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0-3.4函数的奇偶性



复 一、 函数图象的作法 二、 函数的单调性



(注意定义域优先原则)

1.定义:当自变量由小到大 ( x1 ? x 2 ), 函数值也由小到大 ( f ( x1 ) ? f ( x 2 )), 或函数图象从左到右上升, 是增函数 当自变量由小到大 ( x1 ? x 2 ), 函数值反而由大到小 ( f ( x1

) ? f ( x 2 )),

或函数图象从左到右下降, 是减函数 注意事项 (1) 单调性是局部性质,所以它必须落到具体区间上去。 (2)自变量( x1、x 2 ) 必须取区间上的任意两个值。 2.判断一个函数单调性常用图象观察法;

3.证明函数单调性的步骤是 (1)取值,区间中任取两个值x1、x2,且令x1<x2 (2)作差,f(x1)-f(x2) (3) 变形, (4) 定号,(须利用x1<x2 ) (5) 结论,(根据增、减函数的定义)

三.已学函数的单调性
a?0
⑴ 一次函数y=ax+b(a≠0)
y 0
在 x 在

a?0

y
0

x

( ? ?,? ? ) 上是增函数
k

( ? ?,? ? ) 上是减函数
y 0 x 在 ( ? ?,0 ), ( 0 , ? ? ) 上 是增函数

(2)反比例函数 y ? x ( k ? 0)

k?0

k?0

y 0 x

在 ( ? ?,0 ), ( 0 , ? ? ) 上 是减函数

(3)二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

a?0
y

a?0
y

在 ( ??,? 2a ] 上是减函数
x1 0 x2 x
b x?? 2a

b

在 ( ??,? 2a ] 上是增函数
x1 0 x2 x
x?? b 2a

b

在 [?

b ,??) 上是增函数 2a

在 [?

b ,??) 上是减函数 2a



课:

3.4函数的奇偶性

观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗?
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 2 -1

y=x2

y=|x|

y
6 5 4 3 2 1 0 1 2 3

x

x

这两个函数图象有什么共同特点吗?

结论:这两个函数的图象都关于y轴对称。

填写表(1),你发现了什么?
x

y 6 5 4 3

-3 -2 -1 0
2

1 2 3

y=x

9 4 1 0 1 4 9
f(1) = 1 ∴f(-1) = f(1) ∴f(-2) = f(2) ∴f(-3) = f(3)
-3 -2

表(1)

f(-1)= 1

2

f(-2)= 4 f(2) = 4 f(-3)= 9 f(3) = 9

1
-1 0

……

-x

1

x

2

3

x

f(-x)=(-x)2 =x2 f(x)=x2

∴f(-x) = f(x)

y=x2

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相等.

填写表(2),你发现了什么?
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 6

y=|x| 3 2 1 0 1 2 3
表(2)

5
4 3 2

f(-1)= 1

f(1) = 1

∴f(-1) = f(1) ∴f(-2) = f(2) ∴f(-3) = f(3)
-3 -2

f(-2)= 2 f(2) = 2 f(-3)= 3 f(3) = 3

1
-1 0

……
f(-x)=|-x| =|x| f(x)= |x|

1

2

3x

∴f(-x) = f(x)

y=|x|

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的 两个函数值相等.

1.偶函数 (even function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. 例如,函数 f ( x ) ? x 2 ? 1, f ( x ) ? ? x 2 ? 3 都是偶函数, 它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
f ( x) ? x 2 ? 1
y
2 1 -1 0 1 x y 3

f ( x) ? ? x 2 ? 3
2
x

-2

-1

0

(1)

(2)

观察下面两个函数你能发现它们有什么共同特征吗?
y 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x y

3
2 1 -2 -1 0 1 2 3 x

-1
-2 -3

f(x)=x

1 f ( x) ? x

结论:两个函数图象都关于原点对称。

填写表(3),你发现了什么?
y

x

-3 -2 -1

0 1 2 3
2 3
-2

3 2 1

f(x)=x

-3 -2 -1 0 1
表(3)

f(-1)= -1 f(1)= 1 f(2)= 2 f(-3)= -3 f(3)= 3
……

f(-1) =-f(1) f(-2) =-f(2) f(-3) =-f(3)

-x

-1 0 -1 -2 -3

1

2

x

3 x

f(-x) = -f(x)

f(x)=x

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值也是 相反数

填写表(4),你发现了什么?
x

-3 -2 -1 0 1 2 3
无 意 义

1 1 1 f ( x) ? ? ? -1 x 3 2
表(4)

1

1 2

1 3

y 3 2 1

f(-1)= -1
1 2 1 f(-3)= ? 3 ?

f(1) = 1
1 2 1 3

f(-1) =-f(1)
f(-2) =-f(2) f(-3) =-f(3)

-2 -1 0 -1 -2 -3

1

2

3 x

f(3)=

……

f(-x) = -f(x)

1 f ( x) ? x

特点:当自变量x取一对相反数时,相应的函数值也是 相反数

2.奇函数(odd function)
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x, 都有f(-x)= - f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
3 f ( x ) ? x 、f ( x) ? x x 都是奇函数,它们 例如,函数

的图象分别如下图(3)、(4)所示.
y
8

f ( x) ? x

3

y 4 2 1

f ( x) ? x x

-2 -1

1 2

x

-2 -1 0 -1

1

2

x

(3)
-8

(4)
-4

图像特征
偶函数
y 2 1 -1 y
8

观察以下图象,奇函数的图象、偶函数的图象 有何特征?
f ( x) ? x 2 ? 1
y

3

f ( x) ? ? x 2 ? 3
2 x

0 1

x

-2

-1

0

(1) 奇函数
f ( x) ? x
3

(2)
y 4 2 1

f ( x) ? x x

-2 -1

1 2

x

-2 -1 0 -1

1

2

x

(3)
-8

(4)
-4

图像特征
奇函数的图象(如y=x3 ) y 偶函数的图象(如y=x2) y
P/(-a ,f(-a)) p(a ,f(a))

p(a ,f(a))

-a

o

a
奇函数的

x

偶函数的

-a

o

a

x

性质

P/(-a ,f(-a))

性质
偶函数的图象关于y轴对称.
. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴

奇函数的图象关于原点对称. . 反之,若一个函数的图象关于原点
对称,那么这个函数是奇函数

对称,那么这个函数是偶函数

前提条件
问题:1.
问题:2

定义域关于原点对称

f ( x ) ? x, x ? ? ?1, ?? ? 是奇函数吗?
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2 3 x 1 2

f ( x ) ? x 2 , x ? ? ?1, 2 ? 是偶函数吗?

解:

不是。

解:

y 3 2 1

不是。

3 x

-3

-2

-1 0

一、函数奇偶性的定义 1.偶函数: 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为D,如果对于任意的 x ? D, 都有 ? x ? D, 且满足 f (? x ) ? f ( x ) 则函数 f ( x ) 叫偶函数 2.奇函数: 设函数 y ? f ( x ) 的定义域为D,如果对于任意的 x ? D, 都有 ? x ? D, 且满足 f (? x ) ? ? f ( x ) 则函数 f ( x ) 叫奇函数 如果一个函数是奇函数或偶函数,则称这个函数具有奇偶性 3.如果一个函数即不是奇函数也不是偶函数,则称这个函数叫

非奇非偶函数
注意: 1.函数具有奇偶性的前提条件是定义域关于原点对称。 2.函数的奇偶性是定义域上的一个整体性质。

二、函数奇偶性的性质 1.奇函数的图象关于原点对称. 反之,若一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数 2.偶函数的图象关于y轴对称. 反之, 若一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数 它是判断函数奇偶性的一种方法。

三、函数奇偶性的应用 (-)函数奇偶性的判断 例1.将下面的函数图像分成两类,并判断它们的奇偶性
y y y y y y

O

x

0

x

0

x

0

x

0

x

0

x

奇函数

偶函数

三、函数奇偶性的应用

(-)函数奇偶性的判断

[例2] 判断下列函数的奇偶性

(1) f ( x) ? x 2 ? 1
解: ∵函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 的定义域为R

则 x ? R ,? x ? R 判断奇偶性步骤: 2 2 又∵ f ( ? x ) ? ( ? x ) ? 1 ? x ? 1 ? f ( x ) 一看 定义域 ∴函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 是偶函数 二找 关系 f(?x)= ?f(x) 或f(?x)=f(x) (2) f ( x) ? x 2 ? x 3 三判断 奇或偶 解:∵函数 f ( x ) ? x 2 ? x 3 的定义域为R
定义域关于原点对称 2 3 2 3 又∵ f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ( ? x ) ? x ? x

f (? x ) ? f ( x ) 且f (? x ) ? ? f ( x )
∴函数 f ( x ) ? x 2 ? x 3 是非奇非偶函数

三、函数奇偶性的应用

(-)函数奇偶性的判断

[例2] 判断下列函数的奇偶性

(3) f ( x) ? x 2 ? x 4 , x ? [?1,3]
解:∵函数 f ( x ) ? x 2 ? x 4 的定义域是 x ? [ ? 1,3] 定义域不关于原点对称, ∴ f ( x ) 是非奇非偶函数

1 ( 2) f ( x ) ? x ? x

解:∵函数 f ( x ) ? x ? 1 的定义域是 ( ??,0 ) ? ( 0,??)
x

1 1 1 ? ? x ? ? ?( x ? ) 又∵ f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ?x x x ? f (? x ) ? ? f ( x )
∴ f ( x )是奇函数

三、函数奇偶性的应用 (二)利用函数的奇偶性作图 例如: 作 y ? x 的图象 ∵ y ? x 是偶函数 ∴当 x ? 0时,函数化为 y ? x ∴先作 y ? x( x ? 0) 的图象 再作关于 y 轴对称的图象 又如:作 y ? x x 的图象 ∵当 x ? 0时,原函数化为 y ? x 2 ( x ? 0) ∵ y ? x x 是奇函数 ∴先作 y ? x 2 ( x ? 0)的图象 再作关于原点对称的图象。

(三)函数的单调性、奇偶性的综合应用——比较大小 1.利用函数的单调性比较两个函数值的大小
(1)已知 f ( x ) 在 (0,? ?)上是增函数,试比较 f (1)与f (2) 的大小 (2)已知 f ( x ) 在 (0,? ?)上是减函数,试比较 f (1)与f (2) 的大小

解:(1) ∵ f ( x )在 ( 0,? ?) 上是增函数,
? f (1) ? f ( 2 ) ?1 ? 2 (2) ∵ f ( x )在 ( 0,? ?) 上是减函数, ? f (1) ? f ( 2 ) ?1 ? 2

y f(2) f(1) 1 2

y f(1) f(2)

xx

1

2

xx

2.综合利用单调性、奇偶性比较两个函数值的大小
(1)已知 f ( x ) 是偶函数,且在 (0,? ?) 上是增函数,试比较 f (?1)与f (2) 的大小
(2)已知 f ( x ) 是偶函数,且在 (0,? ?) 上是减函数,试比较 f (?1)与f (2) 的大小

? f ( ? 1) ? f (1) (1) ∵ f ( x )是偶函数,

∵ f ( x ) 在 ( 0,??) 上是增函数,

(2)

? 由1 ? 2 ? f (1) ? f ( 2 ) 即 f (-1) ? f ( 2 ) ? f ( ? 1) ? f (1) ∵ f ( x ) 在 (0,??) 上是减函数, ∵ f ( x )是偶函数, ? 由1 ? 2 ? f (1) ? f ( 2 ) 即 f (-1) ? f ( 2 )

一、 知识拓展 1.y=1(或y=2等)是函数吗? 是 2.y=1的图象是什么? 3.y=1有单调性吗? 不是单调函数

1

是偶函数 4.y=1有奇偶性吗? 二、函数有奇函数、偶函数、非奇非偶函数,那么有既奇又偶函 数吗? 有 如果有,它是什么样的函数? 如:y=0(x∈R)

f ( ?0) ? f (0) ? ? f (0) ? 0
从图象上看

∴是既奇又偶函数
1

y=0(x∈R)的图象如图

它既关于y轴对称,又关于原点对称,

∴是既奇又偶函数

小结:

本课小结

1、两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,

如果都有f(-x)=-f(x) ? f(x)为奇函数
如果都有f(-x)=f(x) 2、两个性质:

?f(x)为偶函数

?它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ? 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数 3. 判断函数的奇偶性时,要注意定义域是否关于原点对称。 4.判断函数奇偶性的方法:(1)图象法;

(2)定义法:一看(看定义域是否关于原点对称)、二找(找关 系f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x))、三判断



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