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空间向量综合复习二空间向量与平行关系



空间向量综合复习(二)空间向量与平行关系

? 一、选择题 1.(2011·三明高二检测)如果直线 l 的方向向量是 a =(-2,0,1),且直线 l 上有一点 P
不在平面α 上,平面α 的法向量是 b =(2,0,4),那么( (A)l⊥α (B)l∥α (C)l ? α

2.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DA

=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1,B1C1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFBD.

?

)

(D)l 与α 斜交 ) 3.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 AB1 上的点,若 B1C∥平面 PBD,求证:P 为 AB1 的中点.

? ? 2.若平面α 、β 的法向量分别为 u =(1,2,-2), v =(-3,-6,6),则(
(A)α ∥β

(B)α ⊥β (C)α 、β 相交但不垂直(D)以上都不正确

3.已知平面α 内有一点 M(1,-1,2) ,平面α 的一个法向量 n =(6,-3,6) ,则下列点 P 中,在平 面α 内的是( )(A)P(2,3,3) (B)P(-2,0,1)(C)P(-4,4,0)(D)P(3,-4,4) 4.(2011·大连高二检测)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别 为 A1B、AC 的中点,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) (A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定 5.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,-4,k),若α ∥β ,则 k=( )(A)2 (B)-4 (C)4 (D)-2 6.已知直线 l 的方向向量是 n=(2,-1,3),平面β 的法向量 v=( ?

?

4.如图①所示,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=

1 AP,D 为 AP 的中点,E,F,G 分 2

别为 PC,PD,CB 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,得到四棱锥 P-ABCD,如图②所示. 求证:在四棱锥 P-ABCD 中,AP∥平面 EFG.

1 1 5 , , ), 2 4 12

则直线 l 与平面β 的位置关系是( )(A)平行 (B)垂直(C)相交 (D)平行或 l?β 7.设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2 的方向向量,则根据下列条件能判断 l1∥l2 的是( ) ①a=(

1 ,1,0),b=(-2,-4,0);②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);③a=(5,0,2),b=(0,1,0); 2
(B)②③ (C)③④ (D)①④ 5.如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC= 60°,PA⊥平面 ABCD,PA=AC=a,PB=PD= 2 a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.在

④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).(A)①② 二、填空题

??? ? ??? ? ??? ? 1.若 AB ? ?CD ? ?CE (λ ,μ ∈R) ,则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系为_______.
2.已知 A、B、C 三点的坐标分别为 A(4,1,3) ,B(2,-5,1) ,C(3,7,λ ) ,若 AB ? AC , 则λ 等于___________. 3.(2012·成都高二检测)若 a=(2,1,-1),b=(-2,1,3),则与 a,b 均垂直的单位向量的坐标 为 . 4.(2012· 南平高二检测)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 BB1 的中点,F 为 AD 的中点,以 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则平面 D1EF 的法向量是 . 三、解答题 1.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 N 在 BD 上,点 M 在 B1C 上,且 CM=DN,求证:MN∥平面 ABB1A1.

??? ?

??? ?

棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论.

-1-

6.如图, 已知菱形 ABCD 的边长为 6 , BAD ? 60 , AC ? BD ? O .将菱形 ABCD 沿对角线 AC ?
?

折起,使 BD ? 3 2 ,得到三棱锥 B ? ACD . (Ⅰ)若点 M 是棱 BC 的中点,求 证 : OM // 平 面 ABD ; (Ⅱ)求 二 面 角 A ? B D? O 余 弦 值 ; 的 (Ⅲ)设点 N 是线段 BD 上一个动点,试确定 N 点的位置,使得 CN ? 4 2 ,并证明你的结论.

7.已知平行四边形 ABCD 中, =6, =10, =8, 是线段 AD 的中点. BD 将△BCD 翻折到△ BC ?D , AB AD BD E 沿 ?D ⊥平面 ABD. 使得平面 BC (Ⅰ)求证: C?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC? 所成角的正弦值; C? (Ⅲ)求二面角 D ? BE ? C? 的余弦值. B C

A M

E

D

-2-

答案解析 1.【解析】选 B. a ? b =(-2,0,1)(2,0,4)=-4+0+4=0, · ∴ a ? b ,∵l ? α ,∴l∥α . 2.【解析】选 A.∵ u =(1,2,-2), v =(-3,-6,6) =-3(1,2,-2)=-3 u ,∴ u ∥ v ,∴α ∥β .

? ??? ??? ? AB · AC =2-36-2λ +6=0,∴λ =-14. ? ?
答案:-14 7.【证明】如图所示,以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, N 作 NF⊥AB 于 F, M 作 ME⊥BB1 于 E, 过 过 连接 EF, 设正方体的棱长为 a,DN=CM=b, 则N (

?

?

?

?

?

?

?

2 b, 2

2 b,0)F a, , ( 2 2 b,0)-(a,a, 2 2 b,0)-( 2

2 2 b,0) ,M( b,a, 2 2 2 b)=(0, 2 2 b-a,2

2 b),E(a,a, 2 2 b), 2

2 b), 2

???? ? ? ???? 3.【解析】选 A.由题意知 MP ⊥ n ,即 n · MP =0,
设 P 点坐标为(x,y,z),

∴ EF =(a,

???

???? 则 MP =(x-1,y+1,z-2),
由 n · MP =0 得 2x-y+2z=7, 经验证 A 正确. 4.【解析】选 B.以 C 为原点,以 C1B1 、 C1D1 、 C1C 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐 标系如图,

???? ? 2 MN =( b, 2
=(0,

2 2 b,a, b) 2 2

?

????

2 b-a,2

???? ??? ? 2 b),∴ MN ∥ EF . 2

?????

????? ?

???? ?

a a a a , ,a),M(a, , ), 2 2 2 2 ???? a ? a ∴ NM =( ,0,). 2 2 ? 而平面 B1BCC1 的一个法向量为 n =(0,1,0) ,
∴N( ∴ MN · n =0. 又 MN ? 平面 B1BCC1, ∴MN 与平面 B1BCC1 平行. 5.【解析】∵ AB ? ?CD ? ?CE , ∴ AB 与 CD , CE 共面∴AB∥平面 CDE,或 AB ? 平面 CDE. 答案:AB∥平面 CDE 或 AB ? 平面 CDE 6.【解析】 AB =(-2,-6,-2) AC =(-1,6,λ -3) , ,

又∵MN 与 EF 无公共点,∴MN∥EF. ∵EF ? 平面 ABB1A1,∴MN∥平面 ABB1A1. 8.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分别取 MN,DB 及 EF 的中点 R,T,S, 连结 AR,ST,则 A(2,0,0),M(1,0,4),N(2, D(0,0,0),B(2,3,0),E(0,

3 ,4), 2

???? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

3 ,4),F(1,3,4) , 2 3 3 1 9 3 R( , ,4) ,S( , ,4) ,T(1, ,0). 2 4 2 4 2 ???? ? 3 ∴ MN =(1, ,0), 2 ??? 3 EF =(1, ,0), 2 ??? ???? 1 3 1 3 AR =(- , ,4), TS =(- , ,4). 2 4 2 4 ???? ??? ???? ??? ? ∴ MN ? EF, AR ? TS ,
又 MN 与 EF、AR 与 TS 不共线, ∴MN∥EF,AR∥TS. ∴MN∥平面 EFBD,AR∥平面 EFBD,
-3-

??? ?

??? ?

又 MN ? 平面 AMN,AR ? 平面 AMN,MN∩AR=R, ∴平面 AMN∥平面 EFBD. 方法二:建系同方法一, 由方法一可知,A(2,0,0) ,M(1,0,4) ,N(2, D(0,0,0) ,E(0,

(A)2

(B)-4

(C)4

(D)-2

1 1 5 2.已知直线 l 的方向向量是 n=(2,-1,3),平面β 的法向量 v=( ? , , ),则直线 l 与平面β 的位 2 4 12 3 ,4) , 2
置关系是( ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交 (D)平行或 l?β 3.(2012·郑州高二检测)设 a,b 分别是不重合的直线 l1,l2 的方向向量,则根据下列条件能判断 l1 ∥l2 的是( )①a=(

3 ,4) ,F(1,3,4) , 2 ???? ???? ? ??? ? ??? ? 3 3 则 AM =(-1,0,4) AN =(0, ,4) DE =(0, ,4) DF =(1,3,4). , , , 2 2
设平面 AMN,平面 EFBD 的法向量分别为

1 ,1,0),b=(-2,-4,0);②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);③a=(5,0,2),b=(0,1,0); 2

?? ? ?? ? n 1 =(x1,y1,z1), n 2 =(x2,y2,z2),

?? ???? ? ? ?n1 ? AM ? 0, ?? x ? 4z ? 0, ? 1 则 ??? ???? 即 ? 1 ? ?3 n1 ? AN ? 0, ? y1 ? 4z1 ? 0, ? ?
?2

令 x1=1,得 z1=

?? ? 1 2 2 1 ,y1=- ,∴ n 1 =(1,- , ), 4 3 3 4
2 2

?? ??? ? ? ?n 2 ? DE ? 0, 3 ? 即 ? y ? 4z ? 0, ? ? ? ??? ??? 2 ?n 2 ? DF ? 0, ?x ? 3y ? 4z ? 0, ? ? ?
2 2 2

3 3 ,x2= . 8 2 ?? 3 ? ?? 2 ?? ? ? ?? ?? ? ? 3 ∴ n 2 =( ,-1, ),∴ n 1 = n 2 ,即 n 1 ∥ n 2 ,∴平面 AMN∥平面 EFBD. 2 8 3
令 y2=-1,得 z2= 【挑战能力】 【解析】当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC.

④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).(A)①② (B)②③ (C)③④ (D)①④ 4.(易错题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M,N 分别为 A1B,AC 的中点,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( ) (A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2012·成都高二检测)若 a=(2,1,-1),b=(-2,1,3),则与 a,b 均垂直的单位 向量的坐标为 . 6.(2012·南平高二检测)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E 为 BB1 的中点,F 为 AD 的中点,以 DA,DC,DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则平面 D1EF 的法向量是 . 三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 AB1 上的点,若 B1C∥平面 PBD,求证:P 为 AB1 的中点. 8.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F 分别是棱 A1D1,A1B1,D1C1, B1C1 的中点. 求证:平面 AMN∥平面 EFBD. 【挑战能力】 (10 分)如图,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=60°, PA⊥平面 ABCD, PA=AC=a,PB=PD= 2 a,点 E 在 PD 上,且 PE∶ED=2∶1.在棱 PC 上是否存在一点 F, 使 BF∥平面 AEC?证明你的结论. 答案解析 1.【解析】选 C.若两个平面平行,则它们的法向量也平行,∴(-2,-4,k)=λ (1,2,-2)=(λ ,2λ ,-2λ ), ∴λ =-2,k=-2λ =(-2)×(-2)=4. 2.【解析】选 D.∵n·v=2×(-

??? ??? 1 ??? ???? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ∵ BF ? BC ? CP ? AD ? CD ? DP 2 2 ???? 1 ???? ??? ? 3 ??? ???? ? ? AD ? AD ? AC ? AE ? AD 2 2 ? ? 3 ??? 1 ??? ? AE ? AC 2 2

?

?

?

? ?

?

∴BF、AE、AC 共面. 又 BF ? 平面 AEC,∴BF∥平面 AEC. 知能巩固提升(二十五)/课后巩固作业(二十五) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.设平面α 的法向量为(1,2,-2),平面β 的法向量为(-2,-4,k),若α ∥β ,则 k=(

1 1 5 )+(-1)× +3× =0,∴n⊥v,∴l∥β 或 l?β . 2 4 12

)
-4-

【变式训练】已知平面α 内有一点 M(1,-1,2),平面α 的一个法向量 n=(6,-3,6),则下列四点中,在 平面α 内的是( ) (A)N1(4,13,6) (B)N2(-2,0,1) (C)N3(-4,5,0) (D)N4(6,-8,8)

【解析】选 A.由题意知 MN ⊥n,即 MN ·n=0, 设 N(x,y,z),则 MN =(x-1,y+1,z-2), ∴6(x-1)-3(y+1)+6(z-2)=0,即 2x-y+2z=7,代入四个点 N1,N2,N3,N4 的坐标验证可知选 A. 3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法. 【解析】选 A.①a= ?

???? ?

???? ?

解得 ?

???? ?

?x ? z ,取 z=1,则 n=(1,-1,1), ? y ? ?z

∴所求单位向量 n0=

n n 或? , n n

1 b,∴l1∥l2,排除 B、C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选 A. 4
.

∴n0=(

【变式训练】 u、 分别是不同的平面α ,β 的法向量,根据下列条件能判断α ∥β 的是 设 v ①u=(-1,1,-2),v=(3,2, ?

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ,? , )或( ? , ,? ).答案: ( ,? , )或( ? , ,? ) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 ); 2

②u=(0,0,3),v=(0,0,-2); ③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2). 【解析】判断两个法向量是否平行即可. ①∵u=kv 的 k 值不存在,∴u 与 v 不平行; ②∵u= ?

【变式训练】已知 l∥α ,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面α 的法向量为(1, 【解析】∵l∥α ,∴l 的方向向量与平面α 的法向量垂直,∴2×1 ? 答案:-8 6.【解析】根据题意得 D1(0,0,1),E(1,1, ∴ D1F =(

1 ,2),则 m= 2

1 m+2×1=0,解得 m=-8. 2

3 v,∴u∥v,∴α ∥β ; 2

③∵u=kv 的 k 值不存在,∴u 与 v 不平行. 答案:② 4.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选 B1 或 C1 为原点,求 M,N 的坐标是解题关键.

????

???? ? 1 1 ,0,-1), D1E =(1,1, ? ). 2 2

1 1 ),F( ,0,0), 2 2

设平面 D1EF 的法向量是 n=(x,y,z),则:

????? ????? ???? ? ? 【解析】选 B.以 C1 为原点,以 C1B1 、 C1D1 、 C1C 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
坐标系如图,

a a , ,a), 2 2 a a M(a, , ), 2 2 ???? a ? a ∴ NM =( ,0, ? ). 2 2
∴N( 而平面 B1BCC1 的一个法向量为 n=(0,1,0), ∴ NM ·n=0. 又 MN ? 面 B1BCC1, ∴MN 与平面 B1BCC1 平行.

? ???? 1 ? x ? 2z ?n ? D1F ? 2 x ? z ? 0 ? ? ,解得 ? ? ???? 3 , ? 1 y?? z ? ?n ? D E ? x ? y ? z ? 0 ? 2 1 ? ? 2
取 z=2k(k≠0),则 x=4k,y=-3k, ∴n=(4k,-3k,2k)(k≠0).答案:(4k,-3k,2k)(k≠0) 7.【证明】以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,设正 方体棱长为 1,则: A(1,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0). 设 P(x,y,z),则 PB1 =(1-x,1-y,1-z), AP =(x-1,y,z), ∵ DB =(1,1,0), DP =(x,y,z), B1C =(-1,0,-1),B1C∥平面 PBD. ∴ B1C =λ DB +μ DP (λ ,μ 为实数)成立, 即(-1,0,-1)=λ (1,1,0)+μ (x,y,z).

???? ?

????

??? ?

??? ?

??? ?

???? ?

a ?2x ? y ? z ? 0 ? n· ? 0 5.【解析】设与 a,b 都垂直的向量为 n=(x,y,z),则 ? ,∴ ? , b ??2x ? y ? 3z ? 0 ? n· ? 0

???? ?

??? ?

??? ?

-5-

?? ? ?x ? ?1 ? ∴ ?? ? ?y ? 0 ,解得:x-y=z ??z ? ?1 ?
又点 P 在直线 AB1 上,∴ AP =λ PB1 , ∴(x-1,y,z)=λ (1-x,1-y,1-z)成立,

则 AM =(-1,0,4), AN =(0, ①

???? ?

????

??? ? ??? ? 3 3 ,4), DE =(0, ,4), DF =(1,3,4). 2 2

设平面 AMN,平面 EFBD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

??? ?

????

? x ? 1 ? ? ?1 ? x ? ? ∴ ? y ? ? ?1 ? y ? ,解得 x=1,y=z ? ?z ? ? ?1 ? z ? 1 由①②解得 y= =z,x=1, 2 1 1 ∴P(1, , ),∴点 P 为 AB1 的中点. 2 2

???? ? ?n1 ? AM ? 0, ?? x1 ? 4z1 ? 0, ? ? 则? 即?3 ???? ?n1 ? AN ? 0, ? 2 y1 ? 4z1 ? 0, ? ?


8.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系, 分别取 MN,DB 及 EF 的中点 R,T,S, 连结 AR,ST,

1 2 ,y1= ? , 4 3 2 1 ∴n1=(1, ? , ), 3 4 ??? ? ?n2 ? DE ? 0, ? 3 y 2 ? 4z 2 ? 0, ? ? 即 ?2 ? ? ??? ?n2 ? DF ? 0, ? x 2 ? 3y 2 ? 4z 2 ? 0, ? ?
令 x1=1,得 z1= 令 y2=-1,得 z2= ∴n2=(

3 3 ,x2= . 8 2

3 ,4),D(0,0,0),B(2,3,0), 2 3 3 3 1 9 3 E(0, ,4),F(1,3,4),R( , ,4),S( , ,4),T(1, ,0). 2 2 4 2 4 2 ???? ? ??? 3 3 ∴ MN =(1, ,0), EF =(1, ,0), 2 2 ??? ???? 1 3 1 3 AR =( ? , ,4), TS =( ? , ,4). 2 4 2 4 ???? ??? ???? ??? ? ∴ MN = EF , AR = TS ,
则 A(2,0,0),M(1,0,4),N(2, 又 MN 与 EF,AR 与 TS 不共线, ∴MN∥EF,AR∥TS. ∴MN∥平面 EFBD,AR∥平面 EFBD, 又 MN?平面 AMN,AR?平面 AMN,MN∩AR=R, ∴平面 AMN∥平面 EFBD. 方法二:建系同方法一, 由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2, D(0,0,0),E(0,

3 3 ,-1, ), 2 8 2 ∴n1= n2,即 n1∥n2,∴平面 AMN∥平面 EFBD. 3
【挑战能力】 【解析】存在.证明如下:当 F 是棱 PC 的中点时,BF∥平面 AEC.

? ? ? 1 ??? ???? 1 ??? ??? CP = AD ? ( CD ? DP ) 2 2 ? ???? 1 ???? ??? ? 3 ??? ???? = AD ? ( AD ? AC ) ? ( AE - AD ) 2 2 ? ? ? ? ??? 1 ??? ??? ??? ??? ? 3 , , = AE ? AC ∴ BF AE AC 共面. 2 2
∵ BF = BC ? 又 BF ? 平面 AEC,∴BF∥平面 AEC.

? ??? ??? ?

3 ,4), 2

3 ,4),F(1,3,4), 2
-6-



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