数学(理)创新设计资料包阶段回扣练9



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阶段回扣练 9

平面解析几何

(建议用时:90 分钟)
一、选择题 x2 y2 1.(2015· 北京西城区模拟)直线 y=2x 为双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的一 条渐近线,则双曲线 C 的离心率是 ( A. 3 )


3 5 B. 2 C. 5 D. 2 b c 解析 由题意知a=2,得 b=2a,c= 5a,所以 e=a= 5,故选 C. 答案 C 2. 已知圆 C 经过 A(5, 2), B(-1, 4)两点, 圆心在 x 轴上, 则圆 C 的方程是( A.(x-2)2+y2=13 C.(x+1)2+y2=40 解析 B.(x+2)2+y2=17 D.(x-1)2+y2=20 (a-5)2+22 = )

设 圆 心 坐 标 为 C(a , 0) , 则 |AC| = |BC| , 即

(a+1)2+42,解得 a=1,所以半径 r= (1+1)2+42= 20=2 5,所 以圆 C 的方程是(x-1)2+y2=20. 答案 D 3.(2014· 南昌模拟)方程(x2+y2-2x)· x+y-3=0 表示的曲线是 A.一个圆和一条直线 C.一个圆 解析 B.一个圆和一条射线 D.一条直线 ( )

?x+y-3≥0, 依题意,题中的方程等价于①x+y-3=0 或②? 2 2 注意到 ?x +y -2x=0.

圆 x2+y2-2x=0 上的点均位于直线 x+y-3=0 的左下方区域,即圆 x2+y2 -2x=0 上的点均不满足 x+y-3≥0,②不表示任何图形,因此题中的方程 表示的曲线是直线 x+y-3=0,故选 D. 答案 D x2 y2 4.(2014· 东北三省四市联考)以椭圆 8 + 5 =1 的焦点为顶点,以椭圆的顶点为焦

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点的双曲线的离心率为 2 26 A. 13 2 6 B. 3 8 C.3 13 D. 8

(

)

c 2 2 2 6 解析 由题意知双曲线的 a= 3,c=2 2,所以 e=a= = 3 . 3 答案 B 5.(2015· 福州质量检测)若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A,B 两点,则CA·CB的值为 ( ) B.0 C .1 D.10 |3-3+2| = 2, 2





A.-1

解析 依题意,圆心 C(3,3)到直线 x-y+2=0 的距离等于 cos

∠ACB 2 ∠ACB → → = , = 45 °,∠ ACB = 90 °, CA ·CB=0,故选 B. 2 2 2

答案 B x2 y2 6.(2015· 长沙模拟)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0),离心率 e= 2,右焦点 F(c, 0).方程 ax2-bx-c=0 的两个实数根分别为 x1,x2,则点 P(x1,x2)与圆 x2 +y2=8 的位置关系是 A.点 P 在圆外 C.点 P 在圆内 B.点 P 在圆上 D.不确定 ( )

b c 2 解析 依题意得 a=b,c= 2a,x1+x2=a=1,x1x2=-a=- 2,x2 1+x2=(x1 +x2)2-2x1x2=1+2 2<8,因此点 P 位于圆 x2+y2=8 内,故选 C. 答案 C x2 y2 7.(2014· 海口调研)已知点 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右 a b 焦点,P 为双曲线左支上的任意一点,且|PF2|=2|PF1|,若△PF1F2 为等腰三 角形,则双曲线的离心率为 A.3 B. 2 C.2 3 D.2 ( )

解析 依题意得|PF2|-|PF1|=2a,又|PF2|=2|PF1|,所以|PF2|=4a,|PF1|=2a. 又△PF1F2 为等腰三角形,所以|PF2|=|F1F2|,即 4a=2c,所以双曲线的离心

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c 率为 e=a=2,故选 C. 答案 C y2 8.(2014· 西安模拟)已知双曲线 x2- 3 =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双 曲线右支上一点,则PA1·PF2的最小值为 A.-2 81 B.-16 C .1 D.0





(

)

y2 解析 设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0),F2(2,0),则有 3 =x2 -1,y2=3(x2-1),PA1·PF2=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+ ? 1?2 81 y2=x2+3(x2-1)-x-2=4x2-x-5=4?x-8? -16,其中 x≥1.因此,当 x=1 ? ? 时,PA1·PF2取得最小值-2,选 A. 答案 A 9.(2013· 皖南八校联考)已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y2=8x 交于 A, B 两点,F 为抛物线 C 的焦点,若|AF|=2|BF|,则 k 的值是 1 A.3 2 2 B. 3 C .2 2 2 D. 4 ( )









解析 直线 y=k(x-2)恰好经过抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0),
2 ?y =8x, 由? 可得 ky2-8y-16k=0,因为 ?y=k(x-2),

8 8 |FA|=2|FB|,所以 yA=-2yB.则 yA+yB=-2yB+yB=k ,所以 yB=- k,yA·yB =-16,所以-2y2 B=-16,即 yB=±2 2.又 k>0,故 k=2 2. 答案 C 10.(2014· 湖北卷)已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公 π 共点,且∠F1PF2 = 3 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ) 2 3 B. 3 C .3 D.2 4 3 A. 3 解析 法一

设|PF1|=r1,|PF2|=r2(r1>r2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,

2 双曲线实半轴长为 a2, 椭圆、 双曲线的离心率分别为 e1, e2, 由(2c)2=r1 +r2 2-

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π 2r1r2cos 3 ,
2 得 4c2=r2 1+r2-r1r2.

?r1+r2=2a1, ?r1=a1+a2, 由? 得? ?r1-r2=2a2 ?r2=a1-a2, 1 1 a1+a2 r1 ∴e +e = c = c ,
1 2 2 r1 令 m=c2=

4 r2 1 = 2 r2 1+r2-r1r2

4

?r2?2 r2 1+?r ? -r ? 1? 1



4 , ?r2 1?2 3 ?r -2? + ?1 ? 4

r2 1 16 4 3 ?r1? 当r =2时,mmax= 3 ,∴? c ? = 3 , ? ? max 1 1 1 4 3 即e +e 的最大值为 3 . 1 2 法二 假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F1,F2 分别为左、右焦点.设 x2 y2 椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0), x2 y2 双曲线的方程为m2-n2=1(m>0,n>0), 它们的离心率分别为 e1,e2, 则|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在△PF1F2 中, π 4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos 3 ?a2+3m2=4c2 ?a?2 ?m?2 ?? c? +3? c ? =4, ? ? ? ? ? a?2 ?a m?2 1 1 a m 4 3 ?m?2??1+1? + ? ? + = + ≤ ? 则?? ≥ ?c? +3? c ? ?? 3? ? 3 ,当且仅当 a=3m 时, ?c c ? e1 e2 c c ? ? ?? ?? ? 等号成立,故选 A. 答案 A 二、填空题 11.(2014· 成都诊断)已知直线 l1:ax+(3-a)y+1=0,l2:2x-y=0.若 l1⊥l2,则 实数 a 的值为________. 解析 依题意得 答案 1 a 1 =-2,解得 a=1. a-3

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12.(2015· 济南模拟)已知直线 3x-4y+a=0 与圆 x2-4x+y2-2y+1=0 相切, 则实数 a 的值为________. 解析 圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4, 由直线 3x-4y+a=0 与圆(x-2)2 +(y-1)2=4 相切得圆心(2, 1)到直线的距离 d 等于半径, 所以 d= 2,解得 a=-12 或 8. 答案 -12 或 8 x2 y2 3 13.(2015· 云南统一检测)已知双曲线 S 与椭圆 9 +34=1 的焦点相同,如果 y=4 x 是双曲线 S 的一条渐近线,那么双曲线 S 的方程为________. 3 解析 由题意可得双曲线 S 的焦点坐标是(0,±5).又 y=4x 是双曲线 S 的一 a 3 条渐近线,所以 c=5,b=4,a2+b2=c2,解得 a=3,b=4,所以双曲线 S y2 x2 的标准方程为 9 -16=1. y2 x2 答案 9 -16=1 x2 y2 14.(2015· 湖北七市(州)联考)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的左支没有公共点, 则此双曲线离 心率的取值范围是________. b 解析 依题意, 0<a≤tan 45°=1, 所以双曲线的离心率 e= 2]. 答案 (1, 2] x2 y2 15.(2014· 山东卷)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A, 抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c, 且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为________. 解析 c2=a2+b2.① 由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知, p? c2 p2 ? c ,- 双曲线过点? ,即a2-4b2=1.② 2? ? ? ?b?2 1+?a? ∈(1, ? ? |6-4+a| = 5

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p2 由|FA|=c,得 c =a + 4 ,③
2 2

由①③得 p2=4b2.④ a2+b2 c2 b 将④代入②,得a2=2.∴ a2 =2,即a=1, 故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 x± y=0. 答案 x± y=0 三、解答题 16.(2014· 东北三省四市联考)圆 M 和圆 P:x2+y2-2 2x-10=0 相内切,且过 定点 Q(- 2,0). (1)求动圆圆心 M 的轨迹方程; (2)斜率为 3的直线 l 与动圆圆心 M 的轨迹交于 A,B 两点,且线段 AB 的垂 1? ? 直平分线经过点?0,-2?,求直线 l 的方程. ? ? 解 (1)由已知|MP|=2 3-|MQ|, 即|MP|+|MQ|=2 3, 且 2 3大于|PQ|, 所以 M 的轨迹是以(- 2,0),( 2,0)为焦点,2 3为长轴长的椭圆,即其 x2 2 方程为 3 +y =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 y= 3x+m,代入椭圆方程得 10x2 +6 3mx+3m2-3=0, 3 3 所以 x1+x2=- 5 m, ? 3 则 AB 的中点为?-10 ? 1 ? 3m,10m?, ?

AB 的垂直平分线方程为 3 1 3? ? y-10m=- 3 ?x+10 3m?, ? ? 1 5 ? ? 将?0,-2?代入得 m=2, ? ?

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5 所以直线 l 的方程为 y= 3x+2. x2 y2 17.(2014· 安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点, 过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|; 3 (2)若 cos∠AF2B=5,求椭圆 E 的离心率. 解 (1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. 因为△ABF2 的周长为 16,所以由椭圆定义可得 4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8. 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k.由椭圆定义可得, |AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k. 在△ABF2 中,由余弦定理可得, |AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B, 6 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2- (2a-3k)· (2a-k). 5 化简可得(a+k)(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2, 可得 F1A⊥F2A, △AF1F2 为等腰直角三角形. 2 c 2 从而 c= 2 a,所以椭圆 E 的离心率 e=a= 2 . x2 y2 3 18.已知椭圆 C:b2+a2=1(a>b>0)的离心率为 2 ,椭圆 C 的短轴的一个端点 P 到焦点的距离为 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知直线 l:y=kx+ 3与椭圆 C 交于 A,B 两点,是否存在实数 k 使得以 线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O?若存在,求出 k 的值;若不存在, 请说明理由.

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?a=2, (1)设椭圆的焦半距为 c,则由题设,得?c 3 = ?a 2 ,

?a=2, 解得? 所以 b2=a2-c2=4-3=1, ?c= 3, y2 2 故所求椭圆 C 的方程为 4 +x =1. (2)存在实数 k 使得以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 理由如下: 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), y2 将直线 l 的方程 y=kx+ 3代入 4 +x2=1, 并整理,得(k2+4)x2+2 3kx-1=0.(*) 2 3k 1 则 x1+x2=- 2 ,x1x2=- 2 . k +4 k +4 因为以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O, 所以OA·OB=0,即 x1x2+y1y2=0. 又 y1y2=k2x1x2+ 3k(x1+x2)+3, 1+k2 6k2 11 于是- 2 - 2 +3=0,解得 k=± 2 , k +4 k +4 经检验知:此时(*)式的 Δ>0,符合题意. 11 所以当 k=± 2 时,以线段 AB 为直径的圆恰好经过坐标原点 O. 19.(2014· 浙江卷)已知△ABP 的三个顶点都在抛物线 C: x2=4y 上, F 为抛物线 C 的焦点, 点 M 为 AB 的中点, PF=3FM. (1)若|PF|=3,求点 M 的坐标; (2)求△ABP 面积的最大值. 解 (1)由题意知焦点 F(0,1),准线方程为 y=-1. 设 P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到 y0=2,所以 P(2 2,2)或











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P(-2 2,2).

→ → ? 2 2 2? ?2 2 2? ?或 M ? 由PF=3FM,分别得 M ?- ,3?. 3 ,3? ? ? 3 ?
(2)设直线 AB 的方程为 y=kx+m,点 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). ?y=kx+m, 由? 2 得 x2-4kx-4m=0. ?x =4y, 于是Δ =16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以 AB 中点 M 的坐标为(2k,2k2+m). 由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), ?x0=-6k, 所以? 2 ?y0=4-6k -3m. 1 4 2 由 x2 0=4y0,得 k =- m+ . 5 15 1 4 由 Δ>0,k2≥0,得-3<m≤3. 又因为|AB|=4 1+k2· k2+m, 点 F(0,1)到直线 AB 的距离为 d= |m-1| . 1+k2





所以 S△ABP=4S△ABF=8|m-1| k2+m = 16 15 3m3-5m2+m+1.

4? ? 1 记 f(m)=3m3-5m2+m+1?-3<m≤3?. ? ? 令 f′(m)=9m2-10m+1=0, 1 解得 m1=9,m2=1. 4? ? 1 1? ?1 ? ? 可得 f(m)在?-3,9?上是增函数, 在?9,1?上是减函数, 在?1,3?上是增函数. ? ? ? ? ? ? ?1? 256 ?4? 又 f?9?=243>f?3?. ? ? ? ? 1 256 所以,当 m=9时,f(m)取到最大值243, 55 256 5 此时 k=± 15 .所以,△ABP 面积的最大值为 135 .



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