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刘鸿文版材料力学课件全套6



第十三章

能量法


§13-1 概

在弹性范围内,弹性体在外力作用下发生
变形而在体内积蓄的能量,称为弹性应变能,

简称应变能。
物体在外力作用下发生变形,物体的变形

能在数值上等于外力在加载过程中在相应位移
上所做的功,即

/>
V?

=W

§13-2 杆件变形能计算
一、轴向拉伸和压缩

1 Fl 1 V? ? W ? F ? ?l ? F 2 EA 2

F

F l FN l ? ? 2 EA 2 EA
FN ( x ) V? ? ? dx 2 EA ( x ) l
2

2

2

F
?l ?l

二、扭转
m
??

m
??
2

??
2

1 M el M e l 1 T l V? ? W? M e ? ?? ? M e ? ? 2 2 GI p 2GI p 2GI p 2 T ( x) V? ? ? dx 2G I p ( x) l

三、弯曲

V? ? W 2 2 纯弯曲:? 1 M e ? ? ? 1 M e M e l ? M e l ? M l 2 2 EI 2E I 2E I

M 2 ( x) 横力弯曲:V ? ? ? 2E I ( x) dx l

13-3 变形能的普遍表达式
F3
F2

?1

F1

? 2 ?3

1 1 1 V? ? W ? F1?1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2
即:线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。

M (x)
N (x )

M (x)
N (x )

T (x)
2

T (x)
2 2

FN ( x)dx M ( x)dx T ( x)dx V? ? ? ?? ?? 2 EA 2 EI 2GI P L L L
所有的广义力均以静力方式,按一定比例由O增加至最终值。 任一广义位移 ? i 与整个力系有关,但与其相应的广义力 Fi 呈线性关系。

例:试求图示悬臂梁的应变能,并利用功
能原理求自由端B的挠度。
F

解:
M ( x) ? ? F ? x

l

x

M ( x) F l V? ? ? dx ? 2E I 6EI l
1 W ? F ? wB 2

2

2 3

由V? ? W,得 wB ? Fl 3EI

3

例题:悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。 设EI为常数,试求梁的应变能。 解: ⑴ 弯矩方程 B F A

M ( x) ? M e ? Fx
⑵ 变形能

Me
L

M 2 ( x) 1 V? ? ? dx ? ? ( M e ? Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 ? ? ? 2 EI 2 EI 6 EI

B

F A M0 L

⑶ 当F和M0分别作用时

MeL V? 1 ? 2 EI

V? 2

F 2 L3 ? 6 EI

V? 1 ? V? 2 ? V?

⑷ 用普遍定理

FL3 M e L2 wA ? (wA ) F ? (wA ) M 0 ? ? 3EI 2 EI FL2 M e L ? A ? (? A ) F ? (? A ) M e ? ? 2 EI EI 1 1 F 2 L3 M e F 2 M e2 L V? ? W ? FwA ? M e? A ? ? ? 2 2 6 EI 2 EI 2 EI

§13-4 互等定理
F1
?1
?2

F2

F1
? 11

?i j
荷载作用点 ?位移发生点

? 21

F2
? 12
? 22

F1
? 11

F2
? 21

? 12

? 22

先作用F1,后作用F2,外力所作的功: 1 1 Ve ? F1? 11 ? F2? 22 ? F1? 12 2 2 先作用F2,后作用F1,外力所作的功:
1 1 Ve ? F2? 22 ? F1? 11 ? F2? 21 2 2

功的互等定理:

F1? 12 ? F2 ? 21

若F1 ? F2,则得
位移互等定理:

? 12 ? ? 21

例:求图示简支梁C截面的挠度。

F

? B2

wC1

解:由功的互等定理 ? wC1 ? M ? ? B 2 F

Fl 得:F ? wC1 ? M ? 16E I Ml 由此得:wC1 ? 16E I
2

2

例:求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移? C 。

wC1
F

? B2

解:由功的互等定理 ? wC1 ? M ? ? B 2 F

?l? F? ? ?2? 得:F ? wC1 ? M ? 2E I 2 Ml 由此得: wC1 ? 8E I

2

13-5 卡氏定理
F3
F2

?1

F1

? 2 ?3 ?i

1 1 1 V? ? W ? F1? 1 ? F2? 2 ? F3? 3 ? ? 2 2 2

? ?Fi

若只给 Fi 以增量 ,其余不变,在 ?Fi 作用下,原各力作用点将产 生位移 ?? , ?? ,??, ?? ,?? 1 2 i 变形能的增加量:

1 ?V? ? ?Fi ?? i ? F1 ?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ? 2

略去二阶小量,则:

?V? ? F1?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
如果把原有诸力看成第一组力,把 ?Fi 看作第二组力,根据互等 定理:

?Fi ? i ? F1?? 1 ? F2 ?? 2 ? ? ? Fi ?? i ? ?
所以:?V ?

? ?Fi ? ? i

?V? ? ?i ?Fi
卡氏第二定理

?Fi ? 0

?V? ? ?i ?Fi

变形能对任一载荷Fi 的偏导数,等于Fi作用点沿Fi方向的位移

推导过程使用了互等定理,所以只适用线弹性结构。 横力弯曲:

?V? ? M 2 ( x) ?i ? ? (? dx) ?Fi ?Fi L 2 EI M ( x) ?M ( x) ?? ? dx EI ?Fi L

桁架杆件受拉压:

V? ? ?
j ?1

n

FN j L j 2 EAj

2

n F L ?V? N j j ?FN j ?i ? ?? ? ?Fi j ?1 EAj ?Fi

轴受扭矩作用:

?V? T ( x) ?T ( x) ?i ? ?? ? dx ?Fi L GI P ?Fi

13-6 单位载荷法 莫尔积分
F1 F2
C

?

F1 F2
C

M ( x)

M ( x) V? ? ? dx 2E I l

2

F0 ? 1
C

M ( x)

0

V? 0

[M ( x)] ?? dx 2E I l

0

2

F1 F2

F0
C

M ( x) ? M 0 ( x)
[(M ( x) ? M ( x)] V? 1 ? ? dx 2E I l
0 2

F0 作功:

V? 0 ? ? 共做功 ? F1、F2 作功: V? ? W1 ? V? 0 ? V? ? 1 ? ? ? 1? ? F0 在?上又作功: ? ? F0 ? 1 F1 F2
C

?

W1 ? V? 1

[(M ( x) ? M ( x)] V? 0 ? V? ? 1 ? ? ? ? dx 2E I l
0 2

?

?
l

M ( x) M 0 ( x) M 2 ( x) [ M 0 ( x )]2 dx ? ? dx ? ? dx 2E I 2E I EI l l

M M x )MMx) ( x ) ( ( x) ( ? ? ? 1?? ? ? E I dx dx EI l
0 l

0

???
l

M ( x) M ( x) dx 莫尔定理 EI (莫尔积分)
M ( x) M ( x) dx EI
0

0

???
l

对于组合变形: FN ( x) FN ( x) T ( x)T 0 ( x) M ( x)M 0 ( x) ??? dx ? ? dx ? ? dx EA GI p EI l l l
0

注意:上式中?应看成广义位移,把单位力看成与广 义位移对应的广义力

例:试用莫尔定
理计算图(a)所示
A
l

F
x

B

悬臂梁自由端B
的挠度和转角。
A

1
B
x

1
A
x

B

解:)在B截面作用一单位力如图(b)所示 (1 , M ( x) ? ? Fx,
vB ? ?
l

M ( x) ? ? x
0

2 3 M ( x) M ( x) Fx Fl dx ? ? dx ? ? EI EI 3EI 0

0

l

??

(2)在B截面作用一单位力偶如图(c)所示 , M ( x) ? ? Fx, M ( x) ? ?1
0

?B ? ?
l

M ( x) M ( x) Fx dx ? ? dx EI EI 0

0

l

Fl ? ? 2 EI

2

?

§13-7计算莫尔积分的图乘法
在应用莫尔定理求位移时,需计算下列形

式的积分:

M ( x)M ( x) ??? dx EI l
对于等直杆,EI=const,可以提到积分号外,

故只需计算积分

M ( x)M ( x)dx ?
l

直杆的M0(x)图必定是直线或折线。

? M ( x)M ( x)dx
l

? tg? ? ? x ? M ( x)dx
l

? tg? ? ? ? xC

???MC
M ( x) ? x ? tg?

M ( x)M ( x) ??? dx EI l ?

?M C
EI

顶点

顶点

2 ? ? lh 3
二次抛物线

1 ? ? lh 3

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。 解(1)求自由端的挠度 F L F
Fl

wB ? ?

?
l

M ( x)M ( x) dx EI

?M C

EI 1 ? Fl 2 2l ? ? ? ? 2 3 ? ? EI ? ? Fl 3 ? ? 3E I

? ?

F
Fl

(2) 求自由端的转角

m=1

? Fl 2 ? 1 ? ?B ? ? 1? ? EI ? 2 ? ?

Fl ?顺时针? ? 2E I

2

例:试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大
转角。
q

解(1)简支梁的最大挠度
l
M

ql 2 / 8

wmax

? 2 l ql 2 5l ? 2 ? ? ? ? ? ? E I ? 3 2 8 32 ? ? ?

l/4

5ql ? 384 E I

4

???

(2)求最大转角 最大转角发生在两个支座处

? max

1 ?2 ql 1 ? ? ?l ? ? ? ? EI ? 3 8 2? ? ?
2

ql / 8

2

ql ? 24 E I

3

例:试用图乘法求所示简支梁C截面的挠
度和A、B截面的转角。

CL12TU34

解:

1 wC ? EI

?l2 M ? ? ? ? ?8 2 ? ? ?
2

ml ??? ? 16E I
l/4

?A

1 ? ml 1? ? ? ? ? E I ? 2 3?

ml ? 6E I

? 顺时针?

?B

1 ? ml 2 ? ? ? ? ? E I ? 2 3?

ml ? 3E I

? 逆时针?

例:试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的
挠度和转角。

CL12TU35

解:

? l ql 2 3l ? 1 ? ? wB ? ? ? EI ? 3 2 4? ? ?

ql ? 8E I

4

? ??

ql 2 2

?B

? l ql 2 ? 1 ? ? 1? ? ? EI ?3 2 ?
3

ql ? 6E I

? 顺时针?

ql 2 2

例:试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的
铅垂位移。

CL12TU36

解:

?l2 ? 1 ? ? m? wC ? ? EI ? 8 ? ?

ml ? 8E I

2

? ??

例:图示梁,抗弯刚度为EI,承受均布载 荷q及集中力X作用。用图乘法求:
(1)集中力作用端挠度为零时的X值; (2)集中力作用端转角为零时的X值。
F

CL12TU37

解:(1)

F

ql / 8

2

1 ? Fal 2a Fa 2 2a ql 3 a ? ? ?C ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 12 ? 2 ? ? EI ? ?

?0
ql 3 F? 8a(l ? a)

(2)

ql / 8

2

1 ? Fal 2 Fa 2 ql 3 1 ? ? ?C ? ? 2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 12 ? 2 ? ? EI ? ?

?0
ql 3 F? 4a(2l ? 3a)

例:图示梁的抗弯刚度为EI,试求D点的
铅垂位移。

CL12TU38

解:

? Pa 2 2a ? Pa 3 3 ? ?C ? ? 2 ? 3 ?? ? EI ? EI ?

例:图示开口刚架,EI=const。求A、B两
截面的相对角位移 θ
AB

和沿P力作用线方向的

相对线位移 ΔAB 。

CL12TU39

解:

? AB

2 Pa 3 ? 1 1 1 1? ? ? ? ?2? ? ? EI ?8 3 2 2?

2 Pa ? 3EI

3

? AB ? 0

例:用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转
角及E截面的挠度。

CL12TU40

解:
?A
Pa 2 ? EI ? 1 5 1 1? ? ? ? ? ? ? 2 6 2 6?
2

Pa ? 2E I

1? ? ?2 ? ? ? 2?

Pa ? EI

2

Pa ? 1 1 ? ?E ? ? ? ? 2? EI ? 2 3 ?
3

Pa3 ? 3 ? ? ? ?1? 2E I ? 2 ?

13Pa ? 12 EI

3

例:图示刚架,EI=const。求A截面的水
平位移 ΔAH 和转角θ
A



CL12TU41

解:? AH ? qa ? 1 ? 2 ? 1 ? 5? ? 3qa ? ?
4

4

EI ?4
qa 2

3

3 8?

8E I

???

qa

qa 2

2

qa / 2



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