9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4单元测评三 三角恒等变换



高中·新课标 A 版·数学·必修 4

单元测评(三)

三角恒等变换

(时间:90 分钟 满分:120 分) 第Ⅰ卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,共 50 分. 4 β 1.已知 sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=5,且 β 是第三象限角,则 cos2 的值等于 5 A

.± 5 5 C.- 5 2 5 B.± 5 2 5 D.- 5

4 解析:由已知,得 sin[(α-β)-α]=sin(-β)=5, 4 得 sinβ=-5. 3 ∵β 在第三象限,∴cosβ=-5. β ∴cos2=± 答案:A sin2α 2.若 tanα=3,则cos2α的值等于 A.2 B.3 C.4 D.6 sin2α 2sinαcosα 解析:cos2α= cos2α =2tanα=2×3=6. 答案:D 1+cosβ 2 =± 1 5 = ± 5 5.

1

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 cos2x+sin2x 3.函数 y= 的最小正周期为 cos2x-sin2x A.2π π C.2 B.π π D.4

1+tan2x π? ? π 解析:y= =tan?2x+4?,∴T=2. ? ? 1-tan2x 答案:C 6 4.设 a=sin14° +cos14° ,b=sin16° +cos16° ,c= 2 ,则 a,b,c 的 大小关系是 A.a<b<c C.c<b<a B.b<a<c D.a<c<b

解析:a= 2sin59° ,b= 2sin61° ,c= 2sin60° , ∴a<c<b. 答案:D 5.函数 y=sinxcosx+ 3cos2x- 3的图像的一个对称中心是 A.?
?2π

3? ? ,- 2? ?3

B.?

?5π

3? ? ,- 2? ?6
? ?

? 2π 3? C.?- , ? 2? ? 3

?π ? D.?3,- 3?

1 3 1 3 3 解 析 : y = 2 sin2x + 2 (1 + cos2x) - 3 = 2 sin2x + 2 · cos2x - 2 = π? ? 3 π kπ π 5π sin?2x+3?- 2 ,令 2x+3=kπ,x= 2 -6(k∈Z),当 k=2 时,x= 6 ,对称 ? ?
?5 3? 中心是? π,- ?. 2? ?6

答案:B
2

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 → |的最大值是 6.已知点 P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ),则|PQ A. 2 C.4 B.2 2 D. 2

→ =(cosβ-cosα,sinβ-sinα),则 解析:PQ → |= ?cosβ-cosα?2+?sinβ-sinα?2 |PQ = 2-2cos?α-β?, → |的最大值为 2. 故|PQ 答案:B 7.若(4tanα+1)(1-4tanβ)=17,则 tan(α-β)的值为 1 A.4 1 B.2 C.4 D.12

tanα-tanβ 解析:由已知得:4(tanα-tanβ)=16(1+tanαtanβ),即 =4, 1+tanαtanβ 所以 tan(α-β)=4. 答案:C π? ? 8.函数 f(x)=sinx-cos?x+6?的值域为
? ?

A.[-2,2] C.[-1,1]

B.[- 3, 3] D.?-
? ?

3 3? ? , 2 2?

? 3 ? 3 1 1 ? sinx- cosx? = 3 解 析 : 因 为 f(x) = sinx - 2 cosx + 2 sinx = 3 · 2 ? 2 ?

π? ? sin?x-6?,所以函数 f(x)的值域为[- 3, 3].
? ?

答案:B

3

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 π? ? 9.函数 y=sin?2x-3?-sin2x 的一个单调递增区间是
? ? ? π π? A.?-6,3? ? ?

7 ? ?π B.?12,12π? ? ?
?π 5π? D.?3, 6 ? ? ? ? ? ? ?

13 ? ?5 C.?12π,12π? ? ?

π? π? ? ? 解 析 : y = sin ?2x-3? - sin2x = - sin ?2x+3? , 其 增 区 间 是 函 数 y = π? ? π π 3π π 7π sin?2x+3?的减区间,即2+2kπ≤2x+3≤ 2 +2kπ,∴12+kπ≤x≤12+kπ,
? ? ? π 7π? 当 k=0 时,x∈?12,12?. ? ?

答案:B
? 3?π 1 10.已知 sin2α=5?2<2α<π?,tan(α-β)=2,则 tan(α+β)的值为 ? ?

A.-2 2 C.-11

B.-1 2 D.11

3 π 4 3 解析:由 sin2α=5,且2<2α<π,可得 cos2α=-5,所以 tan2α=-4, 所以 tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]= 答案:A 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. π π 11.若4<α<β<2,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b,则 a,b 的大小关系 是__________. π? π? ? ? π 解析: sinα + cosα = 2sin ?α+4? , sinβ + cosβ = 2sin ?β+4? ,因为 4
? ? ? ?
4

tan2α-tan?α-β? =-2. 1+tan2αtan?α-β?

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 π <α<β<2, π π π 3π 所以2<α+4<β+4< 4 , π? π? ? ? 所以 sin?α+4?>sin?β+4?,所以 a>b.
? ? ? ?

答案:a>b π? ?π ? 1 ? 1 ?2θ+ ?的值为__________. 12. 已知 θ∈?2,π?, + = 2 2 , 则 sin 3 sinθ cosθ
? ? ? ?

π? ? 解析:由已知条件可得 sin?θ+4?=sin2θ,
? ? ?π ? 又 θ∈?2,π?, ? ?

π 可知 θ+4+2θ=3π, π? ? 11π 13π 1 即 θ= 12 ,sin?2θ+3?=sin 6 =2.
? ?

1 答案:2 3 13. 已知 cosαcos(α+β)+sinαsin(α+β)=-5, β 是第二象限角, 则 tan2β =__________. 3 4 解析:由已知可得,cosβ=-5,可求 tanβ=-3, 24 ∴tan2β= 7 . 24 答案: 7 14.关于函数 f(x)=cos2x-2 3sinxcosx,下列命题:
? π π? ①存在 x1,x2,当 x1-x2=π 时,f(x1)=f(x2)成立;②f(x)在区间?-6,3? ? ?
5

高中·新课标 A 版·数学·必修 4
?π ? 上单调递增; ③函数 f(x)的图像关于点?12,0?成中心对称图形; ④将函数 f(x) ? ?

5π 的图像向左平移12个单位长度后将与 y=2sin2x 的图像重合. 其中正确命题的序号是__________(注:把你认为正确的序号都填上).
?π ? 解析:∵f(x)=2sin?6-2x? ? ?

5π? ? =2sin?2x+ 6 ?
? ? ?

5π? ? =2sin2?x+12?,
?

∴周期 T=π,故①正确;
? π π? π 5π 3π ∵2≤2x+ 6 ≤ 2 ,解得 x∈?-6,3?, ? ? ? π π? 5π ∴?-6,3?是其递减区间, 故②错误; ∵对称中心的横坐标满足 2x+ 6 ? ?

kπ 5π =kπ(k∈Z)?x= 2 -12(k∈Z),当 k=1 时,得③正确;应该是向右平移, 故④不正确. 答案:①③ 三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 4 15.(12 分)已知 A, B,C 为△ABC 的三个内角,且 A<B<C,sinB=5, 4 cos(2A+C)=-5,求 cos2A 的值. 解:∵A<B<C,A+B+C=π, π π ∴0<B<2,A+C>2,0<2A+C<π. 4 ∵sinB=5,
6

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 3 ∴cosB=5. 4 ∴sin(A+C)=sin(π-B)=5, 3 cos(A+C)=-5.(4 分) 4 ∵cos(2A+C)=-5, 3 ∴sin(2A+C)=5.(8 分) ∴sinA=sin[(2A+C)-(A+C)] 3 ? 3? ? 4? 4 =5×?-5?-?-5?×5 ? ? ? ? 7 =25. 527 ∴cos2A=1-2sin2A=625.(12 分) π? ? 16.(12 分)已知函数 f(x)=tan?2x+4?.
? ?

(1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π? ? ?α? (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos2α,求 α 的大小.
? ? ? ?

π π 解:(1)由 2x+4≠2+kπ,k∈Z,得 π kπ x≠8+ 2 ,k∈Z, π kπ 所以 f(x)的定义域为{x∈R|x≠8+ 2 ,k∈Z}.(4 分) π f(x)的最小正周期为2.(6 分)

7

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 π? ?α? ? (2)由 f?2?=2cos2α,得 tan?α+4?=2cos2α,
? ? ? ?
2 2 即 = 2(cos α - sin α), π? ? cos?α+4?

π? ? sin?α+4?
? ? ?

?

sinα+cosα 整理得 =2(cosα+sinα)(cosα-sinα). cosα-sinα (8 分) π? ? 因为 α∈?0,4?,
? ?

所以 sinα+cosα≠0. 1 1 因此(cosα-sinα)2=2,即 sin2α=2.(10 分) π? π? ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?.
? ? ? ?

π π 所以 2α=6,即 α=12.(12 分) 17.(13 分)设 f(x)=6cos2x- 3sin2x. (1)求 f(x)的最大值及最小正周期;
?4 ? (2)若锐角 α 满足 f(α)=3-2 3,求 tan?5α?的值. ? ?

1+cos2x 解:(1)f(x)=6× - 3sin2x 2 =3+3cos2x- 3sin2x =2 3?
? 3 ? 1 ?+3 cos2 x - sin2 x 2 ?2 ? ? ?

π? ? =2 3cos?2x+6?+3,(4 分)

8

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 2π 故 f(x)的最大值为 2 3+3.最小正周期 T= 2 =π.(6 分) (2)由 f(α)=3-2 3, π? ? 得 2 3cos?2α+6?+3=3-2 3,
? ?

π? ? 故 cos?2α+6?=-1.(8 分)
? ?

π 又由 0<α<2, π π 7π π 得6<2α+6< 6 ,故 2α+6=π, 5 解得 α=12π.(10 分)
?4 ? π 从而 tan?5α?=tan3= 3.(13 分) ? ?

π? ? ?3π ? 18.(13 分)已知函数 f(x)=2cos?x-3?+2sin? 2 -x?.
? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的单调减区间; (2)求函数 f(x)的最大值并求 f(x)取得最大值时的 x 的取值集合; π? ? 6 (3)若 f(x)=5,求 cos?2x-3?的值.
? ?

π π 解:f(x)=2cosxcos3+2sinxsin3-2cosx =cosx+ 3sinx-2cosx = 3sinx-cosx π? ? =2sin?x-6?.
? ?

π π 3 (1)令 2kπ+2≤x-6≤2kπ+2π(k∈Z),

9

高中·新课标 A 版·数学·必修 4 2π 5π ∴2kπ+ 3 ≤x≤2kπ+ 3 (k∈Z), 2π 5π? ? ∴单调递减区间为?2kπ+ 3 ,2kπ+ 3 ?(k∈Z).
? ?

(4 分) π π 2π (2)f(x)取最大值 2 时,x-6=2kπ+2(k∈Z),则 x=2kπ+ 3 (k∈Z). 2π ∴f(x)的最大值是 2,取得最大值时的 x 的取值集合是{x|x=2kπ+ 3 ,k ∈Z}.(8 分) π? 6 ? 6 (3)f(x)=5即 2sin?x-6?=5,
? ?

π? 3 ? ∴sin?x-6?=5.
? ?

π? π? ? ? ∴cos?2x-3?=1-2sin2?x-6?
? ? ? ? ?3? =1-2×?5?2 ? ?

7 =25.(13 分)

10



更多相关文章:
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修二单元测评一 空间几何体
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修单元测评一 空间几何体_数学_高中...三角形且侧棱垂直底面的三棱柱的侧棱长和底面边长 相等,体积为 2 3,它的三...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4模块综合测评
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4模块综合测评_数学_高中教育_教育...3 4 解析:据三角函数的定义可知 sinα=-5,cosα=5, 6 4 2 ∴2sinα+...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4单元测评二 平面向量
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修4单元测评二 平面向量_数学_高中教育_教育专区。高中·新课标 A 版·数学·必修 4 单元测评(二) 平面向量 (时间:...
【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修二单元测评二 平面解析几何初步
【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修单元测评二 平面解析几何初步_...若 A(3,-2),B(-9,4),C(x,0)三点共线,则 x 的值为 A.1 C.0 ...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评三 空间向量与立体几何
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修2-1单元测评三 空间向量与立体...答案:C 9.在三棱锥 PABC 中,△ABC 为等边三角形,PA⊥平面 ABC,且 PA =...
【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修一单元测评三 基本初等函数Ⅰ
【状元之路】2014-2015学年新课标B版数学必修单元测评三 基本初等函数Ⅰ_数学...? 16. 解:∵logax+logay=3, ∴loga(xy)=3.(4 分) a3 ∴xy=a ,∴y...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修1+单元测评一 集合与函数概念
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修1+单元测评一 集合与函数概念_数学...三、解答题:本大题共 4 小题,满分 50 分. 15.(12 分)设集合 A={x|a...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评一 相似三角形的判定及有关性质
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-1单元测评一 相似三角形的判定及有关性质_数学_高中教育_教育专区。高中·新课标 A 版·数学·选修 4-1 单元...
【状元之路】2014-2015学年冬新课标A版数学必修二单元测评三 直线与方程
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学必修单元测评三 直线与方程_数学_...10.等腰直角三角形 ABC 的直角顶点为 C(3,3),若点 A(0,4),则点 B 的...
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-4单元测评一 坐标系
【状元之路】2014-2015学年新课标A版数学选修4-4单元测评一 坐标系_数学_高中...答案:B x2 y2 3.可以将椭圆10+ 8 =1 变为圆 x2+y2=4 的伸缩变换为...
更多相关标签:
三角恒等变换    三角恒等变换公式    三角函数恒等变换    恒等变换    三角恒等变换测试题    简单的三角恒等变换    三角恒等变换技巧    三角函数恒等变换公式    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图