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河北省衡水冀州中学2015届高三第三四次月考数学(文)试题(WORD版)



河北省衡水市冀州中学 2015 届高三上学期第四次月考 数学文试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每一小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 P ? {x | x 2 ? 1}, M ? {a} ,若 P M ? P ,则 a 的取值范围是( ) A. (??, ?1] 2.已知 B. [1, ??) C. [?

1,1] D. (??, ?1] [1, ??)

1 ? ai 为纯虚数(是虚数单位)则实数 a ? ( ) 1? i A. B. 2 C. ? 1 D. ? 2 3.在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD ? 2 DB , CD ? r AB ? s AC ,则 r ? s = ( 2 4 A. B. C. ? 3 D. 0 3 3 4.“ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ? 1) y ? 2 ? 0 与直线 3 x ? my ? 3 ? 0 垂直”的(





A. 充分而不必要条件 C. 充要条件

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.函数 f ? x ? 在定义域 R 上的导函数是 f ? ? x ? ,若 f ? x ? ? f ? 2 ? x ? ,且当 x ? ? ??,1? 时,

? x ? 1? f ? ? x ? ? 0 ,设 a ? f ? 0 ? 、 b ?

f

? 2 ? 、 c ? f ? log 8? ,则
2

(

)

A. a ? b ? c B. a ? b ? c C. c ? a ? b D. a ? c ? b 6.在 ?ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 ?ABC 是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 ?2 x ? y ? 2 ? 0 y?x ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 s ? 的取值范围是 ( x ?1 ?x ? y ?1 ? 0 ?
1 ? 2? ?1 ? ?1 ? A. ?1, ? B. ? ,1? C. ? , 2 ? D. [? ,1] 2 ? 3? ?2 ? ?2 ? 8. ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 B ? 2 A , a ? 1 , b ? 3 ,



则c ? ( A.1

) B.2 C. 2 D.2 或 1

?x ?1 (0 ? x ? 1) ? 9. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 ,若 f (a ) ? f (b) ,则 b ? f (a ) 的取值 2 ? ( x ? 1) ? ? 2
范围是( )

A. ?1,2? 10.过双曲线

?3 ? B. ? ,2? ?4 ?

?1 ? C. ? ,2 ? ?2 ?

?3 ? D. ? ,2 ? ?4 ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线的 a 2 b2 1 两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是( ) 2 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 11. 已知 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, 且 S 6 ? S 7 ? S5 , 给出下列五个命题: ① d ? 0 ;

② S11 ? 0 ;③ S12 ? 0 ;④数列 ?S n ? 中的最大项为 S11 ;⑤ a6 ? a7 。其中正确命题的个 数是( A. 3 ) B.4 C. 5 D. 1 )

12.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ? N* ,若 ?x0 , n ? N* ,使 f ( x0 ) ? f ( x0 ? 1) ? ? f ( x0 ? n) ? 63 成立,则称 ( x0 , n) 为函数 f ( x) 的一个“生成点”.函数 f ( x) 的“生成点”共有( A. 2 个 B .3个 C .4个 D . 5个 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,将答案填在答题 卡中的相应位置. 13 .已知向量 a, b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 a ? 1, b ? 2 , 则 a 在 b 上的投影为_______________.

14.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图 中的正方形边长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆, 则该器皿的表面积是 15. 已知函数 f ? x ? ? log 3 ? x 2 ? ax ? a ? 5 ? ,f ? x ? 在区间 ? ??,1? 上是递减函数, 则实数 a 的 取值范围为_________. 16. 已知圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 1? a ? 0 ? 与直线 y ? 3x 相交于 P 、Q 两点, 则当 ?CPQ 的
2 2

面积最大时,实数 a 的值为



三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤). 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S3 ? 0 , S5 ? ?5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求数列 {
1 } 的前 n 项和. a2 n ?1a2 n ?1

18. .(本小题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是 ?DAB ? 60? 且边长为 a 的菱形,侧面 PAD 是等边三角形,且平面 PAD ⊥底面 ABCD , G 为 AD 的中点. (1)求证: BG ? PD; (2)求 点 G 到平面 PAB 的距离。

19.(本小题满分 12 分) 我校高三年级进行了一次水平测试.用系统抽样的方法抽取了 50 名学生的数学成绩, 准备进行分析和研究.经统计成绩的分组及各组的频数如下: [40,50), 2; [50,60), 3; [60,70), 10; [70,80), 15; [80,90), 12; [90,100], 8. (Ⅰ )完成样本的频率分布表;画出频率分布直方图. (Ⅱ )估计成绩在 85 分以下的学生比例; (Ⅲ )请你根据以上信息去估计样本的众数、中位数、平均数 .(精确到 0.01) 频率
分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 O 40 50 60 70 80 90 100
成绩

频率

组距

0. 03·

0. 02 ·

0. 01 ·

20. (本小题满分 12 分) 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆
x2 y2 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 相交于 A 、 B 两点. a2 b2 3 (1)若椭圆的离心率为 ,焦距为 2 ,求线段 AB 的长; 3 ( 2 )若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率 1 2 e ?[ , ] 时,求椭圆长轴长的最大值. 2 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 y ? f ( x) ?
ln x 。 x
1 处的切线方程; e

(Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ?

(Ⅱ)求 y ? f ( x) 的最大值; (Ⅲ)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x) ? af ( x) 在 ?a,2a ?上的最小值 请考生在第 23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请 写清题号. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? ?4 ? cos t ? x ? 8cos ? 已知曲线 C1 : ? (为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) . ? y ? 3 ? sin t ? y ? 3sin ? (1)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ? ( 2 )若 C1 上的点 P 对应的参数为 t ? , Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 2 ? x ? 3 ? 2t (为参数)距离的最小值. C3 : ? ? y ? ?2 ? t 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 (1)求函数 f ( x) 的值域
2 (2)求不等式: f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集.

河北冀州中学高三年级第四次月考 文科数学答题卡
班级 考场 准考证号 姓名 条形码粘贴区(居中)

缺考 违纪

注意事项
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写 清楚,并认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂; 非选择题必须使 用 0.5 毫米及以上黑色字迹的签字笔书写, 要求 字体公整,笔记清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区域内作答,超出 答题区域书写的答案无效; 4.保持卡面清洁,不装订,不要折叠,不要破损。

填涂样例 正确填涂 错误填涂

一.

选择题(每小题 5 分,共 60 分) 5 a b c d 6 a b c d 7 a b c d 8 a b c d 9 a b c d 10 a b c d 11 a b c d 12 a b c d

1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d

二. 13、 15、

填空题(每小题 5 分,共 20 分) 14、 16、

三. 解答题 17、(12 分)

18、(12 分)

19、(12 分)
分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 0.01 · 40 50 60 70 80 90 100
成绩

频率

频率 组距

0.03 · 0.02 ·

O

20、(12 分)

21、(12 分)

(10 分)
请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做 第一题记分。在答题卡选答区域指定位置答题,并用 2B 铅笔在答 题卡上所选题目的题号涂黑。 注意所做题目的题号必须和所涂题目 的题号一致。

冀州中学高三数学第四次月考试卷(文)答案

CADAC

ADBBC

AA

1 2

? ? 24

[?3, ?2]

5 2

17、 【答案】(1)设{a}的公差为 d,则 S= na1 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, 解得a1 ? 1, d ? ?1. ? 由已知可得 ?5a1 ? 10d ? ?5, ————4 分

故 ?an ?的通项公式为an =2-n. ————6 分
(2)由(I)知 从而数列 ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), ————8 分 a2 n ?1a2 n ?1 (3 ? 2n)(1 ? 2n) 2 2n ? 3 2n ? 1
+ 1 1 n .12 分 ? )? 2n ? 3 2n ? 1 1 ? 2n

?

? 1 1 1 1 1 1 ?的前n项和为 ( - + - + 2 -1 1 1 3 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

18、解、 (1)连接 PG,∴ PG ? AD ,∵平面 PAG ? 平面 ABCD ∴ PG ? 平面 ABCD ,∴ PG ? GB , 又 GB ? AD 是 ∴ GB ? 平面 PAD??????????????????????6 分 (2)设点 G 到平面 PAB 的距离为 h,△PAB 中, PA ? AB ? a, PB ?

6 15 2 a, ∴面积 S= a 2 8

∵ VG ? PAB ? V A? PGB ,∴

1 15 2 1 3 2 3 15 ? a ?h ? ? a ? a ,∴ h ? a ??? 12 分 3 8 3 8 2 10
频率 组距
0.03

19.(本小题满分 12 分) (Ⅰ )频率分布表 分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计 频数 2 3 10 15 12 8 50 频率 0.04 0.06 0.2 0.3 0.24 0.16 1
0.006 0.004 0.016 0.024 0.02

.
6 0 70 80 90 10 0 样 本 数 据

O 445 4 (Ⅱ )成绩在 85 分以下的学生比例:72% (Ⅲ )众数为 75、中位数约为 76.67、平均数为 76.2 20、 (1)? e ?
000

3 c 3 ,2c=2,即 ? ∴ a ? 3 则b ? a2 ? c2 ? 2 3 a 3

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1, 3 2

2分

将 y ? ? x ? 1 代入消去 y 得: 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ∴ 1 ? (?1)
2

6 12 8 3 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) 2 ? ? 5 5 5

4分

(2)设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )

? OA ? OB ? OA ? OB ? 0 ,即 x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0
2 2 ? ?x ? y ?1 由 ? a 2 b2 ,消去 y 得: (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? ? y ? ?x ?1

6分

由 ? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 1 又 x1 ? x 2 ?

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x x ? 1 2 a2 ? b2 a2 ? b2
8分

? y1 y 2 ? (? x1 ? 1)(? x 2 ? 1) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1
由 x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 ,得: 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0

?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 1 ? 0 ,整理得: a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0 2 2 2 2 a ?b a ?b

b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得: 2a 2 ? 1 ?
? 1 2 1 1 1 3 ?e? ,? ? e 2 ? ,? ? 1 ? e 2 ? 2 2 4 2 2 4

1 1 1 ,? a 2 ? (1 ? ) 2 2 1? e 1 ? e2

10 分

?

4 1 7 1 7 3 ? ? 2,? ? 1 ? ? 3,? ? a 2 ? ,条件适合 a 2 ? b 2 ? 1 , 2 2 3 1? e 3 6 2 1? e
42 6 42 ?a? ,? ? 2a ? 6 ,故长轴长的最大值为 6 . 6 2 3
12 分

由此得:

21 解(1)? f ( x) 定义域为 ?0,?? ?

? f / (x) ?

1 - lnx x2

1 ? f ( ) ? ?e e 1 又 ? k ? f / ( ) ? 2e 2 e

? 函数 y ? f ( x) 的在 x ?

1 处的切线方程为: e
4分

1 y ? e ? 2e 2 ( x ? ) ,即 y ? 2e 2 x ? 3e e
(2)令 f / ( x) ? 0 得 x ? e

? 当 x ? (0, e) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0, e) 上为增函数
当 x ? (e,??) 时, f / ( x) ? 0 ,在 (e,??) 上为减函数

? f max ( x) ? f (e) ?

1 e

8分

(3)? a ? 0 ,由(2)知: F ( x) 在 (0, e) 上单调递增,在 (e,??) 上单调递减。

? F ( x) 在 ?a,2a ?上的最小值 f min ( x) ? min{F (a ), F (2a )}

? F ( a ) ? F ( 2a ) ?

1 a ln 2a 2

? 当 0 ? a ? 2 时, F (a ) ? F (2a ) ? 0, f min ( x) ? F (a ) ? ln a
当 2 ? a 时 F (a ) ? F (2a ) ? 0 , f min ( x) ? F (2a ) ?
2 2

1 ln 2a 2a

12 分 5分

x2 y 2 23、 (1) C1 : ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 1 , C2 : ? ?1 64 9
(2 最小值

8 5 . 5

10 分

24、 (1) f ( x) ? ? 2 x ? 7

? ? -3 ? ? 3

x?2 2? x?5 x?5

当,所以 ? 3 ? f ( x) ? 3 5分 2 (2)由(1)可知, 当 x ? 2时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集; 当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? 3 ? x ? 5} ; 当 x ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? x ? 6} ; 综上,不等式 f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 的解集为: {x 5 ? 3 ? x ? 6} ; 10 分



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