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解析几何新题型的解题技巧



解析几何新题型的解题技巧
【命题趋向】解析几何例命题趋势: 1.注意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多 都属中、低档题,以选择、填空题的形式出现,每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程,属低档题,对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现,有时会出现 有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹,与向量结合,与求最值结合,属中档题 分值一般在 17---22 分之间,题型一般为 1 个选择题,1 个填空题,1 个解答题. 【考点透视】 一.直线和圆的方程 1.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点 式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程. 2.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据 直线的方程判断两条直线的位置关系. 3.了解二元一次不等式表示平面区域. 4.了解线性规划的意义,并会简单的应用. 5.了解解析几何的基本思想,了解坐标法. 6.掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程. 二.圆锥曲线方程 1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 2.掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质. 3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质. 4.了解圆锥曲线的初步应用. 【例题解析】 考点 1.求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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2 2 例 1.若抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与椭圆 x ? y ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为(



6

2

A. ? 2 B. 2 C. ? 4 D. 4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
2 2 解答过程:椭圆 x ? y ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,

6

2

故选 D. 考点 2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标,利用 距离公式解之. 例 2.已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,则|AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2

考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.

? y ? ? x2 ? 3 解:设直线 AB 的方程为 y ? x ? b ,由 ? ? x 2 ? x ? b ? 3 ? 0 ? x1 ? x2 ? ?1 , ?y ? x ?b

进而可求出 AB 的中点 M ( ?

1 1 1 1 , ? ? b) ,又由 M ( ? , ? ? b) 在直线 x ? y ? 0 上可求出 2 2 2 2
2

b ? 1,
∴ x 2 ? x ? 2 ? 0 ,由弦长公式可求出 AB ? 1 ? 1 故选 C 例 3.如图,把椭圆 x ? y ? 1 的长轴
25 16
2 2

12 ? 4 ? (?2) ? 3 2 .

AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部

分于 P 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 则 PF ____________. ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7F ? 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程:由椭圆 x ? y ? 1 的方程知 a2 ? 25,? a ? 5.
25 16
2 2

7 ? 2a ∴ PF ? P2 F ? P3 F ? P4 F ? P5 F ? P6 F ? P7 F ? ? 7 ? a ? 7 ? 5 ? 35. 1 2

故填 35. 考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率 e= c ∈(0,1) (e 越大则椭圆越扁);
a

(2) 双曲线的离心率 e= c ∈(1, +∞) (e 越大则双曲线开口越大).
a

结合有关知识来解题. 例 4.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (?4, 0) , (4, 0) ,则双曲线方程为 A. x ? y ? 1 B. x ? y ? 1 C. x ? y ? 1 D. x ? y ? 1 4 12 12 4 10 6 6 10 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程: ? e ? c ? 2, c ? 4, 所以? a ? 2, b2 ? 12. 故选(A). a 小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握 .尤其 对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会. 例 5.已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距 离之比等于( A.
2
2 2
2 2 2 2 2 2

) B. 2 3
3

C. 2

D.4

考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率 e= c ∈(1, +∞) 的有关知识的应用能力. a 解答过程:依题意可知 a ? 3, c ? a 2 ? b 2 ? 3 ? 9 ? 2 3 . 考点 4.求最大(小)值 求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求 最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.

例 6.(2006 年山东卷)已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2) 两点,则 y12+y22 的最小值是 . 考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点 P(4,0)的直线为 y ? k ? x ? 4 ? ,? k 2 ? x 2 ? 8 x ? 16 ? ? 4 x,
? k 2 x 2 ? ? 8k 2 ? 4 ? x ? 16k 2 ? 0, ? y1 2 ? y 2 2 ? 4 ? x1 ? x2 ? ? 4 ? 8k 2 ? 4 1? ? ? 16 ? 2 ? 2 ? ? 32. 2 k k ? ?

故填 32. 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容, 要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心. 例 7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于 坐标原点 O.椭圆 x 2
a2 ? y2 9

=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10.

(1)求圆 C 的方程; (2)试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q,使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF 的 长.若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识 进行推理运算的能力和解决问题的能力. [解答过程] (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n)
?m ? ?n, 则? ? ? ?n ? 2 ? 2 2,

m ? ?2, 解得 ? ? ? n ? 2.

所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 椭圆的方程为
2 2

( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 8
a ? 5.

2a ? 1 0 ,

x y ? ?1 , 25 9

右焦点为 F( 4, 0) ;

假设存在 Q 点 ?2 ? 2 2 cos ? , 2 ? 2 2 sin ? 使 QF ? OF ,

?

?

? ?2 ? 2
整理得

2 cos ? ? 4 ? 2 ? 2 2 sin ?
sin ? ? 3 c? o? s

? ?
2

?

2

?4.

2 2 2,2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 .

得: 10cos2 ? ? 12 2 cos ? ? 7 ? 0 因此不存在符合题意的 Q 点. 所以直线 CD 的斜率为定值. 例 9.已知椭圆 E :

,

cos ? ?

?12 2 ? 8 ?12 2 ? 2 2 ? ? ?1 . 10 10

x 2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,AB 是它的一条弦, M(2,1) 是弦 AB 的中点,若 a 2 b2

以点 M(2,1) 为焦点, 椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 N(4, ?1) , 若椭圆离心率 e 和双曲线离心率 e1 之间满足 ee1 ? 1 ,求:

(1)椭圆 E 的离心率; (2)双曲线 C 的方程. 解答过程: (1)设 A、B 坐标分别为 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) , 则 x1 ? y1 ? 1 , x 2 ? y2 ? 1 ,二式相减得: 2 2 2 2
2 2

2

2

a

b

a

b

k AB ?

2 2b2 1 ? (?1) y1 ? y 2 (x ? x )b 2 ? ?1 , ?? 1 ? ? 2 ? k MN ? 2 a 2?4 x1 ? x 2 (y1 ? y2 )a

所以 a 2 ? 2b2 ? 2(a 2 ? c2 ) , a 2 ? 2c2 ,

则e ? c ? 2 ;
a 2

2 2 1 (2)椭圆 E 的右准线为 x ? a ? ( 2c) ? 2c ,双曲线的离心率 e1 ? ?

c

c

e

2,

设 P(x, y) 是双曲线上任一点,则:
(x ? 2)2 ? (y ? 1)2 | PM | ? ? 2, | x ? 2c | | x ? 2c |

两端平方且将 N(4, ?1) 代入得: c ? 1 或 c ? 3 , 当 c ? 1 时,双曲线方程为: (x ? 2)2 ? (y ?1)2 ? 0 ,不合题意,舍去; 当 c ? 3 时,双曲线方程为: (x ?10)2 ? (y ?1)2 ? 32 ,即为所求. 小结: (1) “点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法; (2)求解圆锥曲线时,若有焦点、准线,则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件,可以将复杂的题设简单化,便于理解和计算. 典型例题:
2 2 例 10.双曲线 C 与椭圆 x ? y ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线.

8

4

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过点 P(0,4)的直线 l ,交双曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于 Q 点(Q 点与 C 的顶点不重合). 当 PQ ? ?1QA ? ?2 QB ,且 ?1 ? ?2 ? ? 8 时,求 Q 点的坐标.
3

??? ?

??? ?

??? ?

考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用 数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
2 2 解答过程: (Ⅰ)设双曲线方程为 x ? y ? 1 , 2 2

a

b

2 2 由椭圆 x ? y ? 1 ,求得两焦点为 (?2, 0), (2, 0) ,

8

4

? 对于双曲线 C : c ? 2 ,又 y ? 3x 为双曲线 C 的一条渐近
线

?b?
a

3

解得 a 2 ? 1, b2 ? 3,

? 双曲线 C 的方程为 x 2 ? y ? 1
3

2

(Ⅱ)解法一: 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零. 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 Q(? 4 , 0) .
k

??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ,? (? 4 , ?4) ? ?1 ( x1 ? 4 , y1 ) .
k k

4 4 ? 4 ? 4 ? x1 ? ? k ? ? k ? ? ? ( x ? ) ? ? 1 1 1 ?? k k ?? ? ? y ?? 4 ? ?4 ? ?1 y1 1 ? ?1 ?

? A( x1 , y1 ) 在双曲线 C 上, ? 16 (1 ? ?1 )2 ? 16 ? 1 ? 0 .
k2

?1

?1

? 16 ? 32?1 ? 16?12 ? 16 k 2 ? k 2? 2 ? 0. ? (16 ? k 2 )?12 ? 32?1 ? 16 ? 16 k 2 ? 0.
3
3

同理有: (16 ? k 2 )?22 ? 32?2 ? 16 ? 16 k 2 ? 0.
3

若 16 ? k 2 ? 0, 则直线 l 过顶点,不合题意.?16 ? k 2 ? 0,
? ?1 , ?2 是二次方程 (16 ? k 2 ) x 2 ? 32 x ? 16 ? 16 k 2 ? 0. 的两根.
3 ? ?1 ? ?2 ?
2 32 8 ? ? ,? k ? 4 ,此时 ? ? 0,? k ? ?2 . k ? 16 3
2

? 所求 Q 的坐标为 (?2, 0) .
解法二:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程, y ? kx ? 4, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q(? 4 , 0) .
k
??? ? ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA , ?Q 分 PA 的比为 ?1 .

由定比分点坐标公式得
4 ? 4 ?1 x1 ? ?? k ? 1? ? ? x1 ? ? k ? (1 ? ?1 ) ? ? 1 1 ?? ? 4 ?0 ? 4 ? ?1 y1 ? y1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? 1

下同解法一 解法三:由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程: y ? kx ? 4, A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 Q(? 4 , 0) .
k

??? ? ??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ? ?2 QB , ? (? 4 , ?4) ? ?1 ( x1 ? 4 , y1 ) ? ?2 ( x2 ? 4 , y2 ) .
k k k

??4 ? ?1 y1 ? ?2 y2 , ? ?1 ? ? 4 , ?2 ? ? 4 , y1 y2

又 ?1 ? ?2 ? ? 8 , ? 1 ? 1 ? 2 ,即 3( y1 ? y2 ) ? 2 y1 y2 .
3

y1

y2

3

将 y ? kx ? 4 代入 x 2 ? y ? 1得 (3 ? k 2 ) y2 ? 24 y ? 48 ? 3k 2 ? 0 .
3
? 3 ? k ? 0 ,否则 l 与渐近线平行.
2

2

? y1 ? y2 ?
?3 ?

24 48 ? 3k 2 . , y y ? 1 2 3? k2 3? k2

24 48 ? 3k 2 .? k ? ?2 ? 2? 2 3? k 3? k2

? Q(?2, 0) .

解法四: 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零, 设 l 的方程:y ? kx ? 4 ,A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 则 Q(? 4 , 0)
k

??? ? ??? ? ? PQ ? ?1QA ,? (? 4 , ?4) ? ?1 ( x1 ? 4 , y1 ) .
k k
4 ? ? ? ? k ? ? 4 .同理 ?1 ? ? 4 . 1 kx2 ? 4 4 kx1 ? 4 x1 ? k 4 4 8 ?1 ? ?2 ? ? ? ?? . kx1 ? 4 kx2 ? 4 3

即 又

2k 2 x1x2 ? 5k ( x1 ? x2 ) ? 8 ? 0 .

(*)

? y ? kx ? 4 ? ? 2 y2 ?1 ?x ? 3 ? 消去 y 得 (3 ? k 2 ) x2 ? 8kx ?19 ? 0 .

当 3 ? k 2 ? 0 时,则直线 l 与双曲线得渐近线平行,不合题意, 3 ? k 2 ? 0 .
8k ? x1 ? x2 ? ? 3? k2 由韦达定理有: ? ? ? x x ? ? 19 1 2 ? 3? k2 ?

代入(*)式得 k 2 ? 4, k ? ?2 . ? 所求 Q 点的坐标为 (?2, 0) . 例 11.设动点 P 到点 A(-l,0)和 B(1,0)的距离分别为 d1 和 d2, ∠APB=2θ ,且存在常数λ (0<λ <1=,使得 d1d2 sin2θ =λ . (1)证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; (2)过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、N 两点,试确定λ 的范围, 使 OM · ON =0,其中点 O 为坐标原点. [考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识,考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.
2 [解答过程]解法 1: (1)在 △PAB 中, AB ? 2 ,即 22 ? d12 ? d2 ? 2d1d2 cos 2? ,

, 4 ? (d1 ? d2 )2 ? 4d1d2 sin 2 ? ,即 d1 ? d 2 ? 4 ? 4d1d 2 sin 2 ? ? 2 1 ? ? ? 2 (常数)

点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,实轴长 2a ? 2 1 ? ? 的双曲线.
2 2 方程为: x ? y ? 1 .

1? ?

?

(2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x ? 1 , M (11) , , N (1, ? 1) 在双曲线上. 即 1 ? 1 ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ?1 ? 5 ,因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? 5 ? 1 . 1? ? ? 2 2 ②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由?
? x2 y2 ? ? 1 得: ?? ? (1 ? ? )k 2 ? x 2 ? 2(1 ? ? )k 2 x ? (1 ? ? )(k 2 ? ? ) ? 0 , ? ? ?1 ? ? ? ? y ? k ( x ? 1) ?

?2k 2 (1 ? ? ) , ?(1 ? ? )(k 2 ? ? ) . 2 由题意知: ? ,所以 ? ? ? (1 ? ? ) k ? 0 x ? x ? x x ? 1 2 ? ? 1 2 ? ? (1 ? ? )k 2 ? ? (1 ? ? )k 2

于是: y y ? k 2 ( x ? 1)( x ? 1) ? 1 2 1 2

k 2? 2 . ? ? (1 ? ? )k 2

因为 OM ? ON ? 0 ,且 M ,N 在双曲线右支上,所以
(1 ? ? ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ?k 2 ? ? ? ? ? (1 ? ? ) 2 ? ? 5 ?1 2. ? ? ? ? ? ?1 ? 2 ?? ? ? ? ? ? ?1 1? ? ? ??? ? x1 ? x2 ? 0 2 3 ?x x ? 0 ?k 2 ? ? ?? 2 ? ? ? 1 ? 0 ? ? 1 2 ? 1? ? ?

由①②知, 5 ? 1 ≤ ? ? 2 .
2 3

解法 2: (1)同解法 1 (2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) , MN 的中点为 E( x0,y0 ) . ①当 x1 ? x2 ? 1时, MB 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? 1 ? 0 ,
1? ?

因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ? 5 ? 1 ;
2

②当 x1 ?

? x12 y2 ? 1 ?1 ? ? x0 . x2 时, ?1 ? ? ? ? k MN ? ? ? 2 2 1 ? ? y0 ? x2 ? y 2 ? 1 ? ?1 ? ? ?
y0 .所以 (1 ? ? ) y 2 ? ? x2 ? ? x ; 0 0 0 x0 ? 1
2

又k

MN

? kBE ?

2 ? MN ? ,由第二定义得 ? MN ? ? e( x1 ? x2 ) ? 2a ? 2 2 2 由∠MON ? ? 得 x0 ? y0 ?? ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?

1 2 ? 1 ? ?? x0 ? 1 ? ? ? ? x ? (1 ? ? ) ? 2 x0 . 1 ? ? 0 1 ? ? ? ?
2 2 所以 (1 ? ?) y0 ? ? x0 ? 2(1 ? ?) x0 ? (1 ? ? )2 .

2

2 2 2 ?(1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? ? x0 , 于是由 ? 得 x0 ? (1 ? ? ) . ? 2 2 2 2 ? 3? ? ?(1 ? ? ) y0 ? ? x0 ? 2(1 ? ? ) x0 ? (1 ? ? ) ,

因为 x0 ? 1 ,所以 (1 ? ? ) ? 1 ,又 0 ? ? ? 1 , 2 ? 3?
2

解得: 5 ? 1 ? ? ? 2 .由①②知 5 ? 1 ≤ ? ? 2 .
2 3 2 3

考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系, 再利用函数求最值的方法求最值, 要比只利用 解析几何知识建立等量关系容易. 例 12.设椭圆 E 的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 3 ,过点 C(?1, 0) 的直线
??? ? ??? ? 交椭圆 E 于 A、B 两点,且 CA ? 2BC ,求当 ?AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方 程.
3

解答过程:因为椭圆的离心率为 3 ,故可设椭圆方程为 2x 2 ? 3y2 ? t(t ? 0) ,直线方程为
3

my ? x ? 1,

2x 2 ? 3y 2 ? t 得: (2m2 ? 3)y2 ? 4my ? 2 ? t ? 0 ,设 A(x , y ), B(x , y ) , 由? 1 1 2 2 ? ?my ? x ? 1

4m ????① 2m 2 ? 3 ??? ? ??? ? 又 CA ? 2BC ,故 (x1 ? 1, y1 ) ? 2(?1 ? x 2 , ?y2 ) ,即 y1 ? ?2y2 ????②

y A C o B x

则 y1 ? y 2 ?

由①②得: y1 ? 8m , y 2 ? ?4m , 2 2m 2 ? 3 2m ? 3 则 S?AOB ? 1 | y1 ? y 2 |? 6 |
2 m |= 2m 2 ? 3

6 3 2|m| ? |m|

?

6, 2

当 m2 ? 3 ,即 m ? ? 6 时, ?AOB 面积取最大值,
2

2

此时 y1y2 ? 2 ? t ? ? 2
2m ? 3

32m2 ,即 t (2m2 ? 3)2
2

? 10 ,

所以,直线方程为 x ? 6 y ? 1 ? 0 ,椭圆方程为 2x 2 ? 3y2 ? 10 . 小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 例 13.已知 PA ? (x ? 5, y) , PB ? (x ? 5, y) ,且 |PA| ? |PB| 6 ? , 求 | 2x ? 3y ? 12 | 的最大值 和最小值. 解答过程:设 P(x, y) , A(? 5,0) , B( 5,0) ,
??? ? ??? ? 因为 | PA | ? | PB|? 6 ,且 | AB|? 2 5 ? 6 ,

所以,动点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 6 的椭圆,

椭圆方程为 x ? y ? 1 ,令 x ? 3cos ?, y ? 2sin ? ,
9 4

2

2

则 | 2x ? 3y ? 12 | = | 6 2 cos(? ? ? ) ? 12 | ,
4

当 cos(? ? ? ) ? ?1 时, | 2x ? 3y ? 12 | 取最大值 12 ? 6 2 ,
4

当 cos(? ? ? ) ? 1 时, | 2x ? 3y ? 12 | 取最小值 12 ? 6 2 . 4 小结:利用椭圆的参数方程,可以将复杂的代数运算化为简单的三角运算. 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 解析几何中求变量的范围, 一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域 问题. 例 14.已知椭圆 x ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点.
2
2

(I)求过点 O、F,并且与椭圆的左准线 l 相切的圆的方程; (II)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围. 考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识,考 查平面解析几何的基本方法,考查运算能力和综合解题能力. 解答过程: (I)? a2 ? 2, b2 ? 1,?c ? 1, F (?1,0), l : x ? ?2.

y

B

l

F A

G

O

x

? 圆过点 O、F, ? 圆心 M 在直线 x ? ? 1 上.
2

设 M ( ? 1 , t ), 则圆半径 r ? (? 1 ) ? (?2) ? 3 .
2

2

2

由 OM ? r, 得 (? 1 )2 ? t 2 ? 3 , 2 2 解得 t ? ? 2.

? 所求圆的方程为 ( x ? 1 ) 2 ? ( y ?
2

9 2) 2 ? . 4

(II)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0), 代入 x ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0.
2
2

? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根.
记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ),
2 则 x1 ? x2 ? ? 4k , 2

2k ? 1

? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? 1 ( x ? x0 ). k

令 y ? 0, 得
xG ? x0 ? ky0 ? ? ? k ? 0,?? 2k 2 k2 k2 1 1 ? ? ? ?? ? 2 . 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2

1 ? xG ? 0, 2

? 点 G 横坐标的取值范围为 (? 1 , 0).
2

例 15.已知双曲线 C: x2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,B 是右顶点,F 是右焦点,点 A 在 x 轴正半 a b ???? ??? ? ??? ? 轴上,且满足 | OA |,| OB|,| OF | 成等比数列,过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂 线 l ,垂足为 P, ??? ? ??? ? ??? ? ??? (1)求证: PA ? OP ? PA ? FP ; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围.
??? ?2 2 ???? ??? ? ??? ? ???? | a 2 ,即 A( a , 0) , 解答过程: (1)因 | OA |,| OB|,| OF| 成等比数列,故 | OA |? | OB ??? ? ? c c | OF |

2

2

直线 l : y ? ? a (x ? c) , b
? 由? ? a y ? ? (x ? c) a 2 ab , b ? P( , ) ? c c ?y ? b x ? a ?
D

y

P O

E F AB

x

??? ? ? a 2 ab ??? ab ??? b 2 ab 故: PA ? (0, ? ), OP ? ( , ), FP ? (? , ) , c c c c c
则: PA ? OP ? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? a 2 b 2 ??? ? PA ? FP ,即 PA ? OP ? PA ? FP ; 2 c
??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ?

(或 PA ? (OP ? FP) ? PA ? (PF ? PO) ? PA ? OF ? 0 ,即 PA ? OP ? PA ? FP )

??? ? ??? ? ???

??? ? ??? ?

??? ? ???

a ? a4 2 a4 a 4c 2 ? y ? ? (x ? c) 2 (2)由 ? ? (b ? )x ? 2 cx ? ( ? a 2b 2) ? 0 , b 2 2 2 b b b ?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 b 2 ?

a 4c2 ?( 2 ? a 2 b 2 ) b 由 x1x 2 ? ? 0 得: b4 ? a 4 ? b2 ? c2 ? a 2 ? a 2 ? e2 ? 2 ? e ? 2. 4 a b2 ? 2 b a b 2 2 2 2 2 (或由 k DF ? k DO ? ? ? ? ? b ? c ? a ? a ? e ? 2 ? e ? 2 ) b a
小结:向量的数量积在构造等量关系中的作用举足轻重,而要运用数量积,必须先恰当地求 出各个点的坐标. 例 16.已知 a ? (x,0) , b ? (1, y) , (a ? 3b) ? (a ? 3b) , (1)求点 P(x, y) 的轨迹 C 的方程; (2)若直线 y ? kx ? m(m ? 0) 与曲线 C 交于 A、B 两点, D(0, ?1) ,且 | AD |?| BD | ,

?

?

?

?

?

?

试求 m 的取值范围. 解答过程: (1) a ? 3b = (x,0) ? 3(1, y) ? (x ? 3, 3y) ,

?

?

? ? a ? 3b = (x,0) ? 3(1, y) ? (x ? 3, ? 3y) ,
因 (a ? 3b) ? (a ? 3b) ,故 (a ? 3b) ? (a ? 3b) ? 0 , 即 (x ? 3, 3y) ? (x ? 3, ? 3y) ? x 2 ? 3y2 ? 3 ? 0 ,

?

?

?

?

?

?

?

?

x2 ? y 2 ? 1. 故 P 点的轨迹方程为 3
(2)由 ?

? y ? kx ? m
2 2 ? x ? 3y ? 3

得: (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6kmx ? 3m2 ? 3 ? 0 ,

设 A(x1 , y1 ), B(x 2 , y2 ) ,A、B 的中点为 M(x 0 , y0 ) 则 ? ? (6km)2 ? 4(1 ? 3k 2 )(?3m2 ? 3) ? 12(m2 ? 1 ? 3k 2 ) ? 0 ,

x ? x2 6km 3km m ? , x0 ? 1 , y 0 ? kx 0 ? m ? , 2 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3km m , ), 即 A、B 的中点为 ( 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 m 1 3km ? (? )(x ? ), 则线段 AB 的垂直平分线为: y ? 2 1 ? 3k k 1 ? 3k 2 x1 ? x 2 ?
2 将 D(0, ?1) 的坐标代入,化简得: 4m ? 3k ? 1 ,

则由 ?

2 2 ? ?m ? 1 ? 3k ? 0 2 得: m ? 4m ? 0 ,解之得 m ? 0 或 m ? 4 , 2 ? ?4m ? 3k ? 1

2 又 4m ? 3k ? 1 ? ?1,所以 m ? ?

1 , 4

故 m 的取值范围是 (?

1 , 0) ? (4, ??) . 4

小结:求变量的范围,要注意式子的隐含条件,否则会产生增根现象. 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 存在性问题, 其一般解法是先假设命题存在, 用待定系数法设出所求的曲线方程或点的坐 标,再根据合理的推理,若能推出题设中的系数,则存在性成立,否则,不成立. 例 17.已知 A,B,C 是长轴长为 4 的椭圆上的三点,点 A 是长轴的一个顶点,BC 过椭圆的 中心 O,且 AC ? BC ? 0 , | BC |? 2 | AC | , (1)求椭圆的方程; (2)如果椭圆上的两点 P,Q 使 ?PCQ 的平分线垂直于 OA,是否总 y 存在实数

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

C A Q x

O B P

λ ,使得 PQ ? λAB ?请说明理由;
解答过程: (1)以 O 为原点,OA 所在直线为 x 轴建立 平面直角坐标系,则 A(2, 0) ,

??? ?

??? ?

设椭圆方程为

x 2 y2 ? ? 1 ,不妨设 C 在 x 轴上方, 4 b2

由椭圆的对称性, | BC |? 2 | AC |? 2 | OC |?| AC |?| OC | , 又 AC ? BC ? 0 ? AC ? OC ,即 ΔOCA 为等腰直角三角形,
2 由 A(2, 0) 得: C(1,1) ,代入椭圆方程得: b ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

4 , 3

即,椭圆方程为

x 2 3y 2 ? ? 1; 4 4

(2)假设总存在实数 λ ,使得 PQ ? λAB ,即 AB // PQ , 由 C(1,1) 得 B(?1, ?1) ,则 k AB ?

??? ?

??? ?

0 ? (?1) 1 ? , 2 ? (?1) 3

若设 CP: y ? k(x ? 1) ? 1 ,则 CQ: y ? ?k(x ? 1) ? 1 ,

? x 2 3y 2 ?1 ? ? 由? 4 ? (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6k(k ? 1)x ? 3k 2 ? 6k ? 1 ? 0 , 4 ? y ? k(x ? 1) ? 1 ?
2 2 2 由 C(1,1) 得 x ? 1 是方程 (1 ? 3k )x ? 6k(k ?1)x ? 3k ? 6k ?1 ? 0 的一个根,

由韦达定理得: x P ? x P ?1 ?

3k 2 ? 6k ? 1 3k 2 ? 6k ? 1 ? k x ? ,以 代 k 得 , Q 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

故 k PQ ?

y P ? yQ xP ? xQ

?

k(x P ? x Q ) ? 2k xP ? xQ
??? ? ??? ?

1 ? ,故 AB // PQ , 3

即总存在实数 λ ,使得 PQ ? λAB . 评注:此题考察了坐标系的建立、待定系数法、椭圆的对称性、向量的垂直、向量的共线及 探索性问题的处理方法等,是一道很好的综合题. 考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 直线和圆锥曲线的关系问题,一般情况下,是把直线的方程和曲线的方程组成方程组,进 一步来判断方程组的解的情况,但要注意判别式的使用和题设中变量的范围.

A B , 例 18.设 G、M 分别是 ?ABC 的重心和外心,A(0, ?a) ,B(0, a)(a ? 0) ,且 GM ? ?

???? ?

??? ?

(1)求点 C 的轨迹方程; (2) 是否存在直线 m, 使 m 过点 (a, 0) 并且与点 C 的轨迹交于 P、 Q 两点, 且 OP ? OQ ? 0 ? 若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,请说明理由. 解答过程: (1)设 C(x, y) ,则 G( , ) , 因为 GM ? ?AB ,所以 GM // AB ,则 M( , 0) , 由 M 为 ?ABC 的外心,则 | MA |?| MC | ,即 ( ) ? a ? (
2 2

??? ? ????

???? ?

??? ?

x y 3 3

x 3

x 3

x ? x)2 ? y 2 , 3

整理得:

x 2 y2 ? ? 1(x ? 0) ; 3a 2 a 2

(2)假设直线 m 存在,设方程为 y ? k(x ? a) ,

? y ? k(x ? a) ? 由 ? x2 得: (1 ? 3k 2 )x 2 ? 6k 2ax ? 3a 2 (k 2 ?1) ? 0 , y2 ? 2 ? 2 ? 1(x ? 0) a ? 3a
设 P(x1 , y1 ),Q(x 2 , y2 ) ,则 x1 ? x 2 ?

6k 2a 3a 2 (k 2 ? 1) x x ? , , 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
?2k 2a 2 2 = , ? a ( x ? x ) a ] 1 2 1 ? 3k 2

2 y1 y2 ? k (x a)( x 1? 2?

? a2 )

k x x 1 [ 2?

由 OP ? OQ ? 0 得: x1x 2 ? y1y2 ? 0 ,

??? ? ????

3a 2 (k 2 ? 1) ?2k 2a 2 ? ? 0 ,解之得 k ? ? 3 , 即 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
又点 (a, 0) 在椭圆的内部,直线 m 过点 (a, 0) , 故存在直线 m,其方程为 y ? ? 3(x ? a) . 小结: (1)解答存在性的探索问题,一般思路是先假设命题存在,再推出合理或不合理的结 果,然后做出正确的判断; (2)直线和圆锥曲线的关系问题,一般最终都转化成直线的方程和圆锥曲线的方程所组 成的方程组的求解问题.



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