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山西省太原市山大附中2015届高三上学期期中数学试卷(文科)



山西省太原市山大附中 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) . 1.若 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则 A∩?UB( ) A.{2,4} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 考

点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:根据集合的基本运算即可. 解答: 解:∵B={2,4},∴?UB={1,3,5}, 则 A∩?UB={1,3}, 故选:B 点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.已知命题 p:对任意的 x∈R,有 lnx>1,则?p 是( ) A.存在 x0∈R,有 lnx0<1 B.对任意的 x∈R,有 lnx<1 C.存在 x0∈R,有 lnx0≤1 D.对任意的 x∈R,有 lnx≤1 考点:命题的否定. 分析:根据题意分析可得,这是一个全称命题,其否定为特称命题,分析选项可得答案. 解答: 解:根据题意,命题 p:对任意的 x∈R,有 lnx>1, 这是全称命题,其否定为特称命题, 即存在 x0∈R,有 lnx0≤1, 故选 C. 点评:本题考查命题的否定,是基本概念的题型,难度不大. 3.若公比为 2 且各项均为正数的等比数列{an}中,a4?a12=64,则 a7 的值等于( A.2 B.4 C .8 D.16 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等比数列的性质可得 =a4?a12=64,从而求得 a8 的值,再根据公比等于 2 求得 a7 )

的值. 解答: 解:公比为 2 且各项均为正数的等比数列{an}中,a4?a12=64,则由等比数列的性质 可得 =a4?a12=64,∴a8=8.

再由

=q=2,可得 a7=4,

故选 B. 点评:本题主要考查等比数列的性质的应用,属于中档题. 4.设 x∈R,则“x=1”是“复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:常规题型. 分析:由于复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 为纯虚数,则其实部为 0,虚部不为 0,故可得到 x 的值,再与“x=1”比较范围大小即可. 解答: 解:由于复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 为纯虚数,则
2 2 2 2



解得 x=1,故“x=1”是“复数 z=(x ﹣1)+(x+1)i 为纯虚数”的充要条件. 故答案为 C. 点评:本题考查的判断充要条件的方法,我们可以先判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再 根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 5.已知角 θ 的终边过点 P(﹣4k,3k) (k<0) ,则 2sinθ+cosθ 的值是( A. C. 或﹣ B.﹣ D.随着 k 的取值不同其值不同 )

考点:终边相同的角;任意角的三角函数的定义. 专题:计算题. 分析:根据角的终边所过的一个点,写出这点到原点的距离,注意字母的符号,根据三角函 数的定义,写出角的正弦和余弦值,代入要求的算式得到结果即可. 解答: 解:∵角 θ 的终边过点 P(﹣4k,3k) , (k<0) , ∴r= ∴sinθ= cosθ= =﹣ , = , =5|k|=﹣5k,

∴2sinθ+cosθ=2(﹣ )+ =﹣ 故选 B. 点评:本题是一个对于任意角的三角函数的定义的考查,解题时若没有字母系数的符合,我 们就得讨论两种情况,在两种情况下,分别做出角的三角函数值,再进行运算.

6.已知直线 m、n 及平面 α、β,则下列命题正确的是( A. D. B.

) C.

考点:平面与平面之间的位置关系. 专题:计算题. 分析:A:由条件可得:α∥β 或者 α 与 β 相交. B:根据空间中直线与平面的位置关系可得:n∥α 或者 n?α. C:由特征条件可得:m∥β 或者 m?β. D:根据空间中直线与直线的位置关系可得:m⊥n. 解答: 解:A:若 m∥α,n∥β,则 α∥β 或者 α 与 β 相交,所以 A 错误. B:若 m∥α,m∥n,则根据空间中直线与平面的位置关系可得:n∥α 或者 n?α,所以 B 错误. C:若 m⊥α,α⊥β,则有 m∥β 或者 m?β,所以 C 错误. D:若 m⊥α,n∥α,则根据空间中直线与直线的位置关系可得:m⊥n,所以 D 正确. 故选 D. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握空间中直线与平面、直线与直线的位置关系,以及熟 练掌握有关的判定定理与性质定理, 此题考查学生的逻辑推理能力属于基础题, 一般出现再 选择题好像填空题中.
2

7.曲线 y=x 上的点 P 处的切线的倾斜角为 A. (0,0) B. (2,4)

,则点 P 的坐标为( )

)

C. ( ,

D. ( , )

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析:求出原函数的导函数,得到函数在 P 点处的导数,由导数值等于 1 求得 P 的横坐标, 则答案可求. 2 解答: 解:∵y=x ,∴y′=2x, 设 P(x0,y0) ,则
2

, ,

又曲线 y=x 上的点 P 处的切线的倾斜角为 ∴2x0=1, ∴ . .

∴点 P 的坐标为( , ) . 故选:D.

点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上的某点的切线方程, 过曲线上的某点的切线的斜率, 就是函数在该点处的导数值,是基础题. 8.“a=2”是“函数 f(x)=x +ax+1 在区间[﹣1,+∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2

)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;二次函数的性质. 专题:计算题. 2 分析:函数 f(x)=x +ax+1 在区间[﹣1,+∞)上为增函数,结合二次函数的图象求出 a 的 范围,再利用集合的包含关系判断充要条件即可. 解答: 解:函数 f(x)=x +ax+1 在区间[﹣1,+∞)上为增函数, ∴抛物线的对称轴小于等于﹣1, ∴ ﹣1,∴a≥2,
2 2

“a=2”?“a≥2”,反之不成立. ∴“a=2”是“函数 f(x)=x +ax+1 在区间[﹣1,+∞)上为增函数”的充分不必要条件. 故选 A. 点评:本题的考点是四种条件的判断、二次函数的性质,充要条件的判断,通常先看谁能推 出谁,再作判断,属基本题. 9.下列函数中周期是 2 的函数是(
2

)

A.y=2cos πx﹣1 B.y=sin2πx+cosπx C.y=tan( x+ ) D.y=sinπxcosπx

考点:三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题. 分析:分别对 4 个选项进行化简,求出各自周期,然后与已知要求周期比较即可排除选项. 解答: 解:A:y=2cos πx﹣1 即:y=cos2πx,故周期为
2

,∴排除 A.

B:y=sin2πx+cosπx,∵y=sin2πx 周期为 1,y=cosπx 周期为 2,故排除 B. C:y=tan( x+ ) ,T= ,C 正确.

D:y=sinπxcosπx,即 y=

,T=1.故排除 D.

故选:C. 点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,需要对三角函数的定义已知转化熟练掌握,属 于基础题. 10.椭圆 ax +by =1 与直线 y=1﹣x 交于 A、B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 为 ,则 的值为( )
2 2

A.

B.

C.

D.

考点:椭圆的简单性质. 专题:综合题. 2 2 2 分析:联立椭圆方程与直线方程,得 ax +b(1﹣x) =1, (a+b)x ﹣2bx+b﹣1=0,A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,由韦达定理得 AB 中点坐标: ( ) ,AB 中点与原点连线的斜率

k=

= =


2 2 2

解答: 解:联立椭圆方程与直线方程,得 ax +b(1﹣x) =1, (a+b)x ﹣2bx+b﹣1=0, A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,y1+y2=1﹣x1+1﹣x2=2﹣ = ,

AB 中点坐标: (

) ,AB 中点与原点连线的斜率 k=

= =



故选 A. 点评:本题考查直线和圆锥曲线的经综合运用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地 进行等价转化. 11.数列{an}满足 a1=1,且对于任意的 n∈N 都 an+1=a1+an+n,则 A. B. C. D.
*

+

+…+

=(

)

考点:数列递推式. 专题:点列、递归数列与数学归纳法. * 分析:对于任意的 n∈N 都 an+1=a1+an+n,可得 an+1﹣an=n+1,利用“累加求和”可得 an=(an ﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1= “裂项求和”即可得出. * 解答: 解:∵对于任意的 n∈N 都 an+1=a1+an+n, ∴an+1﹣an=n+1, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =n+(n﹣1)+…+2+1 = ∴ = . =2 . .于是 =2 .再利用

∴ =2 =

+

+…+

=

+…+



故选:B. 点评:本题考查了“累加求和”、“裂项求和”方法、等差数列的前 n 项和公式,考查了计算能 力,属于中档题.

12.已知函数 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是( A. (2,+∞) B.[2,+∞) C. )

若关于 x 的函数 y=f (x)﹣bf(x)+1 有 8

2

D.

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 2 分析:方程 f (x)﹣bf(x)+1=0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 f(x)等于某个常数 k, 有 2 个不同的 k,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就出现了 8 个不同实数解故先根据题意作出 f(x)的简图:由图可知,只有满足条件的 k 在开区间(0, 4]时符合题意.再根据一元二次方程根的分布的理论可以得出答案. 解答: 解:∵函数 ,

作出 f(x)的简图,如图所示: 由图象可得当 f(x)在(0,4]上任意取一个值时,都有四个不同的 x 与 f(x)的值对应. 2 再结合题中函数 y=f (x)﹣bf(x)+1 有 8 个不同的零点, 2 可得关于 k 的方程 k ﹣bk+1=0 有两个不同的实数根 k1、k2,且 0<k1≤4,0<k2≤4.

∴应有

,解得 2<b≤



故选:D.

点评:本题考查了函数的图象与一元二次方程根的分布的知识,采用数形结合的方法解决, 使本题变得易于理解. 数形结合是数学解题中常用的思想方法, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且 解法简捷,属于中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上) . 13.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人 数的 2 倍.为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职 工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 18. 考点:分层抽样方法. 专题:计算题. 分析:由题意确定老年职工的人数,再由青年职工确定抽样比,因为分层抽样,各层抽取比 例一样,故可计算出样本中的老年职工人数. 解答: 解:青年职工 160 人,在抽取的样本中有青年职工 32 人,故抽取比例为 ,

老、中年职工共 430﹣160=270 人,又中年职工人数是老年职工人数的 2 倍,故老年职工有 90 人, 所以该样本中的老年职工人数为 90× =18 故答案为:18 点评:本题考查分层抽样知识,属基础知识、基本题型的考查.

14.设实数 x,y 满足

,则 的最大值为 .

考点:简单线性规划. 专题:作图题.

分析:由题意作出可行域,目标函数 z= 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率, 由图可知当直线过点 A 时,斜率最大,只需解方程组求解 A 的坐标即可得答案.

解答: 解:由题意作出

所对应的可行域, (如图)

目标函数 z= 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率,由图可知当直线过点 A 时, 斜率最大, 而由 解得 ,即点 A 的坐标为(2, 9) , 所以直线 OA 的斜率为: =

故则 的最大值为 , 故答案为: 点评:本题考查线性规划,准确作图,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,属中档 题. 15.已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=﹣1 时有极值 0,则 a﹣b 的值为﹣7. 考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题;导数的概念及应用. 3 2 2 分析:求导函数,利用函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0,建立方程组,求得 a,b 的值,再验证,即可得到结论. 3 2 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +3ax +bx+a 2 ∴f'(x)=3x +6ax+b, 3 2 2 又∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=﹣1 处有极值 0,
3 2 2



,∴
2


2

当 当

时,f'(x)=3x +6ax+b=3(x+1) =0,方程有两个相等的实数根,不满足题意; 时,f'(x)=3x +6ax+b=3(x+1) (x+3)=0,方程有两个不等的实数根,满足题意;
2

∴a﹣b=﹣7 故答案为:﹣7. 点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的极值,考查学生的计算能力,属于基础题. 16.已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为 6π.

考点:球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体. 专题:计算题. 分析:由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求出外接 球的表面积. 解答: 解:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个, 故 2R= ,
2

所以外接球的表面积为:4πR =6π. 故答案为:6π. 点评:本题考查球的表面积的求法,几何体的三视图与直观图的应用,考查空间想象能力, 计算能力. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 17.公差不为零的等差数列{an}中,a3=7,且 a2,a4,a9 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 an=bn+1﹣bn,b1=1,求数列{bn}的通项公式. 考点:等比数列的性质;等差数列的通项公式. 专题:计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由等差数列{an}中 a2,a4,a9 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再 利用等差数列的通项公式化简,得出首项与公差的关系,根据 a3 的值,确定出首项与公差, 即可得到等差数列的通项公式;

(2)分别把 n=1,2,…,n﹣1 代入 an=bn+1﹣bn,等式左右两边分别相加,左边利用等差数 列的求和公式化简,右边抵消合并后将 b1 的值代入,整理后即可得到数列{bn}的通项公式. 解答: 解: (1)∵等差数列{an}中,a2,a4,a9 成等比数列, 2 2 ∴a4 =a2?a9,即(a1+3d) =(a1+d) (a1+8d) , 2 2 2 整理得:6a1d+9d =9a1d+8d ,即 d =3a1d, ∵d≠0,∴d=3a1, 又 a3=a1+2d=7a1=7, ∴a1=1,d=3, 则数列{an}的通项公式为 an=1+3(n﹣1)=3n﹣2; (2)∵b1=1,an=3n﹣2,an=bn+1﹣bn, ∴a1=b2﹣b1,a2=b3﹣b2,…,an﹣1=bn﹣bn﹣1, ∴a1+a2+??+an﹣1=bn﹣b1,即 = =bn﹣1,

则 bn=

+1=



点评:此题考查了等比数列的性质,等差数列的通项公式,以及等差数列的求和公式,熟练 掌握性质及公式是解本题的关键. 18.已知集合 A={x|x +2x﹣3<0},
2



(1)在区间(﹣4,4)上任取一个实数 x,求“x∈A∩B”的概率; (2)设(a,b)为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任 取的一个整数,求“b﹣a∈A∪B”的概率. 考点:几何概型;交集及其运算;古典概型及其概率计算公式. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由已知化简集合 A 和 B,设事件“x∈A∩B”的概率为 P1,这是一个几何概型,测 度是长度,代入几何概型的计算公式即可; (2)因为 a,b∈Z,且 a∈A,b∈B,这是一个古典概型,设事件 E 为“b﹣a∈A∪B”,分别算 出基本事件个数和事件 E 中包含的基本事件,最后根据概率公式即可求得事件 E 的概率. 解答: 解: (Ⅰ)由已知 A=x|﹣3<x<1B=x|﹣2<x<3, 设事件“x∈A∩B”的概率为 P1, 这是一个几何概型,则 .

(2)因为 a,b∈Z,且 a∈A,b∈B, 所以,基本事件共 12 个: (﹣2,﹣1) , (﹣2,0) , (﹣2,1) , (﹣2,2) , (﹣1,﹣1) , (﹣1,0) , (﹣1,1) , (﹣1,2) , (0,﹣1) , (0,0) , (0,1) , (0,2) . 设事件 E 为“b﹣a∈A∪B”,则事件 E 中包含 9 个基本事件, 事件 E 的概率 .

点评:本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识.古典概型与几何概型的主要区别在 于:几何概型是另一类等可能概型,它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个,简单

地说,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 19.在如图所示的空间几何体中,平面 ACD⊥平面 ABC,△ ACD 与△ ACB 是边长为 2 的 等边三角形, BE=2, BE 和平面 ABC 所成的角为 60°, 且点 E 在平面 ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证:DE∥平面 ABC; (Ⅱ)求三棱锥 B﹣ACE 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)取 AC 中点 O,连接 BO、DO,等边三角形△ ACD 中,DO⊥AC,结合面面垂 直的性质,得 D0⊥平面 ABC.再过 E 作 EF⊥平面 ABC,可以证出四边形 DEFO 是平行四 边形,得 DE∥OF,结合线面平行的判定定理,证出 DE∥平面 ABC; (2)三棱锥 E﹣ABC 中,判断出 EF 是平面 ABC 上的高,最后用锥体体积公式,即可得到 三棱锥 E﹣ABC 的体积. 解答: 解: (1)取 AC 中点 O,连接 BO、DO, ∵△ABC,△ ACD 都是边长为 2 的等边三角形, ∴BO⊥AC,DO⊥AC; ∵平面 ACD⊥平面 ABC,平面 ACD∩平面 ABC=AC ∴DO⊥平面 ABC, 过 E 作 EF⊥平面 ABC,那么 EF∥DO, 根据题意,点 F 落在 BO 上,易求得 EF=DO= , 所以四边形 DEFO 是平行四边形,得 DE∥OF, ∵DE?平面 ABC,OF?平面 ABC,∴DE∥平面 ABC. (2)∵平面 ACD⊥平面 ABC,平面 ACD∩平面 ABC=AC,OD⊥AC, ∴OD⊥平面 ACB; 又∵DO∥EF,∴EF⊥平面 BAC, ∴三棱锥 E﹣ABC 的体积 V2= ×S△ ABC×EF= ×4= .

点评:本题给出两个三棱锥拼接成多面体,求证线面平行并且求它的分割的几何体的体积, 着重考查了面面垂直的性质、线面平行的判定和锥体体积公式等知识,属于中档题

20.椭圆

的离心率为

,长轴端点与短轴端点间的距离为

. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 D(0,4)的直线 l 与椭圆 C 交于两点 E,F,O 为坐标原点,若△ OEF 为直角 三角形,求直线 l 的斜率. 考点:椭圆的应用. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由已知 ,a +b =5,由此能够求出椭圆 C 的方程.
2 2

(Ⅱ) 根据题意, 过点 D (0, 4) 满足题意的直线斜率存在, 设 l: y=kx+4, 联立,



再由根与系数的关系求解. 解答: 解: (Ⅰ)由已知 又 a =b +c ,解得 a =4,b =1, 所以椭圆 C 的方程为 ;
2 2 2 2 2

,a +b =5,

2

2

(Ⅱ)根据题意,过点 D(0,4)满足题意的直线斜率存在,设 l:y=kx+4,
2 2

联立,
2

,消去 y 得(1+4k )x +32kx+60=0,
2 2

△ =(32k) ﹣240(1+4k )=64k ﹣240, 令△ >0,解得 .

设 E,F 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , (ⅰ)当∠EOF 为直角时,

则 因为∠EOF 为直角,所以
2

, ,即 x1x2+y1y2=0,

所以(1+k )x1x2+4k(x1+x2)+16=0, 所以 ,解得 .

(ⅱ)当∠OEF 或∠OFE 为直角时,不妨设∠OEF 为直角, 此时,kOE?k=﹣1,所以 ,即 x1 =4y1﹣y1 ①,
2 2



;②,
2

将①代入②,消去 x1 得 3y1 +4y1﹣4=0, 解得 将 或 y1=﹣2(舍去) , 代入①,得 ,

所以



经检验,所求 k 值均符合题意,综上,k 的值为 和 . 点评:本题是椭圆问题的综合题,解题时要认真审题,仔细解答. 21.已知 a∈R,函数 f(x)=2x ﹣3(a+1)x +6ax (Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若|a|>1,求 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线 y=f(x)在点(2, f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=1 时,f′(x)=6x ﹣12x+6,所以 f′(2)=6 ∵f(2)=4,∴曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y=6x﹣8; (Ⅱ)记 g(a)为 f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值. 2 f′(x)=6x ﹣6(a+1)x+6a=6(x﹣1) (x﹣a) 令 f′(x)=0,得到 x1=1,x2=a 当 a>1 时, x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 0 单调递增 极大值 3a﹣1 单调递减 极小值
2 3 2

a (3﹣a) 单调递增

2

4a

3

比较 f(0)=0 和 f(a)=a (3﹣a)的大小可得 g(a)= 当 a<﹣1 时, X 0 f′x) f(x) 0 2 24a ∴g(a)=3a﹣1

2



(0,1) ﹣ 单调递减

1 0 极小值 3a﹣1

(1,﹣2a) + 单调递增

﹣2a ﹣28a ﹣
3

∴f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值为 g(a)=



点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的最值,考查学生的计算 能力,考查分类讨论的数学思想,属于中档题. 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙O 相切,A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B、C 两点,弦 CD∥AP, 2 AD、BC 相交于点 E,F 为 CE 上一点,且 DE =EF?EC. (1)求证:CE?EB=EF?EP; (2)若 CE:BE=3:2,DE=3,EF=2,求 PA 的长.

考点:与圆有关的比例线段. 专题:选作题. 分析: (I)由已知可得△ DEF∽△CED,得到∠EDF=∠C.由平行线的性质可得∠P=∠C, 于是得到∠EDF=∠P,再利用对顶角的性质即可证明△ EDF∽△EPA.于是得到 EA?ED=EF?EP.利用相交弦定理可得 EA?ED=CE?EB,进而证明结论; (II)利用(I)的结论可得 BP=
2

,再利用切割线定理可得 PA =PB?PC,即可得出 PA.

2

解答: (I)证明:∵DE =EF?EC,∠DEF 公用, ∴△DEF∽△CED, ∴∠EDF=∠C. 又∵弦 CD∥AP,∴∠P=∠C, ∴∠EDF=∠P,∠DEF=∠PEA ∴△EDF∽△EPA.



,∴EA?ED=EF?EP.

又∵EA?ED=CE?EB, ∴CE?EB=EF?EP; 2 (II)∵DE =EF?EC,DE=3,EF=2. ∴3 =2EC,∴
2



∵CE:BE=3:2,∴BE=3. 由(I)可知:CE?EB=EF?EP,∴ ∴BP=EP﹣EB= .
2

,解得 EP=



∵PA 是⊙O 的切线,∴PA =PB?PC, ∴ ,解得 .

点评: 熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、 平行线的性质、 对顶角的性质、 相交弦定理、 切割线定理是解题的关键. 23.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单 位.已知直线 l 的参数方程为
2

(t 为参数,0<α<π) ,曲线 C 的极坐标方程

为 ρsin θ=4cosθ. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (1)利用 即可化为直角坐标方程;
2

(2)将直线 l 的参数方程代入 y =4x,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即 可得出. 2 2 解答: 解: (I)由 ρsin θ=4cosθ,得(ρsinθ) =4ρcosθ, 2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y =4x. 2 2 2 (II)将直线 l 的参数方程代入 y =4x,得 t sin α﹣4tcosα﹣4=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 t1+t2= ∴|AB|=|t1﹣t2|= ,t1t2=﹣ ,

=

=



当 α=

时,|AB|的最小值为 4.

点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的 根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法,属于基础题.

24.已知函数 f(x)=|2x+1|+|2x﹣3|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集; 2 (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)﹣log2(a ﹣3a)>2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点:函数恒成立问题. 专题:综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)通过对自变量 x 的范围的讨论,去掉绝对值符号,从而可求得不等式 f(x)≤6 的解集; (Ⅱ)不等式 f(x)﹣ >2 恒成立? +2<f(x)min <2

恒成立,利用绝对值不等式的性质易求 f(x)min=4,从而解不等式 即可. 解答: 解: (Ⅰ)原不等式等价于 或





解得: <x≤2 或﹣ ≤x≤ 或﹣1≤x<﹣ , ∴不等式 f(x)≤6 的解集为{x|﹣1≤x≤2}. (Ⅱ)不等式 f(x)﹣ =|2x+1|+|2x﹣3|恒成立? >2 恒成立? +2<f(x)min 恒成立, +2<f(x)

∵|2x+1|+|2x﹣3|≥|(2x+1)﹣(2x﹣3)|=4, ∴f(x)的最小值为 4, ∴ +2<4,





解得:﹣1<a<0 或 3<a<4. ∴实数 a 的取值范围为(﹣1,0)∪(3,4) . 点评:本题考查函数恒成立问题,着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用,考查 函数的单调性与解不等式组的能力,属于难题.



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