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相关性(北师大版必修三)



相关性

思考
在学校,老师经常对学生这样说:“如果 你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会 有什么大问题。”按照这种说法,似乎学生 的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关 关系。这种说法有没有依据呢?

凭我们的学习经验可知,物理成绩确实 与数学成绩有一定的关系,但除此以外,还 存在其他影响物理成绩的因素。例如,是否 喜欢物

理,用在物理学习上的时间等等。当 我们主要考虑数学成绩对物理成绩的影响时, 就是主要考虑这两者之间的相关关系。

我们还可以举出现实生活中存在的许多相关 关系的问题。例如: 1〉商品销售收入与广告支出经费之间的关系。
商品销售收入与广告支出经费之间有着密切的联系, 但商品收入不仅与广告支出多少有关,还与商品质 量、居民收入等因素有关。

2〉粮食产量与施肥量之间的关系。
在一定范围内,施肥量越大,粮食产量就越高。 但是,施肥量并不是决定粮食产量的唯一因素, 因为粮食产量还要受到土壤质量、降雨量、田 间管理水平等因素的影响。

3〉人体内脂肪含量与年龄之间的关系。
在一定年龄段内,随着年龄的增长,人体内 的脂肪含量会增加,但人体内的脂肪含量还 与饮食习惯、体育锻炼等有关,可能还与个 人的先天体质有关。

你还能举出一些类似的例子吗?

应当说,对于上述各种问题中的两个变量之
间的相关关系,我们都可以根据自己的生活、学

习经验作出相应的判断,因为“经验当中有规
律”。但是,不管你经验多么丰富如果只凭经验

办事,还是很容易出错的。因此,在分析两个变
量之间的关系时,我们还需要有一些有说服力的

方法。

变量间相关关系的概念: 自变量取值一定时,因变量的取 值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.
请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢? 两个变量间的函数关系. 相关关系与函数关系的异同点: 相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关 系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,也可能是伴随关系.

即学即用
1.下列关系中,是带有随机性相关关系的是 . ①正方形的边长与面积的关系;②水稻产量与施肥量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系;④降雪量与交通事故发生之间的 关系.

②③④

2. 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系 (D ) A.角度和它的余弦值 B. 正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D. 人的年龄和身高

探究
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58

. 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5
年龄 60 61 脂肪 35.2 34.6

如上的一组数据,你能分析人体的脂肪 含量与年龄之间有怎样的关系吗?

1 、散点图:
将各数据在平面坐标系中的对应点画出来,得到表示 两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图。

如下图:
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 年龄 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65

O

从刚才的散点图发现:年龄越大,体内脂肪含量越 高,点的位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们 成正相关。但有的两个变量的相关,如下图所示: 如高原含氧量与海拔高 度的相关关系,海平面以上, 海拔高度越高,含氧量越少。 作出散点图发现,它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程,称它们成负相关.
O

例1:5个学生的数学和物理成绩如下表: A B C D 数学 物理 80 70 75 66 70 68 65 64

E 60 62

画出散点图,并判断它们是否有相关关系。

解:
80 75 70 65 60 55 50 40

物理成绩

数学成绩
50 60 70 80 90

由散点图可见,两者之间具有正相关关系。

例2:有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温

对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯
数与当天气温的对比表:

摄氏温度 -5

0

4

7

12 15 19 23 27 31 36

热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)画出散点图;

(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一 般规律;

解: (1)散点图
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0

热饮杯数

温度
10 20 30 40

(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高,卖出去 的热饮杯数越少。

练习:
有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害 健康”的警示语。吸烟是否一定会引起健康问题? 你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可 以吸烟”的说法对吗?
?

从已经掌握的知识来看,吸烟会损害身体的健康。 但是除了吸烟之外还有许多其他的随机因素影响身 体健康,人体健康是由很多因素共同作用的结果, 我们可以找到长寿的吸烟者,也更容易发现由于吸 烟而引发的患病者,吸烟与健康是一种相关关系, 所以吸烟不一定引起健康问题。 但吸烟引起健康问题的可能性大,因此“健康问

?

题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的 说法是不对的。

脂肪含量

回归直线

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直 线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相关 关系,这条直线就叫做回归直线。 这条回归直线的方程,简称为回归方程。

1.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,变 量之间具有函数关系 2.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近, 变量之间就有相关关系 3.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量 之间就有线性相关关系 只有散点图中的点呈条状集中在某一直线 周围的时候,才可以说两个变量之间具有线性 关系,才有两个变量的正线性相关和负线性相 关的概念,才可以用回归直线来描述两个变量 之间的关系

如何具体的求出这个回归方程呢? 方案一:采用测量的方法:先画一条直线,测 量出各点到它的距离,然后移动直线,到达一 个使距离之和最小的位置,测量出此时直线的 斜率和截距,就得到回归方程。
脂肪含量
40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

整体上最接近

方案二: 在图中选取两点画直线,使得直线 两侧的点的个数基本相同。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80

脂肪

方案三: 在散点图中多取几组点,确定几条直线的 方程,分别求出各条直线的斜率和截距的平均数, 将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。
脂肪 40 30 20 10 0 0 20 40 60 80

脂肪

上述三种方案均有一定的道理,但可靠性不强, 我们回到回归直线的定义。
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近, 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线 就叫做回归直线。

求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画 “从整体上看,各点与直线的偏差最小”。

C

C

y ? ax2 ? bx ? c

3.下列两个变量之间的关系不具有线性关系 的是 ( B) A.小麦产量与施肥值 B.球的体积与表面积 C.蛋鸭产蛋个数与饲养天数 D.甘蔗的含糖量与生长期的日照天数
4.下列变量之间是函数关系的是 (A ) A. 当速度一定时,路程和时间 B.光照时间和果树亩产量 C.降雪量和交通事故发生率 D.每亩施用肥料量和粮食亩产量

5.下面现象间的关系属于相关关系的是 (C ) A.圆的周长和它的半径之间的关系 B.价格不变条件下,商品销售额与销售量之间的关系 C.家庭收入愈多,其消费支出也有增长的趋势 D.正方形面积和它的边长之间的关系
6.下列关系中是函数关系的是 (A ) A.球的半径长度和体积的关系 B.农作物收获和施肥量的关系 C.商品销售额和利润的关系 D.产品产量与单位成品成本的关系

7.下列两个变量之间的关系哪个不 是函数关系 ( D ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 8.下面哪些变量是相关关系 ( C ) A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量

9.下列语句中所表示的事件中的因素不具 有相关关系的是 ( D ) A.瑞雪兆丰年 B.上梁不正下梁歪 C.吸烟有害健康 D.喜鹊叫喜,乌鸦叫丧

小结:
变量间相关关系的概念 散点图 正相关 负相关

回归直线



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