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均值定理精讲精练



利用均值不等式求最值的方法
a b ? ? a( ? , 0 当且仅当 a=b 时等号成立)是一个重要的不等式,利用它 ba 0 b , ? 2

均值不等式

可以求解函数最值问题。对于有些题目,可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能 利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。

一、配

凑 1. 凑系数 例 1. 当 0 x 4 x8 2 ) ? ? 时,求 y? ( ? x 的最大值。 解析:由 0 x 4 ? ? 知,8 2 ? ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个 ?x 0 式子积的形式,但其和不是定值。注意到 2 ? ? x ? 为定值,故只需将 y? ( ? x 凑上一个系 x ( 2) 8 8 x8 2 ) 数即可。
1 1 ?2 28x x ?2 yx 2 ? ? ? x8x ( x [ ·) ( 8 ) 2 ( 2? ?] )? 8 2 2 2

当且仅当 2 ??x x 8 2,即 x=2 时取等号。 所以当 x=2 时, y? ( ? x 的最大值为 8。 x8 2 ) 评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最 大值。

2. 凑项 例 2. 已知 x ?
5 4

) x ,求函数 f (x ?4 ?2?

1

4 ?5 x

的最大值。
1

解析:由题意知 4 ? ? ,首先要调整符号,又 (4x ? 2)· x 5 0 凑项才能得到定值。 ∵ x?
5 4
() x ? ? ? ∴ fx 4 2

4x ?5

不是定值,故需对 4 2进行 x?

, ?4x ? 0 5
1 1 ? ?2 3 1 3 ?? ? ? 54 ?? ? ( x ) 3 ? ( ? x· ?? 2 5 4) 54 ?x 4 5 x ? 54 ? x

1

当且仅当 5 ? 4x ?

1 5 ? 4x

,即 x ?1时等号成立。

评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 3. 分离

1

例 3. 求 y?

x ? x? 0 7 1 (x ? )的值域。 ≠1 x? 1
2

解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离。
x 7 1 (? ? ? ?? x 0 x ) 5 14 1 ( ) x ? 4 y ? ? ?? ( 1 x) ? ? 5 x ? 1 x ? 1 x ? 1
2 2

当x 1 0 ? ? ,即 x?? 时 1
4 y?2 (x? )· 1 ?5?9(当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x? 1

当x 1 0 ? ? ,即 x?? 时 1
4 y?5?2 (x? )· 1 ?1 (当且仅当 x=-3 时取“=”号)。 x? 1
x ? x? 0 7 1 (x - 的值域为 (? ][, 。 ≠1 ) ? 1 9 ?) , ? ? x? 1
2

∴ y?

评注:分式函数求最值,通常化成 y m ) ? gx ? ( 然后运用均值不等式来求最值。

? ( ? , 0,g(x)恒正或恒负的形式, B A0 m ) ? gx ()

A

二、整体代换 例 4. 已知 a 0 b 0 a 2?,求 t ? ?, , b 1 ? ? 解法 1:不妨将
1 ? 1 1 a a b 1 1 1 1 ( ? ) 1 ( ? ) ( ?b · ? · 2) a a b a b
? 1? ? 3? 2b a 2b a ? 3?2 2b a ? 3?2 2 ? ? a b a b · a b ?2

?

1 b

的最小值。

乘以 1,而 1 用 a+2b 代换。

?a ? 2 ? 1 ?2b a ? ? ? ? 当且仅当 时取等号,由 ? a b ,得? 2 a b ?a ? 2b ? 1 ?b ? 1 ? ? 2 ?

2b

a

2

?a ? 2 ? 1 1 1 ? 即? 2 时, t ? a ? b 的最小值为 3 ? 2 2 。 ?b ? 1 ? 2 ?

解法 2:将
a ?2 b a

1 a

?

1 b

分子中的 1 用 a ?2 代换。 b
2 b a ? 3? 2 b a ? a b a b ? 3?2 2

?

a ?2 b b

?1?

?

?2

评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到 t ? 3 ? 求得 t ?
1 a ? 1 b

2b a

?

a b

,而

2b a



a b

的积为定值,即可用均值不等式

的最小值。

三、换元 例 5. 求函数 y ?
x ?2 2x ? 5

的最大值。
t
2

? 2 0 t , ? y 解析:变量代换,令 t ? x ?2 ,则 x t ? ( ? ) 则
2

2 ? t 1

当 t=0 时,y=0 当 t ?0时, y ?
1 2t ? 1 t ? 1 2 2t· 1 t
2 2 2 4

?

2 4

当且仅当 2 t ?

1 t

,即 t ?

时取等号。

故 x ?? 时 ym x ? , a
2

3



评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而 为构造积为定值创造有利条件。

四、取平方
? x 1 ?x x 例 6. 求函数 y 2 ? ? 5 2( ? ? ) 的最大值。 2
x 1 5 x 解析:注意到 2 ? 与?2 的和为定值。

1

5

2

3

y ? ( 2x ? 1 ? 5 ? 2x )
2

2

? 4 ? 2 (2 x ? 1)(5 ? 2 x) ? 4 ? (2 x ? 1) ? (5 ? 2 x) ? 8

又 y ? 0 ,所以 0 ? y ? 2 2 当且仅当 2 152 x ? x ? ? ,即 x ? 故 ymax ? 2 2 。 评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。 总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧, 积极创造条件利用均值不等式。
3 2

时取等号。

[练一练]
x 1. 若 0 x 2 ? ? ,求 y ? x(6?3 ) 的最大值。

2. 求函数 y ?

1 x ?3
2

?x(x ?3 的最小值。 )

3. 求函数 y ?

x ?8 x ?1

(x ? 1 的最小值。 )

4. 已知 x ?0 y ?0,且 ,

1 x

?

1 y

? 9 ,求 x ? y 的最小值。

参考答案:1.

3

2. 5 3. 8 4.

4 9

4



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