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2015-2016学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(文科)(b卷)(解析版)



2015-2016 学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(文科) (B 卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. (温馨提示:请在答题卡上作答,在本试题上作答无效. ) 1.复数 z= 的共轭复数是( + i
2 2

) D. ﹣ i ) B.如果

a>b,那么 a2>b2 D.如果 x≠0,那么

A.1+i B.1﹣i C.

2.下列命题中,真命题是( A.如果 a>b,那么 ac >bc C.如果 a>b,ab>0,那么

3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 通项公式是( A. )

(n=1,2,3,…)计算该数列的前几项,猜想它的

B.an=n C.

D.

4. 小明为了更好地把握回归分析的知识, 他试图用流程图形象地表示建立回归模型的过程:

则最适合填写流程图中空白框的一项是( ) A.预报 B.计算真实值 y C.比较模型效果 D.残差异常分析 5.函数 y=ln(|3x﹣1|﹣1)的定义域是( ) A. (﹣∞,0) B. C. D.

6.某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关,他收集了 3 月份本班同学的 感冒数据,并制出下面一个 2×2 列联表: 男生 女生 合计 感冒 5 9 13 不感冒 27 19 47 合计 32 28 60

参考数据 P(K2≥2.072)≈0.15 P(K2≥2.706)≈0.10 P (K2≥6.635) ≈0.010

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由 K2 的观测值公式,可求得 k=2.278,根据给出表格信息和参考数据,下面判断正确的是 ( ) A.在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班“感冒与性别有关” B.在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关” C.有 15%的把握认为该班“感冒与性别有关” D.在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班“感冒与性别有关” 7.极坐标方程 θ= (ρ≥0)表示的曲线是一条( )

A.射线 B.直线 C.垂直于极轴的直线 D.圆 8.已知 x,y 满足 x+y=1(x>0,y>0) ,则 A.3 B.2 C. D. 的最小值是( )

9.在同一坐标系中,曲线

=1 经过伸缩变换

后,得到的曲线的方程是

( A.

) B.

C.x'2+y'2=1 D.x'2+y'2=12 10.圆心 C(2,1) ,半径为 3 的圆的参数方程是( A.



B.

C.

D. 11.不等式|x﹣2|+|x+3|>a 恒成立,则参数 a 的范围是( A.a≤5 B.a<5 C.a≤1 D.a<1 12.设 P 是椭圆 C: =1 上的动点,则 P 到直线 )

=1 的距离的最小值是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

第 2 页(共 15 页)

13.过点(2,

)且平行于极轴的直线的极坐标方程是

. AB.”,在空间

14.如图,类比三角形中位线定理“如果 EF 是三角形的中位线,则 EF 四面体(三棱锥)P﹣ABC 中,“如果 ,则 ”.

15.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的统计数据如表, 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年 份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 x y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 据此,我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程: 村居民家庭人均纯收入等于 16.函数 y= + 的最大值是 . . =0.5 +2.3,则预测该地区 2015 年农

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解不等式 2|x﹣1|+x﹣4>0. 18.已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+ (1)在极坐标系下写出 θ=0 和 θ= )= .

时该直线上的两点的极坐标,并画出该直线;

(2)已知 Q 是曲线 ρ=1 上的任意一点,求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标. 19.要制作一个容积为 4m3,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该溶器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,求如何制作该溶器的总造价最低. 20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣ ,Sn+ (1)求 S2,S3,S4 的值; (2)猜想 Sn 的表达式;并用数学归纳法加以证明. 21.已知方程:|x﹣2|+|x+1|=a(a∈R)有解. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 g(a)=a+ 的最小值. =an﹣2(n≥2,n∈N)

22.已知直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为:

(t

为参数) ,顶点为 O. (1)求直线的倾斜角和斜率;
第 3 页(共 15 页)

(2)证明直线 l 与曲线 C 相交于两点; (3)设(2)中的交点为 A,B,求三角形 AOB 的面积.

第 4 页(共 15 页)

2015-2016 学年广西钦州市高二(下)期末数学试卷(文 科) (B 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个备选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. (温馨提示:请在答题卡上作答,在本试题上作答无效. ) 1.复数 z= 的共轭复数是( + i ) D. ﹣ i

A.1+i B.1﹣i C.

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:z= 复数 z= 故选:B. 2.下列命题中,真命题是( A.如果 a>b,那么 ac2>bc2 C.如果 a>b,ab>0,那么 ) B.如果 a>b,那么 a2>b2 D.如果 x≠0,那么 = =1+i,

的共轭复数是 1﹣i.

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据不等式的基本性质,逐一分析各个命题的真假,可得结论. 【解答】解:当 a=0 时,如果 a>b,那么 ac2=bc2,故 A 错误; 如果 0>a>b,那么 a2<b2,故 B 错误; 如果 a>b,ab>0,那么 如果 x<0,那么 故选:C. ,即 ,故 D 错误; ,故 C 正确;

3.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 通项公式是( A. )

(n=1,2,3,…)计算该数列的前几项,猜想它的

B.an=n C.

D.

【考点】数列的概念及简单表示法.

第 5 页(共 15 页)

【分析】运用 a1=1,an+1= 的通项公式. 【解答】解:∵a1=1,an+1=

(n=1,2,3,…) ,可以计算该数列的前几项,即可猜想它

(n=1,2,3,…) ,

∴a2=

= ,a3=

= ,a4=

= ,…,故猜想 an= ,

故选:A. 4. 小明为了更好地把握回归分析的知识, 他试图用流程图形象地表示建立回归模型的过程:

则最适合填写流程图中空白框的一项是( ) A.预报 B.计算真实值 y C.比较模型效果 D.残差异常分析 【考点】流程图的作用. 【分析】根据回归分析的知识,结合流程中建立回归模型的过程,即可得出流程图中空白框 应填写的内容. 【解答】解:根据回归分析的知识,用流程图形象地表示建立回归模型的过程是: 确定解释变量与预报变量→画出散点图→散点图特征是否线性? →根据公式计算 、 →得出可用于预报的线性回归方程 = x+

→得出表示真实值的线性回归模型:y=bx+a+e→残差异常分析; 所以流程图中空白框应填写“残差异常分析”. 故选:D. 5.函数 y=ln(|3x﹣1|﹣1)的定义域是( A. (﹣∞,0) B. C. ) D.

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域. 【解答】解:要使函数有意义,则|3x﹣1|﹣1>0,则|3x﹣1|>1, 即 3x﹣1>1 或 3x﹣1<﹣1, 得 x> 或 x<0, 即函数的定义域为 故选:C
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6.某班生活委员为了解在春天本班同学感冒与性别是否相关,他收集了 3 月份本班同学的 感冒数据,并制出下面一个 2×2 列联表: 男生 女生 合计 感冒 5 9 13 不感冒 27 19 47 合计 32 28 60

参考数据 P(K2≥2.072)≈0.15 P(K2≥2.706)≈0.10 P (K2≥6.635) ≈0.010 2 由 K 的观测值公式,可求得 k=2.278,根据给出表格信息和参考数据,下面判断正确的是 ( ) A.在犯错概率不超过 1%的前提下认为该班“感冒与性别有关” B.在犯错概率不超过 1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关” C.有 15%的把握认为该班“感冒与性别有关” D.在犯错概率不超过 10%的前提下认为该班“感冒与性别有关” 【考点】独立性检验的应用. 【分析】根据数据计算得随机变量 K2 的观测值,对照 2×2 列联表中数据,即可得出统计结 论. 【解答】解:由 2×2 列联表数据计算得随机变量 K2 的观测值是 k=2.278>2.706, 通过对照表中数据得,P(K2≥2.706)≈0.10 ∴在犯错误的概率不超过 1%的前提下不能认为该班“感冒与性别有关”. 故选:B.

7.极坐标方程 θ=

(ρ≥0)表示的曲线是一条(



A.射线 B.直线 C.垂直于极轴的直线 D.圆 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】由 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得 tanθ= .由条件,化简整理可得曲线表示的是一条射 线. 【解答】解:由 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 可得 tanθ= . 极坐标方程 θ= (ρ≥0) , ?x,

可得射线 y=tanθ?x,即有 y=tan 即 y= x(x≥0) .

故选:A.
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8.已知 x,y 满足 x+y=1(x>0,y>0) ,则 A.3 B.2 C. D.

的最小值是(



【考点】基本不等式. 【分析】运用 1 的代换,化简,利用基本不等式,即可得出答案,但应当注意取等的条件. 【解答】解:∵x+y=1(x>0,y>0) , ∴ =( ) (x+y)=1+ + x 时,取得等号, , +2≥3+2 =3+2 ,

当且仅当 y= ∴

的最小值为 3+2

故选:D.

9.在同一坐标系中,曲线

=1 经过伸缩变换

后,得到的曲线的方程是

( A.

) B.

C.x'2+y'2=1 D.x'2+y'2=12 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】将 代入曲线 =1,整理即可得到答案.

【解答】解:将 故答案选:C.

代入曲线

=1,整理得:x′2+y′2=1,

10.圆心 C(2,1) ,半径为 3 的圆的参数方程是( A.



B.

C.

D.

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【考点】圆的参数方程. 【分析】设圆上任意一点与圆心(2,1)连线的倾斜角为 θ,用 θ 表示出该点的坐标即可. 【解答】解:设圆上任意一点的坐标为(x,y) ,该点与圆心(2,1)连线的倾斜角为 θ, ∴圆的参数方程为: 故选:A. 11.不等式|x﹣2|+|x+3|>a 恒成立,则参数 a 的范围是( A.a≤5 B.a<5 C.a≤1 D.a<1 ) (θ 为参数) .

【考点】绝对值三角不等式. 【分析】根据绝对值的意义,求得|x﹣2|+|x+3|的最小值为 5,从而得到参数 a 的范围. 【解答】解:由于|x﹣2|+|x+3|表示数轴上的 x 对应点到 2、﹣3 对应点的距离之和, 它的最小值为 5, 要使不等式|x﹣2|+|x+3|>a 恒成立, 则有 5>a, 即 a<5, 故选:B.

12.设 P 是椭圆 C:

=1 上的动点,则 P 到直线

=1 的距离的最小值是(



A.

B.

C.

D.

【考点】椭圆的简单性质. sinθ) 【分析】设 P(2cosθ, ,0≤θ<2π,运用点到直线的距离公式和辅助角公式,及 正弦函数的值域加上即可得到所求最小值. 【解答】解:P 是椭圆 C: 可设 P(2cosθ, P 到直线 | = |2 =1 上的动点,

sinθ) ,0≤θ<2π, =

=1 即 3x+4y﹣12=0 的距离为 d= ﹣12| sin(θ+α)﹣12|,α 为辅助角. =1 的距离的最小值为 .

当 sin(θ+α)=1 时,P 到直线 故选:D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.过点(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程是 p?sinθ=1 .

【考点】简单曲线的极坐标方程.
第 9 页(共 15 页)

【分析】先根据公式 x=ρ?cosθ,y=ρ?sinθ,求出点的直角坐标,根据题意得出直线的斜率为 0,用点斜式表示出方程,再化为极坐标方程. 【解答】解:∵点(2, ∴x=ρ?cosθ= = ) ,y=ρ?sinθ= =1,

∴该点的直角坐标为( ,1) ∵直线平行于极轴, ∴直线的斜率为 0. ∴直线的方程为:y=1, 极坐标方程为:p?sinθ=1. 故答案为:p?sinθ=1.

14.如图,类比三角形中位线定理“如果 EF 是三角形的中位线,则 EF 四面体(三棱锥)P﹣ABC 中,“如果 GEF 是中截面 面 GEF1 的面积等于于截面 ABC 的面积的 ”.

AB.”,在空间

,则 截面 GEF∥截面 ABC 且截

【考点】类比推理. 【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时,常用的思路有:由平面图形中点 的性质类比推理出空间里的线的性质,由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质. 【解答】解:类比三角形中位线定理“如果 EF 是三角形的中位线,则 EF AB”,可得三

棱锥中截面的性质“如果面 GEF 是中截面,则截面 GEF∥截面 ABC 且截面 GEF1 的面积等 于于截面 ABC 的面积的 ”. 故答案为:GEF 是中截面;截面 GEF∥截面 ABC 且截面 GEF1 的面积等于于截面 ABC 的 面积的 .

15.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的统计数据如表, 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年 份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 x y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 据此,我们得到 y 关于年份代号 x 的线性回归方程: 村居民家庭人均纯收入等于 【考点】线性回归方程. 6.8 . =0.5 +2.3,则预测该地区 2015 年农

第 10 页(共 15 页)

【分析】根据回归方程,2015 年对应的年份代码 x=8,代入回归方程求得 y 的值. 【解答】解:由回归方程 =0.5 +2.3,可知:2015 年对应的 x=9 时,y=6.8, 故答案为:6.8.

16.函数 y=

+

的最大值是 2 .

【考点】二维形式的柯西不等式. 【分析】由二次根式的性质可得﹣1≤x≤1,然后由柯西不等式求解最大值即可. 【解答】解:根据题意得: 解得:﹣1≤x≤1, y= 由柯西不等式得: = + ≤ ? =2 (当且仅当 ,

,即 x=0 时,取等号) , + 的最大值为 2.

故函数 y= 故答案为:2.

三、解答题:本大题共 6 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解不等式 2|x﹣1|+x﹣4>0. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】通过讨论 x 的范围,去掉绝对值号,解不等式即可. 【解答】解:①当 x≥1 时,原不等式可化为 2x﹣2+x﹣4>0,… 整理得 3x﹣6>0,解得 x>2,… ②当 x<1 时,原不等式可化为﹣2x+2+x﹣4>0,… 整理得﹣x﹣2>0,解得 x<﹣2,… 综合①②可知,原不等式的解集为{x|x<﹣2 或 x>2}.…

18.已知直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+ (1)在极坐标系下写出 θ=0 和 θ=

)=



时该直线上的两点的极坐标,并画出该直线;

(2)已知 Q 是曲线 ρ=1 上的任意一点,求点 Q 到直线 l 的最短距离及此时 Q 的极坐标. 【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)将 θ=0 和 θ= 分别代入直线 l 的极坐标方程,求出 ρ,从而得出两点的极坐

标,画出直线; (2)分别求出直线 l 和曲线 ρ=1 的直角坐标方程,要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离, 只要求圆心 O(0,0)到直线 l 的距离即可. 【解答】解: (1)直线 l 经过 A(2,0) , 在极坐标系下,直线如图所示:
第 11 页(共 15 页)

两点,

(2)曲线 ρ=1 化为直角坐标方程得 x2+y2=1,该曲线为单位圆, 将直线 l 的极坐标方程 化为直角坐标方程得 x+y﹣2=0

要求圆上任意一点到直线 l 的最短距离,只要求圆心 O(0,0)到直线 l 的距离即可. 由点到直线的距离公式得: 所以点 Q 到直线 l 的最短距离为 此时,点 Q 的极坐标为 . , ,

19.要制作一个容积为 4m3,高为 1m 的无盖长方体容器,已知该溶器的底面造价是每平方 米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,求如何制作该溶器的总造价最低. 【考点】函数最值的应用. 【分析】设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出 最值即可求出所求. 【解答】解:设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y, 则∵长方形容器的容器为 4m3,高为 1m, 故底面面积 S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80, =4, ∵a+b≥2 故当 a=b=2 时,y 取最小值 160, 即该容器的最低总造价是 160 元.

20.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣ ,Sn+ (1)求 S2,S3,S4 的值; (2)猜想 Sn 的表达式;并用数学归纳法加以证明. 【考点】数学归纳法;归纳推理. 【分析】 (1)S1=a1,由 S2+ (2)猜想 Sn=﹣

=an﹣2(n≥2,n∈N)

=a2﹣2=S2﹣a1 求得 S2,同理求得 S3,S4.

,n∈N+,用数学归纳法进行证明. =an﹣2(n≥2,n∈N) ,令 n=2 可得,

【解答】解: (1)S1=a1=﹣ ,∵Sn+ S2 + =a2﹣2=S2﹣a1﹣2,∴

= ﹣2,∴S2=﹣ .

同理可求得 S3=﹣ ,S4=﹣ . (2)猜想 Sn=﹣ ,n∈N+,下边用数学归纳法证明:
第 12 页(共 15 页)

①当 n=2 时,S2=a1+a2=﹣ ,猜想成立. ②假设当 n=k 时猜想成立,即 SK=﹣ 则当 n=k+1 时,∵Sn+ ∴ ∴SK+1=﹣ =an﹣2,∴ ,∴ = ﹣2= . , ,

,∴当 n=k+1 时,猜想仍然成立. ,n∈N+成立.

综合①②可得,猜想对任意正整数都成立,即 Sn=﹣ 21.已知方程:|x﹣2|+|x+1|=a(a∈R)有解. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 g(a)=a+ 的最小值.

【考点】绝对值三角不等式;基本不等式. 【分析】 (1)利用绝对值三角不等式求得 y 的最小值,从而求得 a 的范围. 2 ( )由 a≥3,及均值不等式求得 g(a)的最小值. y=|x﹣2|+|x+1|≥| 【解答】 (1) 设 y=|x﹣2|+|x+1|, 由绝对值的性质可知: (x﹣2) ﹣ (x+1) |=3, ∴函数 y=|x﹣2|+|x+1|的值域是 y≥3, 要使方程|x﹣2|+|x+1|=a 有解,a≥y 最小值, ∴a 的取值范围是:a≥3. (2)由 a≥3,及均值不等式,可知 ,

当且仅当 ∴

时取等号,此时,a=4∈(3,+∞) , 的最小值等于 6.

22.已知直线 l 的参数方程为:

(t 为参数) ,曲线 C 的参数方程为:

(t

为参数) ,顶点为 O. (1)求直线的倾斜角和斜率; (2)证明直线 l 与曲线 C 相交于两点; (3)设(2)中的交点为 A,B,求三角形 AOB 的面积. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)将将直线 l 的参数方程转化成普通方程:y=x﹣1,即可求得直线的倾斜角和斜 率;
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(2)求得曲线 C 的一般方程,将直线方程代入曲线 C,消去 x,求得关于 y 的一元二次方 程,根据△>0,即可证明直线 l 与曲线 C 相交于两点; (3)分别求得 A 和 B 的纵坐标,根据抛物线的性质即三角形的面积公式即可求得三角形 AOB 的面积. 【解答】解: (1)将直线 l 的参数方程转化成普通方程:y=x﹣1, 直线的倾斜角为 45°,斜率为 1;… (2)证明:将曲线 c 的参数方程 曲线 c 的一般方程是:y2=4x,… 联立方程组 ,消去 x 得:y2﹣4y﹣4=0①… 中的参数 t 消去得

△=(﹣4)2﹣4×1×(﹣4)=32>0∴方程①有两个不同的实数根, … ∴直线 l 与曲线 c 相交于两点. (3)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由(2)可得, 由抛物线的图象知,直线 l 经过抛物线的焦点 F(1,0) ,… ∴ ∵△AOB 的面积为 … , ,

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2016 年 9 月 5 日

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