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2007年高考数学(理科)模拟试题(五)



2007 年高考数学(理科)模拟试题(五)
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分) 1、已知全集 U=R,集合 M ? {x | A、 {x | 0 ? x ? 1} C、 {x | 0 ? x ? 1} 2、复数 (

2x ? 1}, N ? {x | x ? 1 ? 1}, ,则 CU N ? M ? ( x ?1
B、 {x

| 0 ? x ? 1} D、 {x | ?1 ? x ? 2}



1? i 6 ) ?( 1? i



A、 ? 1 B、1 C、 ?32 D、32 3、如果圆锥的高和底面直径都等于 a,则该圆锥的体积为( A、



? 3 a 4

B、

? 3 a 6

C、

? 3 a 12

D、

? 3 a 3


4、一个容量为 20 的样本数据分组后,组距与频率如下: (10,20) ,2; (20,30) ,3; (30,40) ,4; (40,50) ,5; (50,60) , 4; (60,70) ,2。则样本在区间 (??,50) 上的频率是(

A、0.20 B、0.25 C、0.50 D、0.70 5、从 10 名女生和 5 名男生中选出 6 名组成课外学习小组,如果按性别比例分层抽样,则组成此课外学习小组的概 率是( ) A、
4 3 C10 ? C5 6 C15

B、

3 3 C10 ? C5 6 C15

C、
2

6 C15 6 A15

D、

4 A10 ? A52 6 C15

6、已知二次函数 y ? n(n ? 1) x ? (2n ? 1) x ? 1 ,当 n 依次取 1,2,3,4,…,k 时,其图象在 x 轴上截得的线段长 度的总和为( A、1 ) B、

k k ?1 1 3 3 4

C、

k?2 k ?1 5 , ?? ) 12

D、

k ?1 k?2


7、曲线与直线有两个公共点时,实数 k 的取值范围是( A、 (0,

5 ) 12

B、 ( , )

C、 (

D、 (

8、设函数 f ( x) ? x ? sin x ,若 x1 , x2 ? [ ? A、 x1 ? x2 B、 x1 ? x2

? ?

5 3 , ] 12 4


, ] ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则下列不等式恒成立的是( 2 2
D、 x12 ? x22

C、 x1 ? x2 ? 0

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 9、曲线 y ? x ? x ? 1 在点 (1,3) 处的切线方程为___________________。
3

10、 已知 ( x ? x ) 的展开式中各项系数的和是 128, 则展开式中 x 的系数是________________________________。 11、若非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b | ,则 a 与 b 所成的角的大小为___________________。 12、 tan 20 ? 4sin 20 ? ___________________________。
0 0

1 2

?

1 2 n

1 2

? ?

?

?

?

?

?

?

13、设函数 f ( x ) 对任意 x 都有 f ( x ? 2) ?

1 ? f (x) ,且当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? ______________, 1 ? f (x)

f (2007) ? ________________。
14、以下三题任选做一题: (1)设 x ? y ? z ? 1 ,则 F ? 2x ? 3 y ? z 的最小值为_____________。
2 2 2

(2)曲线 ? ? 2 2 上有 n 个点到曲线 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 的距离为 2 ,则 n ? ________________。

(3)如图,AB,CD 是⊙O 的两条弦,它们相交于 P,连结 AD,BD。已知 AD=BD=4,PC=6,那么 CD 的长为 __________________。

三、解答题: (15、16 题每题 12 分,17~20 题每题 14 分,共 80 分) 15、已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a ( a ? R, a 是常数) 6 6

?

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)若 x ? [ ?

? ?

, ] 时, f ( x) 的最大值为 1,求 a 的值。 2 2

16、如图,已知 M,N 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 BB1 和 B 1C1 的中点,求: (1)MN 与 CD1 所成的角; (2)MN 与 CD1 间的距离。

17、一接待中心有 A、B、C、D 四部热线电话,已知某一时刻电话 A、B 占线的概率均为 0.5,电话 C、D 占线的概 率均为 0.4。各部门是否占线相互之间没有影响。假设有 ? 部电话占线,试求随机变量 ? 的概率分布和它的期望。

x2 y 2 ? ? 1 ,点 P ( x, y ) 是椭圆上一点。 18、已知椭圆 E: 25 16
(1)求 x ? y 的最值。
2 2

(2)若四边形 ABCD 内接于椭圆 E,点 A 的横坐标为 5,点 C 的纵坐标为 4,求四边形面积的最大值。

19、已知函数 f ( x) ? lg(a ? b ) (a ? 1 ? b ? 0)
x x

(1)求 y ? f ( x) 的定义域; (2)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点,使得过这两点的直线平行于 x 轴; (3)当 a、b 满足什么条件时, f ( x ) 在 (1, ??) 上恒取正值。

20、将等差数列 {an } 所有项依次排列,并作如下分组: (a1 ),(a2 , a3 ),(a4 , a5 , a6 , a7 ), …第一组 1 项,第二组 2 项,第 三组 4 项,…,第 n 组 2
n ?1

项。记 Tn 为第 n 组中各项的和。已知 T3 ? ?48, T4 ? 0 。

(1)求数列 {an } 的通项;

(2)求 {Tn } 的通项公式; (3)设 {Tn } 的前 n 项的和为 Sn ,求 S8 。

参考答案: 一、选择题: B A C D A B D D 二、填空题:9、 4x ? y ? 1 ? 0 11、900 13、 ? ,3 三、解答题:: 15 解: 10、35 12、 3 14、⑴

1 2

6 11

⑵3

⑶8

(1) f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? a 6 6 ? 3 sin x ? cos x ? a ? 2sin( x ? ) ? a 6 2? 所以, T ? ? 2? 1 ? ? ? ? 2? (2) ? x ? [? , ],? x ? ? [? , ] 2 2 6 3 3 ? f ( x)的最大值为a ? 2 ? a ? 2 ? 1? a ? ?1
16 解 (1) 以 D 为 原 点 ,,DA,DC,DD1 分 别 为 X 、 Y 、 Z 轴 建 立 如 图 的 空 间 坐 标 系 。 则

?

?

?

A(1, 0, 0).B(1,1, 0).C (0,1, 0).D(0, 0, 0) 。 A1 (1, 0,1).B1 (1,1,1).C1 (0,1,1).D1 (0, 0,1)
由于 M、N 是 BB1 , B1C1 的中点, M (1,1, ), N ( ,1,1) 从而 MN ? (? , 0, ), CD1 ? (0, ?1,1) 。

???? ?

1 2

? 1 ???? 2

1 2

1 2

???? ? ???? ? ????????? ? MN ? CD1 ? ???? ? ? 则 cos ? MN ,CD1 ?? ???? | MN | ? | CD1 |

1 2 2 ? 2 2

?

1 2

故 MN 与 CD1 所成的角为

(2)设与 MN与CD1 都垂直的方向向量为 n ? ( x, y, z) 。

???? ? ???? ?

? 。 3

?

???? ? ? ? ? MN ? n ? 0 则 ? ???? ? ? CD ? ? 1 ?n ? 0

1 ? 1 ?? x ? z ? 0 即? 2 2 ? ?? y ? z ? 0

即x? y ? z

取 x ? 1 ,则 n ? (1,1,1) 。

?

3 ???? ? ? | MC ? n | 2 3 ? ? ? 所以 MN 与 CD1 间的距离为 d ? 2 |n| 3
17、

P(? ? 0) ? 0.52 ? 0.62 ? 0.09
1 1 P(? ? 1) ? C2 0.52 ? 0.62 ? C2 0.52 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.3 2 1 1 2 P(? ? 2) ? C2 0.52 ? 0.62 ? C2 C2 ? 0.52 ? 0.4 ? 0.6 ? C2 0.52 ? 0.42 ? 0.37 2 1 1 2 P(? ? 3) ? C2 C2 ? 0.52 ? 0.4 ? 0.6 ? C2 C2 0.52 ? 0.42 ? 0.2

P(? ? 4) ? 0.52 ? 0.42 ? 0.04
随机变量 ? 的概率分别为:

?
P

0 0.09

1 0.3

2 0.37

3 0.2

4 0.04

E? ? 0 ? 0.09 ? 1? 0.3 ? 2 ? 0.37 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.04 ? 0.625
18、 (1)由

x2 y 2 x2 ? ? 1 得 y 2 ? 16(1 ? ) ,则 25 16 25 x2 ), x ? [?5,5] 25

x 2 ? y 2 ? x 2 ? 16(1 ?
则 16 ? x ? y ? 25
2 2

所以 x ? y 的最大值为 25,最小值为 16。
2 2

(2)如图,由 xA ? 5 及椭圆方程得 A(5,0) 。同理 C(0,4) ,设 B(5cos? , 4sin ? ) 为椭圆上任一点,又 AC 方程 为

x y ? ? 1 ,即 4 x ? 5 y ? 20 ? 0 。所以 B 到 AC 的距离为 5 4

20 2 sin(? ? ) ? 20 20cos? ? 20sin ? ? 20 20 2 ? 20 4 d1 ? ? ? 41 41 41
同理得 D 到直线 AC 的距离 d 2 ? 所以四边形 ABCD 最大面积 S ?

?

20 2 ? 20 41
1 AC (d1 ? d 2 ) max ? 20 2 。 2

x x 19、 (1)由 a ? b ? 0 得 ( ) ? 1 ,且 a ? 1 ? b ? 0 ,得
x

a b

a ? 1 ,所以 x ? 0 ,即 f ( x) 的定义域为 (0, ??) 。 b
x x1 b ?
x x x x2 x2 ? , 所 以 a 1 ? b 1 ? a 2 ? b0 , 即 b

( 2 ) 任 取 x1 ? x2 ? 0, a ? 1 ? b ? 0 , 则 a 1 ? a ,2
x

l g a x1 ( ? bx1 ?)

a l x2g?( ,故 bx2 f ( x1)) ? f ( x2 ) 。所以 f ( x) 在 (0, ??) 为增函数;假设函数 y ? f ( x) 的图象上存在

不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 使直线平行于 x 轴, 则 x1 ? x2 , y1 ? y2 。 这与 f ( x ) 是增函数矛盾。 故函数 y ? f ( x) 的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于 x 轴。 (3)因为 f ( x ) 是增函数,所以当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? f (1) 。这样只需 f (1) ? lg(a ? b) ? 0 ,即当 a ? b ? 1 时,

f ( x) 在 (1, ??) 上恒取正值。
20、设 {an } 的公差为 d,首项为 a1 ,则

T3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 4a1 ? 18d ? ?48 T4 ? a8 ? a9 ? ... ? a15 ? 8a1 ? 84d ? 0
解得 a1 ? ?21, d ? 2 ,则 an ? 2n ? 23 。

(1) (2)

(2)当 n ? 2 时,在前 n-1 组中共有项数为: 1 ? 2 ? 2 ? ... ? 2
2

n ?2

? 2n?1 ? 1。故第 n 组中的第一项是数列 {an } 中的

第2

n ?1

项,且第 n 组中共有 2
n ?1

n ?1

项。

所以 Tn ? 2

1 ? a2n?1 ? ? 2n ?1 (2n ?1 ? 1)d ? 3 ? 22 n ?2 ? 24 ? 2n ?1 2

当 n=1 时, T1 ? a1 ? ?21 也适合上式,故 Tn ? 3? 22n?2 ? 24 ? 2n?1 。 (3) S8 ? T1 ? T2 ? ... ? T8 。即数列 {an } 前 8 组元素之和,且这 8 组总共有项数

1 ? 2 ? 22 ? ... ? 27 ? 28 ? 1 ? 255 。
则 S8 ? 255a1 ?

1 1 ? 255 ? 254 ? d ? 255 ? (?21) ? ? 255 ? 254 ? 2 ? 59415 2 2



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