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正弦定理余弦定理的应用导学案



即墨实验高中高三数学(文)复习学案
正弦定理和余弦定理
编写人: 隋海波 审核人: 高三文科数学

∠BDA=δ.在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC,再在△ABC 中,应用余弦定 理计算出 AB. 若测得 CD= 距离. 3 km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° ,∠ACB=45° ,求 A,B

两点间的 2

编号:08
时间:2015-09-16

一.知识梳理
1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_____时叫仰角,目标 视线在水平视线_____时叫俯角.(如图(a)).

角度二 两点不相通的距离 2.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角. 如 B 点的方位角 为 α(如图(b)). 3.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度. 2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当的位置 C,用经纬仪 测出角 α,再分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 的长.

二.课前自主检测
1 若点 A 在点 C 的北偏东 30° ,点 B 在点 C 的南偏东 60° ,且 AC=BC,则点 A 在点 B 的( A.北偏东 15° C.北偏东 10° B.北偏西 15° D.北偏西 10° 角度三 两点间可视但有一点不可到达 3.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的岸边选定一点 C, 可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在 △ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB. )

2.如图,设 A,B 两点在河的两岸,一测量者在 A 的同侧,选定一点 C,测出 AC 的距离为 50 m,∠ACB=45° ,∠CAB=105° ,则 A,B 两点的距离为( A.50 2 m C.25 2 m )

B.50 3 m 25 2 D. m 2

【课堂自主导学】 考点分析
考点一 测量距离问题 角度一 两点都不可到达 1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A,B 两点均不可到达,测出 AB 的距离,测量者可以在河 岸边选定两点 C,D,测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,
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若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点间的距离为________.

考点二 测量高度问题 例 2 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A, B,C 三地位于同一水平面上,在 C 处进行该仪器的垂直弹射,观测点 A,B 两地相距 100 米,∠ 2 BAC=60° ,在 A 地听到弹射声音的时间比 B 地晚 秒.在 A 地测得该仪器至 17 最高点 H 时的仰角为 30° ,求该仪器的垂直弹射高度 CH.(声音在空气中的传 播速度为 340 米/秒)

船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西 30° ,相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值. .

课堂检测
1.一艘海轮从 A 处出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40° 的方向直线航行,30 分钟后到 达 B 处,在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察灯塔,其方向是南偏东 70° ,在 B 处观察灯塔,其方 向是北偏东 65° ,那么 B,C 两点间的距离是( 变式训练 要测量电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° ,在 D 点测得塔顶 A 的 仰角是 30° ,并测得水平面上的∠BCD=120° ,CD=40 m,求电视塔的高度. A.10 2海里 C.20 3海里 ) B.10 3海里 D.20 2海里

2.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得 俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m. 3.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到 达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2海里.问:乙船每小 考点三 测量角度问题 例 2 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东 45° 方向,相距 12 n mile 的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75° 方向前进,若红方侦察艇以每 小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° +α 方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红 方侦察艇所需的时间和角 α 的正弦值. 时航行多少海里?

变式训练 如图所示,处于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔
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即墨实验高中高三文科数学课后巩固练习
正弦定理和余弦定理的应用
编写人: 隋海波 审核人: 高三文科数学

出发时,轮船位于港口 O 北偏西 30° 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并正以 30 海里/小时的航行 速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行 速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.

编号:08

时间:2015-09-16

【历年高考题】
1.1.如图,一艘船上午 9∶30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30° 的方向,之后它继续沿正北 方向匀速航行,上午 10∶00 到达 B 处,此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75° 的方向,且 与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.

21 .2.(2013· 湖北八市联考)如图所示,已知树顶 A 离地面 米,树上 2 11 3 另一点 B 离地面 米,某人在离地面 米的 C 处看此树,则该人离此树 2 2 ________米时,看 A,B 的视角最大.

3.(2013 江苏,16 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游 客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1 12 3 260 m,经测量,cos A= ,cos C= . 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?

2.(2010 福建,12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇
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【课后巩固导练】

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在观察站南偏 西 40° ,灯塔 B 在观察站南偏东 60° ,则灯塔 A 在灯塔 B 的( A.北偏东 10° C.南偏东 80° )

向走 10 米到位置 D,测得∠BDC=45° ,则塔 AB 的高是________. 7.(2013· 福建高考)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC, 2 2 ∠BAC= ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 8.某路边一树干被台风吹断后,折成与地面成 45° 角,树干也倾斜为与地面成 75° 角,树干底 部与树尖着地处相距 20 m,则折断点与树干底部的距离是________ m. 9.在海岸 A 处,发现北偏东 45° 方向,距离 A 处( 3-1)海里的 B 处有一艘走私船;在 A 处北 偏西 75° 方向,距离 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追截走私船.同时, 走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30° 方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走 私船?最少要花多少时间? sin

B.北偏西 10° D.南偏西 80°

2.如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测量,已知 AB=50 m,BC=120 m,于 A 处测得水深 AD=80 m,于 B 处测得水深 BE=200 m,于 C 处测得水 深 CF=110 m,则∠DEF 的余弦值为( )

16 A. 65 16 C. 57

19 B. 65 17 D. 57

3.如图,两座相距 60 m 的建筑物 AB,CD 的高度分别为 20 m、50 m,BD 为水 平面,则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为( A.30° C.60° ) B.45° D.75°

4.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷 水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高度是( A.50 m C.120 m ) B.100 m D.150 m

5.(2014· 厦门模拟)在不等边三角形 ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,其中 a 为 最大边,如果 sin2(B+C)<sin2B+sin2C,则角 A 的取值范围为( π 0, ? A.? ? 2? π π? C.? ?6,3? π π? B.? ?4,2? π π? D.? ?3,2? )

6.(2014· 大连联合模拟)如图, 为测得河对岸塔 AB 的高, 先在河岸上选一点 C, 使 C 在塔底 B 的正东方向上,测得点 A 的仰角为 60° ,再由点 C 沿北偏东 15° 方
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