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1.1.3



1.1.3 导数的几何意义

1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:

?y f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x2 ? x1 ?x
2.平均变化率的几何意义: 割线的斜率
y f(x2)

y=f(x)

B

?y f (

x 2 ) ? f ( x1 ) . k? ? x2 ? x1 ?x

f(x2)-f(x1)=△y
f(x1) A

O

x2-x1=△x x x x
1 2

3.导数的概念 函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ? ( x 0 ) 或 y ? | x ? x0 , 即
f (x ? Δx ) ? f ( x ) f ( x) ? f ( x ) 0 0 ? lim 0 f ?( x ) ? lim x ? x0 0 ?x ? 0 ?x x? x 0

4.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤

(1)求函数的增量?y ? f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ).
?y f ( x 0 ??x ) ? f ( x0 ) ( 2)求平均变化率 ? . ?x ?x
?y ( 3 )取 极 限 , 得 导 数 f ?( x 0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x

1.根据导数的几何意义描述实际问题.
2.求曲线上某点处的切线方程.(重点) 3.导函数的概念及对导数的几何意义的理解. (难点)

探究点1 切线 平面几何中我们是怎样判断直线是否是

圆的割线或切线的呢?

如图,直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?
y

l1 l2
A
B

O

x

观察图形你能得到什么结论? 切线的定义: 当点 P n 趋近于点 P时 ,
y

y=f(x)

割线 PP 趋近于确定的位置, n
这个确定位置的直线PT 称为点P处的切线. o
x

注:曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,

可以有多个,甚至可以有无穷多个.

探究点2

导数的几何意义

在上面的研究过程中,某点的割线斜率和切线
斜率与某点附近的平均变化率和某点的瞬时变化率

有何联系?
平均变化率
?x ? 0

瞬时变化率(导数) 切线的斜率

割线的斜率

?x ? 0

导数的几何意义
函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数就是曲线

在点(x0,f(x0))处的切线的斜率 k , 即:

f ? x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) k ? lim ? f ?( x0 ) ?x ?0 ?x
曲线在点(x0,f(x0))处的切线的方程为:

y ? f ( x 0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x 0 ).

例1

求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) 解: k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x )2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim ?x ? 0 ?x 2?x ? ( ?x )2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x

y = x +1
?y

2

P
?x

M

因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.

1 -1 O

j

x

1

【总结提升】
求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出切点的坐标;
②求切线的斜率,即函数y=f(x)在x=x0处的导数;

③利用点斜式求切线方程.

例2 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h ( t ) ? ? 4 . 9 t ? 6 . 5 t ? 10 的图象. 根据图象, 请描述、
2

比较曲线 h ( t ) 在 t 0 , t1 , t 2 附近的变化情况.
h
l0

l1

o

t3 t4 t0

t1

t2 l2

t

解:可用曲线h(t)在t0 ,t1 ,t2处 的切线刻画曲线 h(t)在上述三 个时刻附近的变化情况. (1)当t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线l0平行于 t 轴. 故在 t = t0 附近曲线比较平 坦, 几乎没有升降.

h

l0

l1

o

t3 t4 t0

t1

t2 l2

t

(2)当t = t1时, 曲线 h(t)在t1处的切线l1的斜率

h′(t1)<0.故在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1
附近单调递减.

h

(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的 切线l2的斜率h′(t2)<0.故在t=t2 附近曲线下降,即函数h(t)在 t=t2附近也单调递减.
o t3 t4 t0

l0

l1

t1

t2

l2

t

从图可以看出,直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾
斜程度,这说明曲线h(t)在t1附近比在t2附近下降得缓

慢.

【总结提升】
通过观察跳水问题中导数的变化情况,你得到了哪些结 论?

(1)以直代曲:大多数函数就一小段范围看,大致
可以看作直线,某点附近的曲线可以用过该点的 切线近似代替. (2)函数的单调性与其导函数正负的关系. (3)曲线的变化快慢及切线的倾斜角的内在联系.

例3

如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)(单

位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化的函数图

象,根据图象,估计t=0.2,0.4,0.6,0.8时,血管
中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格的形式 列出.(精确到0.1)

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象.

作t ? 0.8处的切线, 并在切线上取两个点,如(0.7, 0.91),(1.0, 0.48), 则它的斜率约为 k ? 0.48 ? 0.91 ? ?1.4,

1.0 ? 0.7

f ' ? 0.8 ? ? ?1.4.

t 药物浓度的 瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8

0 .3

0

? 0 .5

? 1 .4

从求函数 f ? x ? 在 x ? x0 处导数的过程可以 看到, 当 x ? x0 时, f ? ? x0 ? 是一个确定的数.这 样, 当 x 变化时, f ? ? x ? 便是 x 的一个函数, 我 们称它为f ? x ? 的 导 函 数 (简称 导 数 ). y ? f ? x ? 的导函数有时也记作y?, 即 f ? ? x ? ? y? ?
?x ? 0

lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

.

1.(2014·齐齐哈尔高二检测)曲线f(x)= x 2 ? 6x 在点(1,-5)处的切线斜率为 ( C ) A.k=3 C.k=-4 B.k=-3 D.k=4

1 2 3 2.曲线 y= x -2 在点(1,- )处切线的倾斜角为 2 2 ( B ) A. 1 5π C. 4 π B. 4 π D.-4

3.若曲线y=h(x)在点P(a,h(a))处的切线方程
为2x+y+1=0,那么 ( B )

A.h′(a)=0
C.h′(a)>0

B.h′(a)<0
D.h′(a)不确定

4.曲线y=x3在点P处的切线斜率为3,则点P的坐 标为( B ) A.(-2,-8) C. ( 2 , 8) B.(1,1),(-1,-1) D.(- 1 ,- 1) 2 8

二、填空题 1 1 5.已知曲线 y= -1 上两点 A(2,- ),B(2+Δx, x 2 1 1 直 - +Δy),当 Δx=1 时,割线 AB 的斜率为________ . 6 2
6.P 是抛物线 y=x2 上一点,若过点 P 的切线与直线 1 =2x-1. y=- x+1 垂直,则过点 P 的切线方程为y ________ 2

1.曲线的切线定义.
2.函数

f ( x ) 在 x ? x 0 处的导数 f / ? x 0 ? 的几何意义,

就是函数 f ( x ) 的图象在点 P ? x 0 , f ( x 0 ) ?处的切线的斜

率(数形结合)
f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) f ( x 0 ) ? lim ?x ? 0 ?x
/

=切线的斜率

k.

3.利用导数的几何意义解决实际生活问题,体会

“数形结合”和“以直代曲”的数学思想方法.

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim . 4.导函数(简称导数) f ( x ) ? ? x ?0 ?x
/

聪明出于勤奋,天才在于积累。

——华罗庚



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