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高中数学圆锥曲线专题复习椭圆(含习题加详解)



高中数学圆锥曲线专题复习 ( 1) ---------椭圆

一.椭圆标准方程
1.椭圆标准方程的求法:定义法、待定系数法 ①定位:确定焦点所在的坐标轴; ②定量:求 a, b 的值. 2. 对 a, b, c 三个值中知道任意两个 (知二求三) , 可求第三个, a, b 为椭圆的定型条件,

其中 a ? b,

r />a?c

1.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆 的标准方程是 2. 已知椭圆 C 以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦点为 ?1,0? ,点

? 3 6? ? M? ? 2 , 2 ? 在椭圆上,求椭圆 C 的方程; ? ?

3.变式:与椭圆 4x +y =16 有相同焦点,且过点 ? 6, 5 的椭圆方程是

2

2

.

C:
4.(2013 山东)椭圆 过

x2 y2 3 ? 2 ?1 2 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 2 , a b

F1

且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1(通径=22 ).求椭圆 C 的方程;

1 x2 y 2 2 2 ? 2 ?1 2 x a b 5.若椭圆 的焦点在 轴上, 过点 (1,2 ) 作圆 x +y =1 的切线, 切点分别为 A,B,

直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

二.离心率
c e? ? a
椭圆上任一点P到焦点的距离 点P到相应准线的距离

e?

?b? 1? ? ? ?a?

2

一、 直接求(找)出 a 、 c ,求解 e 1. 已知椭圆 C :
4 1

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),椭圆 C 经过点 a 2 b2

P(3,3),求 C 的离心率_______。
二、 根据题设条件构造 a、c 的齐次式方程,进而得到关于 e 的一元方程,解出 e。

1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是_____。 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解 1.设椭圆的两个焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P ,若 ?F1 PF2 为 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是________。 四、根据第二定义求解 1.设椭圆

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的右焦点为 F1 ,右准线为 l1 ,若过 F1 且垂直于 x 轴 a2 b2
.

的弦的长等于点 F1 到 l1 的距离,则椭圆的离心率是 五.数形结合+转换条件

C:
1.已知椭圆

x2 y2 ? ?1 a 2 b2 (a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,BF垂直于X

轴,直线AB交Y轴与点P,AP=2BP,则椭圆的离心率为________.

三、 直线与椭圆的关系
x2 y2 C : 2 ? 2 ?1 a b 代数法:已知 AX+BY=C 和椭圆 ,联立方程组,消去 X 或 Y(一般消 Y),得到
关于 X 或 Y 的二元一次方程,然后再看?。 ?>0,相交;?=0,相切;?<0,相离。
2 2 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点?

1.

2.

若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

点差法:解决中点弦问题。 步骤:1.设 A(1, 1 ),B(2 , 2 ) 2.代入圆锥曲线方程做差。 3.利用平方差公式变形,把中点坐标与直线斜率代入,得到式子。
2 16

1. 过椭圆

+

2 4

= 1内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被 M 平分,求弦所在方程。

弦长公式:AB= 韦达定理:1

1 ? 2 · (1 + 2 )2 ? 41 2


+ 2 = ?

1 2 =



1. 求上题中的弦长。 2.已知点 F1 、F2 分别是椭圆

? x2 y2 过 F2 作倾斜角为 的直线交 ? ? 1 的左、右焦点, 4 2 1

椭圆于 A、B 两点,求 △F1 AB 的面积.

距离问题: 1.已知椭圆
2 25

+

2 9

= 1,直线 4x-5y+40=0,求椭圆上的一点 P 到直线 l 的最小距离?

思考:最大距离为多少?



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