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2-2函数的基本性质-板块2.题库



好学者智,善思者康
板块二:函数的奇偶性

400-810-2680

(一) 主要知识:
1.奇函数:如果对于函数 y ? f ( x) 的定义域 D 内任意一个 x ,都有 ?x ? D ,且 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 函数 f ( x) 就叫做奇函数; 2.偶函数:如果对于函数 y ? g ( x) 的定义域 D 内任意一个 x ,都有 ?x ? D ,都有 g (? x) ? g ( x) ,那么 函数 g ( x) 就叫做偶函数. 3.图象特征:如果一个函数是奇函数,则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形, 反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是 奇函数; 如果一个函数是偶函数,则它的的图象是以 y 轴为对称轴的轴对称图形,反之,如果一 个函数的图象关于 y 轴对称,则这个函数是偶函数. 4.奇偶函数的性质: ⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称; ⑵ f ( x) 是偶函数 ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; f ( x) 是奇函数 ? f ( x) 的图象关于原点对称; ⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. ⑷ f ( x) 为偶函数 ? f ( x) ? f (? x) ? f (| x |) . ⑸若奇函数 f ( x) 的定义域包含 0 ,则 f (0) ? 0 .

(二)主要方法:
1.判断函数的奇偶性的方法: ⑴定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再 判断 f ( x) ? ? f ( x) 或 f ( x) ? f (? x) 是否定义域上的恒等式; ⑵图象法; ⑶性质法:①设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域 D ? D1 ? D2 上:奇 ? 奇
? 奇,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 奇 ? 偶,偶 ? 偶 ? 偶,奇 ? 偶 ? 奇;

②若某奇函数若存在反函数,则其反函数必是奇函数;
2. 判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: f ( x) ? f (? x) ? 0 ,
f ( x) ? ?1 . f ( ? x)

(三)典例分析:
【例1】判断下列函数的奇偶性: ⑴ f ( x) ? x 4 ; ⑵ f ( x) ? x5 ; ⑶ f ( x) ? x ?
1 ; x

⑷ f ( x) ?

1 . x2

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【例2】判断下列函数的奇偶性: 1 ⑴ y? ; x ⑵ y ? x4 ? x2 ? 2 ; ⑶ y ? x3 ? x ; ⑷ y ? x3 ? 1 .

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【例3】判断下列函数的奇偶性:
1? x 1? x 1 1 ⑵ f ( x) ? F ( x)( x ? ) ,其中 a ? 0 且 a ? 1, F ( x) 为奇函数. a ?1 2

⑴ f ( x) ? ( x ? 1)

【例4】判断下列函数的奇偶性并说明理由: 1 ? a2 x ⑴ f ( x) ? (a ? 0 且 a ? 1) ; 1 ? a2 x ⑵ f ( x) ? x ? 1 ? 1 ? x ; ⑶ f ( x) ? x 2 ? 5 | x | .

【例5】已知函数 f ( x) ? (m2 ? 1) x2 ? (m ? 1) x ? n ? 2 ,当 m, n 为何值时, f ( x) 是奇函数?

【例6】⑴ 若 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,则 f (0) =__________; ⑵ 若 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函数 , f (3) ? 2 , 且 对 一 切 实数 x 都 有 f ( x ? 4)? f ( x ), 则
f ( 25)=__________;

⑶设函数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0 )对任意非零实数 x1 , x2 满足 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数
y ? f ( x) 是___________(指明函数的奇偶性)
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【例7】设 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ?[0, ? ?) 时 , f ( x) ? x(1 3 x ), 那 么 当 x ? ( ??, 0)时 , ?
f ( x) =_________.

【例8】已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时 f ( x) ? x(1 ? x) .求函数 f ( x) 的解析式.

【例9】 y ? f ( x) 图象关于 x ? 1 对称,当 x ≤1 时, f ( x) ? x 2 ? 1 ,求当 x ? 1 时 f ( x) 的表达式.

【例10】设函数 f ( x) 对于一切实数 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,如果方程 f ( x) ? 0 有且只有两个不相等 的实数根,那么这两根之和等于_____. 【例11】已知函数 f ( x) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x) 在 (??,0) 上是增函数还是减 函数并证明你的判断.对奇函数有没有相应的结论.

【例12】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ?

1 ,求 f ( x) 、 g ( x) . x ?1

【例13】设函数 f ( x) ? A. M ? m ? 2 C. M ? m ? 2
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x3 ? | x | ?2 x 2 ? x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M 与 m 满足( 2 x2 ? | x |

) .

B. M ? m ? 4 D. M ? m ? 4
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【例14】已知 f ( x) ? ax ? b 3 x ? c ln( x ? x 2 ? 1) ? 4 ( a 、b 、 c 为实数) ,且 f (lg log3 10) ? 5 .则 f (lglg3) 的值是( A. ?5 ) . B. ?3
1 ? x2 , g ( x) ? lg | x ? 2 | ?2

C.3

D.随 a 、 b 、 c 而变

【例15】已知 f ( x) ?

? 1 ? x ? x? .则乘积函数 F (x) ? f ( x) g( x) 在公共定义域上的
2

奇偶性为( ) . A.是奇函数而不是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数

B.是偶函数而不是奇函数 D.既非奇函数又非偶函数

【例16】函 数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 有 相 同 的 定 义 域 , 对 定 义 域 中 任 何 x , 有 f ( x)? f (? x) ? 0 ,
g ( x) g (? x) ? 1 ,则 F ( x) ?
2 f ( x) ? f ( x) 是( g ( x) ? 1

) B.偶函数 D.非奇非偶函数

A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

【例17】已知函数 f ( x) ,当 x, y ? R 时恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) . ①求证:函数 f ( x) 是奇函数; ②若 f (?3) ? a ,试用 a 表示 f (24) . ③如果 x ? R ? 时 f ( x) ? 0 ,且 f (1) ? ?0.5 . 试判断 f ( x) 的单调性,并求它在区间 [?2,6] 上的最大值与最小值.

【例18】已知 f ( x), g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? 0 的解集是 (a2 , b) , g ( x) ? 0 的解集是 ? 那么求 f ( x) g ( x) ? 0 的解集.

? a2 b ? b , ? , ? a2 , 2 2? 2 ?

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【例19】已知函数 f ( x) 是奇函数;F ( x) ? (1 ? 的奇偶性.
x

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2 是偶函数, f ( x) 不恒为 0, 且 判断 f ( x) ) f ( x)(x≠0) 2 ?1

【例20】已知 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数并且 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,则求 f ( x) 与 g ( x) 的表达式.

【例21】函数 f ( x) ?

a2 ? x2 为奇函数,则 a 的取值范围是( | x ? a | ?a

) .

A. ?1≤ a ? 0 或 0 ? a ≤1 C. a ? 0

B. a ≤ ?1 或 a ≥1 D. a ? 0

【例22】已 知 函 数 f ( x) ? ?2 x3 ? x . 若 x1 、 x2 、 x3 ? R 且 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 . 则
f ( x )? f ( x ) f ( 3 ( x) 1 2 ?

) . C.等于零 D.大于零或小于零

A.大于零

B.小于零

【例23】函数 f ( x) 在 R 上有定义,且满足① f ( x) 是偶函数;② f (0) ? 2005 ;③ g ( x) ? f ( x ? 1) 是奇函 数;求 f (2005) 的值.

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【例24】已知 y ? f ( x) 为 (??, ?) 上的奇函数,且在 (0,? ?) 上是增函数. ? ⑴求证: y ? f ( x) 在 (??,0) 上也是增函数;
1 ⑵若 f ( ) ? 1 ,解不等式 ?1 ? f (log4 x) ? 0 , 2

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【例25】设函数 y ? f ( x) ( x ? R 且 x ? 0) 对任意非零实数 x1 , x2 ,恒有 f ( x1 x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ⑴求证: f (1) ? f (?1) ? 0 ; ⑵求证: y ? f ( x) 是偶函数;
1 ⑶已知 y ? f ( x) 为 (0 , ??) 上的增函数,求适合 f ( x) ? f ( x ? ) ? 0 的 x 的取值范围. 2

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