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2004-2016历年全国卷高考概率统计题



2004——2015 全国卷高考概率统计题
1、 (2004 全国卷 1)18.一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、 B 占线的概率均为 0.5,电话 C、D 占线的概率均为 0.4,各部电话是否占线相互之间没有影 响.假设该时刻有ξ 部电话占线.试求随机变量ξ 的概率分布和它的期望. 2、 (2004 全国卷 2) (18)已知 8 个球

队中有 3 个弱队,以抽签方式将这 8 个球队分为 A、B 两组,每组 4 个. 求 (Ⅰ)A、B 两组中有一组恰有两个弱队的概率; (Ⅱ)A 组中至少有两个弱队的概率. 3、 (2004 全国卷 4)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题.竞赛规则规定:每题回答 正确得 100 分,回答不正确得-100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题 回答正确与否相互之间没有影响. (Ⅰ)求这名同学回答这三个问题的总得分 ? 的概率分布和数学期望; (Ⅱ)求这名同学总得分不为负分(即 ? ≥0)的概率. 4、 (2005 全国卷 1)20. 9 粒种子分种在 3 个坑内, 每坑 3 粒, 每粒种子发芽的概率为 0.5, 若一个坑内至少有 1 粒种子发芽,则这个坑不需要补种,若一个坑里的种子都没发芽,则这 个坑需要补种,假定每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元,用 ? 表示补种费用,写 出 ? 的分布列并求 ? 的数学期望.(精确到 0.01)

5、 (2005 全国卷 2)19. 甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验,单局比赛甲队 胜乙队的概率为 0.6.本场比赛采用五局三胜制, 即先胜三局的队获胜, 比赛结束.设各局比赛 相互间没有影响.令 ? 为本场比赛的局数,求 ? 的概率分布和数学期望.(精确到 0.0001)

6、 (2005 全国卷 3)17 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响,已知在某一小 时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照 顾的概率为 0.125 (Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少; (Ⅱ)计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率 7、 (2006 全国卷 1) (18) A、 B 是治疗同一种疾病的两种药, 用若干试验组进行对比试验, 每个试验组由 4 只小白鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效. 若在一个 试验组中, 服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多, 就称该试验组为甲类组. 设每只 小白鼠服用 A 有效的概率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 . 3 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ? 表示这 3 个试验组中甲类组的个数. 求 ? 的分布列和数学 期望.

1

8、 (2006 全国卷 2) (18)某批产品成箱包装,每箱 5 件,一用户在购进该批产品前先取出 3 箱,再从每箱中任意抽取 2 件产品进行检验,设取出的第一、二、三箱中分别有 0 件、1 件、2 件二等品,其余为一等品. (Ⅰ)用 ? 表示抽检的 6 件产品中二等品的件数,求 ? 的分布列及 ? 的数学期望; (Ⅱ)若抽检的 6 件产品中有 2 件或 2 件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这 批产品被用户拒绝购买的概率. 9、 (2007 全国卷 1) (18)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的 分布列为

商场经销一件该商品,采用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元. ? 表示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A: “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A); (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E?.

10、 (2007 全国卷 2) (18)从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件.假 设事件 A: “取出的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P(A)=0.96. (Ⅰ)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p; (Ⅱ)若该批产品共 100 件,从中任意抽取 2 件, ? 表示取出的 2 件产品中二等品的件 数,求 ? 的分布列. 11、 (2008 全国卷 1)20.已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定 患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方 法: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取 3 只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外 2 只中任 取 1 只化验. (Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率; (Ⅱ) ? 表示依方案乙所需化验次数,求 ? 的期望.

12、 (2008 全国卷 2) (18)购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元,若 投保人在购买保险的一年度内出险, 则可以获得 10000 元的赔偿金.假定在一年度内有 10000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿 金 10000 元的概率为 1 ? 0.999
104

.

2

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50000 元, 为保证盈利的期望不 小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元). 13、 (2009 全国卷 1) 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜 利,比赛结束,假设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相 互独立,已知前 2 局中,甲、乙各胜 1 局。 (I)求甲获得这次比赛胜利的概率; (II)设 ? 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 ? 得分布列及数学期望。 14、 (2009 全国卷 2)20 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人, 其中有 3 名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中 共抽取 3 名工人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率;
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

(III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期望。 15、 (2010 全国卷 1)(18)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两 位初审专家的评审, 则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评 审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0. 5, 复审的稿件能通过评审的概率为 0. 3. 各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望. 16、 (2010 全国卷 2)20. 如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3, T4,电流能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通过 T4 的概率是 0.9.电流能否通过各元 件相互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通 过电流的概率为 0.999. (Ⅰ)求 p; (Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率; (Ⅲ) ? 表示 T1,T2,T3,T4 中能通过电流的元件个数,求 ? 的期望.

17、 (2011 全国卷)(18) 根据以往统计资料,某地车主购买甲种 保险 的概率为 0.5,购买 乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3,设各车主购买保险相互独立 (I)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 l 种的概率; (Ⅱ)X 表示该地的 l00 位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数。求 X 的期望。 18、 【2010 课标,理 19】.为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方 法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270

(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例;
3

(2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助 的老年人的比例?说明理由 附:

19、 【2011 课标,理 19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越 好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方 (分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验 结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位: 元)与其质量指标值 t 的关系式为

从用 B 配方生产的产品中任取一件, 其利润记为 X (单位: 元) ,求 X 的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的 质量指标值落入相应组的概率) 20、 【2012 课标,理 18】某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每 枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

4

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由. 21、 【2013 课标,理 19】一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优 质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为 优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。 22、 【2014 课标 ,理 18】从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指 标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值 的样本平均数 x 和样本方差 s
2

(同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ) 由频率分布直方图可以认 为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其中 ? 近似为样本平均数 x ,? 近
2
2

似为样本方差 s 2 . (i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值为于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2.
2 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.

5

23、 【2015 课标 ,理 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年

宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的 影响,对近 8 年的年宣传费 x1 和年销售量 y1(i=1,2,· · · ,8)数据作了初步处 理,得到下面的散点图及一些统计量的 值。

? x
46.6

? ? y

?? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

563

289.8

1.6
n

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



?? 1 w = 8

?w
i ?1

i

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x
的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回 答下列问题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?

(ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,……,(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截 距的最小二乘估计分别为:

?= ?

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

? =v ? ? ?u ,?

2

6

24、 【2014 全国 2,理 19】某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元) 的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4
[来源:学。 科。 网Z

2011 5 4.8

2012 6 5.2

2013 7 5.9

4.4

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的 变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

b?

?

? ? t ? t ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? ?t
i ?1

n

i

?t

?

2

? ? ? y ? bt ,a

25、 【2015 高考新课标 2,理 18】某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地 区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 46 53 73 64 82

B 地区:73 83 62 51 91

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数 据完成两地区用 户满意度评分的 茎叶图, 并通过茎 叶图比较两地区 满意度评分的平 均值及分散程度 (不要求计算出 具体值, 得出结论 即可) ; 5 6 7 8 9 4 A 地区 B 地区

7

(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记时间 C:“A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”. 假设两地区用户的评 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概 率.

26、 (2016 年全国 I 高考)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有 一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使 用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个 易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得 下面柱状图:

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的 概率, 记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时 购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P( X ? n) ? 0.5 ,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n ? 19 与 n ? 20 之中选其 一,应选用哪个?

8

参考答案
(2004 全国卷 1)18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用 概率知识解决实际问题的能力.满分 12 分. 解:P(ξ =0)=0.52× 0.62=0.09.
1 1 P(ξ =1)= C 2 × 0.52× 0.62+ C 2 × 0.52× 0.4× 0.6=0.3 2 1 1 2 P(ξ =2)= C 2 × 0.52× 0.62+ C 2 × 0.52× 0.4× 0.6+ C 2 × 0.52× 0.42=0.37. C2 2 1 1 2 P(ξ =3)= C 2 × 0.52× 0.4× 0.6+ C 2 × 0.52× 0.42=0.2 C2 C2

P(ξ =4)= 0.52× 0.42=0.04 于是得到随机变量ξ 的概率分布列为: ξ P 0 0.09 1 0.3 2 0.37 3 0.2 4 0.04

所以 Eξ =0× 0.09+1× 0.3+2× 0.37+3× 0.2+4× 0.04=1.8. (2004 全国卷 2)18.(I) 解:有一组恰有两支弱队的概率 2 (II)解:A 组中至少有两支弱队的概率

C32 C52 6 ? 7 C84

王新敞
奎屯

新疆

3 1 C32 C52 C3 C5 1 ? ? 4 2 C8 C84

王新敞
奎屯

新疆

(2004 全国卷 4)19.本小题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望等概念,以及运 用概率统计知识解 决实际问题的能力.满分 12 分. 解: (Ⅰ) ? 的可能值为-300,-100,100,300. P( ? =-300)=0.23=0.008, P( ? =-100)=3× 0.22×0.8=0.096, P( ? =100)=3× 0.2×0.82=0.384, P( ? =300)=0.83=0.512, 所以 ? 的概率分布为

?
P

-300 0.008

-100 0.096

100 0.384

300 0.512

根据 ? 的概率分布,可得 ? 的期望 E ? =(-300)×0.08+(-100)×0.096+100× 0.384+300× 0.512=180. (Ⅱ)这名同学总得分不为负分的概率为 P( ? ≥0)=0.384+0.512=0.896.

9

( 2005 全国卷 1 )首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率 p=1-C330.53=0.875 由题意知一共种了 3 个坑,每个坑至多补种一次,每补种 1 个坑需 10 元 得到变量ξ 的可能取值是 0,10,20,30, ξ =0,表示没有坑需要补种, 根据独立重复试验得到概率 P(ξ =0)=C330.8753=0.670 P(ξ =10)=C320.8752×0.125=0.287 P(ξ =20)=C31×0.875×0.1252=0.041 P(ξ =30)=0.1253=0.002 ∴变量的分布列是

∴ξ 的数学期望为:Eξ =0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75

10



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